Квантование динамических систем со связями Баталин Игорь Анатольевич

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I. Операторного описания квантовых динамических систем со связями первого рода

I. Операторы и символы 45

2. Полный набор операторов релятивистского фазового пространства .49

3. Генерация операторной калибровочной алгебры .55

4. Унитаризующий гамильтониан 90

5. Операторная динамика 98

6. Производящий функционал. Интеграл по путям 102

7. Замыкание и абелизация базиса операторной калибровочной алгебры 114

8. Заключительные замечания к I главе 134

ГЛАВА II. Описания квантовых динамических систем с общей калибровочной алгеброй

I. Некоторые вводные замечания 137

2. Расширенное конфигурационное пространство 140

3. Основная гипотеза конфигурационного описания .144

4. Генерация лагранжевой калибровочной алгебры. 152

5. Генерация конфигурационной меры 167

6. Структура допустимого калибровочного фермиона. Более явная форма эффективного действия 176

7. Антиканоническая эквивалентность в конфигурационном описании. Замыкание и абелизация базиса калибровочной алгебры 182

8. Решение мастер-уравнения, как калибровочная сверх-теория с нильпотентными генераторами 195

9. Заключительные замечания ко П главе 202

Заключение 205

Приложение I .216

• Полный набор операторов релятивистского фазового пространства
• Замыкание и абелизация базиса операторной калибровочной алгебры
• Структура допустимого калибровочного фермиона. Более явная форма эффективного действия
• Решение мастер-уравнения, как калибровочная сверх-теория с нильпотентными генераторами

Введение к работе

Данная диссертация преследует две основные цели:

1. последовательное решение проблемы канонического операторного квантования релятивистских динамических систем со связями первого рода, генерирующими общую (неабелеву, незамкнутую, приводимую) калибровочную алгебру (I глава);

2. параллельное построение ковариантной схемы квантования динамических систем с общей калибровочной алгеброй непосредственно в конфигурационном пространстве (П глава).

Мотивировка. Для современного этапа развития теории элементарных частиц характерно доминирующее положение калибровочных и суперкалибровочных полей, как наиболее реальной основы для объединения всех сил Природы. В этой связи весьма актуальным и важным является дальнейшее исследование и развитие аппарата калибровочной теории поля и прежде всего - нахождение универсальных и эффективных методов квантования.

Каждый шаг в развитии калибровочной теории поля, от электродинамики до супергравитации, требовал модафикации существующих и развития новых методов решения проблемы квантования. Этот процесс объективно обусловлен общими требованиями локальности и релятивизма в сочетании с усложнением структуры динамической эквивалентности, математически воплощенной в свойствах калибровочной алгебры теории.

В максвелловской электродинамике - простейшей калибровочной теории - генераторы градиентных преобразований образуют абелеву (коммутативную) алгебру. В теории Янга - Миллса калибровочные генераторы образуют уже неабелеву алгебру Ли. В эйнштейновской гравитации в лагранжевом формализме мы также имеем неабелеву ал-

- 5 -гебру Ли для калибровочных генераторов, однако в гамильтоновом

формализме калибровочная алгебра гравитационных связей первого рода оказывается открытой (незамкнутой) / 1,2 / вне гиперповерхности связей. Далее, в первоначальной версии Jf = I - супергравитации / 3-5 / мы впервые сталкиваемся с тем, что даже лагран-жева калибровочная алгебра оказывается открытой - лишь на классических экстремалях алгебра суперкалибровочных преобразований замыкается, причем ее структурные коэффициенты зависят от поля. В связи с незамкнутостыо калибровочной алгебры супергравитации был поставлен вопрос о возможности замыкания алгебры с помощью специально вводимых для этой цели вспомогательных полей*'. Вс^Ґ=ІИсАГ=2- супергравитациях были найдены, соответственно в / 6-9 / и / 10-12 /, наборы вспомогательных полей, замыкающих алгебру, однако в высших супергравитациях найти вспомогательные поля до сих пор не удалось и даже более того - возникли серьезные сомнения в их существовании / 18,19 /. Таким образом, коль скоро возможность замыкания калибровочной алгебры вспомогательными полями является в общем случае проблематичной, мы становимся перед необходимостью нахождения систематического метода квантования теорий с открытой калибровочной алгеброй³⁶*'.

^х^ Здесь надо сказать, что возможность замыкания алгебры супергравитации вспомогательными полями тесно связана с существованием естественного геометрического описания в суперпространстве. Применительно kJT= I - супергравитации наиболее простой и экономный способ такого описания предложен в работах / 13--15 /. Применительно к случаю jf=s 2-см./ 16,17 /.

^ш' Здесь нужно сказать, что даже в тех случаях, когда в конечном итоге вспомогательные поля удается ввести, фактически это достигается каждый раз заново угадыванием результата, т.к.

(продолжение сноски см. на след.стр.).

С другой стороны, рассмотрение антисимметричных тензорных полей / 20 / и полей высшего спина / 21 / привело к необходимости работать с линейно-зависимыми (приводимыми) калибровочными генераторами. В этом случае при квантовании оказывается/ию, грубо говоря, госты становятся калибровочными полями, причём нуль-векторы исходных калибровочных генераторов являются генераторами калибровочных преобразований гостов. Это, в свою очередь, приводит к необходимости калибровочных условий для гостов и, следовательно, - к необходимости новых "гостов для гостов" и т.д..

Таким образом, в случае, когда исходные калибровочные генераторы линейно-зависимы, необходимо вместе с ними рассматривать их нуль-векторы, которые также могут быть линейно-зависимы и иметь свои собственные нуль-векторы и т.д., пока мы не придем к финальным нуль-векторам, которые уже линейно-независимы. Эти последовательные нуль-векторы образуют "иерархию приводимости", или - в более традиционной математической терминологии - точную последовательность (образ каждого следующего отображения совпадает с ядром предыдущего).

Естественная длина этой последовательности называется стадией приводимости калибровочной алгебры. Калибровочная алгебра линейно-независимых генераторов рассматривается как алгебра нулевой стадии приводимости. Если генераторы линейно-зависимы, но (все) их нуль-векторы уже линейно-независимы, то мы говорим о калибровочной алгебре первой стадии приводимости и т.д.

Продолжение сноски с пред.стр.

никакого систематического метода здесь нет. В то же время, метод квантования теорий с открытыми алгебрами удается развить систематически и его применение единообразно, как это будет видно из дальнейшего.

Как уже было сказано, на каждой данной стадии приводимости госты предыдущей стадии становятся калибровочными полями и требуют новых калибровочных условий и новых гостов - гостов данной стадии. Кроме того, по соображениям релятивистской ковариантности, калибровочные условия, используемые в приводимых калибровочных теориях, как для исходных динамических переменных, так и для гостов каждой стадии, вплоть до предфинальной, как правило, также выбираются линейно-зависимыми. Вследствие этого, лагранжевы множители к указанным калибровкам также становятся калибровочными полями и требуют новых калибровочных условий для себя, что, в свою очередь, приводит к необходимости так называемых экстрагостов. Таким образом, мы видим, что даже определение полного спектра полей, необходимых для корректной формулировки приводимых калибровочных теорий, является нетривиальной проблемой.

Разумеется, приводимая калибровочная алгебра, вообще говоря, может быть также неабелевой и открытой. В этом наиболее общем случаев исходные генераторы и их последовательные нуль-векторы должны образовывать точную последовательность на экстремалях калибровочного действия (слабые нуль-векторы).

Итак, мы видим, что, по мере обращения к более сложным динамическим системам, калибровочная алгебра приобретает новые качественные свойства: неабелевость, незамкнутость, приводимость. В качественном отношении эти свойства, повидимому, исчерпывают возможности, существующие при разумных ограничениях в локальной релятивистской теории поля.

Здесь необходимо подчеркнуть, что при заданном калибровочном действии, генераторы, как и все высшие структурные функции калибровочной алгебры, определены неоднозначно. Если бы не требования локальности и релятивизма, мы были бы в состоянии (по край-

- 8 -ней мере, в рамках теории возмущений) определить абелевы неприводимые генераторы в любой калибровочной теории, или даже свести калибровочную теорию к некалибровочной. Именно требования локальности и релятивистской ковариантности формализма вынуждают нас работать с неабелевыми, открытыми, приводимыми (,...,?) калибровочными алгебрами.

Проблема операторного квантования. Любое калибровочное или суперкалибровочное поле с точки зрения гамильтонова формализма характеризуется наличием связей первого рода (в терминологии Дирака / 22 /), которые и являются каноническими генераторами калибровочных преобразований теории. Таким образом, естественной общей основой для квантования калибровочных полей должна служить квантовая механика релятивистских динамических систем со связями.

Как правило, квантование динамических систем со связями проводится на основе формального интеграла по путям в фазовом пространстве. В этом подходе были достигнуты значительные успехи и получен ряд важных для калибровочной теории поля результатов. Однако, с точки зрения первопринципов квантовой механики, как алгебраической конструкции, наиболее последовательным является для любой динамической системы операторное квантование.

При каноническом операторном квантовании исходят из некоторого эрмитова гамильтониана и канонических одновременных коммутационных соотношений для операторов динамических переменных. Уравнения Шрёдингера или Гайзенберга задают тогда динамическую эволюцию в соответствующем представлении.

Эти уравнения при широких предположениях могут быть решены стандартным функциональным методом / 23-29 /ив результате мы получим для оператора эволюции или ^ - матрицы замкнутое решение в виде функционального интеграла по путям в фазовом прост-

- 9 -ранстве системы. Эффективное гамильтоново действие, входящее в этот функциональный интеграл, содержит регуляризованный по времени символ оператора гамильтониана.

Регуляризация состоит в том, что канонически-сопряженные импульсы и координаты берутся в несовпадающие моменты времени и только после функционального интегрирования параметр раздвижки по времени устремляется к нулю. При этом выбор способа раздвижки должен быть согласован с выбором нормальной фо^уы^которой соответствует символ гамильтониана. Так, например,J-^Qj- символу соответствует раз движка :p/-J--Lgj,rj \т\ ,С—^~J-Q.

Таким образом, согласованный выбор способа регуляризации и типа символа содержит информацию о порядке некоммутирующих операторных множителей в гамильтониане. Вычисляемый до предельного перехода, снимающего раздвижку, функциональный интеграл по путям не зависит от выбора конечнократной аппроксимации.

Если непосредственно в эффективном действии (т.е. до функционального интегрирования по путям) снять регуляризацию по времени, а символ оператора гамильтониана заменить его классическим пределом, тогда получим так называемый формальный интеграл по путям, соответствующий "каноническому квантованию с помощью фазового интеграла Фейнмана". При таком "квантовании" эффективное действие в интеграле по путям просто совпадает с классическим гамильтоновым действием. Формальный интеграл по путям, вообще говоря, зависит от выбора конечнократной аппроксимации / 27,26 /.

