Содержание к диссертации
Введение
2 Квантование систем со связями второго рода 13
2.1 Квантование систем со связями 14
2.2 Метод абелевой конверсии 21
2.3 Квантование со скобками Дирака 25
2.4 Метод тонкого слоя в коразмерности 1 35
2.5 Квантование по методу редукции 41
2.6 Квантование методом тонкого слоя в старших коразмерностях 43
3 Соотношения неопределенностей в искривленных про странствах 51
3.1 Постановка проблемы, одномерный случай 52
3.2 Дополнительный анализ в случае окружности 55
3.3 Соотношения неопределенностей на сфере 58
3.4 Соотношения неопределенностей на произвольных много образиях 63
4 Динамика бозонных струн и бран 71
4.1 Динамика релятивистской частицы 72
4.2 Динамика струн и бран 76
4.3 Дискретизация струн и бран 86
5 Заключение 93
Литература
- Метод абелевой конверсии
- Квантование по методу редукции
- Дополнительный анализ в случае окружности
- Динамика струн и бран
Введение к работе
1. Постановка и актуальность проблемы. Диссертация посвящена изучению механических систем со связями. Это важнейший класс теорий [1. 2, 3|, включающий в себя все современные теории взаимодействий элементарных частиц [4, 5], теорию гравитации J6J, теории струн [7, 8] и брап [9]. Между тем, остаются крайне слабо изученными многие вопросы, лежащие в основах квантовой теории систем со связями. Одним из ярких примеров является квантование систем со связями второго рода, для которого существует много неэквивалентных рецептов, и продолжают появляться новые предложения [10, llj. В диссертации рассматриваются те рецепты, которые не связаны с использованием континуального интеграла: квантование со скобками Дирака [1, 12], метод абелевой конверсии связей (13,14], метод тонкого слоя [15,16]. метод редукции [17,18]. До сих пор свойства этих методов и их взаимные связи были очень пло-
/
хо изучены; в частности, оставалась незамеченной важная неоднозначность метода Дирака (квантования систем со связями второго рода) [20]. Некоторые из имеющихся проблем решены в диссертации. В случае свободного движения по поверхности коразмерности 1, рассматриваемого как система с двумя связями второго рода [19], дано геометрически естественное доопределение метода Дирака [20], предложена модификация метода Дирака [20], исключающая влияние внешней геометрии связи в конфигурационном пространстве на квантовую динамику, доказана эквивалентность [21] метода топкого слоя методу редукции. В случае старших размерностей и коразмерностей в диссертации с геометрической точки зрения рассмотрена известная проблема некорректности [22] метода тонкого слоя, и показано ее отсутствие [21] для метода редукции.
После квантования (вне зависимости от примененной схемы) определенные трудности доставляет тот факт, что конфигурационное пространство многих систем со связями является компактным. В частности, уже давно известна проблема соотношения неопределенностей координата-импульс на окружности [23, 24] и любом другом компактном многообразии. А на сфере операторы импульса в сферических координатах и вовсе оказываются несамосопряжепными. Решение первой проблемы в случае окружности также известно [25]. в то время как на сфере можно использовать генераторы группы вращений, оказывающиеся самосопряженными, или другие подходящие операторы, или особым образом определенные меры неопределенности [26]. Полной ясности здесь достигнуто
не было, хотя поставленные вопросы являются фундаментальными для квантовой механики в искривленных пространствах, и им посвящена обширная литература [23, 24, 27, 28, 25, 29). В третьей главе соотношения неопределенностей для координат и канонически сопряженных им импульсов изучены детально для свободного движения частицы на широком классе многообразий |30]; особое внимание уделено топологическим вопросам.
Наконец, интересной особенностью обладают теории релятивистских частиц, струн и бран (с обобщенным действием Намбу-Гото) [31, 32, 9]. При переходе от Лагранжева формализма к Гамкльтонову в этих теориях нельзя полностью исключить скорости из выражения для обобщенного Гамильтониана, если не фиксировать "стрелу времени" на мировом листе браны (струны, частицы) [33, 34]. В диссертации подробно освещен данный вопрос [34, 35], и, кроме того, получено дискретное представление [35] действия Намбу-Гото любой размерности в виде совокупности релятивистских частиц с естественным образом модифицированным действием.
