Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Геометрическое квантование в геометрической формулировке квантовой механики
1.1. Гильбертово пространство как келерово многообразие стр.16
1.2. Настоящее квантовое фазовое пространство стр.19
1.3. Риманова геометрия и процесс измерения стр.22
1.4. Постулаты квантовой механики стр.27
1.5. Квантование Сурьо - Костанта стр.29
1.6. Комплексная и вещественная поляризации стр.36
Глава 2. Принцип соответствия в алгебраической лагранжевой геометрии
2.1. Условие Бора - Зоммерфельда стр.43
2.2. Конструкция удвоения. Келерова структура стр.48
2.3. Индуцированные функции на многообразии модулей стр.51
Глава 3. Динамическое соответствие в алгебраической лагранжевой геометрии
3.1. Квазисимволы над келеровыми многообразиями стр.57
3.2. Динамическое соответствие стр.60
3.3. Доказательство Предложения 3.5 стр.65
3.4. Критические точки F/ стр.68
Глава 4. АЛ Г (а) - квантование
4.1. Геометрия квантования стр.72
4.2. Вещественная поляризация стр.77
4.3. Комплексная поляризация стр.81
Глава 5. Пространства эрмитовых троек и уравнения Зайберга - Вит-тена
5.1. Эрмитовы тройки и уравнения Зайберга - Виттена стр.87
5.2. Простейшие свойства канонического отображения г стр.93
5.3. Структура пространства эрмитовых троек стр.96
5.4. Необходимое условие на базисные классы стр.104
Глава 6. Приложение: супергеометрия
6.1. Условие Бора - Зоммерфельда с точки зрения супергеометрии стр.109
6.2. Представление классических наблюдаемых суперфункциямистр.112
Заключение стр.115
Литература стр.119
- Настоящее квантовое фазовое пространство
- Постулаты квантовой механики
- Индуцированные функции на многообразии модулей
- Доказательство Предложения 3.5
Введение к работе
Основная тема настоящей диссертационной работы — квантование классических механических систем в терминах алгебраической геометрии. Таким образом, в пашей работе оказываются связанными вопросы физики и математики. Напомним коротко основные проблемы и методы, которые породили наш подход к квантованию.
Квантование — это необычайно важный и популярный предмет в теоретической физике. Необходимость появления и развития этого предмета была продиктовапа создателями квантовой теории. Согласно коиепгагенской программе, физические представления о квантовой теории должны иметь формулировку в терминах классических концепций. То есть в дополнение к традиционной структуре (гильбертово пространство, унитарные преобразования, самосопряженные операторы) топкая квантовая теория должна допускать переход к классическому пределу, при котором квантовые наблюдаемые связываются с классическими наблюдаемыми. Однако, как подчеркивал Дирак на заре квантовой теории, такое соответствие между квантовой теорией и классической теорией должно проистекать в большей степени не из численных совпадений при переходе к пределу h — со, а из аналогии между их математическими структурами: первичность классической теории не в приближении квантовой теории, а в создании рамок для ее интерпретации. Исходя из этой концепции, мы можем трактовать квантование в широком смысле как некоторое соответствие между классическими теориями и квантовыми теориями. При этом квантование классических механических систем представляется переходом в одну сторону, а процесс сведения квантовой системы к классической в смысле Дирака дает обратное отображение. Более красиво и емко это можно выразить так: многообразие модулей квантовых теорий является п - листным накрытием многообразия модулей классических теорий (предпологают что п = 2), и квантование — это структура накрытия.
Непосредственно предмет квантования необычайно популярен. Имеется целый спектр различных подходов к задаче квантования. Однако, один из этих методов признается в теоретической физике первым и называется каноническим квантованием. В простых случаях, которые встречаются в элементарной квантовой механике, требуемое соответствие основывается на выбранных и фиксированных канонических координатах: классическое наблюдаемое, представленное некоторой функцией f(pa,qb) в канонических координатах, ассоциируется с квантовым наблюдаемым, представленным оператором
Каноническое квантование гармонического осциллятора является в теоретическое физике некоторым эталоном: любой альтернативный подход предлагают проверить в применении к данной классической задаче, и если ответ не сходится с каноническим, то такой подход забраковывается. Однако, такая формальная подстановка, когда вместо координат ра в выражение для функции подставляют дифференциальный оператор, порождает множество проблем. Действительно, кроме простейших случаев, при этом переходе квантовое наблюдаемое зависит от порядка р и q в классическом выражении для /, и само квантование существенно зависит от первоначального выбора координат и не является инвариантным относительно общих канонических преобразований, к тому же область определения получаемого оператора остается неопределенной этим формальным выражением. Тем не менее, дополненное физической интуицией, каноническое квантование и его различные обобщения оказались необычайно плодотворными методами, развитием которых по сути и занимается в паши дни теоретическая физика.
Одним из путей развития является геометрическое квантование. Геометрическое квантование — предмет настоящей работы — как термин может восприниматься двояко. Конечно же, под геометрическим квантованием можпо подразумевать и абсолютно конкретную конструкцию (см. [12], [20], [34] и пр.), называемую еще квантованием Сурьо - Костанта, и общий подход к проблеме квантования классических механических систем, использующий геометрию. Проблема квантования в наши дни решается различными способами: алгебраические подходы включают в себя деформационное квантование, формальную геометрию, некоммутативную геометрию, квантовые группы и т.д.; аналитические методы используются в теориях интегральных операторов Фурье, теплицевых структурах и плотностных распределениях. Однако все эти методы сходятся в одном — используя их, мы совершенно забываем исходную систему, возврат к которой становится невозможным. Геометрическое квантование коренным образом отличается от упомянутых методов тем, что оригинальное симплек-тическое многообразие, отвечающее исходной классической системе, остается "в игре" — включается в определение вспомогательных геометрических объектов, используемых для построения соответствующей квантовой механики. При этом геометрическое квантование, ориентируясь на каноническое квантование, отказывается от выбора координат и строится как метод, применимый в общей ситуации, когда фазовое пространство искривлено и вообще не допускает выбора глобальных координат. Стартуя с классического фазового пространства системы, не допускающей канонического квантования, геометрическое квантование должно приводить к построению гильбертова пространства и квантовых наблюдаемых на нем, и при этом в применении к простым системам результаты геометрического квантования должны совпадать с результатами канонического квантования (см. [34]). Известные методы работают по одной и той же схеме: из всего пространства классических наблюдаемых (гладких функций) выделяется подкласс квантуемых наблюдаемых, и этот подкласс достаточно мал. Обычно (см. [19], [34]) выбирается некоторая поляризация исходного симплектического многообразия, и квантуемые функции выделены тем, что их гамильтоиовы векторные поля сохраняют эту поляризацию. С другой стороны, классических результат ван Хова (см. [11]) удостоверяет в том, что невозможно реализовать идеальное квантование. Под идеальным квантованием классической механической системы, фазовое пространство которой заметает симплек-тическое многообразие (М,ы), понимается процедура в результате которой мы получаем некоторое подходящее гильбертово пространство Н вместе с неприводимым представлением Q:C°°(M,R)-»O(70, где 0(H) — пространство самосопряженных операторов на "Н, таким что выполнен принцип соответствия №(/),«( )] = ад/, }), то есть Q является представлением алгебры Пуассона. Требование неприводимости впервые заставило исследователей перейти к подклассам квантуемых функций, поскольку при классическом квантовании Сурьо - Костанта получаемое представление является прямой суммой двух одиинаковых копий, что повлекло рассмотрение (и квантование) только "половины" классических наблюдаемых.
