Содержание к диссертации
Введение
1 Деформационное квантование виковского типа 15
1.1 Многообразия Федосова-Вика 16
1.2 Конструкция виковского -произведения Л9
1.3 Эквивалентность вейлевских и виковских символов 24
1.4 Гамильтоновы системы со связями второго рода 28
1.5 Виковское квантование кокасательных расслоений 32
1.5.1 Формальная кэлерова структура 34
1.5.2 Голоморфные координаты и сходимость 40
1.5.3 Класс Чженя виковской структуры 42
1.5.4 Пространства постоянной кривизны и нелинейные сигма-модели . 43
1.6 Струна с некоммутативной геометрией мирового листа 46
1.6.1 Виковская деформация бозонной струны 47
1.6.2 Струнные инстантоны и голоморфные кривые 51
2 Деформационное квантование квазисимплектических многообразий 55
2.1 Квазисимплектические многообразия: определение и примеры 57
2.2 Симплектическое вложение и конверсия 63
2.2.1 Симплектическое вложение 63
2.2.2 Неабелева конверсия 64
2.3 Квантование 66
2.3.1 Классический ВРСТ-заряд 66
2.3.2 Квантование расширенного фазового пространства 69
2.3.3 Квантовые наблюдаемые и -произведение 70
2.4 Факторизуемые скобки Пуассона общего вида 72
3 Эффективные нелагранжевы модели в классической теории поля 79
3.1 Самодействие в линейных теориях 81
3.2 Регуляризация классических источников 84
3.3 Конкретные модели 883.
3.1 Минимально взаимодействующие браны 89
3.3.2 Браны с неминимальным взаимодействием 91
3.3.3 Сокращение расходимостей 93
3.3.4 Электродинамика безмассовых частиц 95
3.4 Реакция излучения и перенормировка в нелинейных моделях 99
Геометрические модели и квантование спиновых частиц 107
4.1 Пресимплектическое многообразие массивной релятивистской частицы со спином 109
4.2 Модель массивной спиновой частицы в пространстве-времени произвольной размерности 112
4.3 Квантование 114
4.4 Минимальное взаимодействие 117
Гомологическая механика — гамильтонова версия 119
5.1 Слабая гамильтонова структура 121
5.2 БРСТ-вложение слабой гамильтоновой структуры 124
5.2.1 Расширенное антисимплектическое многообразие 125
5.2.2 Производящие мастер-уравнения 126
5.2.3 Физические наблюдаемые 129
5.2.4 Слабая пуассонова структура и Poo-алгебры 130
5.3 Деформационное квантование 131
5.4 Сигма-модельпая интерпретация 135
Гомологическая механика — лагранжева версия 139
6.1 Лагранжева структура и й'оо-алгебры 141
6.1.1 Классическая динамика 141
6.1.2 Регулярные калибровочные системы 142
6.1.3 Лагранжева структура 144
6.1.4 5оо-алгебры 147
6.2 БРСТ-комплекс 148
6.2.1 Пространство вложения 148
6.2.2 Классический БРСТ-заряд 150
6.2.3 В-когомологии и точность лагранжевой структуры 151
6.2.4 Гамильтонова интерпретация 152
6.2.5 Физические наблюдаемые 156
6.3 Квантовые БРСТ-когомологии и средние физических величин 157
6.3.1 Обобщенное уравнение Швингера-Дайсона 158
6.3.2 Представление амплитуды вероятности континуальным интегралом . 161
6.4 Связь с методом БВ-квантования 163
6.5 Метод огментации 166
6.5.1 Сегментированный БРСТ-комплекс 166
6.5.2 Интерпретация 168
6.5.3 Квантование посредством огментации 171
6.6 Приложения 173
6.6.1 Максвелловская электродинамика с монополями 173
6.6.2 Киральные бозоны 176
6.6.3 Уравнения Дональдсона - Уленбек - Яу .180
7 Характеристические классы калибровочных систем 189
7.1 Определение и примеры 190
7.2 Внутренние харклассы 192
7.3 Интерпретация 197
7.3.1 Однопетлевые аномалии в БВ-формализме 197
7.3.2 Двухпетлевые аномалии в методе БВФ-БРСТ-квантования 198
7.3.3 Характеристические классы слоений 199
Заключение 201
Приложение А. Координаты Морса 205
Приложение В. Асимптотическое разложение основного интеграла 206
Литература 207
- Виковское квантование кокасательных расслоений
- Квантование расширенного фазового пространства
- Модель массивной спиновой частицы в пространстве-времени произвольной размерности
- Представление амплитуды вероятности континуальным интегралом
Введение к работе
Данная диссертация содержит изложение результатов исследований автора, посвященных разработке ковариантных методов квантования калибровочных теорий общего вида, включая нелагранжевы и негамильтоновы системы, а также приложению этих методов к ряду актуальных задач теоретической и математической физики. Прежде чем переходить собственно к постановке рассматриваемых проблем, отметим значение и место данной тематики в общем контексте развития современной теоретической физики фундаментальных взаимодействий.
Прогресс квантовой теории поля как математической основы физики фундаментальных взаимодействий был всегда неразрывно связан с разработкой общих методов квантования. Так, создание в конце 40-х - начале 50-х годов прошлого века квантовой электродинамики породило концепцию фейнмановского интеграла по траекториям [1-4], а открытие неабелевых калибровочных теорий и построение на их основе теоретико-полевых моделей сильного и электрослабого взаимодействий придало мощный импульс развитию общих методов квантования систем со связями [5]. Важным шагом на этом пути явилось определение Фаддеевым и Поповым континуального интеграла для полей Янга-Миллса [6], вовлекающего наряду с исходными полевыми переменными дополнительные нефизические поля (духи), а также открытие Бекки, Руэ, Стора и Тютиным (БРСТ) глобальной фермиошюй симметрии [7-9], смешивающей калибровочные поля с духами Фаддеева-Попова. Открытие БРСТ-симметрии стало прологом к разработке методов обобщенного канонического квантования Баталина-Вилковыского-Фрадкина [10-13] и лагранжевого квантования Баталина-Вилковыского [14-16], составляющих теперь основу общей БРСТ-теории [17,18].