2. Основной целью работы является изучение особенностей динамики систем со связями: исследование свойств различных процедур квантования систем со связями второго рода; решение проблемы соотношения неопределенностей координата-импульс в искривленных пространствах, включая возможность определения соответствующих самосопряженных операторов; изучение динамики бозоиных струн и бран как
механических систем со связями.
3. Научная новизна. В диссертации впервые обнаружена [20] зависимость метода квантования со скобками Дирака от выбора, функции, определяющей поверхность связи, что делает его абсолютно не геометрическим; предложено естественное с геометрической точки зрения доопределение метода, в рамках которого вычислен квантовый потенциал для произвольной поверхности коразмерности 1 в Евклидовом пространстве; а также дана модификация метода, использующая несамосопряженные импульсы и приводящая к нулевому квантовому потенциалу [20]. Квантования методом тонкого слоя и методом редукции рассмотрены в максимально общей постановке, доказана и объяснена, их эквивалентность для движения по произвольной поверхности коразмерности 1 [21]. Ранее было известно, что они совпадают в простейших случаях [17]. Также в диссертации показано, что метод редукции, в отличие от метода тонкого слоя, хорошо работает я в случае старших коразмерностей [21].
В Главе 3 проблема соотношений неопределенностей решена для стандартных операторов координаты и импульса во всех случаях, когда их можно определить как самосопряженные операторы [30]. Раньше в такой постановке задача была решена лишь для одномерного многообразия [25]; кроме того, предлагалось использование других, операторов в качестве наблюдаемых (например, coscp и sin^ вместо координаты ср на окружности [24]). Для случая сфер в диссертации предложена новая система координат, имеющая только одну особую точку и обладающая,
в отличии от сферических координат, самосопряженными операторами импульсов.
В Главе 4 рассмотрена динамика бозоиных струн и бран [34, 35J с более подробным анализом связей, чем имеющийся в литературе. Одну из связей (в случае струн р -\-у2х' — 0) получают возведением в квадрат. В диссертации показано, что без связанной с этим потери информации о знаке невозможно полностью исключить скорости из выражений для связей, и предложено построение оператора эволюции струн и бран с учетом этого факта [34, 35].
Наконец, в диссертации доказано, что действие Намбу-Гото для браны любой размерности является непрерывным пределом сумм модифицированных действий релятивистских частиц, расположенных в узлах решетки, определяющей поверхность браны в данный момент времени [35]. Модификация действия релятивистской частицы состоит в замене квадрата скорости квадратом составляющей скорости, перпендикулярной поверхности браны. Ранее этот факт был известен только для струн |7j и не слишком часто упоминался в литературе. Кроме того, в диссертации проанализирован переход от дискретного действия к непрерывному пределу, отмечается его нетривиальность, предложена соответствующая корректировка допредельного выражения.
4. Практическая значимость работы. Результаты диссертации могут быть использованы при квантовании любых систем со связями второго рода, так как свойства соответствующих процедур исследова-
ны с достаточной общностью и детальностью [20. 21J. В качестве примеров подобного рода систем можно указать нелинейные сигма-модели [36, 37], всевозможные цепочки связанных осцилляторов [38], задачи на-ноэлектроники [39, 40, 41]: квантование в искривленных пространствах в рамках подхода, рассматривающего общую теорию относительности на многообразиях, вложенных в плоское пространство [42, 43], и многое другое.
Новая система координат на сфере [30j может оказаться полезной в работах по квантовой механике на сфере, поскольку обладает самосопряженными операторами импульсов. А результаты, касающиеся соотношений неопределенностей [30]. позволяют избежать недоумения и возможных ошибок, связанных с необычными свойствами этих соотношений на искривленных многообразиях. Кроме того, обращает на себя внимание доказанная в [30] топологическая инвариантность соотношений неопределенностей [44].
Наконец, можно надеяться на прогресс в понимании динамики бо-зонпых бран при использовании полученного в [34] оператора эволюции и дискретного представления действия Намбу-Гото [35]. Дискретное представление также может быть полезно для программы установления связей между динамикой струн и частиц на основе анализа пространственно-временных симметрии [45, 46]
5. Краткое содержание диссертации. Предметом второй главы является квантование систем со связями второго рода методами, не
связанными с континуальным интегрированием. После общего обзора и указания на трудности метода абелевой конверсии, подробно изучается квантование методом скобок Дирака, дана явная операторная реализация известного результата квантования движения свободной частицы по поверхности сферы. При обобщении на произвольные поверхности коразмерности 1 обнаружена неоднозначность метода Дирака: квантовый потенциал зависит от конкретного аналитического задания поверхности связи в конфигурационном пространстве (на самом деле, это верно и для сфер). Предложено доопределение рецепта Дирака и вычислен квантовый потенциал в рамках уточненного метода. Смысл доопределения в том, что "поверхности уровня" функции, задающей связь, f(x) — const, параллельны друг другу. Тем самым локально пространство расслаивается в ортогональную сумму физического многообразия и пефизичееких смещений.