Известные схемы геометрического квантования объединены и тем, что в качестве гильбертова пространства T-L обычно используются пространства сечений расслоения предквантования, выделенных также дополнительными условиями (см. [8], [19], [34]). В "родоначальном" подходе Сурьо - Костанта берутся все сечения, обладающие конечной 1? - нормой (конечным интегралом от квадрата эрмитовый нормы, взвешенного на форму Лиувилля). В подходе Ронсли - Березина (см. [15]) рассматриваются только голоморфные сечения относительно вспомогательной структуры — комплексной поляризации; в подходе Теплица -Березина (см. [4]) также гильбертово пространство натягивется на голоморфные сечения; в присутствии вещественной поляризации коллекцию составляют только те сечения (взвешенные на полувеса), которые инвариантны относительно инфинитезимальных движений в направлении слоев поляризации (см. [19], [34]).
Введение дополнительной структуры — поляризации — приводит к переводу конструкций геометрического квантования в рамки наиболее технически развитой области современной математики — алгебраической геометрии. Как мы уже упоминали выше, методы Ронсли - Березина и Бордемана - Шлихенмайера опираются на выбор комплексной поляризации. Это эквивалентно тому, что исходное симилектическое многообразие (М,ш), представляющее фазовое пространство классической системы, снабжено интегрируемой комплексной структурой. Однако условие целочисленности класса симплектической формы необходимо влечет, что возникающая при этом келерова метрика является метрикой ходжева типа, и все симплектическое кслерово многообразие (М/,и) является алгебраическим многообразием. То, что проблема геометрического квантования оказывается решенной наилучшим на сегодняшний день образом именно в рамках алгебраической геометрии, кажется вполне естественным в свете геометрической формулировки квантовой механики. Перед тем как коротко описать этот подход, напомним слова Лагранжа:
"Пока алгебра и геометрия шли раздельными путями, их развитие было медленным, а приложения ограниченными. Когда же эти науки соединились, они стали черпать друг из друга новую жизненную силу и быстрыми шагами устремились к совершенству" (см. предисловие редактора серии к [11]).
Вообще идея перехода в квантовой механике от алгебры к алгебраической геометрии имеет долгую историю. Мы пользуемся работами [3], [17] как одним из наиболее полных и современных изложений этой идеи. А именно, переход к геометрии подразумевает то, что вместо гильбертова пространства волновых функций (как обычно в квантовой механике, см. [13]) рассматривается его проективизация (подробно мы обсуждаем этот переход в Главе 1 настоящей работы). Это бесконечномерное (или конечномерпое) проективное пространство, спабженное келеровой тройкой, то есть являющееся одновременно и симплек-тическим вещественным многообразием "удвоенной" размерности, и комплексным многообразием той же самой размерности. Комплексная структура согласована с симплектической, откуда возникает риманова метрика — третий элемент в келеровой тройке. Квантовые состояния системы представлены просто точками этого проективного пространства. Квантовыми наблюдаемыми являются гладкие вещественные функции специального типа — символы Березина, которые могут быть определены исключительно в термипах келеровой геометрии. А именно,
. гладкая вещественная функция является символом если и только если ее гамильтоново векторное поле является одновременно киллингооым для рима-повой метрики.
Коммутатору пары наблюдаемых соответствует скобка Пуассона двух символов. Собственные состояния с собственными значениями соответствуют просто критическим точкам с критическими значениями символов. Динамика системы в точности соответствует гамильтоповой динамике. Амплитуды вероятности переходов выражаются в терминах геодезических расстояний, то есть риманова метрика на пространстве квантовых состояний отвечает за вероятностные аспекты.
Пользуясь геометрической формулировкой квантовой механики ([3]), переводящей постулаты квантовой механики на язык алгебраической геометрии проективного пространство Р("Н), можно переформулировать и определение идеального квантования. Такая переформулировка намечена в [3], а конкретно сформулирована в [29]. Прежде всего, нам нужно дать следующее
Определение. Пусть К. - кслерово многообразие, снабженное, как обычно, келеровой тройкой (Q,I,G). Тогда вещественная функция f называется квазисимволом, если ее гамильтоново векторное поле сохраняет риманову метрику
Licx, G 0.
Для произвольного келерового 1С все пространство квазисимволов образует алгебру Ли (см. Главу 1) и обозначается N{K). В случае проективного пространства понятие квазисимвола в точности совпадает с понятием символа Березина.
Алгебро - геометрическое квантование. Пусть (М,ш) — симплектичес-кое многообразие, изображающее фазовое пространство классической механической системы. Тогда результатом алгебро - геометрического квантования является некоторое подходящее алгебраическое многообразие М. вместе с соответствием
q:C°°{M,R)- M(M),
удовлетворяющим условиям:
i)q(f + g) = q(f) + q(g);
ii) q(cf) = cq(f) где с — константа; Hi) q(c) = с где с — константа; iv) q имеет тривиальное ядро; v) принцип соответствия в виде
{q(fU(9)U = q({f,9U Таким образом, постановка задачи квантования меняется. Для исходного симплектического многообразия (М,и) мы ищем алгебраическое многообразие (бесконечномерное или конечномерное) К, снабженное келеровой тройкой (G,I,Q) (римановой метрикой, интегрируемой комплексной структурой, согласованной симплектичсской формой), вместе с соответствием q (подробно переход к келеровой геометрии мы обсуждаем в Главе 1 настоящей работы). Вслед за авторами [3] мы требуем, чтобы переход к такому алгебраическому многообразию не использовал в качестве промежуточных шагов построений подходящих гильбертовых пространств.
Настоящая диссертационная работа отвечает на вопрос о существовании такого алгебро - геометрического квантования в случае компактного симплектического многообразия. Более того, это квантование оказывается естественно связано с известными методами геометрического квантования. Для того, чтобы сформулировать основной результат настоящей работы, необходимо напомнить конструкцию из нового предмета, возникшего на стыке алгебраической и сим-илектической геометрий.
В современной математике происходит перемещение (и последующее перемешивание) идей и методов из разных областей, достаточно далеких друг от друга. Этот процесс вполне естестественный для математики — очень часто новые решающие методы бывали заимствованы из других областей математики, однако и в этом в наши дни зачастую проявляется "физическое" влияпие. Например, к гипотезе о зеркальной симметрии одним из наиболее перспективных принят следующий подход: алгебраическая геометрия над многообразием X соответствует симплектической геометрии над зеркально симметричным многообразием X (см. [21]). Ингредиенты алгебраической геометрии над А — пучки, расслоения, дивизоры и т.п. — сравниваются с составляющими симплектической геометрии — лагранжевыми подмногообразиями специального типа. Например, очень популярным является понятие специального лагранже-вого цикла (см. [22]), и имеется набор гипотез, сравнивающих пару категорий (см. [21]). Из алгебро - геометрической части обычно выделяют многообразия модулей векторных расслоений специального типа (чаще всего - исключительных расслоений). Однако модульный подход к лаграижевой геометрии до последнего времени не приносил особых "дивидендов". Но сама идея, выросшая из гипотезы о зеркальной симметрии, синтезировать некоторую новую геометрию, объединяя алгебраическую и лагранжеву геометрии, не теряла привлекательности и на интуитивном уровне была безоговорочно принята многими специалистами.