В настоящее время БРСТ-теория является наиболее мощным и универсальным методом квантования калибровочных теорий. Помимо собственно задачи квантования данный метод оказывается эффективным в теории перенормировок, при анализе аномалий, а также как инструмент построения совместных взаимодействий в калибровочных моделях. Заметен рост интереса к использованию БРСТ-методов и в ряде разделов математики, особенно в задачах, связанных с деформацией алгебраических структур (квантовые группы и алгебры, деформационное квантование и пр.). Практически все наиболее важные с современной точки зрения алгебраические структуры могут быть адекватно сформулированы или реинтерпретированы на языке производящих уравнений БРСТ-алгебры для подходящих калибровочных систем. Активное проникновение методов БРСТ-теории и связанной
с ней гомологической алгебры в различные разделы теоретической и математической физики привело даже к появлению термина "когомологическая физика" [19].
Можно констатировать, что современный этап развития квантовой теории поля характеризуется все большим смещением акцента в сторону разработки непертурбативных методов анализа классической и квантовой динамики полей с нетривиальной геометрией фонового, конфигурационного или фазового пространства. Неудивительно, что движение в этом направлении сопровождается интенсивным применением самых современных идей и конструкций дифференциальной геометрии, гомологической алгебры, алгебраической топологии и их синтезом с методами БРСТ-теории. Среди наиболее востребованных методов, имеющих непосредственное отношение к задачам непертурбативной квантовой теории поля, следует выделить метод деформационного квантования.
Концепция деформационного квантования [20-23], возникшая в 70-х годах прошлого века как математически строгая и последовательная схема квантования гамильтоновых систем с нелинейным фазовым пространством, получила бурное развитие в течение последних двадцати лет и является в настоящее время активным полем исследований как математиков, так и физиков-теоретиков. Среди последних ярких достижений в этой области можно отметить конструкцию деформационного квантования Федосова симплектиче-ских многообразий [24,25], а также общую схему деформационного квантования пуассо-аовых многообразий, предложенную Концевичем [26]. Помимо решения собственно проблемы квантования теорий с нелинейным фазовым пространством многие развиваемые в этой области идеи и методы находят применение и в других (существенно отличных по характеру) задачах теоретической и математической физики, в частности, являются эффективным инструментом построения новых физических моделей. Среди последних можно упомянуть виттеновскую формулировку полевой теории струн [28], калибровочные теории на некоммутативных пространствах [29, 30], модели взаимодействия полей высших спинов [33,34]. В этом своем аспекте теория деформационного квантования тесно переплетается с математическими конструкциями некоммутативной геометрии Коннэ [36], являющейся нетривиальным и многообещающим обобщением классического дифференциального исчисления на гладких многообразиях.
Следует заметить, что переход от механических к теоретико-полевым моделям, т. е. системам с бесконечномерным фазовым пространством, приводит к необходимости решения ряда вопросов, выходящих за рамки формальной математической процедуры деформационного квантования. Наличие квантовых расходимостей, например, делает нетривиальным вопрос о выборе правильной схемы квантования даже для полей с простой геометрией фазового пространства. Считается общепринятым, что последовательное квантование теоретико-полевых моделей должно основываться на представлении операторов рождения-уничтожения, т. е. виковском символе для полевых операторов. К сожалению, для большинства физических моделей такое представление известно лишь на уровне свободных полей, а вклад взаимодействия учитывается пертурбативно. Несмотря на извест-
иые достижения пертурбативной теории поля, такое разложение на свободную часть и взаимодействие не всегда адекватно физической ситуации, так как может разрушать фундаментальные симметрии исходной классической модели. Важными примерами такого рода теорий могут служить нелинейные сигма-модели [37] и, в частности, струны в пространстве анти-де Ситтера. Стандартное разложение по методу ковариантного фонового поля над плоским фоном приводит к спонтанному нарушению симметрии сигма-модели, что делает, например, принципиально невозможным прямое отождествление спектра элементарных возбуждений струны с известным спектром элементарных частиц в пространстве анти-де-Ситтера, а также оставляет открытым вопрос о точном (непертурбативном) значении критических параметров теории. Класс виковских символов является, таким образом, выделенным с точки зрения квантовой теории поля и заслуживает дальнейшего развития в сторону непертурбативиого учета глобальной геометрии полей в существенно нелинейных моделях и системах со связями. Решение этих задач, по-видимому, невозможно без глубокого синтеза методов деформационного квантования и БРСТ-теории [38,39].
Еще одной выраженной тенденцией развития современной теоретической физики высоких энергий является все возрастающий интерес к калибровочным теориям, классические уравнения движения которых не допускают естественной вариационной формулировки, т. е. не могут быть получены из принципа наименьшего действия. Среди наиболее фундаментальных моделей такого рода стоит отметить самодуальные поля Янга-Миллса, кираль-ные бозоны, уравнения Дональдсона-Уленбека-Яу, различные многомерные конформные теории поля с расширенной суперсимметрией, уравнения Зайберга-Виттена, теории безмассовых полей высших спинов, а также уравнения, описывающие самосогласованную динамику частиц струн и бран во внешних динамических полях. Отсутствие вариационной формулировки для этих моделей делает принципиально невозможным непосредственное применение стандартных рецептов квантования (операторного БВФ или ковариантного БВ), поэтому обычный подход к квантованию таких теорий состоит в конверсии исходной нелагранжевой динамики в лагранжеву путем введения некоторой системы вспомогательных полей. Вспомогательные поля вводятся так, чтобы эффективная лагранжева теория была динамически эквивалентна исходной (нелагранжевой) теории (т. е. чтобы вспомогательные поля входили в теорию либо чисто алгебраически и исключались на уравнениях движения, либо оказывались чисто калибровочными модами). Хотя в некоторых простых случаях такой подход оказывается действительно эффективным, выбор вспомогательных полей, а также включение их в исходную (нелагранжеву) динамику до сих пор остается в большей степени искусством, нежели конструктивной процедурой. Показательным примером здесь может служить теория безмассовых полей высших спинов. Так, на свободном уровне состав вспомогательных полей н соответствующие лагранжианы были найдены еще в 70-х годах Фронсдалом [40]. В то же время идентификация полного набора вспомогательных полей для нелинейных уравнений высших спинов (уравнений Васильева [31-35]) до сих пор остается открытой проблемой. Указанные трудности делают актуальной разработ-
ку общих методов квантования нелагранжевых калибровочных теорий, которые выводили бы известные схемы БВ- и БВФ-БРСТ-квантований за рамки вариационной динамики.
