Введение к работе
1.1 Актуальность темы
Исследование взаимосвязей между точно решаемыми моделями и теорией представлений групп Ли (конечномерных и бесконечномерных) является важной задачей современной теоретической и математической физики. Настоящая работа посвящена исследованию и нахождению таких взаимосвязей.
Первые работы по применению групповых методов в теории интегрируемых систем появились в конце 1970-х годов и в настоящее время являются одним из базовых подходов в теории интегрируемых систем.
Другим базовым подходом в теории точно решаемых квантовых систем является квантовый метод обратной задачи рассеяния, введенный и разработанный группой Л.Д. Фаддеева. Бесспорным преимуществом последнего подхода является его применимость к квантовым системам, отвечающим бесконечномерным группам Ли. Применение теоретике группового подхода, к примеру для построения волновых функций в виде матричных элементов, наталкивается на серьезные трудности связанные с недостаточным пониманием бесконечномерной ситуации.
Несомненно, сравнение этих базовых методов является важной задачей и полезно как для теории представлений, так и для теории интегрируемых систем. Одним из центральных результатов этой работы является интерпретация волновых функций цепочки Тода, построенных в рамках метода разделения переменных в виде итеративного интеграла Меллина-Барнса в терминах теории представлений. Основным инструментом конструкции является обобщение метода Гельфанда-Цейтлина на случай бесконечномерных представлений основной серии. Напомним, что оригинальный результат Гельфанда-Цейтлина доставляет конструкцию неприводимых конечномерных представлений классических групп. Фактически решающим шагом является выбор специальных координат на группах Ли и в максимальных коммутативных подалгебрах универсальных обертывающих алгебр. Так понимаемый метод Гельфанда-Цейтлина обобщается на случай Янгианов и квантовых аффинных алгебр, отвечающих произвольной полупростой алгебры Ли, а также на случай произвольной квантовой группы. Это приводит к построению специального класса представлений Янгианов и квантовых аффинных алгебр, которые задают квантование пространства модулей G- монополей в случае Янгианов и пространства модулей периодических G-монополей в случае квантовых аффинных алгебр. Таким образом, модули монополей задают класс универсальных разделен- ных переменных, которые переходят в разделенные переменные интегрируемых систем в результате различных специализаций и редукций. Таким образом, теория монополей связывается с теорией интегрируемых систем. Заметим, что квантование пространства модулей монополей (точнее, его большой открытой клетки) задается квантованием группы Пуассона - Ли и, следовательно, задается специальным классом представлений
Янгианов и квантовых аффинных алгебр.
Другой пример взаимосвязи точно решаемых систем с теорией представлений доставляет новый класс деформаций алгебр Каца-Муди и представлений вершинными операторами, построеных в этой работе. Этот новый класс бесконечномерных алгебр Ли тесно связан с теорией нелокальных итегрируемых уравнений построенной в э той работе .
Поэтому тема диссертации является актуальной, а решение поставленных в ней задач представляет безусловный интерес как для специалистов по теории интегрируемых систем и теории представлений, так и для широкого круга физиков-теоретиков, которые, так или иначе используют изложенные результаты в приложениях к квантовой теории поля и теории струн.
1.2 Цели и задачи работы
Целью диссертации является изучение связей между точно решаемыми системами и теорией групп, их представлений и геометрией пространств модулей монополей. С одной стороны, в работе изучаются соответствующие математические структуры . С другой стороны, изучение таких структур позволяет получить информацию о свойствах самих точнорешаемых уравнений. Например, изучение интегральных представлений волновых функций цепочки Тода в разделенных переменных групповыми методами, приводит к обобщению метода Гельфанда - Цейтлина на случай бесконечномерных представлений основной серии. Правильная переформулировка постановки классической задачи приводит с одной стороны к объяснению глубокой групповой природы одного из наиболее мощных методов теории точно решаемых систем - метода разделения переменных , а с другой стороны позволяет построить новый класс бесконечномерных представлений Янгианов и квантовых аффинных алгебр отвечающих любой полупростой алгебре Ли. В тоже время, исследование структуры построенных представлений раскрывает связь между интегрируемыми системами и теорией монополей.
Все это указывает на высокую эффективность применения современной теории точно решаемых квантовых систем для выявления новых математических структур в теории представлений, геометрии и теории чисел. Обратное влияние на точнорешаемые модели также весьма существенно.