Важное качественное продвижение в этом направлении произошло в 1999 году — в работе [23] было построено многообразие модулей полувзвешенных бор - зоммерфельдовых лагранжевых циклов фиксированного объема и топологического типа. Наиболее полпое описание этой конструкции содержится в работе [8]. Это многообразие модулей строится в рамках лаграижевой геометрии над произвольным компактным односвязиым симплектическим многообразием с целочисленной симплектической формой (то есть для классической механической системы, удовлетворяющей условию Дирака цслочислеппости заряда) — и это многообразие модулей является бесконечномерным алгебраическим многообразием. В конструкции из [8] лагранжева геометрия переплетается с алгебраической, и эта конструкция является одним из самых удачных примеров возможного синтеза. Новый предмет получил название алгебраической лаграижевой геометрии. Сама конструкция кроме всего прочего необычайно богата на дополнительные структуры (мы обсуждаем некоторые из них ниже в этой работе, однако еще больший материал остается пока что "вне игры"). Изначально возникшая как связующее звено в гипотезе о зеркальной симметрии, неожиданным образом эта конструкция оказалась необычайно полезной в другой области — в квантовании классических механических систем, более конкретно — в алгебро - геометрическом квантовании. А именно, в работах [29] и [31] было показапо, что многообразие модулей полувзвешенных бор - зоммерфельдовых лагранжевых циклов фиксированного объема Bsw,r над односвязиым симплектическим многообразием (M,w) является тем алгебраическим многообразием, которое удовлетворяет постулатам алгебро - геометрического квантования, приведенного выше.
В настоящей диссертационной работе представлены следующие оригинальные результаты.
Пусть (М,ы) — односвязное компактное симплектическое многообразие с целочисленной симплектической формой. Пусть Bsw r — построенное над пим бесконечномерное алгебраическое многообразие модулей полувзвешенных бор - зоммерфельдовых лагранжевых циклов фиксированного объема г и топологического типа. Тогда имеется
Конструкция - определение ([29]). Произвольная гладкая функция / Є
C°°(M, R) индуцирует гладкую функцию Ff на многообразии модулей Bsw r следующим образом: для любой точки (S,d) Є Bsw r, представленной бор -зоммерфельдовым циклом S вместе с полувесом в имеем
Ff{S,9) = rJ f\s6\
где т — вещественный параметр.
(см. Главу 2 настоящей диссертации).
Таким образом, мы получили линейное отображение
ТТ : C°°(M,R) - C°°(B r,R)
причем из конструкции - определения непосредственно следует, что по действию Тт константы переходят в константы:
/ = с =Ф- Ff = тгс.
Далее, для отображения Тг мы доказываем следующее
Предложение 2.4 ([29]). Отображение FT является гомоморфизмом алгебр Пуассона, то есть
{Ff,Fg}o=2rF{f,gU Є C°°(Bhsw r,R)
для любых f,g Є С°°(М,Ш).
Это утверждение было впервые доказано в [29] путем непосредственных вычислений (см. Главу 2 настоящей диссертации).
Таким образом, обращаясь к постулатам алгебро - геометрического квантования, мы можем удовлетворить пункты ІІІ И V, положив
г = 2.
Однако необходимо еще установить, что каждая индуцируемая функция F/ на Bsw,r обладает очень специальным свойством — является квазисимволом. В работе [31] необходимое доказательство было приведено. А именно, имеется
Теорема 1 ([31]). Пусть М,ы — произвольное односвязное компактное сим-плектическое многообразие размерности In, S — некоторый гомологический класс S Є Hn(M,1i), Bsw — многообразие модулей полу взвешенных бор - зом-мерфельдовых лагранжевых циклов, представляющих класс S, единичного объема, снабоїсенное келеровой структурой (1,1, G). Для каждой вещественной функции f Є С°°(М, R) имеется соответствующая Ff — гладкая функция на Bs , так что:
0) для однородных симплектических многообразий Тг является вложением;
1) для любой ф)ункции f образ Ff является квазисимволом над Bsw ;
2) принцип соответствия в форме
{Ff,Fgh=2rF{f gU
имеет место, то есть отображение f »- F/ является гомоморфизмом алгебр Ли.
Доказательство Теоремы (как и сама Теорема) содержится в Главе 3. Как мы видим, утверждение 2) этой теоремы уже было доказано в [29], однако новый метод, предложенный в [31] для доказательства утверждения 1) Теоремы позволяет получить это же утверждение как простое следствие технического Предложения 3.5 настоящей диссертации.
Новый метод, предложенный в [31] для доказательства Теоремы, мы назвали динамическим соответствием. Он заключается в следующем. Каждая гладкая функция / Є C°°(M,R) индуцирует гамильтоново векторное поле X/, которое можно рассматривать как инфинитезимальный симплектоморфизм исходного симплектического многообразия (М,и). Но любой симплектоморфизм действует на ассоциированный объект над (М,и ) как автоморфизм (в данном случае в качестве ассоциированного объекта выступает многообразие модулей Bsw,r). Очевидным образом любой симплектоморфизм сохраняет всю келерову структуру на Bsw r. В том числе инфинитезимальный симплектоморфизм порождает инфинитезимальный автоморфизм алгебраического многообразия Bsw r, то есть дает некоторое векторное поле ©DC(/) Є Vect(Bsw,r). По построению это векторное иоле является и гамильтоновым, и киллинговым (то есть сохраняющим метрику), поскольку оно сохраняет всю келерову структуру. Мы доказываем, что имеется следующее тождество.
Предложение 3.5 ([31]). Для любой гладкой функции f Є С°°(М — R) имеется тождество
XF, = 2гЄос(/).
для пары векторных полей на многообразии модулей полу взвешенных бор - зом-мерфелъдовых лагранжевых циклов фиксированного объема Bsw r.
В работе [31] (см. Главу 3) это Предложение доказано прямыми вычислениями. Предложение 3.5 содержит в себе важный геометрический факт, исходя из которого мы доказываем Теорему 1. Кроме того, этот факт важен и с точки зрения алгебро - геометрического квантования, построению которого посвящена Глава 4 настоящей диссертации. Действительно, Предложение 3.5 означает, что квантовая динамика проквантованной посредством алгебро -геометрического квантования системы в точности согласована с классической динамикой исходной системы.
Итак, алгебро - геометрическое квантование возможно: в качестве алгебраического многообразия К. мы рассматриваем многообразие модулей Bsw , а в качестве квантового соответствия
q = FL.
Такой метод, предложенный в [29], [31], получил название АЛГ(а) - квантования. Этот новый метод приводит к новым результатам, которые, однако, хорошо согласуются с известными в геометрическом квантовании результатами в присутствии подходящей поляризации. Глава 4 содержит в себе две редукции, впервые описанные в [31], в случаях, когда на исходном симплектическом многообразии зафиксирована комплексная или вещественная поляризация.
Вещественная поляризация. Пусть на (М,и) имеется полный набор первых интегралов /i,...,/n где п = dimM, задающий лагранжево слоение
тг : М - Д С Rn.
Тогда (см. [19]) схема квантования использует бор - зоммерфельдовы слои расслоения 7г в качестве базиса гильбертова пространства. Мы показываем в [31] (см. Главу 4 настоящей диссертации) как известный метод квантования может быть восстановлен в рамках АЛГ(а) - квантования. А имепно, пусть 5,- — набор бор - зоммерфельдовых слоев расслоения 7г при фиксированной вещественной поляризации. Выделенные функции — первые интегралы /i,...,/n — порождают квазисимволы і /,,..., /,, — гладкие функции на многообразии модулей Bsw . Рассмотрим следующее пересечение
V = Crit(Ffl) П ... П Crit{Ffn) С BhswA
критических множеств для всех наших квазисимволов. Имеем следующее
Предложение 4.3 ([31]). Множество! является двойным накрытием множества {Si} бор - зоммерфельдовых лагранжевых слоев по действию естественной инволюции (S,0)-»(S,-0) , имеющейся на многообразии модулей полувзвешенных бор - зоммерфельдовых лагранжевых циклов фиксированного объема.
Это означает, что мы можем восстановить известное квантование из [19] в присутствии вещественной поляризации в терминах АЛГ(а) - квантования.
Кроме того, следуя [31], мы доказываем в Главе 4, что для компактных сим-плектических многообразий число регулярных бор - зоммерфельдовых слоев конечно (Теорема 2).