Исходя из описанного выше общего контекста развития современной теоретической физики высоких энергий и имеющегося круга нерешенных проблем в данной диссертации были поставлены следующие конкретные цели и задачи: сформулировать ковариантную процедуру виковского квантования гамильтоновых систем с нелинейной геометрией фазового пространства и/или связями; обобщить схему деформационного квантования Федосова на широкий класс нерегулярных скобок Пуассона, ассоциированных с симплектиче-скими алгеброидами Ли; разработать методы получения, исследования и перенормировки эффективных уравнений движения протяженных релятивистских объектов (бран) с учетом реакции излучения; построить и проквантовать релятивистские модели частиц высших спинов в пространстве-времени произвольной размерности; обобщить методы БРСТ-квантования на случай нелагранжевых и негамильтоновых калибровочных систем общего вида, а также отработать практику применения этих методов в ряде актуальных моделей теории поля; разработать теорию характеристических классов калибровочных систем как инструмента исследования глобальной геометрической структуры калибровочной динамики и квантовых аномалий.
Центральными разделами диссертации являются главы 5 и б, посвященные обобщению методов деформационного квантования и БРСТ-теории на случай невариационных калибровочных систем общего вида. Мы называем это обобщение гомологической механикой, чтобы подчеркнуть особую роль гомологических методов [41] при построении соответствующего математического формализма. Как и обычная механика, основанная на принципе наименьшего действия, механика гомологическая допускает две эквивалентные формулировки - лагранжеву и гамильтонову. Данная терминология, однако, не имеет ничего общего с возможностью задания классической динамики на основе того или иного вариационного принципа, а относится лишь к способу описания пространства состояний механической системы. Гамильтонова картина соответствует прямому описанию состояний как точек фазового пространства, а динамики - как фазового потока. При этом, вообще говоря, не предполагается, что фазовое пространство несет какую-либо пуассонову структуру, согласованную с потоком. В лагранжевой картине исходным объектом является конфигурационное пространство всевозможных траекторий системы, а физические состояния отождествляются с подпространством истинных траекторий, т. е. траекторий, удовлетворяющих классическим уравнениям движения. В отсутствие калибровочных симметрии задание классических уравнений движения и начальных данных полностью фиксирует эволюцию системы; при этом совершенно неважно, могут ли эти уравнения быть получены на основе вариационного принципа или нет. Ясно, что между обоими картинами нет принципиальной разницы - каждый поток задается системой дифференциальных уравнений первого порядка по времени, а каждая система дифференциальных уравнений может быть представлена как фазовый поток путем введения вспомогательных переменных.
Хотя дифференциальные уравнения движения являются самодостаточными для формулировки классической динамики, переход к квантовомеханическому описанию требует привлечения дополнительных структур на конфигурационном/фазовом пространстве системы в зависимости от того, какой смысл вкладывается в слово "квантование". В га-мильтоновой картине естественным подходом к квантованию является уже упомянутый выше метод деформационного квантования, суть которого состоит в построении одно-параметрической (по постоянной Планка /г.) ассоциативной деформации коммутативной алгебры функций на фазовом пространстве системы (так называемого *-нроизведения). Задание на множестве физических наблюдаемых ^-произведения, а также следовой меры позволяет сформулировать последовательное квантовомеханическое описание системы. Центральным результатом теории деформационного квантования является утверждение о том, что каждая ассоциативная деформация коммутативной алгебры функций определяется в первом порядке по h некоторой скобкой Пуассона и, наоборот, - по каждой скобке Пуассона можно построить некоторое ассоциативное ^-произведение в пространстве физических наблюдаемых. Если скобка Пуассона невырождена, т. е. фазовое пространство системы является симплектическим многообразием, соответствующие классические уравнения движения являются гамильтоновыми и могут быть получены на основе вариационного принципа. Замечательно, что метод деформационного квантования сохраняет свою работоспособность и в случае, когда пуассонова структура является вырожденной 1. При этом даже не требуется, чтобы фазовый поток задавался некоторым гамильтонианом -достаточно, чтобы он сохранял скобки Пуассона. Таким образом, применение метода деформационного квантования позволяет, в принципе, квантовать как вариационную, так и невариационную динамику в фазовом пространстве (по крайней мере, в отсутствие связей и калибровочных симметрии, о чем будет сказано ниже).
В лагранжевой картине в качестве физических наблюдаемых выступают функционалы траекторий системы или, более точно, их ограничения на подпространства истинных траекторий. Под квантованием при этом понимается построение квантовых средних физических величии путем их усреднения по всевозможным траекториям системы с некоторой весовой функцией - амплитудой вероятности. В случае обычной лагранжевой механики в качестве последней постулируется фейнмановская амплитуда вероятности, имеющая вид экспоненты от функционала действия, деленного на —г/г. Исходя из формальной эквивалентности между лагранжевой и гамильтоновой картинами естественно задаться вопросом о том, что является лагранжевым аналогом вырожденной пуассоновой структуры в случае, когда уравнения движения системы не допускают вариационной формулировки.
1 Для нулевой скобки Пуассона, например, *-произведение совпадает с обычным умножением функций, а квантовые уравнения движения — с классическими.