Для динамических систем без связей обычно не возникает никаких проблем совместности при наложении канонических коммутационных соотношений на операторы фазовых переменных. Однако, совершенно другая ситуация имеет место для систем со связями. Наиболее резко это проявляется для динамических систем со связями вто-

рого рода. В этом случае канонические коммутационные соотношения заведомо несовместны с операторными уравнениями связей.

»

Наглядно это можно пояснить следующим образом. Канонические коммутационные соотношения имеют следствием стандартный принцип неопределенности. Поэтому, полная редукция динамики системы на гиперповерхность связей приведет к возникновению бесконечных квантовых флуктуации в направлениях, нормальных к гиперповерхности. Эти нормальные флуктуации неизбежно выведут систему с гиперповерхности связей.

Чтобы полностью подавить нормальные флуктуации, следовало бы сделать одновременные коммутационные соотношения точно совместными с операторными уравнениями связей. При этом, выражения для одновременных коммутаторов операторов фазовых переменных должны самосогласованным образом удовлетворять соотношениям, выражающим общие алгебраические свойства коммутатора, а в линейном по квантовой постоянной приближении они должны совпадать с соответствующими скобками Дирака. К сожалению, в настоящее время корректное решение этой операторной проблемы для связей второго рода пока не найдено, за исключением тривиальных случаев. Поэтому при квантовании систем со связями второго рода пока приходится ограничиваться рассмотрением на уровне формального интеграла по путям.

Что касается динамических систем со связями первого рода, то здесь дело обстоит следующим образом. Как уже было сказано выше, связи первого рода генерируют калибровочные преобразования, оставляющие инвариантным классическое действие. Чтобы устранить калибровочное вырождение действия, необходимо наложить калибровочные условия. Существуют два кардинально различных класса допустимых калибровочных условий.

Так называемые унитарные калибровки вместе со связями пер-

- II -

вого рода образуют эффективные связи второго рода так, что в этих калибровках канонические коммутационные соотношения заведомо ведут к противоречиям. Унитарные калибровки релятивистски некова-риантны. Типичным примером унитарной калибровки является кулонов-ская калибровка.

Другой класс допустимых калибровочных условий образуют так называемые релятивистские калибровки. Стандартная форма релятивистского калибровочного условия требует,чтобы производная по времени от лагранжевых множителей к связям первого рода равнялась некоторой функции динамических переменных (но не их временных производных), взятых в тот же момент времени. Такая форма вполне естественна, если принять во внимание, что лагранжевы множители к связям первого рода являются временными компонентами релятивистских полей. Типичным примером релятивистской калибровки является лоренцевская калибровка.

Принципиальное значение имеет то обстоятельство, что в релятивистских калибровках отсутствует редукция динамических переменных на какую-либо гиперповерхность в фазовом пространстве. Лагранжевы множители к релятивистским калибровкам и к связям первого рода входят в кинетическую часть гамильтонова действия как дополнительные пары канонически-сопряженных переменных и в этом смысле становятся динамически активными. Для всех переменных, включая лагранжевы множители к калибровкам и к связям, экстремум действия даёт в этом случае канонические уравнения движения. Таким образом, динамическая система со связями первого рода может формально рассматриваться в релятивистских калибровках как эффективная динамическая система без связей, но в расширенном фазовом пространстве, включающем, наряду с исходными каноническими переменными, также канонически-сопряженные пары лагран-

- 12 -жевых множителей.

Отсюда следует, что именно в релятивистских калибровках мы можем, при квантовании динамических систем со связями первого рода, без каких-бы то ни было противоречий наложить канонические одновременные коммутационные соотношения на операторы канонически-сопряженных переменных распгаренного фазового пространства. Тем самым открывается принципиальная возможность канонического операторного квантования релятивистских динамических систем со связями первого рода, которое сводится теперь к решению проблемы построения оператора унитаризующего гамильтониана. Ключевым моментом в решении этой проблемы является установление универсальной связи между общей структурой унитаризующего гамильтониана и процессом генерации калибровочной алгебры.

На классическом уровне структура унитаризующего гамильтониана определена в работах / 1,30-32 /, где в терминах суперскобок Пуассона установлена универсальная формула, связывающая унитари-зующий гамильтониан с тремя основными объектами теории: фермион-ной и бозонной производящими функциями калибровочной алгебры и фермионной производящей функцией калибровок, или калибровочным фермионом.

Производящие функции калибровочной алгебры зависят от канонических переменных, образующих так называемый минимальный сектор. Последний включает исходные канонические переменные, а также канонические переменные, образующие алгебраический сектор гостов. Алгебраический сектор формируется из расчета: на каждую связь первого рода приходится гостовская каноническая пара противоположной (по отношению к связи) статистики.

Если исходные связи первого рода линейно-независимы (неприводимый случай), то только они и принимают участие в игре; в этом

- ІЗ -случае алгебраический сектор содержит только гостовские канонические пары нулевой стадии.

Если исходные связи первого рода линейно-зависимы (приводимый случай) и их последовательные слабые нуль-векторы образуют точную последовательность на гиперповерхности связей, тогда на каждой данной стадии приводимости госты предыдущей стадии становятся калибровочными полями. Это значит, что последовательно возникают новые связи первого рода, накладываемые на госты предыдущей стадии и образуемые с помощью нуль-векторов данной стадии. Каждой из этих новых связей первого рода также соответствует гос-товская каноническая пара противоположной (по отношению к связи) статистики в алгебраическом секторе. Таким образом, новые канонические госты возникают на каждой данной стадии приводимости.

В терминах суперскобок Пуассона в минимальном секторе канонических переменных формулируются производящие уравнения для фермионной и бозонной производящих функций калибровочной алгебры. Решение этих уравнений ищется в виде рядов по степеням гостов. Низшие члены в разложении фермионной производящей функции содержат исходные связи первого рода и их последовательные слабые нуль-векторы. Низший член (нулевой степени по гостам) в разложении бозонной производящей функции отождествляется с исходным гамильтонианом системы.

В низшем порядке по гостам нулевой стадии производящие уравнения для фермионной и бозонной производящих функций дают соответственно соотношения инволюции исходных связей первого рода между собой и с исходным гамильтонианом. В низших порядках по гостам следующих стадий уравнение для фермионной производящей функции даёт уравнения для слабых последовательных нуль-векторов исходных связей первого рода. В более высоких порядках по гостам

- 14 -производящие уравнения дают сначала низшие тождества Якоби, обеспечивающие формальную совместность в системе соотношений инволюции и уравнений для нуль-векторов, а затем возникает бесконечная последовательность высших циклических соотношений Якоби, в которой каждое соотношение обеспечивает формальное выполнение необходимых условий совместности предыдущих. Таким образом мы видим, что коэффициенты разложения производящих функций по степеням гостов суть не что иное, как структурные функции калибровочной алгебры.

Назначением калибровочного фермиона является генерация набора допустимых калибровок, необходимых для устранения калибровочного вырождения. Релятивистские калибровочные условия необходимы для исходных динамических переменных и гостов всех стадий, кроме финальной. Каждая из этих калибровок, вплоть до предфиналь-ной стадии, является линейно-зависимой, также как и соответствующие связи первого рода. Вследствие этого, канонически-сопряженные лагранжевы множители к калибровкам и связям также становятся калибровочными полями и требуют для себя новых (релятивистских) калибровочных условий, что, в свою очередь, приводит к необходимости новых канонических переменных - гостов вспомогательного сектора и экстрагостов.

Итак, мы видим, что калибровочный фермион, а следовательно, и унитаризугощий гамильтониан в целом, зависят от полного набора канонических переменных, который включает: канонические переменные минимального сектора, канонически - сопряженные лагранжевы множители к калибровкам и связям первого рода, канонические пары гостов вспомогательного сектора и сектора экстрагостов.

Классический унитаризующий гамильтониан, будучи построен, как это изложено здесь, следуя / 32 /, определяет гамильтоново

- 15 -действие в фазовом пространстве полного набора канонических переменных, которое, в свою очередь, является основой для построения соответствующего формального интеграла по путям. Общая структура унитаризующего гамильтониана и производящих уравнений калибровочной алгебры такова, что этот формальный интеграл по путям не зависит от выбора калибровочного фермиона. Конкретный механизм, реализующий эту калибровочную независимость (на формальном, разумеется, уровне), состоит в том, что фермионная производщая функция калибровочной алгебры выступает в роли канонического генератора".

Сформулируем теперь следующим образом программу построения операторной версии унитаризующего гамильтониана. Все канонически - сопряженные пары из полного набора фазовых переменных заменяются операторами, удовлетворяющими каноническим одновременным коммутационным соотношениям. Классическая общая структура определения унитаризующего гамильтониана и производящих уравнений калибровочной алгебры сохраняется с точностью до замены суперскобок классических функций умноженными наї'і "И J суперкомму-

таторами соответствующих операторов. Решение производящих уравнений для фермионного и бозонного производящих операторов калибровочной алгебры ищется в минимальном секторе в виде некоторой нормальной формы ряда по степеням операторов гостов из алгебраического сектора. Коэффициенты этих рядов есть структурные операторы соответствующей операторной калибровочной алгебры. Детальная реализация этой программы составляет основное содержание I главы диссертации, причем наше изложение следует / 32-36 /.

Проблема конфигурационного квантования. Как уже было сказано выше, последовательное решение проблемы канонического операторного квантования дает возможность получить корректный интег-

рал по путям в фазовом пространстве, реализующий гамильтонову формулировку динамики. Сильной стороной гамильтонова формализма является его очевидная каноническая симметрия. Его слабой стороной является выделенное положение времени и связанный с этим косвенный характер проявления релятивистских свойств. С другой стороны, как с чисто вычислительной точки зрения, так и в связи с исследованием структуры перенормировок, весьма желательно иметь лагранжеву формулировку динамики в конфигурационном пространстве, где все релятивистские свойства становятся явными.

В принципе, выполнив интегрирование по каноническим импульсам и перейдя от гамильтоновых гостов к лагранжевым (т.н. "процесс устранения парадокса дираковской калибровки"), мы получили бы корректный функциональный интеграл по путям в конфигурационном пространстве, реализующий лагранжеву формулировку динамики. Таким образом, принципиально, никакой самостоятельной проблемы конфигурационного квантования не существует.

К сожалению, однако, фактическая реализация программы перехода к конфигурационному описанию в лагранжевом формализме - весьма трудна технически даже в конкретных (нетривиальных) примерах, а о том, чтобы провести ее в общем виде, пока не может быть и речи. Тем не менее, замечательным образом оказывается, что существует возможность (или, по крайней мере, весьма правдоподобная надежда, подкрепленная примерами) совершить своего рода "большой скачок" и предвосхитить общую структуру конфигурационного ответа с точностью до некоторых деталей, неопределимых без обращения к последовательному квантованию, но, быть может, не существенных для физики. Подойдем к разъяснению этой возможности путем нижеследующих рассуждений.