Комплексная поляризация. Этот случай предполагает фиксацию на (М,со) интегрируемой комплексной структуры, что превращает М в алгебраической многообразие. Тогда имеется BPU - отображение (см. [8])
BPU : Bhw r - РЯ°(М/,), где L - голоморфное расслоение предкваптования (см. Главу 1), и мы рассматриваем это отображение как проекцию пространства квантовых состояний АЛГ(а) - кваптования на пространство квантовых состояний, получаемое известным методом Березина - Ронсли (мы подробно обсуждаем переход к про-ективизациям в рамках стандартных методов в Главе 1 настоящей диссертации). Тогда при такой проекции пространств квантовых состояний мы получаем следующий результат, связывающий квазисимвол F/ и символ Q/, получаемые каждый своим методом из допустимого классического наблюдаемого / Є C°°(M,R). А именно,
Предложение 4.4 ([31]). Для квантуемой функции f гамильтоновы векторные поля квазисимволов Fj и Q/ связаны соотношением
dBPU(XF/)=XQf.
В рамках геометрического квантования это утверждение может быть истолковано как редукция АЛГ(а) - квантования к известному методу квантования Березина - Ронсли. Более того, мы видим, что квантовые динамики на обоих пространствах квантовых состояний согласованы если их порождают проквап-тованные гамильтонианы, соответствующие одному и тому же классическому квантуемому наблюдаемому.
Вообще, известны и другие методы вантования, которые могут быть названы геометрическими насмотря на то, что они не умещаются в стандартные рамки геометрического квантования. Один из таких методов, представленный в [18], использует пространство всех почти комплексных структур, согласованных с данной фиксированной симплектической формой. Если двигаться дальше в этом направлении, можно рассмотреть над произвольным гладким компактным четномерным многообразием X пространство всех эрмитовых троек где д — некоторая риманова метрика, J — некоторая согласованная с д почти комплексная структура, а ш — соответствующая 2 - форма. В произвольной тройке каждый элемент может быть однозначно восстановлен из оставшихся двух. Подчеркнем, что мы рассматриваем все тройки, оставляя условие интегрируемости структуры J и условие замкнутости и как уравпения на Мх-Тогда имеется каноническое отображение г : Мх -» H2(X,Z), впервые предложенное в работе [25] в связи с исследованиями инвариантов Зайберга - Виттена. Определение таково: для эрмитовой тройки (g,J,u)) риманова метрика д совместно с ориентацией, индуцируемой J, определяет оператор Ходжа д. Тогда имеется разложение по Ходжу для любой формы над X в прямую сумму а = ан + dpi + d p2i и это разложение единственно. Тогда, раскладывая третий элемент в тройке w = ww + dpi + d pi Є Пх однозначно восстанавливаем гармоническую форму и)ц.
Определение ([25]). Класс когомологий [и//] Є Н2(Х,Ж), представляемый гармонической формой иц, доставляет образ T(g,J,u) Є Н2(Х,Ш.) относительно канонического отобраоїсения т.
Это отображение названо каноническим, так как оно не требует для своего определения никаких дополнительных структур. Эрмитова тройка соответствует некоторой симилектической структуре с выбранной согласованной почти комплексной структурой если и только если ы = U IJ.
С другой стороны, несимплектическая эрмитова тройка со специальным нетривиальным образом по действию г доставляет естественное обобщение симилектической геометрии. Развитие этого направления было обусловлено исследованиями в рамках теории Зайберга - Виттена (основы этой теории представлены, например, в обзоре [32]). То есть такое обобщение симилектической геометрии естественно проецируется на квантовую теорию поля. А именно, эрмитовы тройки и решения уравнения Зайберга - Виттена связаны следующим утверждением:
Предложение 5.1 ([27]). Пусть для некоторой римановой метрики g и некоторой Spin - структуры с Є i/2(X, Z), такой что с2 = 2\ + За, уравнения Зайберга — Виттена (5.1.4) имеет неприводимое решение (а з,фо) и не имеет приводимых. Тогда в конформном классе метрики g существует метрика д\, которая вместе с некоторой почти комплексной структурой J\ и соответствующей 2- формой из\ дает эрмитову тройку с нетривиальным образом т( 7і,./ь"і)7Ч0]Є#2(Х,К).
Более того, из доказательства в Главе 5 видно, какой именно образ имеет такая тройка в #2(X,R).
Исследуя свойства канонического отображения г и самого пространства эрмитовых (Параграфы 5.2 и 5.3) и развивая результат, содержащийся в Предложении 5.1, мы получаем необходимое условие на канонические базисные классы над четырхмерными многообразиями:
Теорема 3 ([27]). Пусть X — гладкое ориентированное компактное рима-ново многообразие с bf(X) 1 и пусть KQ — базисный канонический класс (то есть класс с нетривиальным инвариантом Зайберга — Виттена). Тогда соответствующий образ N(Ki) является подмножеством, всюду плотным в Н+.
Иными словами, канонические классы с нетривиальными инвариантами Зайберга — Виттена выделены тем условием, что образ соответствующей компоненты пространства эрмитовых троек максимально возможный.
Особенный интерес этот математический факт вызывает в связи с вопросами унификации различных взаимодействий в теоретической физике. Действительно, в Заключении мы обсуждаем возможность построения калибровочной теории с группой диффеоморфизмов в качестве калибровочной. Уравнение ( ) из Заключения, определенное на пространстве эрмитовых троек, будучи инвариантным относительно такой калибровочной группы, имеет решения если соотвествующий канонический класс является базисным. Это значит, что решения для калибровочной теории с группой днффероморфизмов в качестве калибровочной группы можно получать из "обычной" калибровочной теории, в качестве которой рассматривается теория Зайберга - Внттена.
Наконец, в Главе б мы получаем еще одно представление алгебры Пуассона классических наблюдаемых в терминах неоднородных суперфуикций на супермногообразии UT Bs, где Bs — многообразие модулей "чистых" бор -зоммерфельдопых лагранжевых циклов, а именно
Предложение 6.2 ([31]). Динамическое соответствие ( ) сохраняет структуру алгебр Ли, то есть отображает скобку Пуассона произвольных функций f,g Є С°°(М, R) в кратное коммутатору соответствующих векторных полей:
0s({f,9U = c{Qs(f),es(9)],
где с — некоторая константа.
Двигаясь дальше в этом направлении, нетрудно видеть, что Предложение 6.2, рассматриваемое в рамках сунерсимплектической геометрии, дает следующее
Следствие 6.3 ([31]). Скобка Бутен суперфункций Т/ и Тд на HT Bs, индуцируемых функциями f и g на М, пропорциональна суперфункции, соответствующей скобке Пуассона fug.
Таким образом, бор - зоммерфельдова лагранжева геометрия доставляет еще одно нетривиальное представление пуассоновой алгебры классических наблюдаемых над симплектическим многообразием М,ш в алгебре Ли суперфункций над нечетным суперсимплектическим многообразием, снабженной скобкой Бутен.
Результаты, легшие в основу этой работы, были опубликованы в препринтах [28], [30] и статьях [27], [30] и [31]. Эти результаты докладывались и обсуждались: на конференции по алгебраической геометрии (2000 г., СІМ AT, Гаунахуато, Мексика), на конференции "Монодромия в геометрии" (2001 г., МИ РАН, Москва), на конференции, посвященной 10 - летию Независимого университета (2001 г., НМУ, Москва), на семинаре отдела алгебры МИ РАН под руководством И.Р. Шафаревича, на семинаре отдела математической физики МИ РАН под руководством А.Г. Сергеева, в лаборатории теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова ОИЯИ (Дубна) на семинаре по геометрии университета Джона Хопкинса (Балтимор, США), на семинаре по геометрии и математической физике математического института им. Куранта (Ныо - Йорк, США), на семинаре по дифференицальной геометрии математического института Мексиканского автономного национального университета (Куернавака, Мексика), на семинаре по геометрии университета г. Поханг (Корея) под руководством Б.Кима, на обер - семинаре математического института им. Макса Планка (Бонн, ФРГ), кроме того, по результатам работы был прочитан курс лекций в корейском институте высших исследований (KIAS, Seoul, Korea).