Условно возникающую ситуацию можно изобразить следующей диаграммой:
Лагранжева картина Гамильтонова картина
S & {Н,ш)
I I
? & (К,П)
Вертикальные стрелки диаграммы символизируют переход от вариационной к невариационной динамике, 5 - функционал действия на пространстве траекторий, а Н - функция Гамильтона на симплектическом многообразии с симплектической 2-формой и> (dw = 0). Наконец, нижний правый угол диаграммы содержит структуры, необходимые для последовательного кваитовомеханического описания (невариационной) динамики в фазовом пространстве, а именно - Пуассонов бивектор П и согласованное с ним векторное поле V ([П,П] = 0, [П, У] = 0). Знак вопроса в левом нижнем углу соответствует гипотетической лагранжевой структуре, отвечающей за квантование в пространстве траекторий системы. По своему смыслу лагранжева структура должна: (і) содержать исходные уравнения движения, (іі) определять амплитуду вероятности на пространстве траекторий, (Ш) быть лагранжевым аналогом вырожденной скобки Пуассона. Естественно также предположить, что аналогом нулевой скобки Пуассона должна быть классическая амплитуда вероятности, имеющая вид ("(-функции, сосредоточенной на решениях уравнений движения.
На самом деле, верхний левый угол диаграммы не является полным. Известно, что в лагранжевой механике, как и в гамильтоновой, имеет место бинарная скобочная операция - так называемая антискобка Баталина-Вилковыского. Однако, в отличие от гамильтоно-вого случая, эта скобка является нечетной и определяется не на прострапстстве состояний и даже не на пространстве всех траекторий, а на нечетном ко касательном расслоении к пространству траекторий. Именно последнее обстоятельство делает ее присутствие и полезность не столь очевидными. Тем не менее, антискобка является необходимым ингредиентом БВ-квантования и, как будет показано ниже, ее роль далеко не ограничивается проблемой ковариантного квантования теорий с сингулярными лагранжианами. Добавление антискобки в левый верхний угол диаграммы восстанавливает зеркальную симметрию между гамильтоновой и лагранжевой картинами в случае вариационной динамики и подсказывает естественную кандидатуру на роль лагранжевой структуры. А именно: будет показано, что каждая лагранжева структура задается парой объектов - классическими уравнениями движения и согласованной с ними слабой антискобкой на расширенном пространстве траекторий. Термин "слабая" означает, что скобочное тождество Якоби может размыкаться вне поверхности уравнений движения или, как говорят, выполняться в слабом смысле. Если антискобка является невырожденной, то из условий ее согласования с уравнениями движения немедленно следует, что соответствующая динамика допускает вариационную формулировку. Однако, вся конструкция остается самосогласованной и без
предположения о невырожденности.
Предыдущие рассуждения относились, в основном, к случаю динамических систем без связей и/или калибровочных симметрии. В противном случае условия согласованности динамики с (анти)пуассоновой структурой допускают дальнейшее нетривиальное обобщение. Суть этого обобщения состоит в том, чтобы потребовать выполнение тождества Якоби для (анти)скобки лишь в пространстве калибровочно-инвариантных величин и только на поверхности связей. (В лагранжевом случае роль связей играют классические уравнения движения.) Систематическое развитие этой концепции естественно приводит нас к понятиям Роо- и ^-алгебр [282], являющихся сильно гомотопическими аналогами, соответственно, пуассоновых и антипуассоновых алгебр. Значок со указывает на то, что каждая такая алгебра задается бесконечным набором n-арных скобочных операций на расширенном фазовом/конфигурационном пространстве системы, связанных обобщенными тождествами Якоби. При этом 1-скобка несет всю информацию о связях и калибровочных генераторах системы, 2-скобка определяется слабой (анти)скобкой, 3-скобка контролирует размыкание тождества Якоби для 2-скобок и т.д.
Будет показано, что вся иерархия скобочных структур, отвечающая невариационной калибровочной динамике со связями, допускает компактное БРСТ-описание в терминах производящих мастер-уравнений. Однако соответствующий БРСТ-комплекс существенно отличается от стандартных БВ- и БВФ-комплексов как спектром духовых переменных, так и структурой соответствующих БРСТ-генераторов. Производящее мастер-уравнение для Poo-структуры вовлекает, например, бозонное мастер-действие с духовым числом 2 вместо классического БРСТ-заряда с духовым числом 1. Существенное расширение спектра духовых полей по сравнению с канонической БРСТ-теорией является отражением более богатой структуры калибровочной алгебры, имеющей место в случае невариационной динамики. Так, наличие у системы калибровочных симметрии вовсе не означает зависимости между ее уравнениями движения и наоборот, а наличие инволютивного набора связей на фазовом пространстве системы не порождает, вообще говоря, нетривиальных калибровочных преобразований. Таким образом, стандартные соответствия между генераторами калибровочных симметрии и тождествами Нетер в лагранжевом формализме (или связями первого рода в гамильтоновом) оказываются нарушенными для невариационных динамических систем. В соответствии с общей логикой БРСТ-теории это означает, что при построении БРСТ-вложения невариационной динамики в расширенное конфигурационное/фазовое пространство каждому из упомянутых выше объектов должна отвечать своя пара канонически сопряженных духов.
Замечательно, что классические БРСТ-комплексы, отвечающие невариационным динамическим системам, допускают естественную деформацию, индуцирующую квантование исходной динамики. В гамильтоновом случае существование такой деформации обес-печиваеіся 'теоремой формальности Концевича, а результатом квантования является слабо ассоциативное *-произведение на расширенном фазовом пространстве системы. Здесь
"слабая ассоциативность" означает ассоциативность в БРСТ-когомологиях, в частности, в подпространстве физических величин слабо гамильтоновой системы. В лагранжевой картине результатом квантования является квантовая амплитуда вероятности на пространстве траекторий системы. Не вдаваясь в дальнейшие подробности, отметим, что суть предлагаемого метода лагранжева квантования может быть выражена следующим тезисом.
Каждая классическая теория поля в d-мерном пространстве-времени эквивалентна некоторой лагранжевой топологической теории в (d + 1)-мерном пространстве, имеющем исходное пространственно-временное многообразие в качестве своей границы; конструкция продолжения (нелагрансисевой) d-мерной теории в d+І измерение не является однозначной, но контролируется выбором лагранжевой структуры.