Ясно, что в любой калибровочной теории эффективное действие,

- 17 -входящее в конфигурационный функциональный интеграл, должно состоять из исходного калибровочно-инвариантного лагранжева действия, калибровочных членов, устраняющих вырождение и действия гостов. Ясно также, что в конфигурационном описании, чтобы обеспечить калибровочную независимость функционального интеграла, вообще говоря, необходима (кроме действия гостов) нетривиальная мера интегрирования в конфигурационном пространстве. Итак, две "вещи" надо найти, чтобы построить функциональный интеграл - эффективное действие и меру интегрирования.

Руководящая идея относительно нахождения эффективного действия состоит в том, что оно должно быть естественным образом связано с процессом генерации лагранжевой калибровочной алгебры, подобно тому, как гамильтоново эффективное действие естественно связано с процессом генерации гамильтоновой калибровочной алгебры связей первого рода. Правда, в лагранжевом формализме нет скобок Пуассона, нет канонических преобразований и т.д., так что, казалось бы, неясно, на какой основе должен быть реализован процесс генерации лагранжевой калибровочной алгебры. Но если главная идея правильна, тогда то, чего не достает, должно быть создано!

Каждому лагранжеву полю, следуя / 37 /, поставим в соответствие антиполе противоположной статистики, так что фактически возникает пространство полей и антиполей, имеющее удвоенную размерность. Для любых двух функций на пространстве полей и антиполей определим бинарную операцию, называемую антискобкой. Антискобка, грубо говоря, устроена также как скобка Пуассона, если поля рассматривать как "координаты", а антиполя - как "импульсы".

Далее оказывается, что антискобка обладает алгебраическими свойствами, в некотором смысле противоположными свойствами ско-

- 18 -бок Пуассона. Эта противоположность является прямым следствием того, что здесь "координаты" и "импульсы" находятся в антикорреляции по статистике, в то время как обычные канонические координаты и импульсы скоррелированы по статистике.

Наличие антискобок делает пространство полей и антиполей похожим на фазовое пространство гамильтонова формализма. В пространстве полей и антиполей определяются так называемые антиканонические преобразования, которые сохраняют антискобки, подобно тому, как обычные канонические преобразования в фазовом пространстве сохраняют скобки Пуассона и т.д.

Производящее уравнение для бозонной производящей функции лагранжевой калибровочной алгебры формулируется / 37 / в терминах антискобки совершенно также, как производящее уравнение для фермионной производящей функции гамильтоновой калибровочной алгебры формулируется в терминах суперскобки Пуассона. Производящее уравнение лагранжевой калибровочной алгебры получило название "мастер-уравнения". Никакой фермионной производящей функции лаг-ранжева калибровочная алгебра не имеет.

Генерация лагранжевой калибровочной алгебры происходит следующим образом. Ищется бозонное решение мастер-уравнения в минимальном секторе полей и антиполей. Минимальный сектор полей включает исходные лагранжевы переменные и госты алгебраического сектора. Алгебраический сектор состоит из лагранжевых гостов всех стадий приводимости, до финальной включительно. Каждому полю из минимального сектора сопоставлено антиполе противоположной статистики.

Решение мастер-уравнения ищется в виде ряда по степеням антиполей и гостов. Низший член разложения (нулевой степени) отождествляется с исходным лагранжевым калибровочно-инвариантным

- 19 -действием. Следующие члены содержат лагранжевы калибровочные генераторы и их последовательные слабые нуль-векторы. Дальнейшие члены разложения содержат высшие структурные функции.

В низшем порядке по антиполям и гостам мастер-уравнение даёт тождества Нётер для генераторов и уравнения для их последовательных слабых нуль-векторов. В следующем порядке возникают коммутационные соотношения открытой алгебры для скобки Ли калибровочных генераторов. Далее появляются сначала низшие, а затем - бесконечная последовательность высших циклических тождеств Якоби, каждое из которых обеспечивает выполнение необходимых условий совместности предыдущих.

Эффективное действие в функциональном интеграле совпадает, с точностью до членов, фиксирующих калибровки, с производящей функцией лагранжевой калибровочной алгебры, при замене антиполей производными по соответствующим полям от калибровочного фермиона.

Назначением калибровочного фермиона, как и в гамильтоновом формализме, является генерация полного набора допустимых калибровочных условий, необходимых для корректного устранения вырождения функционального интеграла. С этой целью, дополнительно к переменным минимального сектора, вводятся лагранжевы множители, госты вспомогательного сектора и экстрагосты. Фиксирующие калибровки члены в эффективном действии имеют вид суммы произведений лагран-жевых множителей на соответствующие калибровочные функции. Последние, в свою очередь, получаются, как производные калибровочного фермиона по гостам вспомогательного сектора и экстрагостам (значения антиполей, соответствующих этим переменным).

Остается рассмотреть проблему нахождения меры интегрирования в конфигурационном пространстве. Здесь мы ограничимся следу-ю щим замечанием. Конфигурационная мера выражается через бесконеч-

- 20 -ную последовательность функций полей минимального сектора. Условие калибровочной независимости функционального интеграла диктует для этих функций бесконечную систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений. Неоднородностями в этих уравнениях являются шпуры и дивергенции структурных функций лагранжевой калибровочной алгебры. Граничные условия к этим уравнениям не могут быть определены без обращения к последовательному квантованию. Если шпуры и дивергенции структурных функций калибровочной алгебры равны нулю, то уравнения для всех функций, определяющих меру, допускают нулевое решение. Если выбрать именно это решение, тогда конфигурационная мера - тривиальна. Детальное рассмотрение процессов генерации лагранжевой калибровочной алгебры и меры интегрирования в конфигурационном пространстве составляет основное содержание второй главы диссертации, причем наше изложение следует / 37-40 /.

Истоки. Различные аспекты квантования динамических систем со связями являются предметом исследований многих авторов. Здесь отнюдь не преследуется цель сколько-нибудь полного литературного обзора. Мы упомянем, а в некоторых случаях, кратко прокомментируем только работы, имеющие наиболее непосредственное отношение к исследованиям автора данной диссертации.

Как уже было сказано выше, квантование динамических систем со связями обычно рассматривается не на операторном уровне, а на уровне формального интеграла по путям. Поэтому, если не оговорено противное, говоря об ^ - матрице, решении, или выражении для^- матрицы, полученных в упоминаемых ниже работах, мы подразумеваем именно представления для^- матрицы в виде формальных интегралов по путям.

Каноническая *Ц - матрица для бозонных динамических систем

- 21 -со связями первого рода была получена в унитарных (нерелятивистских) калибровках в работе / 41 /. В работе / 42 / было получено решение для ^ - матрицы динамических Бозе-Ферми - систем со связями первого и второго рода в унитарных калибровках.

В работе / I / канонический формализм был распространен на релятивистские калибровки. Было показано, что построение ^-ч - матрицы в релятивистских калибровках сводится к нахождению унитаризующего гамильтониана в релятивистском фазовом пространстве. Явная форма этого гамильтониана была получена в / I / для случая бозонных динамических систем со связями первого рода, генерирующими калибровочную алгебру ранга один. Одновременно в работе / I / было сделано важное наблюдение, что калибровочная часть унитаризующего гамильтониана может быть представлена в виде скобки Пуассона фермионной функции, зависящей только от калибровки и другой фермионной функции, построенной из связей и структурных коэффициентов их инволюции. Это был первый шаг к пониманию универсальной связи между структурой унитаризующего гамильтониана и процессом генерации калибровочной алгебры.

Основная формула для классического унитаризующего гамильтониана и классические производящие уравнения гамильтоновой калибровочной алгебры были сформулированы в работе / 30 /. Их явное решение было получено в работе / 30 / для случая динамических Бозе-*Ферми - систем со связями первого рода, генерирующих калибровочную алгебру ранга один.

Авторы работы / 31 / распространили определение унитаризующего гамильтониана и форму производящих уравнений на случай наличия связей второго рода и получили решение для канонической /^ ~ матрицы в релятивистских калибровках для динамических Бозе-Ферми - систем со связями обоих родов в общем случае неприводимой кали-

- 22 -бровочной алгебры любого ранга.

Альтернативный метод квантования бозонных динамических систем с неприводимыми связями первого рода был предложен в работе / 43 /. В этом методе не вводится никаких гостов. Вместо этого, калибровочная независимость ~n - матрицы обеспечивается с помощью так называемого компенсирующего функционала, ранее введенного в работе / 44 / в связи с квантованием массивного поля Янга-Миллса. В работе / 45 / метод компенсирующего функционала был обобщен для динамических Бозе-Ферми - систем со связями как первого, так и второго рода.

Обобщённый канонический формализм, развитый в работах / I, 30,31 /, дал возможность получить существенные результаты применительно к конкретным динамическим системам. Наиболее важными из них являются последовательное каноническое квантование и построение S)- матрицы для эйнштейновской гравитации / 46 / и супергравитации / 47 /.

В работе / 32 / впервые был последовательно развит обобщенный канонический формализм для систем с линейно-зависимыми связями первого рода. Это позволило получить решение для канонической ^ч- матрицы динамических Бозе-Ферми - систем со связями первого рода, генерирующими открытую (любого ранга) и приводимую (любой стадии) гамильтонову калибровочную алгебру, при наличии также (линейно-независимых) связей второго рода. В следующей работе / 48 / этот результат был распространён для наиболее общего случая, когда связи второго рода также могут быть линейно-зависимы и иметь любую стадию приводимости.

Ключевая идея операторного квантования релятивистских калибровочных систем была высказана в работе / 49 /. Она состоит в том, чтобы подчинить каноническим коммутационным соотношениям

- 23 -операторы релятивистского фазового пространства, включающего, в неприводимом случае, исходные динамические переменные, лагранжевы множители к релятивистским калибровкам и связям первого рода, а также соответствующие госты. В рамках этой основной идеи операторное квантование теории Янга-Миллса рассматривалось в работах / 50-52 /.

В работе / 33 /, являющейся дальнейшим развитием той же идеи, было проведено операторное квантование динамических Бозе-Ферми- систем со связями первого рода, генерирующими открытую (любого ранга) неприводимую калибровочную алгебру. В этой работе впервые сформулирована операторная версия универсального определения унитаризующего гамильтониана и производящих уравнений калибровочной алгебры. Эти результаты представлены в более явном виде в работе / 34 /, где также получено соответствующее решение для канонической ^.- матрицы в виде корректного (неформального) интеграла по путям в релятивистском фазовом пространстве. Таким образом, в / 34 / впервые показано, что на виртуальных фазовых траекториях действует квантовая калибровочная алгебра, генерируемая символами операторов связей первого рода.

