Содержание к диссертации
Введение
1 Определения и геометрические свойства . 7
1.1 Определения и примеры 7
1.2 Пуассонова геометрия 11
1.3 Симплектические особенности с пуассоновои точки зрения 21
1.4 Симплектические разрешения 30
2 Деформации и квантование . 33
2.1 Отображение периодов и твисторные деформации 33
2.2 Квантования 41
2.2.1 Локальная теория 42
2.2.2 Глобализация через формальную геометрию 45
2.3 Ситуация в положительной характеристике 49
2.3.1 Новые явления 50
2.3.2 Ограниченные структуры 53
2.3.3 Квантование 61
3 Описание производной категории . 76
3.1 Наклонные генераторы 76
3.2 Оценки 78
3.3 Аппроксимация по Артину 84
3.4 Сравнение производных категорий 85
4 Дополнительные результаты. 88
4.1 Растягивающие действия 88
4.2 Топология 94
4.3 Соответствие Маккея 98
Выводы
Введение к работе
По теореме Хиронаки, любое особое алгебраическое многообразие Y над С допускает разрешение особенностей, т.е. гладкое алгебраическое многообразие X, снабженное проективным бирациональным морфизмом X — Y. Для многих задач алгебраической геометрии достаточно самого существования X. Однако зачастую, и в первую тогда, когда алгебраическая геометрия применяется к другим областям математики, требуется некоторый контроль над разрешением X.
Это очень хорошо заметно, например, в геометрической теории представлений (которая описана, например, в книге [CG]). В идеале, имея в руках особое многообразие Y, которое кодирует какую-либо задачу теории представлений, необходимо найти разрешение X, которое будет полумалым (т.е. dimX Ху X = dimX), и будет иметь слои с тем или иным образом ограниченной топологией. Если на Y действует алгебраическая группа, требуется, чтобы действие поднималось до действия на X.
Во многих конкретных примерах ситуация действительно оказывается идеальной. Например, если Y - нильпотентный конус в присоединенной представлении полупростой алгебраической группы, то у него есть хорошо известное полумалое разрешение Спрингера. Оно эквивариантно по отношению ко всем возможным действиям групп на Y. Хотя его слои, вообще говоря, особы, с когомологической точки зрения они ведут себя, как гладкие однородные пространства: все группы когомологий чисты по отношению к весовой фильтрации, и порождены классами алгебраических циклов. Совершенно аналогичная картина наблюдается для так называемых колчанных многообразий X. Накаджимы, и для схем Гильберта п точек на С2. Кроме того, оказывается, что на разрешениях присутствуют некоторые дополнительные структуры - в частности, голоморфная симплектическая форма.
Известные доказательства этих фактов (см. например работу [CLP]) проводятся явной конструкцией, и сильно зависят от геометрии рассматриваемого многообразия Y.
Результаты настоящей диссертации довольно сильно меняют этот сложившийся взгляд на вещи. Оказывается, что голоморфная симплектическая форма, вспомогательное и почти случайное дополнительного данное на разрешении X, на самом деле сама по себе обеспечивает все остальные хорошие своства разрешения - полумалость, когомологическую чистоту слоев, и т.д. и т.п. Более того, теорию можно сильно развить - вплоть до того, что получается полное алгебраическое описание производной категории когерентных пучков на X. Это дает новую информацию даже в хорошо изученных и классических случаях, таких, как разрешение Спрингера и схема Гильберта.
Поскольку все, что нужно от многообразия X, это голоморфная симплектиче-ская форма, результаты диссертации следует целиком отнести к алгебраической геометрии (или даже к "симплектической алгебраической геометрии", если о таковой уместно в настоящий момент говорить). Поэтому мы не предполагаем и требуем никакого знакомства с геометрической теорией представлений. Более того, хотя большинство приложений на настоящий момент происходят из теории представлений, результаты могут с тем же успехом быть использованы для изучения стягиваний голоморфно-симплектических и гиперкэлеровых многообразий - или, более общо, в той части Программы Минимальных Моделей, которая занимается многообразиями с тривиальным каноническим расслоением. В частности, некоторые из полученных результатов о производныых категориях представлают собой частные случаи известных и трудных гипотез, которые должны выполняться в большей общности (см. в первую очередь общую программу А.И. Бондала и Д.О. Орлова, описанную в работах [BOl], [В02]). В голоморфно-симплектическом случае эти общие гипотезы оказывается возможным доказать.
Полученные результаты. Перечислим кратко представленные в диссертации результаты.
• Методами пуассоновой геометрии и теории Ходжа построена структурная теория особых симплектических мнгообразий ("симплектических особенностей"). В частности, выделены и изучены два класса общих пуассоновых схем, голономные и локально-точные схемы, доказано, что симплектические особенности обладают обоими свойствами, и доказано, что у них конечное число симплектических листов, имеется каноническая стратификация гладкими симплектическими многообразиями, верен формальный аналог разложения Вайнштейна, и локально существует нетривиальное действие группы Gm • Методами теории Ходжа доказано, что любое симплектическое разрешение X симплектическои особенности Y полумалое, а его слои когомологически чисты в смысле структуры Ходжа.
• Построена теория симплектичсских деформаций для симплектических разрешений - а именно, показано, что деформации не имеют предпятствий (обобщение теоремы Богомолова-Тьяна-Тодорова), и имеется аналог теоремы То-релли. Выделен важный класс однопараметрических деформаций - твисторные деформации. Твисторные деформации построены также для любых сколь угодно особых пуассоновых схем.
• Построены и классифицированы некоммутативные деформации симплектических разрешений, также известные как (деформационные) квантования. Показано, что квантования имеют те же хорошие свойства, что и коммутативные симплектические деформации.