Применение стандартной процедуры БВ-квантования к топологической теории в (d + 1)-мерном пространстве индуцирует некоторое квантование исходной нелагранжевой динамики в d измерениях.
Виковское квантование кокасательных расслоений
Вертикальные стрелки диаграммы символизируют переход от вариационной к невариационной динамике, 5 - функционал действия на пространстве траекторий, а Н - функция Гамильтона на симплектическом многообразии с симплектической 2-формой и (dw = 0). Наконец, нижний правый угол диаграммы содержит структуры, необходимые для последовательного кваитовомеханического описания (невариационной) динамики в фазовом пространстве, а именно - Пуассонов бивектор П и согласованное с ним векторное поле V ([П,П] = 0, [П, У] = 0). Знак вопроса в левом нижнем углу соответствует гипотетической лагранжевой структуре, отвечающей за квантование в пространстве траекторий системы. По своему смыслу лагранжева структура должна: (і) содержать исходные уравнения движения, (іі) определять амплитуду вероятности на пространстве траекторий, (Ш) быть лагранжевым аналогом вырожденной скобки Пуассона. Естественно также предположить, что аналогом нулевой скобки Пуассона должна быть классическая амплитуда вероятности, имеющая вид ("(-функции, сосредоточенной на решениях уравнений движения.
На самом деле, верхний левый угол диаграммы не является полным. Известно, что в лагранжевой механике, как и в гамильтоновой, имеет место бинарная скобочная операция - так называемая антискобка Баталина-Вилковыского. Однако, в отличие от гамильтоно-вого случая, эта скобка является нечетной и определяется не на прострапстстве состояний и даже не на пространстве всех траекторий, а на нечетном ко касательном расслоении к пространству траекторий. Именно последнее обстоятельство делает ее присутствие и полезность не столь очевидными. Тем не менее, антискобка является необходимым ингредиентом БВ-квантования и, как будет показано ниже, ее роль далеко не ограничивается проблемой ковариантного квантования теорий с сингулярными лагранжианами. Добавление антискобки в левый верхний угол диаграммы восстанавливает зеркальную симметрию между гамильтоновой и лагранжевой картинами в случае вариационной динамики и подсказывает естественную кандидатуру на роль лагранжевой структуры. А именно: будет показано, что каждая лагранжева структура задается парой объектов - классическими уравнениями движения и согласованной с ними слабой антискобкой на расширенном пространстве траекторий. Термин "слабая" означает, что скобочное тождество Якоби может размыкаться вне поверхности уравнений движения или, как говорят, выполняться в слабом смысле. Если антискобка является невырожденной, то из условий ее согласования с уравнениями движения немедленно следует, что соответствующая динамика допускает вариационную формулировку. Однако, вся конструкция остается самосогласованной и без предположения о невырожденности.
Предыдущие рассуждения относились, в основном, к случаю динамических систем без связей и/или калибровочных симметрии. В противном случае условия согласованности динамики с (анти)пуассоновой структурой допускают дальнейшее нетривиальное обобщение. Суть этого обобщения состоит в том, чтобы потребовать выполнение тождества Якоби для (анти)скобки лишь в пространстве калибровочно-инвариантных величин и только на поверхности связей. (В лагранжевом случае роль связей играют классические уравнения движения.) Систематическое развитие этой концепции естественно приводит нас к понятиям Роо- и -алгебр [282], являющихся сильно гомотопическими аналогами, соответственно, пуассоновых и антипуассоновых алгебр. Значок со указывает на то, что каждая такая алгебра задается бесконечным набором n-арных скобочных операций на расширенном фазовом/конфигурационном пространстве системы, связанных обобщенными тождествами Якоби. При этом 1-скобка несет всю информацию о связях и калибровочных генераторах системы, 2-скобка определяется слабой (анти)скобкой, 3-скобка контролирует размыкание тождества Якоби для 2-скобок и т.д.
Будет показано, что вся иерархия скобочных структур, отвечающая невариационной калибровочной динамике со связями, допускает компактное БРСТ-описание в терминах производящих мастер-уравнений. Однако соответствующий БРСТ-комплекс существенно отличается от стандартных БВ- и БВФ-комплексов как спектром духовых переменных, так и структурой соответствующих БРСТ-генераторов. Производящее мастер-уравнение для Poo-структуры вовлекает, например, бозонное мастер-действие с духовым числом 2 вместо классического БРСТ-заряда с духовым числом 1. Существенное расширение спектра духовых полей по сравнению с канонической БРСТ-теорией является отражением более богатой структуры калибровочной алгебры, имеющей место в случае невариационной динамики. Так, наличие у системы калибровочных симметрии вовсе не означает зависимости между ее уравнениями движения и наоборот, а наличие инволютивного набора связей на фазовом пространстве системы не порождает, вообще говоря, нетривиальных калибровочных преобразований. Таким образом, стандартные соответствия между генераторами калибровочных симметрии и тождествами Нетер в лагранжевом формализме (или связями первого рода в гамильтоновом) оказываются нарушенными для невариационных динамических систем. В соответствии с общей логикой БРСТ-теории это означает, что при построении БРСТ-вложения невариационной динамики в расширенное конфигурационное/фазовое пространство каждому из упомянутых выше объектов должна отвечать своя пара канонически сопряженных духов.
Замечательно, что классические БРСТ-комплексы, отвечающие невариационным динамическим системам, допускают естественную деформацию, индуцирующую квантование исходной динамики. В гамильтоновом случае существование такой деформации обес-печиваеіся теоремой формальности Концевича, а результатом квантования является слабо ассоциативное -произведение на расширенном фазовом пространстве системы. Здесь "слабая ассоциативность" означает ассоциативность в БРСТ-когомологиях, в частности, в подпространстве физических величин слабо гамильтоновой системы. В лагранжевой картине результатом квантования является квантовая амплитуда вероятности на пространстве траекторий системы. Не вдаваясь в дальнейшие подробности, отметим, что суть предлагаемого метода лагранжева квантования может быть выражена следующим тезисом.
