Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Математическая морфология и геометрия случайных полей
1.1 Задача о выбросах случайной функции в R1 17
1.2 Случайные поля 19
1.3 Функционалы Минковского 21
Глава 2 Элементы вычислительной топологии
2.1 Связность 29
2.2 Множество Кантора 31
2.3 Ковер Серпинского 34
2.4 Группы гомологии 37
Глава 3 Математическая морфология и топология глобального магнитного поля Солнца
3.1 Основные структуры в атмосфере Солнца 44
3.2 Магнитный цикл активности Солнца 47
3.3 Морфологические функционалы и топология синоптических карт 52
3.4 Вычислительная топология -карт 56
Глава 4 Фрактальная геометрия и мультифрактальный анализ
4.1 Размерности и меры 72
4.2 Мультифрактальный формализм 87
4.3 Поточечный анализ регулярности 96
4.4 Фрактальные и мультифрактальные свойства Солнечных индексов 103
Глава 5 Реконструкция динамических систем по хаотическим временным рядам
5.1 Исторические замечания 121
5.2 Элементы дифференциальной топологии 122
5.3 Эмбедология и Теорема Такенса 128
5.4 Корреляционная размерность 132
5.5 Динамические инварианты Солнечных индексов 139
Глава 6 Приложения к геофизике
6.1 Гельдеровская диагностика волновой динамики атмосферы по вариациям интенсивности космического излучения 155
6.2 Морфологические меры в сейсмологии 162
6.3 Мультифрактальный и морфологический анализ радионуклидных полей 166
Глава 7 Нелинейный прогноз временных рядов с помощью искусственных нейронных сетей
7.1 AR прогноз 175
7.2 Локальная параметрическая AR модель 176
7.3 Нелинейный многомерный AR прогноз 177
7.4 Общие принципы аппроксимации 179
7.5 Элементы теории искусственных нейронных сетей 1S6
7.6 Нейропрогноз 194
Заключение 204
Список использованных источников 208
- Функционалы Минковского
- Ковер Серпинского
- Магнитный цикл активности Солнца
- Фрактальные и мультифрактальные свойства Солнечных индексов
Введение к работе
Современная техника моделирования нелинейных систем основана на решении следующей обратной задачи (Packard et al., 1980, Takens, 1981). Наблюдаемые скалярные временные ряды рассматриваются как нелинейные типичные проекции фазовой траектории неизвестной диссипативной динамической системы на произвольную координату. Тогда, при некоторых условиях, наложенных на систему, регулярная проекция позволяет восстановить копию аттрактора в евклидовом пространстве К" подходящей размерности.
Процедура реконструкции представляет собой дифференцируемое вложение временного ряда в ВТ и, следовательно, поток, который генерирует такая модель в своем касательном расслоении, диффеоморфен решению уравнений исходной системы. Полученная копия наследует все динамические характеристики реального аттрактора, которые, следовательно, можно вычислить по реконструкции. Более того, во многих случаях можно реконструировать даже исходные дифференциальные уравнения (Gouesbet et al, 2003). Математической моделью аттрактора в общем случае являются дифференцируемые или фрактальные многообразия.
Описанный подход к построению модели из наблюдаемого сигнала лежит в основе новой области топологической динамики - «эмбедологии» (от английского embedding - вложение). Техническая сторона эмбедологии обеспечена большим набором алгоритмов для численных оценок динамических инвариантов аттрактора (Parker, Chua, 1989), включающих нелинейные методы анализа временных рядов (Bradley, 2003) и многомерную технику их прогноза (Farmer, Sidorovich, 1987). Нелинейный предиктор является непрерывной функцией вектора «запаздывающих координат» - набора из т отсчетов временного ряда. Такой предиктор успешно аппроксимируется локальными методами, или глобально - с помощью искусственных нейронных сетей (ИНС). Таким образом, экспериментатор получил уникальную возможность реконструировать универсальную модель системы прямо из наблюдений. Основным ограничением эмбедологии является ее адаптация к точечному источнику сигнала, динамика которого не зависит от пространственной сложностисистемы.
Моделирование распределенной динамической системы является более сложной проблемой. Хаотические сценарии ее нелинейной динамики принято называть пространственно-временным хаосом (Mayer-Kress, Kaneko, 1989). При экспериментальном анализе такого хаоса приходится иметь дело с двумя видами сложности: временной, которая отслеживается каким-либо интегральным параметром, и пространственной, которая кодируется нетривиальной геометрией и топологией пространственной структуры системы. Проекциями динамики пространственно-временного хаоса в «Мир Экспериментатора» являются «мгновенные снимки» («snapshots»), которые, в общем случае, описываются матрицами, содержащими скалярные или векторные значения измеряемого поля. Массивы экспериментальных данных
могут иметь произвольную форму: фотографических и цифровых изображений или карт. Собирательным синонимом такого разнообразия является понятие «паттерн».