Также в Главе 2 предложена модификация метода Дирака, имеющая дело с несамосопряженными импульсами, но приводящая к теории с нулевым квантовым потенциалом, теории, "чувствующей" лишь внутреннюю, но не внешнюю, геометрию физического многообразия. В такой теории нефизические переменные остаются воистину нефизическими даже на квантовом уровне, они вообще не влияют на физическую динамику.
Метод тонкого слоя и метод редукции исследованы в максимальной общности, без ограничений на размерность физического многообразия и
объемлющего пространства. Показана эквивалентность этих методов в случае коразмерности 1. Впрочем, причина здесь проста. В методе тонкого слоя поперечное движение ограничено бесконечно малым отрезком, и заполняет последний одной полуволной. Эквивалентность методу редукции, по сути дела, сводится к тому факту, что ровно посередине между двумя узлами лежит пучность; действие оператора поперечного импульса обращает в этой точке волновую функцию в ноль. Наконец, в параграфе 2.6 методом редукции прокнантовано свободное движение по поверхности произвольной размерности и коразмерности.
Далее (в Главе 3) рассмотрена интригующая проблема соотношения неопределенностей координата-импульс на окружности и других компактных многообразиях. Кажущееся противоречие между коммутационным соотношением [фіРір] = йи тем фактом, что для некоторых состояний А(р Др^ 0, разрешается при внимательном анализе областей определения операторов. В диссертации этот вопрос изучается в самой общей постановке. Подробно рассмотрен случай сферы, для которой предложена новая система координат с одной особой точкой и самосопряженными импульсами. Обсуждается использование как координат с ограниченными значениями, так и координат в стереографической проекции, стремящихся к бесконечности при приближении к "северному полюсу" сферы.
В Главе 4 проанализированы некоторые тонкости теории релятивистских точечных частиц, бозонных струн и бран. Параграф 4.1 посвящен
изложению теории точечных частиц. В параграфе 4.2 выписаны связи и построены операторы эволюции для струп и бран в виде формальных континуальных интегралов. В параграфе 4.3 обнаружено, что действие Намбу-Гото браны любой размерности может быть представлено как непрерывный предел суммы действий точечных релятивистских частиц, в которых фигурирует только перпендикулярная к поверхности браны составляющая скорости. Ключевым моментом является пропорциональность канонического импульса браны перпендикулярной составляющей скорости. Примечательный, хотя и не слишком удивительный факт!
Метод абелевой конверсии
Другие методы квантования систем со связями второго рода. В рамках метода абелевой конверсии [13, 14] вводится новая пара (если имеется всего две связи второго рода) канонически сопряженных переменных Q, К и связи первого рода ті, и :. {сті, } = 0; такие что оі — фі, 72 — 02, если Q = 0 п К 0. В нашем случае это будет i = f ix) + и Т2— п -p+Q. где п — - г- вектор единичной lv/1 нормали к поверхности первой связи (мы слегка переопределили вторую связь по сравнению с предыдущим пунктом). Следующий шаг заключается в нахождении нового Гамильтониана #Si такого что Hs = Н при Q, К = 0 и {Hs, сгі} = {Hs, J2} — 0- Физический сектор определяется условием о-! — (72 = 0. Для движения по поверхности сферы в [54, 19] получен Гамильтониан с нулевым квантовым потенциалом, на основании чего авторы этих работ предпочли абелеву конверсию другим методам квантования. Однако, как мы увидим в следующем параграфе, этот результат в общем случае не справедлив.