Каждая классическая теория поля в d-мерном пространстве-времени эквивалентна некоторой лагранжевой топологической теории в (d + 1)-мерном пространстве, имеющем исходное пространственно-временное многообразие в качестве своей границы; конструкция продолжения (нелагрансисевой) d-мерной теории в d+І измерение не является однозначной, но контролируется выбором лагранжевой структуры.
Применение стандартной процедуры БВ-квантования к топологической теории в (d + 1)-мерном пространстве индуцирует некоторое квантование исходной нелагранжевой динамики в d измерениях.
Квантование расширенного фазового пространства
Поскольку оператор V сохраняет фильтрацию, а 5 1 повышает ее на 1, итерационная процедура для (1.33) сходится к единственному решению а 1(а), что позволяет вычислить -произведение двух функций в любом порядке по К.
Заметим, что для антиэрмитова тензора Вика (случай кэлерова многообразия) построенное -произведение обладает следующим свойством вещественности: Замечание 1.2.1. Как видно, ранговое условие, налагаемое на Л определением 1.1.1, является несущественным для построения ассоциативного -произведения (1.13). Единственное условие, которое было использовано в нашей конструкции, - это существование симметричной связности, согласованной с Л. Таким образом, данная конструкция может быть применена и в более общей ситуации, включая случай вырожденного тензора д. Полагая, например, д = 0 получаем обычное квантование Федосова. Обсудим теперь структуру следового функционала на алгебре квантовых наблюдаемых (С(М)[[Щ], ). Обозначим через С(М)[[/ї]] С C(M)[[h]] двусторонний идеал, порожденный гладкими функциями с компактным носителем. Линейный функционал на C(M)[[h]] со значением в С[[Й]] называется следом, если он обращается в нуль на -коммутаторах, т. е. Пусть du = dftQ + Hdui + ...- формальная мера на М, тогда интеграл по dfi определяет непрерывный линейный функционал вида Со(М)[[Я]] Э а — JM а dfi. Формальная мера называется следовой мерой для -произведения, если функционал fM а d/j, является следом. В работе Неста и Цыгана [45] было доказано, что любой непрерывный следовой функционал определяется некоторой следовой мерой. Для ФВ-многообразий верно также следующее утверждение. Теорема 1.2.6. С точностью до мультипликативной константы на любом ФВ-много-образии существует единственная следовая мера, ассоциированная с виковской алгеброй символов (C(M)[[/i]], ). Эта мера имеет следующую структуру: где v — u)n/n\ — y/\ det g\dxl Л ... Л dx2n - симплектический (риманов) объем М, а коэффициенты г(ж) являются полипомами от тензора кривизны и его ковариаитных производных. Доказательство. Эта теорема является аналогом теоремы 5.6.6 из [25] и может быть до казана с использованием принципа локализации. Кроме того, в следующем разделе будет приведена явная формула устанавливающая локальный изоморфизм между алгебрами виковских и вейлевских символов. Используя этот изоморфизм, можно выразить следо вую меру на ФВ-многообразии (М, Л) через следовую меру Федосова соответствующего симплектического многообразия (М,ш). Нетрудно видеть, что для однородных ФВ-многообразий, соответсвующая группа движений (очевидно конечномерная) определяет группу симметрии -произведения. В этом случае dpi = v. В заключение отметим, что построенная выше схема виковского деформационного квантования допускает естественное продолжение на суперсимплектическое многообразие, ассоциированное с нечетным касательным расслоением НТМ многообразия Федосова-Вика (Л/, Л). Обозначим через 9г нечетные координаты в слоях над некоторой триви-ализующей координатной окрестностью в М. Используя входящую в определение ФВ-многообразия метрику д, можно продолжить симплектическую 2-форму ш на М до следующей симплектической 2-формы на НТМ: где DO1 = d0% — Yjk9kdx3. В соответствии с известной теоремой Ротштейна [75] о классификации суперсимплектических многообразий, каждая симплектическая структура на НТМ может быть приведена подходящим диффеоморфизмом к виду (1.37). Кроме того, метрическая связность на М каноническим образом продолжается до симплектической связности V на НТМ. РІспользуя эти данные, можно построить -произведение, квантующее суперсимплектическую структуру (1.37) и обладающее естественной виковской поляризацией. Детали конструкции содержатся в [66]. Обобщение федосовского квантования на суперсимплектические многообразия общего вида было рассмотрено Бордеманном [52]. Богатая геометрия ФВ-многообразий позволяет применить к ним по крайней мере две схемы квантования - деформационное квантование Федосова, являющееся обобщением вейлевского квантования в линейных симплектических пространствах, и рассмотренное выше виковское квантование, вовлекающее наряду с симплектической структурой некоторую дополнительную симметричную форму. Естественно поставить вопрос о том, являются ли эти два квантования различными или же существует оператор, сплетающий соответствующие алгебры квантовых наблюдаемых.
Известно [25,44,46], что любые два -произведения на симплектическом многообразии локально эквивалентны, а препятствия к их глобальной эквивалентности лежат во второй группе когомологий де Рама многообразия. В этом разделе мы построим оператор, осуществляющий локальную эквивалентность вейлевского и виковского квантований, а также предъявим замкнутую 2-форму, чей класс когомологий препятствует установлению глобальной эквивалентности.
Чтобы отличать виковское квантование от вейлевского, будем использовать дополнительный индекс д у всех конструкций, связанных с виковским звездочка-умножением. В частности, послойное произведение (1.17) будет обозначаться о9, в то время как о будет использоваться для обозначения федосовского послойного умножения [24], получающегося из (1.17) нолаганием g = 0.