В следующей работе / 35 / для неприводимого случая сформулирована процедура замыкания и абелизации операторной калибровочной алгебры. Классический аналог этого результата хорошо известен: связи первого рода всегда, по крайней мере, локально могут быть сделаны абелевыми путём "вращения" (линейного комбинирования), производимого обратимой матрицей, вообще говоря, зависящей от фазовых переменных. В работе / 35 / определено зависящее от операторов гостов унитарное преобразование, приводящее фермион-ный производящий оператор калибровочной алгебры к виду, соответствующему новым операторам связей, коммутирующим между собой.

- 24 -Это же преобразование, сопровождаемое некоторым эффективным форм-изменением оператора калибровочного фермиона, будучи применено к бозонному производящему оператору, приводит его к виду, который соответствует новому гамильтониану, коммутирующему с новыми связями. Разумеется, новые операторы связей и гамильтониана, вообще говоря, нелокальны и не обладают правильной релятивистской вариантностью, однако, управляемая ими динамика новых операторов фазовых переменных - физически эквивалентна исходной.

Наконец, в работе / 36 / результаты / 33-35 / были распространены на случай динамических Бозе-Ферми - систем со связями первого рода, генерирующими открытую (любого ранга)и приводимую (любой стадии) операторную калибровочную алгебру.

Независимо от канонического квантования, развивались так называемые ковариантные методы, имеющие целью построение правил Фейнмана для калибровочных полей непосредственно в конфигурационном пространстве. Применительно к теориям с калибровочной алгеброй (группой) Ли, ковариантное квантование рассматривалось в работах / 53-62 /. Естественным обобщением класса калибровочных алгебр Ли является класс неприводимых замкнутых калибровочных алгебр. Наиболее общей для этого класса является ситуация, когда структурные коэффициенты калибровочной алгебры зависят от поля, насколько это позволяют сильные соотношения Якоби. Формальная конструкция, реализующая эту ситуацию, рассмотрена в работе / 63 /, как на алгебраическом, так и на групповом уровне. Здесь сформулированы функциональные уравнения, обобщающие обычные групповые свойства, получены дифференциальные уравнения, являющиеся аналогами уравнений Ли и Маурера-Картана, а также аналоги правой и левой групповой меры. На основе этих результатов дано соответствующее обобщение так называемого трока Фаддеева-Попова.

Важное значение для более глубокого понимания структуры калибровочной теории поля имело наблюдение / 64,50 /, что в теориях с калибровочной алгеброй (группой) Ли эффективное действие, включающее исходное калибровочно-инвариантное действие, члены, фиксирующие калибровку и квадратичное действие гостов, - всегда инвариантно относительно нильпотентных суперпреобразований специального типа с одним фермионным параметром. Эта специальная суперинвариантность получила название р КЬ» или и|\0|- симметрии.

BRS- симметрия оказалась весьма полезной при исследовании

структуры перенормировок. С другой стороны, именно на пути обобщения идеи Оі\ц>- симметрии был найден адекватный метод ковари-антного квантования теорий с общей калибровочной алгеброй.

Первый шаг в этом направлении был сделан в работе / 65/, где были найдены ковариантные правила Фейнмана в первоначальной версии Л - I - супергравитации, совпадающие с результатом / 47 /. В этой работе самосогласованным образом определялись поправки к закону Drip- преобразования всех лагранжевых переменных и биква-дратичная по гостам поправка к эффективному действию. В силу специфических свойств калибровочной алгебры супергравитации, точное действие гостов исчерпывается биквадратичными членами (теория ранга два), см. также / 66 /.

Следующим шагом явилась работа / 67 /, в которой метод / 65 / был распространен на случай неприводимой открытой калибровочной алгебры любого ранга. В этой работе также, самосогласованным образом ищутся поправки к закону

8RS - преобразования и

к действию гостов, с тем, чтобы обеспечить калибровочную независимость функционального интеграла (с тривиальной мерой интегрирования). Эти поправки находятся итерационно, вместе с последовательными структурными соотношениями. Замкнутое производящее

- 26 -уравнение калибровочной алгебры здесь ещё отсутствует.

Решающий шаг к замкнутой формулировке сделан в работе / 37 /. Здесь, прежде всего, сформулированы исходные положения, или принципы ковариантного квантования: калибровочная независимость, невырожденность, правильность классического предела. Затем, в плане реализации этих принципов, вводится пространство полей и антиполей, а также антискобки для функций на этом пространстве (замети здесь, что в "чистой" математике антискобка хорошо известна / 68-70 /). В терминах антискобки и нильпотентного дифференциального оператора второго порядка формулируется точное квантовое уравнение для фазы фейнмановской экспоненты в функциональном интеграле. Это уравнение выражает следующую основную идею: производные фазы по антиполям являются генераторами такого " оКь^"¹¹^"* образования" полей, что соответствующая вариация фазы компенсирует логарифм якобиана этого "Jjl\»S~ преобразования". Уравнение для фазы обеспечивает калибровочную независимость функционального интеграла.

Разлагая фазу фейнмановской экспоненты в ряд по степеням квантовой постоянной, имеем в классическом приближении мастер-уравнение в полном пространстве полей и антиполей. Интересующее нас решение этого уравнения есть сумма производящей функции калибровочной алгебры (удовлетворяющей мастер-уравнению в минимальном секторе полей и антиполей) и членов, генерирующих (после замены антиполей производными по соответствующим полям от калибровочного фермиона) полный набор необходимых калибровочных условий. Таким образом, после замены всех антиполей соответствующими производными калибровочного фермиона, классическая часть фазы фейнмановской экспоненты даёт эффективное действие, а квантовые поправки к ней дают меру интегрирования в конфигурационном прост-

- 27 -ранстве.

Как функция полной совокупности полей и антиполей, эффективное действие должно удовлетворять не только мастер-уравнению, но также дополнительному требованию собственности решения. Решение мастер-уравнения называется собственным, если его гессиан (матрица вторых производных) имеет на экстремали максимально-возможный ранг. Важнейшее следствие мастер-уравнения состоит в том, что компоненты гессиана, будучи умножены слева (справа) на постоянную матрицу симплектической метрики в пространстве полей и антиполей, дают правые (левые) нуль-векторы гессиана на экстремали. Из этого следует, что максимальный ранг гессиана решения на экстремали равен числу полей (половине полного числа полей и антиполей). Если решение мастер-уравнения является собственным, тогда любой правый (левый) нуль-вектор гессиана на экстремали есть линейная комбинация правых (левых) нуль-векторов гессиана, построенных из его компонент. Другими словами, если решение - собственное, то его гессиан не имеет на экстремали никаких других нуль-векторов, кроме тех, которые содержатся в нем самом / 37 /. Требование собственности решения для эффективного действия обеспечивает невырожденность функционального интеграла в классе допустимых калибровочных условий. Оказывается, что при принятом способе генерации калибровок, это требование фактически сводится к требованию собственности для производящей функции калибровочной алгебры, как решения мастер-уравнения в минимальном секторе полей и антиполей. Правильность классического предела обеспечивается граничным условием, требующим, чтобы при нулевых значениях антиполей и гостов производящая функция калибровочной алгебры совпадала с исходным калибровочным действием. В свою очередь, именно требование собственности решения для производящей

- 28 -функции диктует состав гостов, необходимый для генерации калибровочной алгебры.

Содержание полного набора полей и структура калибровочного фермиона, используемые в /37 /, обеспечивают генерацию в рамках мастер-уравнения неприводимой открытой калибровочной алгебры любого ранга и корректное устранение соответствующего вырождения функционального интеграла.

Здесь уместно заметить также следующее. Мастер-уравнение появляется в форьїализме ковариантного квантования на двух уровнях. Во-первых, как уже было сказано выше, оно возникает как классическое приближение уравнения для фазы фейнмановской экспоненты в функциональном интеграле. Во-вторых, если определить производящий функционал, введя в функциональный интеграл внешние источники полей и внешние антиполя, то оказывается, что в силу уравнения для фазы, - квантовое действие (преобразование Лежандра логарифма производящего функционала относительно внешних источников полей) в точности удовлетворяет мастер-уравнению в терминах антискобки по средним полям и внешним антиполям / 37 /.

Будучи точным и универсальным уравнением для квантового действия, мастер-уравнение является наиболее адекватным средством исследования структуры перенормировок в калибровочных теориях / 71-78 /. В этом качестве мастер-уравнение является естественным обобщением соотношений Уорда, полученных ранее рядом авторов в теориях с замкнутой алгеброй / 79-85,49 /. Кроме того, нужно сказать, что именно применительно к теории Янга-4Яиллса мастер-уравнение и было впервые выписано в работе / 71 / (правда, не в терминах антискобок), как удобная форма записи соотношений Уорда для квантового действия. Однако, истинное значение мастер-уравнения, как универсального производящего уравнения конфигурацион-

- 29 -ной калибровочной алгебры, - осталось в работе / 71 / нераскрытым и было выяснено только в / 37 /.

В работе / 86 / построено специальное антиканоническое преобразование , переводящее функциональный интеграл для ^ч - матрицы работы / 37 / в новое представление. Это представление наиболее удобно в случае, когда вырождение исходного действия устраняется добавлением к нему квадратичной формы относительно калибровочных функций, причём матрица коэффициентов этой квадратичной формы может сама зависеть от полей. Лагранжевы множители к калибровкам превращаются в новом представлении в компоненты так называемого третьего госта, взаимодействующего с гостами Фаддеева -Попова. Таким образом, в случае замкнутой алгебры получает обоснование результат / 87 /, а в случае открытой алгебры дается его обобщение.

Дальнейшее исследование конструкции, предложенной в /37 /, продолжено в работе / 40 /. Здесь, прежде всего, в канонической параметризации сформулированы обыкновенные дифференциальные уравнения для орбиты открытой группы, порождаемой (локально) исходными генераторами неприводимой открытой калибровочной алгебры. Наложение допустимых калибровочных условий на начальные данные уравнений орбиты даёт возможность ввести для калибровочного поля новые переменные, часть из которых калибровочно-инварианта ("физические" компоненты), а другая часть испытывает тривиальные сдвиги при калибровочных преобразованиях ("групповые" компоненты). Таким образом, в новых переменных мы имеем новые калибровочные генераторы, являющиеся просто константами. Если теперь по векторному закону преобразовать новые генераторы к исходным переменным, то, будучи вектором, скобка Ли новых генераторов и вис -ходных переменных обратится в нуль. Итак, будучи выражены в ис -

- зо -

ходных переменных, новые генераторы образуют абелеву калибровочную алгебру. Эти абелевы генераторы отличаются от исходных открытых генераторов поворотом базиса и членами, исчезающими на классических экстремалях и, вообще говоря, являются нелокальными и/или релятивистски-нековариантными.