Для удобства чтения мы приводим здесь краткое содержание работы.
Глава 1. В первой главе мы напоминаем все известные результаты и конструкции, необходимые для введения в тему диссертации и для чтения остальных глав. Результаты этой главы не являются оригинальными, однако необходимые доказательства и обоснования переработаны автором таким образом, чтобы выделить и подчеркнуть основные идеи. Обзор начинается конструкциями из [3], [17], переводящими квантовую механику па язык келеровой геометрии. Основная идея такой геометрической формулировки квантовой механики — вместо гильбертова пространства Ті использовать его проективизацию Р("Н). Такой переход вполне закономерен: пара колинеарных векторов из "Н определяют одно и то же квантовое состояние, поэтому если перейти к проективизации, то проективное пространство И есть в точности пространство квантовых состояний — точки проективного пространства соотвествуют квантовым состоянием системы. При этом естественно возникает понятие квазисимвола, обобщающее используемые Ф. Березиным функции - символы. Тема завершается вопросом, поставленным в [3] и предлагающим отыскивать квантование систем именно в терминах келеровой геометрии (ответ на этот вопрос и дает вся настоящая работа). Далее мы напоминаем основные методы, известные в рамках геометрического квантования. Мы обсуждаем наиболее общий метод Сурьо - Кос-танта, затем переходим к случаям квантования в пристутствии поляризации — вещественной или комплексной. Особое внимание уделено реализации идеи геометрической формулировки: в каждом случае кроме приведения известных конструкций мы показываем, к какому виду они приводятся в рамках геометризации, перехода к проективизациям.
Глава 2. Во второй главе мы непосредственно переходим к изложению оригинальных результатов, получеппых автором. Одпако для изложения материала мы спачала напоминаем основные моменты построения многообразия модулей полувзвешенных бор - зоммерфельдовых лагранжевых циклов фиксированного объема (следуя [8], [23]). В дополнение к уже известным конструкциям мы строим в параграфе 2.3 соответствие (впервые предложенное в [29]) Тт : C°°(M,R) - C°°(B W,1,R), где Bsw - многообразие модулей. Имеем классические и квантовые скобки Пуассона на многообразиях М и Bsw соответственно, индуцируемые симплекти-ческими структурами на этих многообразиях. В том же параграфе мы доказываем (следуя [29]), что это отображение (в тексте отображение (2.3.5)) является гомоморфизмом алгебр Ли, используя прямые вычисления.
Глава 3. В третьей главе представлен основной технический результат — доказательство того, что образ соответствия Тіаи, построенного в Главе 2, состоит из квазисимволов. Здесь мы используем динамическое соответствие: говоря коротко, дифференциал отображения Тт переводит гамильтопово векторное поле X} в гамильтопово векторное поле XFJ • Отсюда мы не только доказываем необходимый результат, но и заново устанавливаем соответствие скобок Пуассона, что уже было сделано прямыми вычислениями в Главе 2.
Глава 4. В этой главе мы, используя технические результаты Главы 3 (сформулированные в условии Теоремы 1), вводим АЛГ(а) - квантование — новое квантование классических механических систем. Первый параграф посвящен формулировке этого метода. Далее в следующих двух параграфах мы рассматриваем АЛГ(а) - квантование в присутствии дополнительной структуры — вещественной или комплексной поляризации. Приводимые замечания и соотношения позволяют связать новый метод квантования с уже известпыми и представить эти последние как линеаризации АЛГ(а) - квантовапия. Технически эта глава основана на изучении критических точек индуцируемых на многообразии модулей квазисимволов. В качестве побочного результата мы получаем утверждение о дискретности множества бор - зоммерфельдовых слоев в лагранжевом слоении, соответствующем вполпе интегрируемой системе.
Глава 5. В пятой главе мы переходим к рассмотрениям конструкций, предложенных в более общем, нежели симплсктический, случае почти комплексных многообразий. Здесь, следуя [27], мы вводим пространство эрмитовых троек над гладким четномерпым многообразием и строим каноническое отображение г в пространство вторых когомологий подлежащего многообразия. Мы показываем, как это отображение связано с решепиями уравнения Зайберга -Виттена в случае, когда подлежащее многообразие имеет размерность 4. Затем в параграфах 5.2 и 5.3 мы исследуем структуру пространства эрмитовых троек и приводим простейшие свойства канонического отображения. Далее, в Параграфе 5.4 мы доказываем необходимое условие на капопическне базисные классы над четырехмерными многообразиями.
Глава 6. Невозможно обойти еще один важный аспект, возникающий в геометрическом квантовании. Это связь квантования вообще и АЛГ(а) - квантования в частности с суперсимплектической геометрией. Здесь мы приводим некоторые замечания, первое из которых заключается в том, что условие Бора -Зоммерфельда (необходимое и стандартное в геометрическом квантовании) по природе своей принадлежит к четной суперсимплектической геометрии. Эта последняя глава невелика по объему, но наиболее перспективна в том смысле, что если все предыдущие главы уже закончены, эта глава ждет и требует своего продолжения, и это продолжение может оказаться совершенно неожиданным.
Благодарности. Работа автора над данной темой продолжается с 1998 года, и основные технические результаты были получены в институте Макса Планка (Бонн, Германия) и Корейском институте высших исследований (KIAS, Сеул, Корея), всем сотрудникам которых автор считает своим долгом выразить самую искреннюю признательность. Автор благодарен А.Г. Сергееву и всем участникам его семинара в МИ РАН за постоянное внимание к данной работе в процессе ее развития, а также за ценные замечания и комментарии. Короткое обсуждение общей идеи и некоторых деталей работы с А.С. Тихомировым было необычайно полезно для текущей и дальнейшей работы. Автор хотел бы сердечно поблагодарить его научных консультантов B.C. Куликова и А.А. Хохловаза постоянный интерес к работе и поддержку. Автор сердечно признателен А.Л.Городепцеву, В.Я. Пидстригачу, Б. Киму, С.А. Кулешову, Д.О. Орлову, Б.В. Карпову, А.П. Исаеву, П.Н. Пятову и многим другим. Отдельно хочется выразить благодарность О.М. Худавердяну.
На протяжении работы над данной темой автор пользовался частичной финансовой поддержкой РФФИ (N 99 - 01 -01133, N 00 - 15 - 96085) и ИНТАС (N 97 - 2072).