Актуальность темы. В рамках обратной задачи существуют две возможности для реконструкции модели из матричных данных. Первая основана на прямом обобщении эмбедологии (Рабинович и др., 1992; Parlitz, 1998). Однако, этот путь связан с большим объемом вычислений и трудностью получения персистентных оценок динамических инвариантов с приемлемой точностью.
Вторая возможность заключается в преобразовании пространственной сложности паттерна в скалярные значения некоторых функционалов, определенных на нем. Упорядоченные во времени функционалы — это привычные скалярные временные ряды, к которым применимы хорошо развитые методы эмбедологии. Для получения подходящих дескрипторов разумно обратиться прежде всего к современным методам обработки изображений (Serra, 1988; Michielsen & De Raedt, 2002), которые возникли на базе интегральной геометрии случайных множеств (Stoyan et al., 1995).
Так, например, для любого бинарного изображения
/(лс,д>) = [0л1], x,yeZ , образованного черными или белыми кластерами на
решетке Z , можно определить три функционала Минковского 1^-,/=0,1,2, пропорциональные суммарной площади, периметру и связности объекта, соответственно. Функционалы Wt обладают морфологическими свойствами: они С-аддитивны, инвариантны относительно вращений и трансляций на плоскости и непрерывны (Michielsen, De Raedt, 2001, 2002). В случае «серого» изображения, 1{х,у) = [а,Ь\, определим множество уровней высоты п:
Bh =|(x,^)J/ = h}, а
Ah = {(x.y)\l > /і}, а < h й Ь графика Graf(I) =U(x.y);(x,y) є Z2 J и затем
используем бинарный вариант. Эта техника является основной в морфологическом анализе изображений.
Пусть Ah — множество выбросов случайного вещественнозначного
t),t єТ czR ;Х єЯ . Невозможно
получить аналитическое выражение для вероятности P|sup/gr X{t)>h\
максимальных «пиков» поля. Оказывается, однако, что эту величину можно оценить с помощью среднего значения характеристики Эйлера (W2) = (^) > определенного на Ah при некоторых условиях, наложенных на регулярность поля (Adler, 1981). Этот результат лежит в основе методов диагностики случайных полей методами контурных статистик (Worsley 1995, 1996; Лонге-Хиггинс 1962; Макаренко и др., 1999, 2000). Таким образом, функционалы Минковского, определенные на множествах выбросов, позволяют идентифицировать геометрию паттерна в рамках «морфологических» координат - периметров, площадей и связности. Однако, одной и той же
геометрии могут соответствовать совершенно различные топологии. Так, два изображения могут отличаться «пористостью», т.е. числом «дыр» в пикселах выбранного цвета. Описать «дыры» можно используя дескрипторы алгебраической топологии - числа Бетти /?t, т.е. ранги групп гомологии (Хилтон и Уайли, 1966), образованных гомологически не эквивалентными границами «дыр». Такие группы можно получить, например, если построить на множестве точек, образованных центрами пикселов, симплициальные комплексы (Carlsson, 2003; Kaczynski, etal, 2001). С другой стороны, связность изображения зависит от выбранного разрешения. Пусть С{є) - число связных
компонент, разделенных расстоянием не больше, чем некоторое >0. Тогда скорость изменения С{е) vs. є, которая называется индексом несвязности у, является важной характеристикой паттерна (Robins et al.,1998; Robins, 2000) и совпадает с бокс-размерностью множества для самоподобных фракталов. Методы для оценки рк и у развиваются в новой области математики — вычислительной топологии (Dey, Edelsbrunner et al, 1999; Robins, 2000; Zomorodian, 2001; Rosenfeld & Klette, 2002).
Следовательно, современные методы математической морфологии и вычислительной топологии позволяют сопоставить каждому «мгновенному снимку» набор морфологических (функционалы Минковского) и топологических (у, числа Бетти) «координат», характеризующих пространственную сложность паттерна. Кроме того, многие природные паттерны имеют мультифрактальные свойства (Мандельброт, 2002; Turiel & Parga, 2000), которые можно описать своими дескрипторами - фрактальными размерностями и мультифрактальными спектрами.
Используя все упомянутые подходы, можно преобразовать геометрию и топологию пространственно-временных паттернов в скалярные величины, так что динамические последовательности паттернов превращаются во временные ряды, к которым применимы методы эмбедологии. Корректная реализация таких процедур является актуальной проблемой, потому что: (а) большинство природных и техногенных систем являются пространственно распределенными и (б) их аналитические модели, даже в тех немногочисленных случаях, когда они имеются, сложны и мало полезны для практики.