Далее рассматривается другой способ замыкания и абелизации конфигурационной калибровочной алгебры. Этот способ, независимо предложенный в / 78 /, состоит в построении такого антиканонического преобразования в пространстве полей и антиполей, которое переводит решение мастер-уравнения, соответствующее исходной открытой алгебре, - в решение с тем же исходным действием, но отвечающее замкнутой или абелевой калибровочной алгебре.

Оказывается, что эти два способа абелизации калибровочной алгебры находятся в глубокой взаимосвязи. С помощью т.н. метода [^-функции / 88,63 /, из обыкновенных дифференциальных уравнений орбиты выводится бесконечная последовательность уравнений открытой группы. Эти уравнения в частных производных по групповым параметрам сохраняют свой вид в произвольной параметризации; первые два уравнения обобщают на открытый случай уравнения Ли и Маурера-Картана, а также их аналоги из / 63 /. Решение калибровочных условий на начальные данные орбиты, как уравнений для групповых параметров обращенной орбиты, - задает естественное отображение, сопоставляющее каждой функции групповых параметров - функцию калибровочного поля. Будучи реализовано в уравнениях открытой группы, это естественное отображение превращает их в дифференциальные уравнения для функций калибровочного поля, в точности совпадающие с уравнениями для коэффициентов разложения производящей функции абелизующего антиканонического преобразования по степеням антиполей и гостов.

- ЗІ -Финальным шагом является вывод функционального интеграла для

Q- матрицы / 37 /, как результата квантования некалибровочной системы (динамики "физических" компонент). Основная идея состоит здесь в следующем. Уже упоминавшиеся выше "физические" компоненты калибровочного поля (калибровочно-инвариантная часть новых переменных, возникающих при наложении калибровочных условий на начальные данные орбиты) образуют, как доказывается, базис независимых калибровочных инвариантов теории и исходное калибровочное действие с необходимостью является функцией этих "физических" компонент. Как функция "физических" компонент, исходное действие является уже некалибровочным (невырожденным) и для его квантования постулируется стандартный интеграл Фейнмана с некоторой мерой интегрирования в пространстве "физических" компонент. Затем в этот функциональный интеграл вводится единица, представленная как интеграл по "групповым" компонентам (см. выше) от Q - функций, содержащих допустимые калибровочные условия и умноженных на соответствующий якобиан. Параметризация якобиана через интеграл по гостам приводит ответ для^--\- матрицы к виду, соответствующему квантованию абелевой калибровочной теории (напомним, что "групповые" компоненты новых переменных испытывают тривиальные сдвиги при калибровочных преобразованиях исходных переменных). В этом ответе легко восстанавливается вид калибровочного фермиона и одновременно идентифицируются антиполя, соответствующие каждому из полей. Остается произвести антиканоническое преобразование в пространстве полей и антиполей, обратное абелизующему, после чего возникает ) - матрица / 37 /.

Наконец, в работе / 89 / приведено доказательство сформулированной еще в / 37 / теоремы существования неприводимой калибровочной алгебры. В рамках точно сформулированных постулатов непри-

водимой калибровочной теории здесь дано индуктивное доказательство существования бозонного собственного решения мастер-уравнения в минимальном секторе в виде ряда по степеням антиполей и гостов, обладающего нулевым гостовским числом. Этим завершается наше рассмотрение эволюции методов ковариантного квантования неприводимых калибровочных теорий.

Ковариантное квантование теорий с замкнутой калибровочной алгеброй любой конечной стадии приводимости проведено в работах / 90,91 /. В этих работах предложено соответствующее обобщение, или модификация трока Фаддеева-Попова применительно к точной последовательности любой конечной длины и, таким образом, получено корректное выражение для статсуммы (Г)" ^матрицы).

Q 14 О ~ конструкция для калибровочных теорий с абелевой приводимой алгеброй была развита (в основном - применительно к квантованию антисимметричных тензорных полей) в работах / 92-97 /. Концепция "гостов для гостов" явным образом сформулирована в / 92 /. Необходимость введения "скрытых гостов", иили "экстрагостов" при использовании линейно-зависимых калибровочных условий выяснена в / 93 /. Синтез этих двух аспектов для антисимметричных тензорных полей реализован в / 94-97 /.

Наиболее последовательный и универсальный метод ковариантного квантования теорий с открытой (любого ранга) и приводимой (любой стадии) калибровочной алгеброй развит в работах / 38,39 / на основе обобщения конструкции и результатов работы / 37 /. В / 38, 39 / показано, что и концепция "гостов для гостов", и статус экстрагостов являются, применительно к приводимой ситуации, следствиями исходных принципов ковариантного квантования, сформулированных в / 37 /. Требование собственности решения для производящей функции калибровочной алгебры автоматически диктует состав,

статистику и гостовское число полей, входящих в алгебраический сектор гостов. С другой стороны, требование, чтобы калибровочный фермион генерировал полный набор допустимых калибровочных условий, необходимых для корректного устранения вырождения функционального интеграла по всем переменным, - автоматически диктует состав, статистику и гостовское число лагранжевых множителей, гостов вспомогательного сектора и экстрагостов. Таким образом определяется полный набор переменных расширенного конфигурационного пространства приводимой калибровочной теории. После этого, конфигурационный функциональный интеграл для j-ч - матрицы строится по общим правилам / 37 /, модифицированным применительно к приводимому случаю. Именно эти модифицированные правила и были фактически описаны в общих чертах в предыдущем пункте.

Мы закончим наше рассмотрение "Истоков" данной диссертации следующим замечанием. Одна из наиболее характерных и общих черт операторного (глава I) и ковариантного (глава П) квантования состоит в том, что здесь мы принципиально имеем дело с "суперслучаем", когда сосуществование бозонных и фермионных операторов или переменных является неизбежным. Этот "суперслучай" находится в компетенции суперматематики, включающей суперматричное исчисление, суперанализ, теорию супермногообразий и т.д.. Для фактического содержания данной диссертации является существенным использование некоторых аспектов суперматричного исчисления и суперанализа. В этой связи, важное ориентирующее значение для автора имели работы / 98-100 /.

Структура диссертации. Диссертация включает: "Введение", две главы основного содержания, "Заключение", три "Приложения", список литературы и имеет объем Й/УЙ страниц.

Содержание диссертации. В I главе диссертации развивается

- 34 -метод операторного канонического квантования динамических систем со связями первого рода. I глава включает восемь параграфов следующего содержания.

I носит вспомогательный характер и имеет целью напомнить некоторые элементарные факты и соотношения, касающиеся соответствия "символ-^—^-оператор". Здесь, в частности, даётся определение суперкоммутатора операторов, определение Е-ЗГЛ- символа оператора, приводится закон ассоциативного (но некоммутативного) х - умножения символов и определяется их х - суперкоммутатор. Для х -произведения и х - суперкоммутатора символов приводится явная форма разложения по степеням квантовой постоянной.

В 2 вводится полный набор канонически-сопряженных пар операторов релятивистского (расширенного) фазового пространства калибровочной теории /_д - й стадии приводимости. Этот набор включает: канонические пары операторов исходных динамических переменных, канонические пары операторов гостов алгебраического сектора (вместе с исходными операторами госты алгебраического сектора образуют минимальный сектор), канонические пары операторов лагран-жевых множителей к релятивистским калибровкам и связям первого рода, канонические пары операторов гостов вспомогательного сектора и сектора экстрагостов.

В 3 детально рассматривается процесс генерации операторной калибровочной алгебры /у-й стадии приводимости. Прежде всего, здесь формулируются производящие уравнения для фермионного и бо-зонного производящих операторов калибровочной алгебры, зависящих от канонических пар операторов минимального сектора. Решение этих уравнений ищется в виде рядов по степеням операторов гостов алгебраического сектора, причем все гостовские импульсы располагаются слева от гостовских координат (ШЗР- нормальная форма). Коэффи--

J w

циенты этих рядов зависят только от канонических пар операторов исходных динамических переменных и представляют собой структурные операторы калибровочной алгебры. Подстановка этих разложений в производящие уравнения и приведение последних к(Х()ґ*- нормальной форме дает полную совокупность структурных соотношений операторной калибровочной алгебры.

Таким образом прежде всего генерируются соотношения инволюции для операторов исходных связей первого рода между собой и с оператором исходного гамильтониана. Затем получаются уравнения для операторов правых нуль-векторов исходных связей первого рода. Далее возникают низшие операторные соотношения Якоби и уравнения для операторов нуль-векторов следующей стадии и т.д.. Мы детально прослеживаем механизм, посредством которого низшие соотношения Якоби обеспечивают выполнение необходимых условий формальной совместности в системе операторных соотношений инволюции и уравнений для операторов нуль-векторов исходных связей. Выражение для антисимметризованного суперкоммутатора этих нуль-векторов получено в качестве примера использования высшего структурного соотношения.

Наконец, в этом параграфе подробно рассмотрены случаи замкнутой и абелевой калибровочных алгебр / у-й стадии приводимости.

В 4 из трех основных ингредиентов - фермионного и бозонно-го производящих операторов калибровочной алгебры и оператора калибровочного фермиона - строится оператор унитаризующего гамильтониана теории. Этот унитаризующий гамильтониан является основой операторного динамического описания систем со связями первого рода.

Условия допустимости, формулируемые для классического предела символа оператора калибровочного фермиона, должны обеспечивать

- 36 -корректное устранение калибровочного вырождения динамики (по крайней мере, в рамках петлевого разложения или теории возмущений). Минимальная версия оператора калибровочного фермиона, явно используемая в 4, генерирует допустимые линейные калибровки.

В 5 формулируется операторная динамика. Эволюция во времени операторов релятивистского фазового пространства задается гай-зенберговскими уравнениями движения, содержащими унитаризующий гамильтониан теории.

Показывается, что любая допустимая форм-вариация оператора калибровочного фермиона может'быть представлена, как эффект некоторого канонического (унитарного) преобразования. Исходя из этого, определяется класс операторов, матричные элементы которых между физическими состояниями не меняются при вариации калибровочного фермиона.

Обычным образом вводя внешние источники, определяем производящий оператор Т - произведений гайзенберговских динамических переменных. Одновременно этот производящий оператор задает каноническое преобразование, сопоставляющее каждому гайзенберговско-му оператору - оператор в новом представлении, зависящем от внешних источников. В этом новом представлении операторные уравнения движения содержат унитаризующий гамильтониан с добавочными членами, обусловленными источниками. Важнейшим следствием уравнений движения в новом представлении являются операторные соотношения Уорда.

В б получено выражение для производящего функционала функций Грина в виде корректного (неформального) интеграла по путям в релятивистском фазовом пространстве. Производящий функционал определяется обычным образом, как среднее по вакууму производящего оператора Т - произведений гайзенберговских динамических пере-

менных.