Настоящее квантовое фазовое пространство
Подчеркнем, что равенство (1.1.8) не является принципом соответствия Дирака; это не совпадение скобок Ли, а тождество, в котором просто одно и то же выражение записано на разных языках. Таким образом, формализм классической механики имеет место и в квантовой механике. Гильбертово пространство как вещественное пространство снабжено канонической симилектической структурой; каждому квантовому наблюдаемому однозначно соответствует гладкая функция, и эволюция во времени порождается гамильтоновым векторным полем, соответствующим этой функции. Исследуем теперь роль римановой метрики G. Римаиова метрика определяет вещественное спаривание гамильтоповых векторных полей Хр и Хк. Такое спаривание соответствует йорданову произведению квантовых наблюдаемых: (1.1.10 Первое равенство в (1.1.10) можно считать определением римановых скобок для средних значений F и К. Еще раз отметим, что римаповы скобки в точности соответствуют йорданову произведению исходных операторов. Так как классическое фазовое пространство не снабжено какой либо выделенной римановой метрикой, такие римановы скобки не имеют никакого классического аналога — однако они обладают четкой физической интерпретацией. Заметим, что показатель неопределенности некоторого квантового наблюдаемого F в произвольном квантовом состоянии с единичной нормой определяется как То есть римановы скобки участвуют в определении показателя неопределенности. Далее, известное соотношение неопределенности Гейзенберга имеет на языке средних значений простой и естественный вид: Последнее выражение в (1.1.12) можно ироинтепретировать как квантовую ко-вариацию F и К. 1.2. Настоящее квантовое фазовое пространство. Как уже отмечалось, пространство состояний квантовой системы представляется направлениями в гильбертовом пространстве "Н. Вместе они составляют проективное пространство, обозначаемое в дальнейшем V, которое само по себе является келеровым многообразием, в частности оно снабжено канонической симплектической структурой. Переход от келерова пространства "Н к келерову многообразию V допускает естественную интерпретацию в терминах дираковской теории связей. На математическом языке такой переход основывается на келеровой редукции. Вводится вещественная функция называемая функцией связи у Дирака или отображением момента. На гильбертовом пространстве действует группа U(l), и функция С является эквивари-антным отображением из гильбертова пространства % в коалгебру Ли группы U(l) (то есть отображением момента). Рассмотрим ситуацию с позиций теории Баргмана - Дирака систем со связями.
Прежде всего отметим, что поскольку эволюция во времени сохраняет гиперповерхность связи С = 0 для любого квантового наблюдаемого, то вторичных связей ие возникает. Таким образом, имеется система со связями первого рода в терминологии Дирака, то есть функция связи порождает движение, которое сохраняет гиперповерхность С = 0 Для системы со связями первого рода имеется калибровочная свобода, и соответствующие калибровочные преобразования порождаются потоком вдоль га-мильтонова векторного поля функции связи. В нашем случае калибровочные направления задаются в точках гильбертова пространства векторным полем Если обозначить гиперповерхность С = 0 как 5 С "Н, то векторное поле является генератором фазовых вращений S. Таким образом, калибровочные преобразования, порождаемые связями, в точности являются различными выборами фазы, как это и должно быть. Переходя к факторизации гиперповерхности связи по действию калибровочных преобразований, мы получаем настоящее фазовое пространство системы, часто называемое приведенным фазовым пространством. Таким образом, проективизация гильбертова пространства % является приведенным фазовым пространством системы со связями. Чтобы подчеркнуть ее физическую роль и геометрическую структуру мы будем называть эту нроективизацию квантовым фазовым пространством. Нетрудно показать, что если И является бесконечномерным гильбертовым пространством, то V будет бесконечномерным гильбертовым многообразием (см. [3]). Любое приведенное фазовое пространство обладает симплектической структурой. Чтобы показать это, рассмотрим пару отображений: где і и 7Г есть стандартные вложение и проекция. Тогда па гиперповерхности S имеем замкнутую 2 - форму г 17. Эта форма вырождается в точности вдоль направлений калибровочных преобразований. Более того, так как калибровочные преобразования порождаются гамильтоновым векторным полем функции связи, форма t Q постоянна вдоль направлений вырождения. Поэтому существует замкнутая 2- форма Г2р = 7г«г П на V, которая к тому же является невырожденной (причем невырожденной в сильном смысле, то есть она определяет изоморфизм между касательным и кокасательным расслоениями над V).
Постулаты квантовой механики
Соберем теперь воедино результаты предыдущих трех параграфов. Язык, на котором мы хотели бы изложить основы квантовой механики, это язык геометрии настоящего пространства квантовых состояний — проективизации гильбертова пространства P("H) = V. Как и в классической механике, наблюдаемыми являются гладкие вещественные функции, сохраняющие кинематическую структуру. Будучи келеровым многообразием, V обладает симплекти-ческой структурой. Роль этой квантовой симплектической структурой та же, что и роль симплектической структуры в классической механике; она и определяет структуру алгебры Ли на пространстве наблюдаемых, и участвует в эволюционных процессах системы. Однако имеются два важных свойства, отличающих квантовую механику от классической. Во - первых, квантовое фазовое пространство имеет очень специальную природу; это келерово многообразие является проективным пространством в "классическом" случае (о возможных обобщениях разговор пойдет ниже). Во - вторых, как каждое келерово многообразие, квантовое пространство состояний обладает римановой метрикой, и эта риманова метрика отвечает за вероятностные аспекты квантовой механики. Необходимость введения римановой метрики продиктована "квантовостыо" теории — она отсутствовала в классической механике. Ее присутствие продиктовано необходимостью выразить такие специфические понятия как неопределенность, редукция квантовых состояний и пр. Именно риманова метрика определяет количественно все такие величины. Например, переходные вероятности, возникающие в квантовой механике, определяются как простая функция от геодезических расстояний между точками па фазовом пространстве. Имеется следующий словарь квантово-механических терминов па языке ке-леровой геометрии. Физические состояния. Физические состояния квантовой системы взаимно -однозначно соответствуют точкам келерова многообразия V, которое является проективным пространством — проективизацией гильбертова пространства Ті. Келерова эволюция. Эволюция системы определяется некоторым потоком па V, который сохраняет всю келерову структуру.
Этот поток порождается векторным полем, плотным на всем V. Наблюдаемые. Физические наблюдаемые есть вещественные гладкие функции на V, чьи гамильтоновы векторные поля сохраняют риманову метрику. Иными словами, физические наблюдаемые представлены символами на V. Вероятностная интерпретация. Пусть Л С R — замкнутое подмножество спектра /, а система находится в состоянии, соответствующем точке р Є V. Вероятность того, что результат, полученный в процессе измерений, попадает в Л, дается формулой где Р/,л(р) есть точка из S/t\ с кратчайшим расстоянием до р. Редукция, дискретный спектр. Предположим, что спектр символа / дискретен. Этот спектр доставляет набор возможных исходов процесса измерения наблюдаемого /. Если измерение / дает собственное значение Л, то состояние системы сразу после измерения дается соответствующей проекцией Р/,\(р) исходного состояния р. Редукция, непрерывный спектр. Выбор произвольного замкнутого подмножества Л в спектре / задает идеальное измерение, которое может быть проведено. Это измерение отвечает на вопрос, попадает ли значение / в Л. Сразу же после такого измерения состояние системы задается или Pft\(p), или Р/,л=(р) в зависимости от того, положительный или отрицательный результат получен в процессе измерения. Отметим, что, как мы видим из словаря, постулаты квантовой механики могут быть сформулированы на чисто геометрическом языке, без всяких ссылок на гильбертово пространство. Конечно, гильбертово пространство и связанная с ним алгебраическая машинерия доставляют удобные рамки для конкретных вычислений. Однако математически ситуация похожа па ту, которая имеет место в изучении многообразий постоянной кривизны. На практике удобно сначала вложить такое многообразие в Кп (снабженное стандартной плоской метрикой подходящей сигнатуры) и затем изучать его свойства. Но вложение используется только для удобства; объектом изучения остается само многообразие. С другой стороны, линейность кваптовой механики может оказаться аналогичной системам покоя в специальной теории относительности, и геометрическая формулировка квантовой механики аналогична формулировке Минков-ского специальной теории относительности, и, как последпяя открыла двери общей теории относительности, так в будущем и геометрическая квантовая механика может стать шагом в построении новой теории. Одно из возможных обобщений квантовой механики может быть предложено в рамках представленной выше геометрической формулировки квантовой механики. А именно, в качестве пространств квантовых состояний можно допустить келеровы многообразия, которые и не являются проективизациями никакого гильбертова пространства. При этом очевидно, что с динамическими свойствами такого обобщения проблем не возникнет — как классическая меха-пика допускает иные, а не только проективные пространства, симплектические многообразия в качестве фазовых пространств. Первая трудность, возникающая в такого рода обобщепии — в наличии достаточного количества квантовых наблюдаемых. Вообще в одном из обобщений, предлагаемом в [3], требуется максимальное число символов. Это соответствует келеровым многообразиям, обладающим метрикой с постоянной голоморфной секционной кривизной (см. [3]). В конечномерном случае это условие выполняется только для проективпых пространств. В бесконечномерном случае ответ на вопрос, существует ли бесконечномерное многообразие постоянной голоморфной секционной кривизны, не изоморфное проективному пространству, открыт. Если келерово многообразие К. представляет некоторую квантово - механическую систему, то тогда над ним должен быть достаточный запас специальных функций, чьи гамильтоновы векторные поля сохраняют и риманову метрику. Естественно назвать такие специальные функции квазисимволами. Все пространство квазисимволов, допускаемых над К., обозначим как Af(fC). Очевидно, что это векторное подпространство в C(/C,R). Более того, имеется простое Предложение 1.4 ([3]). Для любого келерова многообразия К, пространство допускаемых над ним квазисимволов является алгеброй Ли. Доказательство.