Цели и задачи исследования. Целью диссертации являлась разработка комплексного подхода к моделированию пространственно распределенных систем. Этот подход основан на синтезе
современных методов извлечения геометрических и топологических характеристик из временной последовательности паттернов;
методов оценки масштабных свойств данных, основанных на мультифрактальном формализме и фрактальной геометрии;
методов топологической реконструкции универсальной модели динамической системы из скалярных временных рядов;
методов нелинейного прогноза с помощью искусственных нейронных сетей.
В качестве основного приложения комплексного подхода в диссертационной работе рассматривается распределенная динамика глобального магнитного поля Солнца. Это поле, в первом приближении, состоит из двух компонент: слабого глобального (фонового) поля и сильного поля пятен с локализацией в экваториальной зоне. Наблюдаемая рекуррентная динамика числа пятен (циклы Вольфа) рассматривается обычно как «ритмоводитель» всего комплекса явлений, который называют Солнечной Активностью. С фазами этих циклов связаны солнечные вспышки, создающие локальные возмущения плазмы солнечного ветра. Глобальная структура последнего определяется фазами другого 22-х летнего магнитного цикла Хеша. Он контролирует динамические режимы широкого диапазона геофизических процессов на Земле и в Космосе. До сих пор существуют две конкурирующие точки зрения на взаимную связь 2-х магнитных компонент: первая сводится к тому, что фоновое поле - результат распада и диффузии пятен; вторая предполагает разные механизмы происхождения фоновой и пятенной составляющей.
Информация о фоновых полях доступна в топографической форме распределения «знака» глобального поля, известной как синоптические На-карты, а также в виде магнитограмм радиальной компоненты поля. Эти данные являются уникальным инструментальным матричным рядом, отслеживающим распределенную динамику Солнца на почти вековом интервале времени. Качественный анализ синоптических карт позволил получить ряд важных особенностей крупномасштабной магнитной динамики, таких как эффект переполюсовок или инверсий глобального поля (Макаров, Тавастшерна, 1992; Макаров, Тлатов, 2001).
Первой задачей диссертации является анализ магнитной динамики Солнца, основанный на применении комплексного подхода к выборке синоптических карт.
Вторая задача диссертации заключается в приложении методов
математической морфологии, вычислительной топологии и
мультифрактального анализа к некоторым геофизическим полям. Точнее, в диссертации рассматривается:
волновая динамика атмосферы в проблеме обнаружения грозовых
фронтов на основе анализа измеренного потока мезонов.
Потоки сейсмических событий в проблеме выделения и сравнения
сейсмических режимов в различных регионах.
Стохастические поля радионуклидных загрязнений на бывшем
Семипалатинском Испытательном Ядерном Полигоне (СИЯП) и
прилегающих территориях в задачах радиоэкологии.
Одна из конечных целей моделирования - предсказание поведения динамической системы. В диссертации исследуются возможности комбинированной схемы глобального нелинейного прогноза, основанного на комбинации эмбедологии и методов нейрокомпьютинга. Практическая реализация векторного нелинейного предиктора демонстрируется на предсказании временного ряда чисел Вольфа.
Методы исследования. Для достижения поставленных задач в диссертации использовались методы математической морфологии, вычислительной топологии, мультифрактального и вейвлет анализа, численные методы теории гладких эргодических динамических систем, теория искусственных нейронных систем и статистическая теория обучения.
Основные положения, выносимые на защиту
-
Впервые получены функционалы Минковского для синоптических магнитных Н-а карт в форме трех скалярных временных рядов — площадей, периметров и связности униполярных областей. Эти ряды являются новыми индексами солнечной активности, описывающими геометрию фонового поля Солнца.
-
Впервые получена корреляционная связь периметра линии раздела полярностей и размерности Буллигана-Минковского со вспышечным индексом.
-
Впервые получены мультифрактальные спектры временных рядов морфологических функционалов, которые указывают на существование таких свойств в фоновом магнитном поле Солнца.
-
Впервые обнаружен степенной скейлинг в индексе несвязности фонового магнитного поля, который позволяет интерпретировать глобальные инверсии поля как эффект саморганизующейся критичности.
-
Проведена реконструкция аттракторов магнитного поля Солнца на основе морфологических функционалов и чисел Бетти и даны их оценки корреляционных размерностей. Они подтверждают существование низкоразмерного детерминированного хаоса в динамике солнечной активности.