Из операторных уравнений движения в представлении, зависящем от внешних источников, обычной процедурой выводятся уравнения в вариационных производных для производящего функционала. Решение уравнений для производящего функционала ищется в виде функционального Фурье-преобразования по внешним источникам. Таким образом получается ответ, имеющий форму функционального интеграла по путям в релятивистском фазовом пространстве. Эффективное действие в этом интеграле по путям содержит регуляризованный ("раздвинутый") по времениP(j- символ оператора унитаризующего гамильтониана. Тем самым, как было объяснено выше, полностью учитывается информация о порядке следования операторных мнодителей в унита-ризующем гамильтониане.

В силу общего соответствия "символ<^>-оператор", символ оператора унитаризующего гамильтониана связан с символами фермионно-го и бозонного производящих операторов калибровочной алгебры и символом оператора калибровочного фермиона. Для символов производящих операторов калибровочной алгебры имеют место уравнения, получающиеся из операторных производящих уравнений заменой суперкоммутаторов на х - суперкоммутаторы символов. Таким образом, уравнения для символов производящих операторов калибровочной алгебры, будучи разложены в ряды по степеням гостов алгебраического сектора, являются производящими уравнениями калибровочной » -алгебры символов. С другой стороны, уравнения для символов производящих операторов могут быть разложены в ряды по степеням квантовой постоянной. В нулевом приближении это дает производящие уравнения калибровочной алгебры классических связей первого рода.

В 7 сформулирована процедура замыкания и абелизации операторной калибровочной алгебры. Прежде всего, здесь формулируется

- 38 -уравнение для оператора канонического (унитарного) преобразования в минимальном секторе, приводящего фермионный производящий оператор калибровочной алгебры к виду, линейному по гостовским импульсам, что соответствует замыканию коммутационных соотношений новых операторов связей первого рода друг с другом. Чтобы замкнуть также кошлутационные соотношения новых связей с новым гамильтонианом, необходимо устранить остающиеся после канонического преобразования нелинейные по гостовским импульсам члены в бозонном производящем операторе калибровочной алгебры. Это достигается специальным форм-изменением оператора калибровочного фермиона. В результате мы имеем новый оператор унитаризующего гамильтониана, описывающий эквивалентную динамическую систему с замкнутой или даже абелевой калибровочной алгеброй.

Решение уравнения для оператора канонического преобразования, замыкающего или абелизующего алгебру, ищется в виде(Т)Р -нормальной формы ряда по степеням операторов гостов алгебраического сектора. Коэффициенты этого ряда зависят только от канонических пар операторов исходных динамических переменных. Уравнения, возникающие для этих коэффициентов, задают закон преобразования структурных операторов калибровочной алгебры в процессе ее замыкания или абелизации. В частности, низшие из этих уравнений показывают, что операторы исходных связей и их сильных правых нуль-векторов испытывают операторный поворот базиса, сопровождаемый для нуль-векторов операторным сдвигом, исчезающим при умножении слева на связь.

8 содержит некоторые заключительные замечания, касающиеся ряда проблем дальнейшего развития и обоснования формальной конструкции, изложенной в I главе диссертации.

Во П главе диссертации развивается метод ковариантного кван-

- 39 -тования теорий с общей калибровочной алгеброй. П глава содержит девять параграфов следующего содержания.

I носит вводный характер. Здесь кратко напоминаются основные посылки ковариантного подхода.

В 2 вводится полный набор переменных расширенного конфигурационного пространства калибровочной теории /_^-й стадии приводимости. Этот набор включает: исходные калибровочные переменные, госты алгебраического сектора (вместе с исходными переменными госты алгебраического сектора образуют минимальный сектор), лагранжевы множители к калибровкам, госты вспомогательного сектора и, наконец, сектор экстрагостов.

В 3 формулируется основная гипотеза конфигурационного описания, определяющая общую структуру функционального интеграла. Каждому полю из расширенного конфигурационного пространства ставится в соответствие антиполе противоположной статистики. В пространстве полей и антиполей формулируется основное уравнение для фазы фейнмановской экспоненты. Далее постулируется выражение для производящего функционала в виде функционального интеграла в расширенном конфигурационном пространстве. Этот функциональный интеграл содержит фейнмановскую экспоненту, в фазе которой все антиполя заменены производными по соответствующим полям от калибровочного фермиона. Внешние источники введены ко всем полям и, кроме того, введены внешние антиполя (как добавки к производным калибровочного фермиона).

Затем, производя " UN>npeобразование" конфигурационных переменных в функциональном интеграле, мы получаем соотношения Уор-да для производящего функционала, а также выводим общую формулу для вариации производящего функционала при вариации калибровочного фермиона. Определяя квантовое действие, как преобразование

-40 -Лежандра логарифма производящего функционала относительно внешних источников полей, мы получаем точное мастер-уравнение для квантового действия, как функции средних полей и внешних антиполей.

Разлагая фазу фейнмановской экспоненты, как функцию полей и антиполей, в ряд по степеням квантовой постоянной, имеем для ее классической части мастер-уравнение, а для квантовых поправок -неоднородные линейные дифференциальные уравнения. После замены всех антиполей соответствующими производными калибровочного фер-миона, классическая часть фазы фейнмановской экспоненты становится эффективным действием, а квантовые поправки к ней дают меру интегрирования в конфигурационном пространстве.

Следующим шагом является специализация решения для классической части фазы фейнмановской экспоненты. Решение, которое мы используем далее, представляет собой сумму производящей функции лагранжевой калибровочной алгебры (собственное решение мастер-уравнения в минимальном секторе) и членов, генерирующих полный набор необходимых калибровочных условий (произведение соответствующих лагранжевых множителей на антиполя к гостам вспомогательного сектора и экстрагостам). Решение для квантовых поправок в фазе фейнмановской экспоненты при этом может быть выбрано зависящим только от переменных минимального сектора, что и предполагается в дальнейшем.

В 4 рассматривается генерация лагранжевой калибровочной алгебры. Бозонное собственное решение мастер-уравнения в минимальном секторе, обладающее нулевым гостовским числом, ищется в виде ряда по степеням антиполей и гостов. Коэффициенты этого ряда зависят только от исходных калибровочных переменных и представляют собой структурные функции лагранжевой калибровочной алгебры. Начальный член разложения отождествлен с исходным калибровоч-

- 41 -ным действием. Коэффициенты билинейных членов разложения отождествлены с исходными калибровочными генераторами и слабыми нуль-векторами, образующими на экстремали точную последовательность.

Подстановка разложения производящей функции в мастер-уравнение дает полную систему структурных соотношений лагранжевой калибровочной алгебры. Наинизшими и:з этих соотношений являются тождества Нётер для исходного действия. Далее возникают коммутационные соотношения открытой алгебры для калибровочных генераторов и уравнения для их слабых нуль-векторов. Затем возникают низшие соотношения Якоби и уравнения для слабых нуль-векторов следующей стадии и т.д.

В 5 рассматривается процесс генерации конфигурационной меры. Решение уравнений для квантовых поправок в фазе фейнманов-ской экспоненты (производящих уравнений меры) ищется в виде ряда по степеням антиполей и гостов минимального сектора. Коэффициенты этих рядов зависят только от исходных калибровочных переменных и представляют собой структурные функции меры. Подстановка этих разложений в соответствующие производящие уравнения меры дает полную систему структурных соотношений. Эти структурные соотношения представляют собой неоднородные линейные дифференциальные по исходным калибровочным переменным уравнения, в которых в качестве "источников" входят шпуры и дивергенции структурных функций калибровочной алгебры.

В отличие от случая генерации калибровочной алгебры, низшие структурные функции меры не могут быть в рамках лагранжева подхода отождествлены с известными величинами теории. Однако, если шпуры и дивергенции структурных функций калибровочной алгебры равны нулю, тогда производящие уравнения меры допускают для всех ее структурных функций нулевое решение, соответствующее тривиаль-

- 42 -ной мере. Если структурные функции калибровочной алгебры квазило кальны, то их шпуры и дивергенции пропорциональныф - функции и ее производным в совпадающих точках, так что в размерной регуляризации они исчезают. Таким образом, в локальном базисе калибровочной алгебры использование регуляризации типа размерной, уничтожающей степенные расходимости - дает формальную возможность работать с тривиальной конфигурационной мерой. При более общей процедуре регуляризации правильность выбора решения для структурных функций меры должна быть подтверждена каноническим квантованием.

В б определяется структура допустимого калибровочного фер-миона в теории La -й стадии приводимости. Условия допустимости формулируются на экстремали эффективного действия и должны обеспечивать корректное устранение калибровочного вырождения по всем переменным в конфигурационном функциональном интеграле (по крайней мере, в рамках метода стационарной фазы или теории возмущений). Минимальная версия калибровочного фермиона, явно используемая в б, генерирует допустимые линейные калибровки.

В 7 сформулирована процедура замыкания и абелизации лаг-ранжевой калибровочной алгебры. Прежде всего, здесь рассматриваются специфические свойства якобиана антиканонического преобразования в пространстве полей и антиполей, а также трансформационные свойства фазы фейнмановской экспоненты относительно антиканонических преобразований. Исходя из этого, установлено, что при антиканоническом преобразовании в пространстве полей и антиполей конфигурационный функциональный интеграл сохраняет свой вид с точностью до некоторого форм-изменения калибровочного фермиона (антиканоническая эквивалентность).

Затем формулируется уравнение для фермионного генератора специального антиканонического преобразования в минимальном сек-

-43 -торе, которое приводит производящую функцию лагранжевой калибровочной алгебры к виду, линейному по антиполям, с тем же исходным действием. Это соответствует замыканию или абелизации калибровочной алгебры.

Решение уравнения для фермионного генератора ищется в виде ряда по степеням антиполей и гостов минимального сектора. Коэффициенты этого ряда зависят только от исходных калибровочных переменных. Уравнения, возникающие для этих коэффициентов, задают закон преобразования структурных функций лагранжевой калибровочной алгебры в процессе ее замыкания или абелизации. В частности, низшие из этих уравнений показывают, что исходные калибровочные генераторы и их слабые нуль-векторы испытывают поворот базиса и сдвиг на члены, исчезающие на экстремали.

В 8 показывается, что основной анзатц из 3, определяющий общую структуру конфигурационного функционального интеграла, одновременно реализует квантование калибровочной сверхтеории в пространстве полей и антиполей, в которой собственное решение полного мастер-уравнения играет роль исходного калибровочного действия, калибровочные сверхгенераторы образованы прямо из компонент гессиана решения и являются нильпотентными на экстремали, а условие равенства всех антиполей производным по соответствующим полям от калибровочного фермиона играет роль сверхкалибровки.

Последовательное дифференцирование мастер-уравнения по полям и антиполям непосредственно даёт структурные соотношения порождаемой им калибровочной сверхалгебры. Структурные функции этой сверхалгебры образованы прямо из соответствующих производных решения мастер-уравнения. Начальные этапы процесса генерации калибровочной сверхалгебры мастер-уравнения явно реализованы при выводе ее нескольких низших структурных соотношений - тождеств

Нётер, соотношений слабой нильпотентности и коммутационных соотношений открытого типа для калибровочных сверхгенераторов, низших соотношений Якоби.