Совершенно иной подход к проблеме был предложен в работах 15, 16]. Представленный в них метод топкого слоя описывает движение частицы по поверхности, обусловленное удерживающим потенциалом, не дающим частице покинуть рассматриваемую поверхность. Бесконечная энергия поперечного движения в этом потенциальном поле вычитается после переопределения волновой функции., позволяющего разделить продольное и поперечное движения, что приводит, в частности, к отрицательному квантовому потенциалу для движения по окружности. Заметим также, что существует эквивалентный (в коразмерности 1) методу тонкого слоя метод редукции, который будет обсуждаться в параграфе 2.5.
Всякую ли Гамильтонову систему со связями второго рода можно представить в виде движения по поверхности в Евклидовом пространстве? Есть теорема [55], утверждающая, что для любого набора канонических переменных со связями втрого рода, существует каноническое преобразование, локально превращающее связи в равенство нулю пар канонических переменных. Ясно, что такие связи будут локально похожи именно на движение по поверхности. Между тем, глобально фазовое пространство свободного движения по поверхности всегда имеет топологию касательного расслоения. Но известно [56], что существуют Гамильтоновы системы на многообразиях с иной топологией, например, на двумерной сфере.
В первую очередь рассмотрим метод абелевой конверсии. Во-первых, он с самого начала выглядит произвольным рецептом без ясного физического или геометрического смысла. Можно расширить фазовое пространство бесчисленным количеством способов, и условие абелевости ничем, кроме кажущейся простоты задачи, не выделено. К тому же, применение данного метода в общем случае встречается с принципиальными трудностями [20]. В самом деле, результат для движения на сфере из [54, 19] можно представить как Н$ = Hs(ci, Т2, YlixiPk хкРі)2)-, и легко видеть,
Это позволяет получить разумный результат, поскольку а\ = {YlniPi)2i если Q = 0. В общем случае, произвольной поверхности коразмерности 1 будем искать гамильтониан lis в виде Функцию д(х) можно найти, исходя из следующих соотношений: і і,к Первое уравнение выполнено тождественно, а из второго получаем Y;PiPk{nAg{x)($ik - ПІЩ) - 2д{х)(діпк)) = 0.
Ненулевое решение существует тогда и только тогда, когда д(п бік — ЩЩ,- Это верно для сфер, но не для произвольных поверхностей. Следовательно, результат работы [54] не может быть обобщен напрямую. Более того, покажем, что этим способом, вообще говоря, нельзя получить квадратичный по импульсам Pi физический Гамильтониан. Будем искать его в виде
Квантование по методу редукции
До сих пор мы следовали скорее подходу [15], чем [16]. Впрочем, отличие пе очень важно. Вместо бесконечных барьеров можно использовать подходящий удерживающий потенциал. При этом по радиальной переменной вместо cos получим волновые функции нижнего энергетического уровня для потенциала УСол,/(у) и вычтем другую бесконечную энергию. В Гамильтониане (2.29) содержится квантовый потенциал
Следует отметить, что в работе [15] приведена эта формула (в терминах радиусов кривизны вместо кривизн). И хотя вывод ее представлен в частном случае двумерной поверхности в трехмерном Евклидовом пространстве, сказано, что она справедлива в любых размерностях. На самом деле, это утверждение требует уточнения [21]: оно верно лишь в случае единичной коразмерности, так как в противном случае даже само понятие главных кривизн не определено (см. также параграф 2.6). Для двумерной поверхности в М3 полунаем результат да Косты [16]: Vq = -f (fcj - k2f. В случае сфер ka = ±vVq = .
Физически рассмотренное квантование может описывать пизкораз-мерные движения в яапоэлектронике в предположении, что удерживающий потенциал создает слой постоянной эффективной толщины. При обсуждении возможных экспериментов следует учитывать, что вычитаемая энергия, хоть на самом деле и не бесконечна, но намного пре восходит характерные кинетические энергии упорядоченного движения электронов проводимости, движущихся со скоростями порядка нескольких сантиметров в секунду. Однако, этого нельзя сказать про характерную тепловую энергию электронов при комнатной температуре, поэтому необходим криогенный эксперимент. В противном случае метод тонкого слоя просто не будет работать в результате возбуждения более высоких уровней поперечного движения. Ситуация упрощается благодаря тому факту, что для потенциалов, зависящих лишь от расстояния до поверхности, добавочная энергия одна н та же во всех точках поверхности. Для более сложных потенциалов результаты могут быть иными.