-
Подтверждено существование синхронизации между механизмом образования пятен и динамикой глобального магнитного поля с доминирующей ролью фонового ПОЛЯ.
-
Получена схема нелинейного векторного прогноза временных рядов для долгосрочного предсказания, основанная на синтезе методов эмбедологии и нейрокомпьютинга.
-
Впервые обнаружены мультифрактальные свойства радионуклидных полей загрязнения Семипалатинского Испытательного Ядерного полигона.
Научная новизна исследований, изложенных в диссертации, заключается в
разработке концептуальных и методологических основ комплексного подхода к моделированию динамики распределенных систем в рамках обратной задачи;
использовании современных математических методов для получения топологических, морфологических и фрактальных дескрипторов, необходимых при анализе и диагностике данных;
разработке и реализации новой схемы долгосрочного нелинейного
векторного предсказания временных рядов на основе
нейрокомпьютинга;
результатах практического применения комплексного подхода к
анализу распределенной динамики глобального магнитного поля
Солнца и геофизическим данным.
Практическая значимость работы. Предлагаемый подход значительно
расширяет теоретические и прикладные методы теории нелинейных динамических систем. Разработанные методы применимы для широкого класса природных процессов в геофизике, сейсмологии, экологии и астрофизике. Они могут быть с успехом использованы в задачах поиска полезных ископаемых, задачах космического мониторинга и ГИС -технологиях.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы, разработанные модели, методы, алгоритмы и результаты численных экспериментов были представлены в докладах и лекциях на международных и всероссийских конференциях и школах. Среди них
Пулковские международные конференции по проблемам Солнечной активности (Санкт-Петербург, ГАО РАН, 1998-2003 гг.);
Международная конференция по Солнечно-земным связям (Иркутск, ИСЗФ, 2001 г.),
Всероссийские научно-технические конференции «Нейроинформатика» (Москва, МИФИ, 2002-2004 гг.);
Всероссийские семинары «Нейроинформатика и ее приложения»
(Красноярск, ИПМ, 1999-2002 гг.);
«Problems of Geocosmos» (Санкт-Петербург, 1998, 2004), JENAM-2000
(Москва, 2000); «IAU-223» (Санкт-Петербург, 2004); «EGS» (Ницца,
2003); «АСАТ» (Москва, 2002, Токио, 2003); «Econophysica» (Токио,
2002), «Cosmogenetic Climate Forcing factors during the last millennium»
(Kaunas, 2003); «Fractal» (Мальта, 1998, Сингапур, 2000, Гранада, 2002,
Ванкувер, 2004)
Всероссийская школа «Нелинейные Волны» (Нижний Новгород, ИПФ,
2002,2004); VII международная школа «Хаос'04» (Саратов, СГУ, 2004),
а также на научных семинарах в МИФИ, ФИАН, ИЗМИР АН (Москва), ФТИ, НИИФ, ГАО (Санкт-Петербург), ИПФ (Нижний Новгород), ИСЗФ (Иркутск).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 62 работы, список которых приведен в конце автореферата. Большая часть работ выполнена в соавторстве, неизбежном в прикладных областях. Соавторами были специалисты из разных областей, которые предоставили оригинальные экспериментальные данные и/или способствовали корректной интерпретации полученных результатов. В большинстве компьютерных экспериментов участвовали сотрудники Лаборатории Компьютерного Моделирования Института Математики. Основные идеи методов и подходов во всех упомянутых случаях принадлежали соискателю.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения,
семи глав, заключения и списка литературы, включающего 372 наименования. Работа содержит 229 страниц, 136 рисунков и 2 таблицы.