9 содержит некоторые заключительные замечания, касающиеся ряда проблем дальнейшего развития и обоснования конструкции, изложенной во П главе диссертации.

В "Заключении" суммированы основные результаты диссертации.

В "Приложении I" отдельно рассмотрено, ввиду его особой важности, операторное каноническое квантование динамических систем со связями первого рода, генерирующими открытую (любого ранга) неприво,димую калибровочную алгебру. Структурные соотношения операторной алгебры линейно-независимых связей представлены в так называемой стандартной форме, наиболее близкой к классическому аналогу.

В "Приложении 2" проведено операторное каноническое квантование свободных антисимметричных тензорных полей, как простейшего примера теории поля с приводимой калибровочной алгеброй.

В "Приложении 3" введены в рассмотрение приводимые (линейно-зависимые) связи второго рода. Дается общее определение как не-приводамых, так и приводимых любой стадии связей второго рода. Классическая динамика формулируется в терминах соответствующего обобщения обычных скобок Дирака.

На уровне формального интеграла по путям в фазовом пространстве проведено квантование динамических с приводимыми любой стадии связями второго рода. На том же уровне дан рецепт квантования в наиболее общем случае, когда связи как первого, так и второго рода являются приводимыми (любых стадий) и калибровочная алгебра связей первого рода открыта (любого ранга).

Полный набор операторов релятивистского фазового пространства

Подстановка разложения производящей функции в мастер-уравнение дает полную систему структурных соотношений лагранжевой калибровочной алгебры. Наинизшими и:з этих соотношений являются тождества Нётер для исходного действия. Далее возникают коммутационные соотношения открытой алгебры для калибровочных генераторов и уравнения для их слабых нуль-векторов. Затем возникают низшие соотношения Якоби и уравнения для слабых нуль-векторов следующей стадии и т.д.

В 5 рассматривается процесс генерации конфигурационной меры. Решение уравнений для квантовых поправок в фазе фейнманов-ской экспоненты (производящих уравнений меры) ищется в виде ряда по степеням антиполей и гостов минимального сектора. Коэффициенты этих рядов зависят только от исходных калибровочных переменных и представляют собой структурные функции меры. Подстановка этих разложений в соответствующие производящие уравнения меры дает полную систему структурных соотношений. Эти структурные соотношения представляют собой неоднородные линейные дифференциальные по исходным калибровочным переменным уравнения, в которых в качестве "источников" входят шпуры и дивергенции структурных функций калибровочной алгебры.

В отличие от случая генерации калибровочной алгебры, низшие структурные функции меры не могут быть в рамках лагранжева подхода отождествлены с известными величинами теории. Однако, если шпуры и дивергенции структурных функций калибровочной алгебры равны нулю, тогда производящие уравнения меры допускают для всех ее структурных функций нулевое решение, соответствующее тривиальной мере. Если структурные функции калибровочной алгебры квазило кальны, то их шпуры и дивергенции пропорциональныф - функции и ее производным в совпадающих точках, так что в размерной регуляризации они исчезают. Таким образом, в локальном базисе калибровочной алгебры использование регуляризации типа размерной, уничтожающей степенные расходимости - дает формальную возможность работать с тривиальной конфигурационной мерой. При более общей процедуре регуляризации правильность выбора решения для структурных функций меры должна быть подтверждена каноническим квантованием.

В б определяется структура допустимого калибровочного фер-миона в теории LA -Й стадии приводимости. Условия допустимости формулируются на экстремали эффективного действия и должны обеспечивать корректное устранение калибровочного вырождения по всем переменным в конфигурационном функциональном интеграле (по крайней мере, в рамках метода стационарной фазы или теории возмущений). Минимальная версия калибровочного фермиона, явно используемая в б, генерирует допустимые линейные калибровки.

В 7 сформулирована процедура замыкания и абелизации лаг-ранжевой калибровочной алгебры. Прежде всего, здесь рассматриваются специфические свойства якобиана антиканонического преобразования в пространстве полей и антиполей, а также трансформационные свойства фазы фейнмановской экспоненты относительно антиканонических преобразований. Исходя из этого, установлено, что при антиканоническом преобразовании в пространстве полей и антиполей конфигурационный функциональный интеграл сохраняет свой вид с точностью до некоторого форм-изменения калибровочного фермиона (антиканоническая эквивалентность).

Затем формулируется уравнение для фермионного генератора специального антиканонического преобразования в минимальном секторе, которое приводит производящую функцию лагранжевой калибровочной алгебры к виду, линейному по антиполям, с тем же исходным действием. Это соответствует замыканию или абелизации калибровочной алгебры.

Решение уравнения для фермионного генератора ищется в виде ряда по степеням антиполей и гостов минимального сектора. Коэффициенты этого ряда зависят только от исходных калибровочных переменных. Уравнения, возникающие для этих коэффициентов, задают закон преобразования структурных функций лагранжевой калибровочной алгебры в процессе ее замыкания или абелизации. В частности, низшие из этих уравнений показывают, что исходные калибровочные генераторы и их слабые нуль-векторы испытывают поворот базиса и сдвиг на члены, исчезающие на экстремали.

В 8 показывается, что основной анзатц из 3, определяющий общую структуру конфигурационного функционального интеграла, одновременно реализует квантование калибровочной сверхтеории в пространстве полей и антиполей, в которой собственное решение полного мастер-уравнения играет роль исходного калибровочного действия, калибровочные сверхгенераторы образованы прямо из компонент гессиана решения и являются нильпотентными на экстремали, а условие равенства всех антиполей производным по соответствующим полям от калибровочного фермиона играет роль сверхкалибровки.

Последовательное дифференцирование мастер-уравнения по полям и антиполям непосредственно даёт структурные соотношения порождаемой им калибровочной сверхалгебры. Структурные функции этой сверхалгебры образованы прямо из соответствующих производных решения мастер-уравнения. Начальные этапы процесса генерации калибровочной сверхалгебры мастер-уравнения явно реализованы при выводе ее нескольких низших структурных соотношений - тождеств Нётер, соотношений слабой нильпотентности и коммутационных соотношений открытого типа для калибровочных сверхгенераторов, низших соотношений Якоби.

Замыкание и абелизация базиса операторной калибровочной алгебры

Формальное выражение (6.42) для производящего функционала ( - матрицы) реализует концепцию "наивного" квантования с помощью интеграла Фейнмана. Первым шагом при таком квантовании является построение классического действия (6.37) в предположении, что на виртуальных фазовых траекториях действует классическая калибровочная алгебра, генерируемая классическими связями I АЛ/ и в рамках уравнений (6.20), (6.23), или, что то же самое, (6.27)-(6.29), (6.31)-(6.33). Затем, по классическому действию (6.37) строится формальное выражение (6.42).

Функциональный интеграл (6.42), вообще говоря, существенно зависит от способа вычисления (выбора конечномерной аппроксимации виртуальных фазовых траекторий). Возникающие здесь неопределенности обусловлены утратой информации, касающейся упорядочения операторов в гамильтониане (формальный предел= 0 непосредственно в действии).

Последовательное операторное квантование приводит, как показано выше, к корректному выражению (6.7) для производящего функционала ( ;э матрицы). Структура "действия" (6.8) в модифицированном функциональном интеграле в (6.7) показывает, что на виртуальных фазовых траекториях фактически действует не классическая, а квантовая калибровочная алгебра, генерируемая символами операторов связей первого рода и исходного гамильтониана. При функциональный интеграл в (6.7) не зависит от выбора конечномерной аппроксимации виртуальной фазовой траектории, причем, как уже указывалось выше, именно согласованность способа Q, - регуляризации и типа символов обеспечивает корректный учет информации, касающейся упорядочения операторов в гамильтониане.

Для систем с конечным числом степеней свободы формальное выражение (6.42) фактически неприменимо из-за неопределенностей, которые оно содержит. Однако, в релятивистской теории поля вклады, обусловленные некоммутативностью одновременных операторов в гамильтониане представляют собой нековариантные степенные расходимости типа трехмерной дельта-функции или ее производных в совпадающих точках. Считается, что такие вклады несущественны, если используется лоренц-ковариантная ультрафиолетовая регуляризация. Что же касается калибровочно-инвариантной размерной регуляризации, то она вообще автоматически обращает в нуль любые степенные расходимости. Таким образом считается, что, по крайней мере в некотором классе ультрафиолетовых регуляризации, "наивное" квантование с помощью формального интеграла Фейнмана (6.42) является законным применительно к релятивистской теории поля. Следует, однако, иметь ввиду, что само по себе формальное выражение (6.42) не имеет никакого последовательного обоснования с точки зрения стандартных первопринципов квантовой механики. В отсутствие адекватной операторной формулировки, изложенной выше, это выражение могло быть принято всерьез лишь постольку, поскольку существовала вера в возможность такой формулировки. С другой стороны, корректное выражение (6.7) является прямым следствием стандартных первопринципов, а именно - операторных уравнений движения с эрмитовым уни-таризующим гамильтонианом и канонических одновременных коммутационных соотношений.

В разделе 3 мы видели, что калибровочная алгебра, генерируемая операторами связей первого рода и исходного гамильтониана в рамках производящих уравнений (З.І), (3.2), вообще говоря, открыта (незамкнута Теперь мы построим каноническое преобразование операторов из I , в результате которого калибровочная алгебра может быть сделана замкнутой и даже абелево й в разло есть линейный по гостовским импульсам из (2.32) фермионный шера-трт. Мы обозначаили коэффициентные операторное (7.3Х как І I І I , чтобы не смешивать их с операторами! І Лщ в раз, жении (3.7). Мы, очевидно, имеем.

Структура допустимого калибровочного фермиона. Более явная форма эффективного действия

Как уже говорилось в I главе, конфигурационное описание квантовой динамической системы, в принципе, должно быть выведено из операторного описания путем перехода к лагранжеву формализму. К сожалению, однако, пока не удается технически реализовать эту программу в достаточно общем случае. В этой главе мы рассмотрим независимое построение конфигурационного описания калибровочной теории поля, исходя из некоторой основной гипотезы, в существенном заменяющей-, хотя и не полностью, обобщенное каноническое квантование.