Модель массивной спиновой частицы в пространстве-времени произвольной размерности
Последнее уравнение означает, что векторное поле Y (і) касается поверхности и (іі) аннулируется Л, а потому и ЛЕ. Эти п — тп левых нуль-векторов натягивают половину комплексифицированного касательного пространства ТСЕ. Дополнительное распределе ние правых нуль-векторов получается отсюда комплексным сопряжением. Интегрируе мость обоих распределений теперь очевидна (1.75). Заметим, что ненулевые компоненты (1.72) символов Кристоффеля Tjjc допускают простую интерпретацию в терминах внутренней геометрии М. А именно: Гк - суть символы Кристоффеля единственной симметричной связности V, сохраняющей как вырожденный симметричный тензор ди (верхний левый блок G-1), так и их левые нуль-ковекторы (19а. Последнее свойство можно сформулировать еще и так. Дифференциальный идеал 1-форм d9a задает оснащение симплектического слоения скобки Дирака (1.58), и связность V согласована с этим оснащением. В частности, V может быть ограничена на каждый симплектический лист С М, где она совпадает с метрической связностью, построенной по ограничению д\&. Что же касается М-тензоров Г?-, а = 1, ...,2т, то они отождествляются с внешними кривизнами поверхности , т. е. характеризуют вложение в риманово многообразие (М,д). Действительно, если М = R2n ид- плоская метрика, то уравнения Tfj — 0 определяют 2(п — т)-мерные плоскости Е2п.
В заключение остановимся на вопросе о виковском квантовании гамильтоновой системы (М, А, 9). Если многообразие Л4 = М х R2m кэлерово, то соответствующее ви-ковское квантование может быть построено по методу, изложенному в секции 1.2 (обобщение на почти кэлеров случай содержится в [62]). При этом инвариантность кэлеро-вой структуры относительно М2т-сдвигов поднимается до симметрии соответствующего -произведения так, что функции, постоянные на Ш2т С Л4, образуют подалгебру относительно -умножения в АЛ. Таким образом, при выполнении условий предложения 1.4.1 (почти )виковское -произведение на АЛ индуцирует некоторое виковское -произведение на М. Можно показать, что алгебра (С(М)[[Й]], ) обладает нетривиальной центральной подалгеброй, порожденной связями второго рода, причем3 / ва = / -ва. Факторизуя (C(M)[[h]], ) по двустороннему идеалу ва, получаем алгебру наблюдаемых, ассоциируемую с квантованием физического фазового пространства (Е, ЛЕ).
Рассмотрим теперь вопрос о построении естественного виковского квантования кокасательных расслоений T Q. Как было показано выше, такое квантование предполагает наличие на фазовом пространстве (помимо симплектической связности) римановой или псев-доримановой метрики. Предположим, что на базовом многообразии Q такая метрика имеется и поставим задачу о естественном продолжении (подъеме) этой метрики с базы до кэлеровой метрики на тотальном пространстве расслоения T Q. Имеется несколько простых соображений, мотивирующих такую постановку вопроса.
Фазовое пространство большинства физических систем имеет структуру кокаса-тельного расслоения T Q над некоторым конфигурационным пространством Q. Зачастую конфигурационное пространство обладает некоторой естественной (псевдо-)римановой метрикой, входящей в само определение динамической системы (точечная частица в общей теории относительности, нелинейные сигма-модели и др.). Даже если эта метрика и не входит в определение исходной классической системы, она может вовлекаться (явно или неявно) на стадии квантования. Метрика на конфигурационном пространстве полей является, например, основным объектом в конструкции единого эффективного действия Вилковыского-Девита [81,82]. В работах [83-86] было показано, что введение метрики на фазовом пространстве системы доставляет естественный способ доопределения и регуляризации соответствующих континуальных интегралов.
Как известно, последовательное квантовомеханическое описание и физическая интерпретация квантованного поля в терминах частиц достигается на основе использования
В классическом пределе последнее свойство следует из того, что связи второго рода являются функциями Казимира скобки Дирака (1.58), а в высших порядках по h - обеспечивается согласованностью пуассоновой связности V с оснащением d9a. Более подробное обсуждение этого вопроса можно найти в [39], где аналогичная связность используется для построения вейлевского квантования скобок Дирака. виковских символов операторов (представления операторов рождения-уничтожения). В предыдущем разделе было показано, что в основе любого виковского квантования лежит та или иная метрика на фазовом пространстве системы, согласованная с симплектиче-ской структурой. Если фазовое пространство является касательным расслоением T Q, то ограничение этой метрики на конфигурационное пространство Q наделяет последнее структурой риманового многообразия.
Оказывается, что последнее замечание допускает обращение. А именно: стартуя с некоторой римановой метрики д на конфигурационном пространстве Q, можно построить формальную кэлерову метрику на T Q так, чтобы соответствующая кэлерова 2-форма совпадала с канонической сим-плектической структурой на Т Q и, кроме того, выполнялось "граничное условие" G\Q = д. Здесь (zl,zJ) - комплексные координаты, адаптированные к кэлеровой структуре, a (xl,pj) - канонические координаты на кокасательном расслоении. В терминах вещественных координат формальность означает, что компоненты кэлеровой метрики G даются формальными степенными рядами по импульсам рг. Ниже мы также покажем, что для вещественно аналитического риманового многообразия (Q, д), эти ряды сходятся в некоторой трубчатой окрестности Q С T Q и определяют на ней кэлерову структуру с нулевым классом Чженя. Как только формальная кэлерова структура построена, к ней можно применить стандартную процедуру виковского квантования, изложенную в предыдущих разделах.
Отметим, что вейлевское деформационное квантование кокасательных расслоений было систематически изучено в работах [50,51]. Основным моментом предложенной в этих работах конструкции вейлевского -произведения являлся подъем (продолжение) исходной аффинной связности на конфигурационном пространстве до некоторой однородной симплектической связности на тотальном пространстве кокасательного расслоения T Q. При этом условие однородности сильно ограничивало произвол в продолжении связности, так что символы Кристоффеля поднятой связности оказывались не более чем линейными по импульсам. Излагаемая ниже конструкция формальной кэлеровой структуры на кокасательном расслоении [87] приводит к принципиально другому подъему для связности; в общем случае, символы Кристоффеля кэлеровой связности даются бесконечными формальными рядами по импульсам и не могут быть приведены к полиномиальной форме за счет естественного произвола в их определении.