Функционалы Минковского
Рассмотрим множества, образованные кластерами черных или белых пикселов бинарного изображения. Пусть В- выпуклое кольцо, состоящее из класса всех подмножеств {А} є Rd, которые можно представить как конечное объединение компактных выпуклых подмножеств; 0еВ. Определим функционал х наД в соотношениями: Пусть выпуклое тело К - квадрат размером аха (рисунок 1.2, слева). Покроем каждую точку К диском ВЕ (х) с центром в х є R2 и радиусом є. Объединение всех дисков образует параллельное К тело КЕ = [JxeKBe (JC), т.е. увеличенную на є копию К. Ке) = а +4ає + л;є выражается точным полиномом по степеням є. Для произвольного компактного К, общее выражение для полинома дает формула Штейнера [85] F(KE) = W0+W]e+ W2s2. Коэффициенты W{,i = 0,1,2 называют функционалами Минковского: они пропорциональны площади, периметру и, так называемой, характеристике Эйлера х Последняя измеряет связность К: для любого тела К є R , гомеоморфного квадрату, % (К) = 1, в соответствии с классической формулой Эйлера: где V,E,F - число вершин, ребер и граней соответственно. Для тел, которые невыпуклы, но принадлежат В как, например, кольцо (Рисунок 1.2, справа), X вычисляется в соответствии с (1.15): Формально, функционалы Минковского И над В определяются как: где (1)-объемедичногошара(1), Еа - а -мерная плоскость в Rd, J//[a]-кинематическая плотность [41], нормированная так, что d — мерного шара (od (г) радиусом г, Wa (cod (г)) = cod (l)rd a. Рассмотрим случай d = 2. Функционал \г{А) = п%{). Для W0(A), плоскость Еа вырождается в точку Е0 = х = {х,у) и j( 4nx) = l,Vx є А. Кинематическая плотность случайных точек в R2 определяется бивектором ///[0] -dxAdy и следовательно: Функционал Wl(A)= \x(AnEl)d {Ei), где -случайная прямая в R2. Определим прямую парой (р, р), где р -длина нормали, опущенной в начало координат, а р -угол между нормалью и положительным направлением оси х. Тогда, уравнение прямой имеет вид: xzoscp + ysvcup- р = . (1-19) Под действием группы движений на плоскости {х,у) -» (У,у ): х = xcosa - ysina + а; у -xsma + ycosa + b уравнение (1 19) трансформируется в xcos( p - а) + ysin((p -сс)-(р — xcos + bsm p) = 0, так что кинематическая плотность dju(El) = dpAd p для множества случайных прямых остается инвариантной, с точностью до мультипликативной константы, относительно преобразований: р = (р-а\ р = р-аcos р + bsin(р. Поэтому, Таким образом, все функционалы Минковского имеют простой геометрический смысл: периметра, площади и связности, причем два первых функционала можно выразить через %. Пусть А представляет собой геометрическое тело в R2, с кусочно-гладкой границей дА. Пусть, далее, ц,«2,...,#л- внешние углы в вершинах линейных участков дА, ds-элемент длины дуги и к - ее кривизна. Тогда, теорема Гаусса-Бонне [17, 230] утверждает, что и связывает, таким образом, локальные (кривизну) и глобальные (связность) свойства А. На практике обычно имеют дело с контурными картами, представляющими или множество уровней Д, = jt F(t) = и} некоторого непрерывного случайного поля F(t),t eZczRN,F є RM, или множества выбросов (excursions) Au(F,Z) = it\F(t) и\ этого поля за уровень и. Предположим, что компакт Z, и его граница 3Z является С2 -многобразиями. Такое Z будем называть С2-регулярной областью. Поле (t) называется достаточно регулярным относительно Z на уровне и, если FeC2, не содержит критических точек на множестве {t} для которого F(t) = u внутри Z и dZ и имеет невырожденный гессиан относительно JV-1 координат. Функция F(t)eC2 на открытой окрестности Z, называется допустимой [84], если ее сужения F Z,F\8Z имеют конечное число невырожденных критических точек. Для оценки основного морфологического функционала % используется теорема Морса [84].
Ковер Серпинского
Известно, что отображение сжатия непрерывно (по определению), имеет одну и только одну неподвижную точку. Объединение системы таких отображений наследует эти же свойства, так же как и последовательность ее итераций. Построим пространство, точками которого являются компакты: квадраты, круги, отрезки и т.д. Наделим его метрикой Хаусдорфа. Преобразование сжатия, примененное к компакту, будем понимать, как поточечное и перенесем систему сжимающих отображений в новое пространство. Аналогом единственной неподвижной точки будет множество -фрактал[100]. Определение!.4. Пусть (H,h) полное метрическое пространство, точками которого являются компактные множества; h- метрика , определенная в главе 1. для каждого К еН определим конечный набор wa: К — К , ne{\,2,...,N] липшиц-непрерывных сжимающих отображений, так что wn(K) = {wn(x)\VxeK\. Тогда системой итеративных функций(СИФ) называется оператор W(K): Я -» Н, определенный как По теореме о неподвижной точке, последовательность итераций: Для любого АеН сходится в метрике Хаусдорфа в H(h) к аттрактору (фракталу): Для объекта, который называют фракталом Серпинского[38], СИФ на Л = [0,1]х[0,1] определяется уравнениями: С помощью (2.11) легко создать конечно-точечное представление этого фрактала, следуя схеме показанной на рисунке 2.4. Заметим, что если снабдить каждое w„ вероятностной меройрп, так что р]+р2 + рі \, то результирующее распределение точек будет аппроксимировать мультифрактальную меру(см. Главу 4). Такой фрактал Серпинского показан на рисунке 2.5.