Для того, чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что для любых двух квазисимволов f,g Є N{1C) их скобка Пуассона также является квазисимволом: Действительно, гамильтоново векторное поле Xh совпадает с коммутатором векторных полей [Х/,Хд]. Остается показать, что где G — риманова метрика на К. А это тождество очевидно следует из того, что и предложение доказано. В наших дальнейших рассуждениях мы будем пользоваться подобным обобщением квантовой механики, которое мы будем называть пелинейным обобщением. Нелинейность означает то, что паше келерово многообразие — пространство квантовых состояний — не будет проективизацией никакого гильбертова пространства. Однако в главе 4 мы докажем, что используемое нами келерово многообразие обладает огромным запасом квазисимволов — достаточным для того, чтобы задать представление алгебры классических наблюдаемых исходной классической системы. Поскольку в дальнейшем речь идет не просто о квантово - механических системах, а именно о кваптовании классических систем, мы ограничимся именно таким подходом. Дальнейшее обсуждение обобщений квантовой механики не входит в круг интересующих нас на данном этапе вопросов. Прежде всего, напомним саму постановку задачи. Пусть симплектическое многообразие (М,и ) с симплектической формой и представляет собой фазовое пространство классической механической системы. Классическими наблюдаемыми являются гладкие вещественные функции над М, и скобка Пуассона {, }ш задает структуру алгебры Ли на С(М,R). Идеальное квантование означает, что возможно построить такое гильбертово пространство QM И такое соответствие в пространство самосопряженных операторов на QM, чтобы были выполнены известные условия: условие неприводимости; условие того, что константы переходят в скалярные операторы; принцип соответствия Дирака требует, чтобы q было бы гомоморфизмом алгебр Ли; условие неприводимости. Согласно теореме ван Хова (см. [11]), такого соответствия не существует. Известные примеры геометрического квантования упускают одно или несколько условий из представленного выше списка. Объединяет все известные конструкции то, что они начинаются с данных предквантовапия (см. [8]). Прежде всего, мы требуем, чтобы класс когомоло-гий симплектической формы и был бы целочисленным классом Это условие называется условием Дирака или условием целости заряда. Если это условие выполнено, то над М существует комплексное линейное расслоение L — М с первым классом Черна, равным c\{L) = [со]. Зафиксируем на этом расслоении некоторую эрмитову структуру (то есть редуцируем структурную группу расслоения до /(1)). Тогда можпо выбрать еще одно данное предкван-тования — эрмитову связность а Є Ah(L), удовлетворяющую условию гообразие М односвязпо (а начиная со следующей главы мы будем работать только с такими многообразиями), то такая связность предквантовапия единственна с точностью до калибровочных преобразований. Если нет, то множество классов калибровочно эквивалентных решений уравнения (1.5.3) совпадает с вещественным пространством H1(M,R). Особо подчеркнем, что если даже исходное симплектическое многообразие односвязпо, все равно существует произвол в выборе эрмитовой структуры на линейном расслоении L, а вследствие этого и произвол в выборе связности пред-квантования. Напомним вкратце конструкцию сравнения эрмитовых связпос-тей, согласованных с разными эрмитовыми структурами па линейном расслоении L. Пусть Лі,/і2 пара эрмитовых структур на L. Тогда существует вещественная положительная функция е х , обладающая свойством: Действительно, это чисто локальный факт. В точке х найдем пару векторов v,w Є Lx, каждый из которых имеет единичную норму относительно hi и /і 2 соответственно. Тогда е (х) = УЛ2- Глобализуя конструкцию над всем подлежащим многообразием, получаем вещественную положительную функцию. Тождество (1.5.4) теперь можно переписать для сечений расслоения L. Рассмотрим теперь пару аффинных пространств Ah1(L),Ah7(L), состоящих из эрмитовых связностей, согласованных с эрмитовыми структурами hi и h2 соответственно. Это два аффинных подпространства в объемлющем пространстве A(L) всех С - связностей па L. Имеется следующее простое Предложение 1.5. 1) Аффинные подпространства Ah}{L) о A(L) или не пересекаются, или совпадают; 2) пара связностей а,- Є Aht(L) отличается друг от друга на комплексную 1- форму ip-\- \ 1ф, где е — вещественная функция, построенная выше в (1.5.4).
Индуцированные функции на многообразии модулей
Для дальнейшей работы необходимо повторить локальное описание многообразия модулей полувзвешеппых бор - зоммерфельдовых циклов фиксированного объема. Это келерово многообразие Bsw состоит из пар (5, в), где S — бор - зоммерфельдов лагранжев цикл в М, а в — некоторый полувес на S. Для удобства вычислений отныне мы будем отождествлять S с образом бор - зом-мерфельдова вложения (5). Для пары (S,0) Є Bsw фиксирована нормировка объема Касательное пространство к многообразию модулей Bsw в точке (S, в) есть прямая сумма двух копий пространства гладких функций на S, отнормирован-ных условием и на паре касательных векторов vi = {ф\,фг),Уг — (фі,4 2) симплектическая форма в точке (S, в) имеет значение Рассмотрим произвольную гладкую функцию / Є С(М, R). Каждая такая функция индуцирует гладкую функцию следующим образом. В точке (S, в) Bsw индуцированная функция Fj имеет значение где г некоторый вещественный параметр. Определяющая формула (2.3.5) задает отображение Основпая цель этого параграфа — показать, что Тг является гомоморфизмом алгебр Ли: симплектические структуры из на М и П на многообразии модулей Bsw индуцируют скобки Пуассона на этих многообразиях, и отображение Тт переводит скобки в скобки с точностью до пропорциональности. Как мы увидим, коэффициент г будет играть роль регулирующего множителя в коэффициенте пропорциональности. Здесь и до конца этой главы мы следуем работе [29], сохраняя обозначения. Пусть / Є С(М, R) — произвольная гладкая функция на исходном сим-плектическом многообразии. Тогда дифференциал df этой фупкции, ограничиваемый на произвольный бор - зоммерфельдов цикл S С М дает некоторый касательный к Bsw вектор в точке (S,$) для любого в. Тем самым определено векторное поле А/ на многообразии модулей Bsw . Это векторное поле не зависит от второй "координаты" на Bsw , то есть постоянно вдоль слоев расслоения где Bs — вещественное многообразие модулей бор - зоммерфельдовых циклов. Нетрудно видеть, что особыми точками векторного поля А/ будут те бор -зоммерфельдовы циклы из Bs, на которые / ограничивается константой. Кроме векторного поля А/ функция / индуцирует естественным образом и некоторую 1 -форму на Bsw . В точке (So,до) эта форма В/ определяется формулой