О методе Энчинозы. Энчиноза в [10] предложил новый метод получения нулевого квантового потенциала на основе метода тонкого слоя. Исходным пунктом является Гамильтониан в обсуждавшихся выше криволинейных координатах Zi, ff=U ] - h + рЦ I и замена р.\ — Pi —iUg dig1 . после которой применяется метод топкого слоя. В наших обозначениях получаем
Автор работы [10J интерпретирует этот результат как нулевой квантовый потенциал. Признавая полученные в [10] результаты представляющими определенный интерес, укажем на принципиальные трудности такого подхода.
Квантование в криволинейных координатах приводит к различным результатам в зависимости от выбора системы координат . Поэтому считается, что стандартная процедура квантования должна применяться только в Декартовых координатах. Кроме того, надо иметь ввиду, что в произвольных координатах стандартные операторы импульса часто оказываются симметрическими, но не самосопряженными.
Дополнительный анализ в случае окружности
Рассмотрим стереографическую проекцию окружности на прямую линию с точкой касания в начале координат к р Є [ тг,7г): ж = 2R tg . Таким образом, в данном параграфе мы используем интервал углов [ 7г,7г) вместо [0,27г). Такое преобразование меняет дисперсии [23], но, как легко видеть, оставляет соотношение (3.2) неизменным.
Начнем с обобщения стереографической проекции: х - х = — tg (симметричность этого оператора проверяется прямым вычислением). Область изменения координаты х такова: [— tg (Jj-, tg у). Если а ч 0, получаем х ч Rjpnpx Ч щ-щ, то есть воспроизводится обычная квантовая механика на окружности с угловой переменной ip и соотношением неопределенностей (3.2). Если к iR 2 дір 2 следовательно, для х ЇЇ р% верно стандартное соотношение неопределенностей (3.1) Что можно сказать в случае произвольного а? Простое вычисление правой части (3.3) приводит к где учтены периодичность Ф(— 7г) = Ф(тг) и условие нормировки (ФФ) — 1. Для любого а 1 соотношение неопределенностей принимает вид (3.2): Ах Арх 0 (равенство достигается на функциях с Ф(7г) = 2si Q7r). Но при а = 1 имеем стандартное соотношение неопределенностей Гєйзєнберга (3.1), поскольку sin. Это происходит потому, что создающая проблему точка р = —тт удлалена на бесконечность, и дисперсия х может достигать бесконечности. Для одной точки ip — — 7г нет отвечающего ей значения х. Выкалывание этой точки эквивалентно изменению топологии многообразия, а с ней — и соотношения неопределенностей; впрочем, для исследования свойств гладких функций такая система координат вполне пригодна, ибо речь идет только об одной точке.
Обсудим области определения рассматриваемых операторов. Если а 1, все функции определены на конечном промежутке. Если потребовать равенства нулю функций на концах области определения, то оператор импульса будет симметрическим, но не самосопряженным. Он имеет совпадающие (равные единице) индексы дефекта [69] и допускает континуум различных самосопряженных расширений (Ф(—тг) = сФ(тг), где с = 1); мы воспользовались одним из них, Ф(—7г) = Ф(тг). кото-рос является естественным при рассмотрении движения на окружности и обеспечивает конечность энергии.
В пределе а = 1 оператор р% самосопряжен, но допускает состояния с бесконечной энергией (с разрывом при ip = ±тг). Впрочем, это может привести лишь к дополпительным нефизическим состояниям; для которых справедливы соотношения неопределенностей. Важнее, что х при а = 1 не определен на некоторых физических состояниях (таких, что j \Я ((р)\ tg2 dip = со). Это не приводит к серьезным проблемам, поскольку 1) матричный элемент (3.5) корректно определен для всех физических состояний и гладко от них зависит; 2) в метрике L2 любая функция Ф( ) является пределом функций ФШ( )Р) = Ф((/з)ш(( ), І ДЄ ш( ) равна, единице везде, кроме малой окрестности точки ip = ±тг, и стремится к пулю достаточно быстро при приближении к этой точке; 3) дисперсия импульса в состояниях ФШ) стремится к дисперсии в состоянии Ф) при ш{(р) - 1 благодаря множителю cos в определении f ±. Тем не менее, проблема, существует, поэтому для компактных многообразий предпочтительны координаты с конечной областью изменения.
Последние могут быть получены из (3.3), поскольку коммутаторы корректно определены на плотном подмножестве физических волновых функций.