1.3 Основные результаты , выносимые на защиту
1. Используя методы геометрии комплексных торов, описан общий класс твистован- ных граничных условий и самодуальных связностей постоянной кривизны, обобщающий решения с дробным топологическим зарядом, введенных т'Хоофтом (тороны). Введены торонные поля на решетке, являющиеся решениями решеточных уравнений самодуальности.
2. Построены и классифицированы минимумы действия в твистованной теории Егучи-Каваи.
-
Построена алгебраическая теория нелокальных итегрируемых уравнений на прямой, являщихся интегрируемыми деформациями обобщенных уравнений KdV, MKdV и двумеризованной цепочки Тода. Показано, что эффекты некоммутативной геометрии отвечают за появление нелокальных дисперсий. Построенные системы являются новыми интегрируемыми иерархиями.
-
Построена алгебраическая теория нелокальных интегрируемых уравнений на окружности, являщихся интегрируемыми деформациями обобщенных уравнений KdV, MKdV и двумеризованной цепочки Тода. Построенные системы являются новыми интегрируемыми иерархиями.
-
Введен новый класс бесконечномерных алгебр Ли серий А, В, С, D, обобщающих т.н. Sin- алгебру Ферли. Построенные алгебры Ли являются деформацией алгебр Каца-Муди и тесно связаны с нелокальными интегрируемыми уравнениями, описанными в пунктах 3-4 . Построено представление вершинными операторами этих алгебр Ли.
-
Установлена связь квантового метода разделения переменных и теории представлений.
-
Предложен новый, теоретико групповой метод построения интегральных представлений для волновых функций в разделенных переменных, основанный на обобщении метода Гельфанда-Цейтлина на случай представлений основной серии и построения матричных элементов в построенной реализации.
-
Получено обобщение метода Гельфанда-Цейтлина, являющегося основным техническим средством для описания этой связи: данные рассеяния в QISM предстают параметрами Гельфанда-Цейтлина в представлениях основной серии.
-
Построены новые, факторизованные, интегральные представления для волновых функций цепочки Тода и модели Сазерленда.
-
Построен новый класс бесконечномерных представлений Янгиана для любой полупростой алгебры Ли. Описана Пуассонова геометрия, ассоциированная с построенным классом представлений. В частности, показано, что соответствующие симплекти-ческие листы изоморфны пространству модулей G-монополей.
-
Показано, что пространство модулей G-монополей играет роль пространства универсальных данных рассеяния и что построенный класс бесконечномерных представлений Янгиана является квантованием пространства модулей G-монополей. Как следствие, эта конструкция устанавливает явную связь теории интегрируемых систем с теорией G-монополей, что решает известную проблему Атьи-Хитчина.
-
Аналогичный результат получен для пространства модулей периодических G-монополей. Точнее, построен новый класс бесконечномерных представлений квантовых алгебр Каца-Муди для любой полупростой алгебры Ли являющийся квантованием пространства модулей периодических G-монополей.
-
Построен новый класс бесконечномерных представлений квантовых групп Uq(g) для произвольной полупростой алгебры Ли д.
1.4 Научная новизна и практическая значимость результатов
Все представленные на защиту результаты являются оригинальными разработками автора диссертации и новыми на момент их публикации. Результаты опубликованы в ведущих российских и зарубежных журналах, докладывались на международных конференциях и представлены в их публикациях; они широко известны в научном сообществе и цитируются в работах других авторов в близких областях теоретической и математической физики. Результаты, лежащие в основе диссертации, были опубликованы в 1983-2005 годах в работах [1-18].
1.5 Апробация диссертации
Результаты, полученные в диссертации, неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах ИТЭФ, ФИАН, МИАН, ПОМИ и ИТФ им. Л.Д.Ландау. Результаты диссертации были также представлены автором на научных семинарах в Математическом Институте Макса Планка (Германия), РИМС, Киото (Япония), Институте высших научных исследований (Бюр-сюр-Иветт, Франция). Результаты были представлены на многочисленных международных конференциях по различным областям теоретической и математической физики, в частности на конференциях:
Фаро (21-25.07.03)Португалия; Твенти (15-17.12.03) Голандия; Карлштад (5-10.07. 2004) Швеция; Дубна (24-28. 01.2005) Россия; Санкт Петербург, (27.06-3.07. 2005) Россия; Лидс (16-17.12.2005) Англия.
1.6 Публикации
По материалам исследований, представленных в диссертации, опубликовано 18 работ, из них 15 в журналах из Списка ВАК.
1.7 Структура и объем диссертации