Заметим, что он является связным множеством (рисунок 2.4). На практике невозможно вычислить индексы несвязности у и дискретности S при бесконечно малом разрешении є - 0. Существует несколько способов их оценки при конечном разрешении [67,68, 101], в том числе минимальное натянутое дерево[70]. В данной работе, во всех приложениях, при вычислении индекса несвязности (2.7) изменялся масштаб изображения и следовательно, разрешение. Результаты таких вычислений, для рисунка 2.5 приведены на рисунке 2.6, где величина у определялась по наклону прямой графика C(e)vs. lg, построенного в двойной логарифмической шкале. полученное численное значение У numeric = 1 -76±0.03 достаточно близко к теоретическому значению Т = 1.585 для классического однородного треугольника Серпинского. В действительности, существует семейство из 232 различных треугольников Серпинского[67,68,101]. Они получаются действием дискретных симметрии плоскости на каждую wn, имеют одинаковую фрактальную размерность, равную /g(3)//g(2), но совершенно различные топологии. Грубо говоря, они отличаются числом «дыр» и деляться на три различных класса: одномерные и связные как ковер, просто связные, т.е. гомотопные точке, и полностью несвязные и поэтому имеющие нулевую размерность. Существует и четвертый тип, который представляет собой бесконечно много связных компонент, но его топологическая размерность равна 1. Для того, чтобы различить эти объекты, нужны инварианты алгебраической топологии, которые изучает теория гомологий[22, 99,102,103] и способы аппроксимации теоретических пределов СИФ, т.е. фракталов, по доступному, конечно-точечному представлению. Рассмотрим теперь основные понятия теории гомологий[20, 22,99,102,103].
Магнитный цикл активности Солнца
Циклическое изменение числа солнечных пятен со временем было установлено датским астрономом Горребовым в 70-е годы XVIII в., по наблюдениям Солнца с 1761-1769г., однако его архивы погибли во время бомбардировки Копенгагена эскадрой адмирала Нельсона в 1805г. Спустя десятилетие, периодичность пятнообразовательной деятельности в 10 лет вновь обнаружил в 1843 году астроном-любитель Генрих фон Швабе В 1848 году Вольф ввёл в качестве индекса солнечной активности относительное число солнечных пятен [113-116]. где Ni - количество пятен на видимом диске Солнца независимо от их размеров в данный момент времени; N2 - количество групп пятен; к эмпирически подбираемый коэффициент, приводящий в соответствие наблюдения различных обсерваторий мира с наблюдениями обсерватории в Цюрихе. В 1852 г. период был уточнен Вольфом как среднеарифметическое значение 11,1 лет, хотя в действительности цикл имеет вариацию от 8,5 до 14 лет между соседними минимумами и от 7,3 до 17 лет между максимумами. Спектральный анализ временных рядов чисел Вольфа демонстрирует тонкую структуру спектра в интервале 2-70 лет[П7]; существуют указания на фрактальную структуру ряда[П8]. На рисунке 3.6 приведены значения чисел Вольфа с 1749 года по 1998 год.
Кроме 11-летней цикличности (закон Швабе-Вольфа) наблюдается изменение количества пятен в течение каждого цикла по гелиоширотам. В 1858 году Кэррингтон отметил, что широты появления пятен в обоих полушариях Солнца в ходе цикла в среднем уменьшаются. Первые пятна в начале цикла появляются на так называемых «королевских широтах»: около 30 северной и южной широты. В дальнейшем, с развитием цикла солнечные пятна появляются ближе к экватору. В конце цикла широта их появления падает до ±8. В период максимума цикла средняя широта появления пятен составляет ±15. Описанная закономерность была установлена Шпёрером в 1867 году и получила название закона Шпёрера, а диаграмма широтно-временного распределения пятен - «бабочек Маундера» (рисунок 3.7).
Существует тесная связь между законами Швабе-Вольфа и Шпёрера: чем мощнее 11-летний цикл, тем выше широта появления групп пятен в эпоху его максимума и тем больше средняя скорость «сползания» зоны пятнообразования по широте [114, 116].