Квантовая механика па плоскости отличается тем, что элемент площади dS = dx,\dx2 не содержит множителя, стремящегося к нулю на координатной бесконечности, что, конечно, очень важно для Гильбертова пространства волновых функций. Сферическая бесконечность (северный полюс) — обычная точка, в которой волновая функция может принимать любое значение, в то время как на плоской бесконечности волновая функция должна достаточно быстро убывать. Интересно также отметить, что сферические координаты на сфере связаны с полярными координатами в плоскости стереографической проекции, R которых существует аналогичная проблема: оператор радиального импульса несамосопряжен по вине внеинтегралы-юго слагаемого в начале координат.
Динамика струн и бран
Гамильтониан равен нулю, а полный Гамильтониан Нт = v fa + Epsign{xQ)) , где v — множитель Лагранжа. Строго говоря, соотношение (4.4) не является связью, поскольку содержит скорость (и Нт -- не Гамильтониан по той же самой причине). Но оно зависит только от знака х, и это позволяет построить квантовую теорию. При фиксированном знаке х связь (4.4) не зависит от скоростей. Зависимость проявляется лишь при такой репараметризации, которая меняет "стрелу внутреннего времени" на мировой линии. Интересно также отметить, что если взять производную от полученной связи по скорости, то всюду, где производная существует в классическом смысле, она равна нулю. Зависимость от скорости появляется только в точках нарушения гладкости. Данный факт требует внимательного отношения к таким точкам.
Гамильтониан теории Н = ро + .Ер sign ж0 равен нулю, и снова требуя sign х 0. получаем полный Гамильтониан Яу = и{ро + Ер) + vpflx,fi. В теории есть два нефизических импульса, поэтому исключим ро и р\ из Ер (оставшиеся компоненты обозначим жирным шрифтом): pli = (роїРі, р))-Импульс pi определяется из (4.9), если х[ ф 0. Далее можно подставить р\ в (4.10) и получить квадратное уравнение нард:
Если \х \х , оно имеет два корня противоположного знака, из которых мы выбираем один в соответствии с (4.11). В противном случае надо исключить другую компоненту рр_ из Ер (при этом всегда возможно добиться выполнения требуемого неравенства, поскольку х простраіь ствєиноподобен: \х \ \х ). В частном случае x Q — 0 ответ выглядит особенно просто: Теперь запишем уравнение развития во времени: Dx и Dp обозначают интегрирование по функциональным пространствам (континуальный интеграл). Множители Лагранжа определяются di-функциями: OJV = -іг- иш = Дж — х „.,ж , приводя к окончательному X -і J." I ответу При ж = G из неравенства (4.5) следует и 0.
Оператор развития для браны. Обратимся к общему случаю действия Намбу-Гото (4.1). Обозначим частные производные х по ffo,сі,... ,ат посредством х ,х ,... ,xfTn. Пусть вектор X Q будет вре-мениподобыым, а вектора х — пространственной од об ными (i,k,l =
Покажем, как вывод формулы (4.12) можно осуществить на уровне элементарных свойств определителей. Такой подход оказывается довольно громоздким, зато находится в рамках самых основ линейной алгебры и позволяет почувствовать интуитивно Дискретизация струны. Известно, что бозонную струну можно представить в виде упорядоченной совокупности релятивистских частиц [7, в Лагранжианах которых квадрат скорости заменен на квадрат компоненты скорости, перпендикулярной линии струны в данный момент времени. В следующем пункте будет показано, что аналогичное утверждение верно для брам любой размерности. После этого неудивительно, что построение оператора развития для точечных частиц удается напрямую обобщить на случай струн и браи.
Нашмним для начала, что в случае струны мы имеем х = жо(1, ), х — (х[), к + vx$), где v = 4%, и действие (v±_ — компонента скоро сти, перпендикулярная струне)
Как видим, в действие вошли только поперечные компоненты скорости. Продольные смещения частиц условием экстремальности действия не определяются; и можно, например, варьировать только в классе чисто поперечных движений. Это является отражением того простого факта, что продольные перемещения составляющих струпу частиц не приводят к изменению ее конфигурации, и следовательно, физически ненаблюдае-мы, если предельный переход выполняется так, чтобы константа -у оставалась постоянной во всех точках струны, см., впрочем, третий пункт параграфа, в котором выяснится, что последнее замечание крайне важно и требует корректировки выражения (4.15).