Представление амплитуды вероятности континуальным интегралом
Переход от парадигмы точечных частиц к струнам сопровождается появлением нового масштабного фактора и связанной с ним деформации, в дополнение к обычной квантово-механической деформации. Квантовые эффекты характеризуются постоянной Планка Я, в то время как струнные эффекты оказываются пропорциональными величине обратного натяжения струны а , при этом оба этих параметра отвечают за некоторую деформацию классической геометрии фазового пространства и/или пространства вложения струны. Хотя имеется множество убедительных аргументов в пользу того, что варьируя эти параметры можно интерполировать между пятью известными струнными моделями в D = 10, а также 11-мерной супергравитацией, приходится констатировать, что конструктивное определение полной теории в "промежуточной области", известной как М-теория, в настоящее время отсутствует.
Что касается Я-деформации, то здесь имеется целый арсенал мощных методов квантования, позволяющих исследовать данную проблему во многих интересных случаях. (Заметим, что именно условие квантовой самосогласованности позволило идентифицировать пять известных струнных моделей.) В то же время математические структуры, лежащие в основе « -деформации, остаются менее изученными. В этой связи особый интерес представляют матричные модели [88,89] как возможные кандидаты для описания микроскопических степеней свободы гипотетической М-теории.
Подход матричных моделей эксплуатирует аналогию между алгебраическими свойствами скобки Пуассона и коммутатора матриц (линейных операторов). Исходным пунктом является следующая "пуассонова формулировка" бозонной струнны [90,91]:
Здесь {XА} - координаты в пространстве Минковского, а {, } - скобка Пуассона, ассоциированная с 2-формой объема ш на мировой поверхности струны М. Легко видеть, что на классическом уровне модель (1.150) эквивалентна струне Намбу-Гото с параметром а = а/2п. Считая теперь координаты XА эрмитовыми N х iV-матрицами и делая в функционале (1.150) формальную замену приходим к действию ИККТ-матричной модели4 [90]: = -Тг ([XА, XBf + а2) . (1.152)
Более точно, к ее бозонному сектору. С точностью до постоянного члена этот функционал действия может рассматриваться как результат размерной редукции в точку теории Янга-Миллса с калибровочной группой U(N). Предполагается, что в пределе больших N эта модель аппроксимирует действие бозонной струны (1.150) при условии, что распределения собственных чисел матриц XА достаточно гладкие. Для случаев 2-тора и сферы этот предел может быть прослежен явно [89].
В этом контексте представляется совершенно естественным интерпретировать операторы XА не как заданные априори, но возникающие в результате квантования скобки Пуассона, входящей в определение действия (1.150). В работах [92,93] эта идея была впервые реализована с использованием виковского деформационного квантования, рассмотренного в предыдущих разделах. В результате была построена модель бозонной струны с некоммутативной геометрией мирового листа. Хотя с общей точки зрения данный подход аналогичен обычному подходу некоммутативной теории поля на пространстве Минковского (см., например, [91]), имеется два существенных отличия. Во-первых, некоммутативность геометрии мирового листа струны является динамической и управляется независимым полем и (в отличие от постоянной пуассоновой структуры, использующейся в большинстве рассмотренных на сегодняшний день моделях некоммутативной теории поля). Второе замечание, тесно связанное с предыдущим, состоит в том, что последовательное деформационное кванювание вовлекает наряду со скобкой Пуассона симметричную связность, согласованную с ш. В отличие от метрической связности, симплектическая связность не определяется однозначно в терминах симплектической 2-формы, а потому должна рассматриваться как независимое динамическое поле. Ключевое наблюдение работы [92] состояло в том, что в случае бозонной струны все необходимые пререквизиты деформационного квантования - симплектическая структура и согласованная с ней связность - уже содержатся в теории в виде метрики Полякова на мировой поверхности струны. А именно: симплектическая 2-форма со может быть отождествлена с римановой формой объема, которая, очевидно, сохраняется метрической связностью.
Возвращаясь к вопросу о природе а -деформации, затронутому в начале этого раздела, можно сказать, что в некоторых отношениях она имеет ту же математическую структуру и может быть изучена теми же методами, что и /г-деформация, т. е. методами деформационного квантования. Итак, будем трактовать мировую поверхность струны как 2-мерное псевдориманово многообразие М с метрикой gij, i,j = 1,2, вложенное в d-мерное пространство Минковского jjtf-1,1 с координатами {-Х }. Каноническая 2-форма объема псевдориманова многообразия задает на М симплектическую структуру и = y/gdu A dv, g = det( 7y)- Как любое 2-мерное псевдориманово многообразие, М является пара-кэлеровым многообразием с каионическим тензором Вика (1.2) Здесь gli and to13 - контравариантные тензоры, обратные к метрическому тензору и тензору 2-формы, соответственно. В каждой точке мировой поверхности струны правые и левые нуль-векторы Л задают изотропные направления (образующие светового конуса) в М. В обычной (коммутативной) теории струн вложение мировой поверхности струны в объемлющее пространство задается полями Хл(а,т), образующими коммутативную алгебру относительно поточечного умножения функций на М. Некоммутативное обобщение теории получается в результате ассоциативной (но некоммутативной) деформации алгебры классических полей. А именно: вводится -произведение функций на М, являющееся виковской деформацией поточечного умножения. Используя явные рекуррентные формулы (1.33), можно найти следующее выражение для нескольких первых членов -произведения: (1.154) Здесь v - параметр деформации, a Vj и R - суть ковариантная производная и скалярная кривизна, ассоциированные с метрикой д . Следует отметить, что рассматриваемая здесь схема некоммутативной деформации, не является единственно возможной; существует множество других -произведений, строящихся исходя из заданной двумерной метрики. (Например, в определении Л можно было бы скомбинировать тензоры и и д с произвольными комплексными коэффициентами.) В контексте теории струн выбор (1.153) обладает быть может тем преимуществом, что обеспечивает коммутативность правых и левых струнных мод. А именно: пусть Xі (а, т) -криволинейные координаты светового конуса, определенные равенствами