Следующей интересной характеристикой солнечной активности является закон Хэйла о полярности групп пятен. В 1908 году Хэйл установил, что пятна обладают сильными магнитными полями с общим магнитным потоком, достигающим 10 максвелл. Пятна, объединённые в группы, образуют биполярные области. Ведущие (preceding) по вращению Солнца р- пятна и ведомые (following) /-пятна эволюционируют следующим образом. В северном полушарии Солнца р- пятна в 11-летнем цикле имеют полярность северного полюса Солнца, до его переполюсовки в период максимума солнечного цикла, а /- пятна полярность южного полюса. В южном полушарии порядок полярности р и / пятен -обратный. В 1913 году, когда начался цикл №15 солнечной активности по цюрихской нумерации, Хэйл обнаружил, что порядок полярности р и / пятен поменялся в обоих полушариях. Эта смена полярности пятен от одного цикла к другому и получила название закона Хэша. Через каждые 22 года порядок полярности повторяется, что позволяет говорить о 22-летнем цикле солнечной активности (рисунок 3.8).
Инверсия знака глобального магнитного поля является наиболее драматическим и загадочным эффектом в проявлениях Солнечной активности [119]. Она не происходит синхронно в обоих полушариях; известны циклы, в которых наблюдались 2-3 переполюсовки, а инверсия сопровождается ситуацией, когда оба магнитных полюса Солнца имеют один и тот же знак.
Гневышев и Оль [120] установили, что 22-летний цикл солнечной активности начинается с чётного (по цюрихской нумерации) цикла. В среднем интенсивность нечётных циклов выше по сравнению с интенсивностью чётных циклов.
Кроме 11- и 22-летних циклов солнечной активности существуют вековые 80 (90)-летние и 180-летние циклы [114, 116].
Кроме вариаций пятнообразовательной деятельности на средних и низких широтах, существует циклическая полярная активность в виде ветви полярных факелов. Магнитный цикл солнечной активности, который включает в себя полярную и экваториальную ветви активности, называют глобальным циклом солнечной активности[124]. В последнее время эта концепция получила широкое распространение благодаря работам В.И. Макарова и его коллег[121-123]. Считается, что этот цикл начинается сразу после переполюсовки полярного магнитного поля Солнца в эпоху максимума 11-летнего цикла пятнообразовательной деятельности Солнца.
Существует большой набор математических и физических моделей Солнечных циклов. Первые из них начинались с AR-процессов Слуцкого-Юла [125] и эволюционировали к современным моделям детерминированного хаоса (см., например, [126, 127]). Спектр физических моделей циклов более однородный: за исключением редких экзотических идей, например, «магнитного ячеистого кристалла» [128], на слоях которого «записан» солнечный цикл и диффузионной теории [129], в большинстве работ рассматриваются различные варианты магнитно-гидродинамического динамо [124, 130-133].
В основе большинства моделей солнечного динамо лежит механизм, предложенный Бэбкоком и основанный на взаимной трансформации полоидального поля Солнца в тороидальное. Вмороженное в солнечную плазму полоидальное поле увлекается дифференциальным вращением и «наматывается» на поверхность сферы, посколько экваториальная зона вращается быстрее чем высокоширотные области. Этот процесс называется омега-эффектом, поскольку искривление силовой линии напоминает греческую букву Q. В результате образуются два тороидальных кольца, по одному в каждом полушарии. Когда интенсивность тороидального поля достигает некоторого порогового значения, происходит всплытие силовой трубки, деформированной в форме буквы а (т.н. альфа-эффект) Именно он на поверхности фотосферы дает биполярную область. Поскольку /-пятна расположены дальше от экватора они диффундируют к полюсам и распадаются, изменяя знак полярности магнитного поля Солнца. Распад тороидального поля возвращает энергию в полоидальную компоненту и динамо начинает новый цикл. Формализация этих идей несмотря на многие трудности успешно развивается, однако законченной динамо теории в настоящий момент не существует.
Фрактальные и мультифрактальные свойства Солнечных индексов
Методы фрактальной геометрии и мультифрактального формализма с успехом применялись соискателем ранее для анализа случайных полей в космологии [194] и радиоэкологии [90, 91, 195, 196]. В этом разделе рассмотрено их применение к физике Солнца.
Известно, что глобальное Солнечное магнитное поле имеет сложную пространственную структуру. Она продуцируется диффузными компонентами и магнитными паттернами различных размеров с различным временем жизни. Магнитные потоки имеют перемежаемую (мультифрактальную) структуру в широком диапазоне масштабов [197]. Для магнитограмм, полученных с высоким разрешением для локальных областей, существуют оценки мультифрактального спектра [198, 199]. Однако, скейлинг магнитного поля на масштабах сравнимых с радиусом Солнца не исследовался ранее.