Конфигурационное описание в терминах функционального интеграла, грубо говоря, включает два основных аспекта - эффективное действие и конфигурационную меру интегрирования. Эффективное действие состоит из исходного классического действия, членов, фиксирующих калибровку и вклада гостов. Коэффициенты разложения эффективного действия по степеням антиполей и гостов удовлетворяют структурным соотношениям лагранжевой калибровочной алгебры. Низшим из этих соотношений является тождество Нётер для классического действия. Оно определяет (с естественным произволом) лагранжевы калибровочные генераторы. Далее следует коммутационное соотношение для калибровочных генераторов, обеспечивающее формальную совместность тождеств Нётер. Скобка Ли (коммутатор) генераторов выражается в виде линейной комбинации генераторов и производных классического действия и коммутационные соотношения определяют структурные коэффициенты этой линейной комбинации. Затем появляются низшие циклические соотношения Якоби, обеспечивающие формальную совместность коммутационных соотношений для генераторов, а также уравнения для нуль-векторов генераторов. Эти соотношения определяют следующие структурные функции и т.д.. Здесь нужно отметить два обстоятельства: во-первых, каждая структурная функция входит в определяющее ее структурное соотношение алгебраически, т.е. без дифференцирования по полевым переменным; во-вторых, эффективное действие актуально зависит от структурных функций калибровочной алгебры, взятых при несовпадающих значениях пространственно-временных переменных и дискретных индексов.

Конфигурационная мера интегрирования, как и эффективное действие, разлагается по степеням антиполей и гостов. Требование калибровочной независимости функционального интеграла диктует для коэффициентных функций разложения меры неоднородные дифференциальные по полевым переменным уравнения, в правых частях которых входят шпуры структурных функций по пространственно-временным ПЄ-. ременным и дискретным индексам. Таким образом, "источниками" коэффициентных функций меры являются значения структурных функций калибровочной алгебры в совпадающих точках. Если все структурные функции являются локальными функциями полевых переменных, то правые части дифференциальных уравнений для коэффициентных функций меры пропорциональны ф /(Л , или даже производным четырехмерной О - функции, взятым в совпадающих точках. В рамках регуляризации типа размерной, уничтожающей степенные расходимости, правые части уравнений для меры, следовательно, исчезают, так что эти уравнения допускают тривиальное решение: мера равна единице. Если мы выберем именно эти тривиальное решение для меры, то вид функционального интеграла полностью определяется исходным классическим действием, выбором калибровочных условий и набором структурных функций лагранжевой калибровочной алгебры, входящих как вершины взаимодействий гостов. Так, в общих чертах, выглядит традиционная схема построения ковариантных (лагранжевых) правил Фейнмана, "с точностью до меры". Что можно сказать об этой схеме с точки зрения канонического квантования?

Представляется разумным и в достаточной степени очевидным, что в построении лагранжевых правил Фейнмана в некотором смысле главную роль должно играть эффективное действие, генерирующее лагранжеву калибровочную алгебру. Это находится в полной аналогии с тем, как при построении оператора унитаризующего гамильтониана главную роль играли фермионный и бозонный производящие операторы калибровочной алгебры связей.

Однако, совершенно не очевидно, что, даже если исходное классическое действие соответствует локальной релятивнетски-ковариан-тной теории поля, - последовательно определяемые структурные функции могут быть все выбраны (с учетом естественного произвола в их определении) локальными. Но тогда может оказаться, что даже в размерной регуляризации правые части уравнений для меры не исчезают, так что тривиальное решение для меры отсутствует.

Кроме того, как уже было сказано, уравнения для коэффициентных функций меры являются дифференциальными и в рамках конфигурационного подхода граничные условия к ним неизвестны. Поэтому, даже если эти уравнения допускают тривиальное решение, - именно его выбор ничем не обоснован.

Таким образом мы видим, что конфигурационная схема "с точностью до меры" - логически незамкнута и содержит существенные элементы, требующие обоснования. Исходя из этого, мы проведем равноправный и единообразный анализ формальной структуры обоих аспектов конфигурационного описания - эффективного действия и конфигурационной меры интегрирования - и будем рассматривать его как попытку гипотетического предвосхищения результата, который должен быть подтверждён обобщённым каноническим квантованием.

Сделаем теперь замечание относительно обозначений, используемых в этой главе. Чтобы сделать дальнейшие формулы явно осмысленными, мы фактически будем работать с "конечномерной моделью" калибровочной теории, в которой число всех переменных предполагается конечным. Однако, все формулы сохраняют свой вид при их формальном обобщении применительно к теории поля, если все индексы реинтерпретируются в терминах конденсированных обозначений Де-Витта. В этих обозначениях конденсированные индексы всех полевых переменных включают как дискретные индексы компонент, так и соответствующие непрерывные пространственно-временные координаты. Суммирование по повторяющимся конденсированным индексам включает при этом суммирование по дискретным компонентам и интегрирование по непрерывным 4-координатам.

Решение мастер-уравнения, как калибровочная сверх-теория с нильпотентными генераторами

В б из операторных уравнений движения в представлении, зависящем от внешних источников, получены уравнения (6.2), (6.3) в вариационных производных для производящего функционала (6.1) квантовых функций Грина. Решение этих вариационных уравнений функциональным Фурье-преобразованием даёт замкнутое выражение для производящего функционала в виде функционального интеграла (6.7) по путям в релятивистском фазовом пространстве. Эффективное действие (6.8) в этом интеграле по путям содержит "раздвинутый" по времени символ оператора унитаризующего гамильтониана (4.6). Тем самым полностью учитывается информация о порядке следования некоммути-рующих операторных множителей.

Для символов унитаризующего гамильтониана и производящих операторов калибровочной алгебры имеют место % - аналоги (в смысле (1.3)-(1.6), (1.9)) уравнений (4.6), (4.2), (3.1), (3.2), каковыми являются соответственно (6.11)-(6.14). В рамках производящих- - уравнений (6.13), (6.14) может быть непосредственно реализован процесс генерации калибровочной -) -алгебры символов. Начальным этапом этого процесса является генерация соотношений инволюции для символов операторов связей друг с другом (6.15) и с символом оператора исходного гамильтониана (6.16), а также -уравнения (6.17) для символов операторов сильных нуль-векторов первой стадии. Именно квантовая калибровочная - алгебра, генерируемая в рамках (6.13), (6.14) символами операторов связей первого рода и исходного гамильтониана, фактически действует на виртуальных фазовых траекториях интегрирования в (6.7).

Решение % уравнений (6.13), (6.14) может быть представлено в виде квазиклассических разложений (6.18), (6.19) для символов производящих операторов. Это даёт для коэффициентов рекуррентные уравнения (6.20)46.25). В нулевом приближении таким образом получаются производящие уравнения (6.20), (6.23) классической калибровочной алгебры. Разложения (6.26), (6.30) решения уравнений (6.20), (6.23) по степеням гостов дают соответствующие классические структурные соотношения (6.27), (6.28), (6.31), (6.32). В 7 сформулирована общая процедура замыкания и абелизации операторной калибровочной алгебры. Первым (и основным) шагом здесь является решение в виде разложений (7.13), (7.18) уравнения (7.2) для унитарного оператора канонического преобразования, приводящего фермионный производящий оператор калибровочной алгебры к виду (7.3), линейному по гостовским импульсам. Таким образом мы приходим к структурным уравнениям (7.19), (7.20) для коэффициентных операторов (7.14). Выполнение необходимых условий совместности этих уравнений обеспечивается (3.19), (3.20), (7.7)-(7.9). Условие унитарности (7.1) оператора преобразования (7.13) даёт для операторов (7.14) свойства (7.24)-(7.29) относительно эрмитова сопряжения. Вторым (и последним) шагом процедуры является нахож дение коэффициентных операторов разложений (7.44),(7.49) из уравнений (7.51)-(7.53), приводящих бозонный производящий оператор (7.41) к виду (7.62), линейному по гостовским импульсам. Выполнение необходимых условий совместности этих уравнений обеспечивается (7.37)-(7.39), (7.7)-(7.9).

Наконец, в явном виде получено фактическое содержание низших уравнений (7.19) и (7.2СР при ft—, в низшем секторе (0» л)» а именно трансформационные свойства: (7.85) - для операторов связей, (7.88) - для структурных операторов инволюции связей, (7.90) для операторов нуль векторов первой стадии. Динамические переменные в новом представлении удовлетворяют уравнениям движения (7.82), которые содержат новый унитаризующий гамильтониан (7.75 , описывающий эквивалентную динамическую систему с замкнутой или даже абелевой калибровочной алгеброй. Генерирующие эту алгебру новые операторы связей, нуль-векторов и исходного гамильтониана являются (если иметь ввиду теорию поля), вообще говоря, нелокальными и не обладают правильной релятивистской вариантностью. Тем не менее, предложенная процедура замыкания и абелизации калибровочной алгебры имеет важное значение для понимания общей структуры операторного описания динамических систем со связями первого рода. Во П главе последовательно развит метод ковариантного квантования непосредственно в конфигурационном пространстве для теорий с открытой (любого ранга) и приводимой (любой стадии) лагранжевой калибровочной алгеброй. Это включает следующие основные моменты. В 2 фиксирован полный набор переменных (2.1), (2.6)-(2.9) расширенного конфигурационного пространства калибровочной теории / -й стадии приводимости. Для этих переменных заданы распределение статистики (2.11)-(2.13) и гостовского числа (2.14)-(2.17). В 3 сформулировано основное выражение (3.6) для производя -щего функционала в виде функционального интеграла в расширенном конфигурационном пространстве системы. Этот конфигурационный интеграл содержит фейнмановскую экспоненту, фаза которой выражается через решение основного уравнения (3.3). Последнее представлено также в виде (3.14), в терминах антискобки (3.9) со свойствами (3.10)-(3.13) и оператора (3.4). С помощью "BRS преобразования" (3.15) переменных интегрирования в (3.6), получены соотношения Уорда (3.16) и выражение (3.18) для изменения производящего функционала (3.6) при вариации калибровочного фермиона. Для преобразования Лежандра (3.19) производящего функционала (3.6) относительно источников полей из (3.16) следует мастер-уравнение (3.23) в терминах антискобки (3.9) по среднему полю (3.20) и внешнему антиполю \СР"//.

Похожие диссертации на Квантование динамических систем со связями

Локальные симметрии и динамика систем со связямиГогилидзе, Сосо Архипович

Геометрические аспекты квантовой теории систем со связямиГоловнев Алексей Валерьевич

Солитонные модели переноса энергии и заряда в системах с водородной связьюЗолотарюк, Александр Васильевич

Теромдинамика и оптические свойства квазиодномерных систем с водородными связямиИванкив, Александр Львович

Перенос заряда в сверхпроводящих туннельных системах и сверхрешетках со слабой связьюНайденов, Сергей Вячеславович

Параметрический метод сильной связи для рсчета физических свойств углеродных системХохряков, Николай Владимирович

Квантово-механические взаимодействия в системе макромолекул и процессы передачи энергии между водородными связями Беспалова Светлана Владимировна

Эффекты нетривиальных условий квантования полевых систем и поляризации в глубоконеупругом рассеянииШевченко, Олег Юрьевич

Нелагранжевы калибровочные системы: геометрия и квантованиеШарапов Алексей Анатольевич

Вопросы БРСТ-квантования калибровочно-инвариантных системРыбкин, Григорий Николаевич