Прямой подстановкой в формулу для симплектической формы (2.3.3) мы получаем, что векторное поле и 1- форма связаны соотношением Действительно, для любого векторного поля имеем так как векторное поле имеет координаты (/, 0). Далее, для отображения (2.3.6) имеем следующее утверждение Предложение 2.4 ([29]). Для любых двух гладких функций f,g Є C(M,R) имеет место равенство Замечание. Особо подчеркнем, что отображение Тт не сохраняет обычную алгебраическую структуру, определяемую поточечным умножением функций. Легко видеть, что для пары функций /, 7 на. исходном симплектическом многообразии произведение индуцируемых ими функции Ff и Fg не совпадает с функцией Ffg, индуцируемой произведением / д. Это очевидно из определяющей формулы (2.3.5). Однако образ отображения является подалгеброй Ли. Предположим теперь, что исходная классическая механическая система является вполне интегрируемой, то есть над (М,ш) существует набор первых интегралов f\,..., /„ — алгебраически независимых функций в инволюции Этот набор порождает конечно порожденную коммутативную подалгебру в алгебре всех гладких функций ца М. Перейдем теперь к многообразию модулей ВР1. Над ним имеем бесконечный набор коммутирующих функций вида Однако эти функции не являются алгебраически зависимыми (как раз из - за того, что F/g ф Ff Fg). То есть в C(BSW ,R) имеется бесконечно порожденная коммутативная подалгебра. Отдельно может быть поставлен вопрос о том, какова "размерпость" этой коммутативной подалгебры и равна ли она "половине" размерности всего многообразия модулей. A priori возможна такая ситуация, когда квантовая система, получаемая из классической вполне интегрируемой системы, сама не является вполне интегрируемой. Перейдем теперь непосредственно к доказательству Предложения 2.4. Проделаем выкладки для Т\, полагая г равным единице. Из полученных выражений видно, что случай с произвольным г отличается множителем т в правой части, как в утверждении Предложения 2.4. Для произвольной функции / Є С(М, К) вычислим дифференциал индуцированной функции Ff. Возмущая поочередно касательные переменные (ф,ф), получаем, что дифференциал dFf представляется в виде суммы двух 1 - форм
Доказательство Предложения 3.5
Еще более специальным требованием "равноправия точек" является следующее: для любой пары точек хну найдется симплектический автоморфизм M,w, переводящий х в у. Очевидно, что последпее требование влечет первое: действительно, если взять симплектический автоморфизм, переводящий некоторую точку лагранжевого цикла в точку, через которую мы хотим провести такой же лаграпжев цикл, то этот автоморфизм и отобразить имеющийся лагранжев цикл в тот, который мы ищем. Свойством равноправия точек в более сильной или более слабой форме обладает большинство известных симплектнческих многообразий (простейшие примеры: проективпое пространство удовлетворяет требованию в сильной форме в то время как кокасателыюе расслоение — в слабой). Не касаясь детального обсуждения предмета, мы потребуем чтобы для нашего исходного симплекти-ческого многообразия М,ш выполнялось требование равноправия точек в слабой или сильной форме. Тогда нетрудно видеть, что отображение (2.3.6) является вложением (если многообразие модулей Bsw непусто). Для произвольной функции / 6 C(M1R) найдется точка х Є М в окрестности которой / отлична от нуля (в предположении что / не является тождественным нулем). Тогда по "равноправию точек" найдется лагранжев цикл, представляющий класс [S] и проходящий через точку х. Используя теорему Дарбу — Вейнстейна (см. [8]) можно деформировать этот лагранжев цикл в "пучок" бор - зоммерфельдовых циклов, представляющих тот же класс гомологии и проходящих через ту же точку х. Ограничения функции / на все циклы из этого пучка не будут тривиальны, поэтому найдется полувес в на нем, относительно квадрата которого функция даст ненулевой интеграл вдоль найденного нами бор - зоммерфельдова цикла. Этот интеграл по определению (см. (2.3.5)) и есть значение индуцированной функции F/ в соответствующей точке многообразия модулей В " . Значит, F/ не тривиальна, и соответствие (2.3.6) не имеет ядра. Таким образом, в случае когда исходное симплектическое многообразие М,и) удовлетворяет требованию "равноправия точек" мы можем дополнить утверждение Теоремы нулевым пунктом: 0) соответствие / - Fj (2.3.6) является вложением. Все вместе три пункта условий Теоремы 1 полагают фундамент для построения нового квантования классических механических систем. Мы обсудим этот предмет в Главе 4. 3.3. Доказательство
Предложения 3.5. В этом параграфе мы производим вычисления, необходимые для доказательства ключевого для данной работы Предложения 3.5 Прежде всего, напомним, что касательное в точке (So,во) пространство к многообразию модулей BgW представляется парами ф\, 02 гладких функций удовлетворяющих условию Рассмотрим инфииитезималыюе действие гамильтонова векторного поля X/, соответствующего гладкой функции / Є C(iW,R), на точку (So,во). В точках лагранжева бор - зоммерфсльдова цикла So гамильтоново векторное поле естественно раскладывается па части: параллельную циклу So и "перпендикулярную". А именно, имеем разложение и вторая часть параллельна So (точнее, содержится в TSo С ТМ в точках So). Параллельная часть может быть вычислена и так: Мы договорились понимать V/ (3.3.2) как "внешнюю" часть гамильтонова потока относительно So, в то время как W/ (3.3.3) является "внутренней" частью, сохраняющей при своем действии сам цикл So и действующей на объекты, "живущие" на этом цикле (в нашем случае — на полувеса). Инфипитезимальная деформация цикла (So,во) под действием X/ и представляет координаты векторного поля ODC(/) Є VectK(Bsw,x) в точке (So,во). По действию X/ имеем, что внешняя часть V/ гамильтонова векторного поля отвечает за деформацию самого бор - зоммерфсльдова цикла So, а внутренняя часть Wj отвечает за деформацию полувеса во над So. Изодрастические (или гамильтоновы) деформации бор - зоммерфельдовых циклов задаются функциями на этих циклах с точностью до прибавления константы (см. Глава 2). Из такого описания касательного пространства видно (см. там же) что векторное иоле V/ в точности соответствует касательному вектору вида где нормировочная константа берется таким образом, чтобы выполнялось условие (3.3.1), т.е.: Вторая компонента векторного ноля QDC(/) имеет вид где производная Ли берется от полувеса во над So вдоль "внутренней" части W/ гамильтонова векторного поля X/ (см. Предложение 3.3). Для дальнейших вычислений нам потребуется следующий прием — зафиксируем подходящую ориентацию на So (а это возможно по определению, см. Главу 2) и вместе с полувесом во рассмотрим соответствующую его квадрату 6% форму объема d/iQ. Тогда имеем соответствующую производную Ли деленную на форму объема. В то же время следовательно, Теперь вычислим координаты гамильтонова векторного поля XFJ над многообразием модулей Bsw . Дифференциал функции F/ уже был вычислеп в Главе 2 и имеет вид в точке (So, во) для пары функций o,j3G C(5O,R), представляющей касательный к многообразию модулей вектор. Благодаря простоте выражения для симплектической формы П над Bs1" 1 (см. [8], [23]): (для четверки функций a,(5, ,8 Є C(So,R) с нулевыми интегралами, представляющих парами касательные вектора) мы можем сразу же обратить первое где const — снова константа, которая находится из соотношения (3.3.1). Со вторым слагаемым в (3.3.6) дело более трудное. Прежде всего, заметим, что выражение (u 1(df))\s0 из второго слагаемого есть в точности "внутренняя" часть W/ (3.3.3) гамильтонова векторного поля X/. Отсюда имеем