Прежде чем изложить результаты, уместно сделать несколько замечаний относительно понятия фрактальности изображений. Не вызывает сомнений, что оценки фрактальной размерности паттернов в 2D важны, поскольку, для изображения, эта размерность дает величину, характеризующую пространственную сложность [200-202]. Так, чем выше величина фрактальной размерности, тем более сложен объект, в том смысле, что он более полно заполняет R2. Вообще говоря, для плоскости существует множество различных размерностей [163], однако основная трудность заключается в том, чтобы определение было пригодно для получения точных и эффективных практических оценок используемой фрактальной размерности. Прежде всего, возникает следующий вопрос [203]: в каком смысле следует понимать фрактальность изолиний какой-либо карты или пиксельного изображения? Действительно: во-первых, измерения всегда имеют два масштаба отсечки: минимальный, который совпадает с размером наименьшего пикселя или наименьшего масштаба усреднения прибора и максимальный, который совпадает с размерами карты или изображения. во-вторых, множество факторов, которые формируют паттерн, обычно не согласованы: у них разные характерные масштабы и различные вклады в наблюдаемый образ. Поэтому на практике не может существовать истинного самоподобия.
Таким образом, необходимые асимптотические пределы фрактального формализма не применимы к конечно-точечному экспериментальному представлению паттерна. Следовательно, нельзя вычислить истинную фрактальную размерность, но можно оценить только эффективную размерность, точнее ее поведение внутри упомянутых масштабов. Уместно заметить, что фрактальность автоматически не влечет самоподобия -последнее является только ее частным случаем [38, 167]. Мы всегда наблюдаем в эксперименте только статистическое самоподобие, такое, например, как повторение иррегулярностей на нескольких доступных изменениях масштаба. Нередко, оценки скейлинга полученные при этом по нескольким точкам графика дают ложную фрактальность, поскольку наклон регрессионной кривой выражается, как правило, дробным числом.
Размерность Минковского синоптических карт. В настоящей работе исследовалась размерность Минковского в приложении к эволюции линии раздела полярности синоптических карт Солнца, полученных на обсерватории Стенфордского университета за период I976-2001 годов (http://quake.stanford.edu/-wso/synoptichtmn
Согласно определению 4.2, для того, чтобы ее вычислить необходимо найти скорость изменения площади покрытия при разных радиусах покрытия. Практическая реализация покрытия Минковского выполняется с помощью операции дилатации, которая основана на понятии суммы Минковского [42, 44, 50, 204]. Пусть два множества точек в Евклидовом пространстве, например, два изображения, определяются векторами А = {а1,...,ап} и B = {blt...,bn]. Трансляция каждой точки множества А на Ьп для / = 1,,.,,/и и объединение всех точек дает новое множество точек которое называется суммой Минковского множеств А и В. Оператор называется сложением Минковского.
Использование оператора сложения дает возможность ввести параллельное тело. В Rd, параллельное тело Аг для множества А определяется как АГ = А S, , где S, обозначает d -мерную сферу радиусом г. Рассмотрим несколько простых примеров приведенных на рисунке 4Л5: круг D радиусом а, квадрат Q с ребром а и равносторонний треугольник Т со стороной а на плоскости. Возьмем диск радиусом г и выполним операцию сложения следующим образом. Поместим центр диска в каждой точке D, Q и Т, соответственно, и рассмотрим объединение всех полученных точек. Результирующие параллельные множества Д, Qr и Тг показаны на том же рисунке 4.15.
Для компактов дилатация получается лишь за счет граничных точек: в случае двумерного изображения, например, диски помещаются во все точки контуров объектов изображения. Затем проводится одновременная дилатация дисков и определяется площадь параллельного тела для каждого г. Однако, при работе с цифровыми изображениями возникает проблема, связанная с выбором последовательности радиусов, поскольку на ортогональной решетке цифрового изображения не все радиусы возможны из-за дискретной природы изображения.
Так, например, рисунок 4.16 демонстрирует дилатацию центральной точки при использовании последовательности из четырех значений радиусов f = 1,72,2,75. Очевидно, что наложение четырех полученных образов действительно дает параллельное тело для центрального пикселя, однако радиус при этом не изменяется дискретно-непрерывно.
Таким образом, следует выбирать такую последовательность, чтобы полностью избежать повторов и пропусков величин радиусов. Для этого в работе [205] была введена концепция точной дилатации. Последняя позволяет избежать проблемы искажения расстояний и определить подходящее множество используемых радиусов. Необходимая процедура известна, как представление отсортированных точных расстояний (Sorted
Exact Distances Representation (SEDR)) [206]. Было показано, что эволюция формы контуров с увеличение є происходит при этом в соответствии с точным решением уравнения эйконала в частных производных из геометрической оптики. Другими словами, это означает, что граница области дилатации растет с постоянной скоростью вдоль нормали к рассматриваемой границе. Рисунок 4.17 демонстрирует два шага точной дилатации изображения, представленного на первой решетке.