• Теория .квантования симплектических разрешений обобщена на многообразия над полем положительной кахрактеристики р 0. Выделен важный класс квантований - Фробениус-постоянные квантования, которые построены и классифицированы. В процессе изучения квантований выделен и изучен пуассонов аналог классического понятия р-алгебры Ли.
• Сведением в простую характеристику и применением Фробениус постоянных квантований получены так называемые наклонные генераторы для производной категории когерентных пучков на симплектической разрешении X, что позволяет дать чисто алгебраическое описание этой производной категории.
• Доказана гипотеза А.И. Бондала и Д.О. Орлова о том, что два разных симплектических разрешения одной и той же симплектической особенности имеют эквивалентные производные категории.
• При дополнительных предположениях доказано, что когомологии слоев симплектического разрешения порождены классами алгебраических циклов. • В случае симплектического разрешения X симплектической фактор особенности V/G, получена точная информация о кольце когомологий X (мультипликативное соответствие Маккея) и о производной категории когерентных пучков на X (эквивалентность Маккея).
Результаты получены и опубликованы в работах [Kail], [Ка12], [KV], [GiKa], [BKl], [Kal5], [Kal4], [КаІЗ], [BK2], [ВКЗ], [Kal6], и неоднократно докладывались на различных конференциях в России и за рубежом - например, в цикле из трех докладов на конференции AMS по итогам развития алгебраической геометрии за последние 10 лет, которая состоялась в г. Сиэттл в июле-августе 2005 года.
Пуассонова геометрия
По теореме Хиронаки, любое особое алгебраическое многообразие Y над С допускает разрешение особенностей, т.е. гладкое алгебраическое многообразие X, снабженное проективным бирациональным морфизмом X — Y. Для многих задач алгебраической геометрии достаточно самого существования X. Однако зачастую, и в первую тогда, когда алгебраическая геометрия применяется к другим областям математики, требуется некоторый контроль над разрешением X.
Это очень хорошо заметно, например, в геометрической теории представлений (которая описана, например, в книге [CG]). В идеале, имея в руках особое многообразие Y, которое кодирует какую-либо задачу теории представлений, необходимо найти разрешение X, которое будет полумалым (т.е. dimX Ху X = dimX), и будет иметь слои с тем или иным образом ограниченной топологией. Если на Y действует алгебраическая группа, требуется, чтобы действие поднималось до действия на X.
Во многих конкретных примерах ситуация действительно оказывается идеальной. Например, если Y - нильпотентный конус в присоединенной представлении полупростой алгебраической группы, то у него есть хорошо известное полумалое разрешение Спрингера. Оно эквивариантно по отношению ко всем возможным действиям групп на Y. Хотя его слои, вообще говоря, особы, с когомологической точки зрения они ведут себя, как гладкие однородные пространства: все группы когомологий чисты по отношению к весовой фильтрации, и порождены классами алгебраических циклов. Совершенно аналогичная картина наблюдается для так называемых колчанных многообразий X. Накаджимы, и для схем Гильберта п точек на С2. Кроме того, оказывается, что на разрешениях присутствуют некоторые дополнительные структуры - в частности, голоморфная симплектическая форма.
Известные доказательства этих фактов (см. например работу [CLP]) проводятся явной конструкцией, и сильно зависят от геометрии рассматриваемого многообразия Y. Результаты настоящей диссертации довольно сильно меняют этот сложившийся взгляд на вещи. Оказывается, что голоморфная симплектическая форма, вспомогательное и почти случайное дополнительного данное на разрешении X, на самом деле сама по себе обеспечивает все остальные хорошие своства разрешения - полумалость, когомологическую чистоту слоев, и т.д. и т.п. Более того, теорию можно сильно развить - вплоть до того, что получается полное алгебраическое описание производной категории когерентных пучков на X. Это дает новую информацию даже в хорошо изученных и классических случаях, таких, как разрешение Спрингера и схема Гильберта.
Поскольку все, что нужно от многообразия X, это голоморфная симплектиче-ская форма, результаты диссертации следует целиком отнести к алгебраической геометрии (или даже к "симплектической алгебраической геометрии", если о таковой уместно в настоящий момент говорить). Поэтому мы не предполагаем и требуем никакого знакомства с геометрической теорией представлений. Более того, хотя большинство приложений на настоящий момент происходят из теории представлений, результаты могут с тем же успехом быть использованы для изучения стягиваний голоморфно-симплектических и гиперкэлеровых многообразий - или, более общо, в той части Программы Минимальных Моделей, которая занимается многообразиями с тривиальным каноническим расслоением. В частности, некоторые из полученных результатов о производныых категориях представлают собой частные случаи известных и трудных гипотез, которые должны выполняться в большей общности (см. в первую очередь общую программу А.И. Бондала и Д.О. Орлова, описанную в работах [BOl], [В02]). В голоморфно-симплектическом случае эти общие гипотезы оказывается возможным доказать.
Полученные результаты. Перечислим кратко представленные в диссертации результаты. Методами пуассоновой геометрии и теории Ходжа построена структурная теория особых симплектических мнгообразий ("симплектических особенностей"). В частности, выделены и изучены два класса общих пуассоновых схем, голономные и локально-точные схемы, доказано, что симплектические особенности обладают обоими свойствами, и доказано, что у них конечное число симплектических листов, имеется каноническая стратификация гладкими симплектическими многообразиями, верен формальный аналог разложения Вайнштейна, и локально существует нетривиальное действие группы Gm Методами теории Ходжа доказано, что любое симплектическое разрешение X симплектическои особенности Y полумалое, а его слои когомологически чисты в смысле структуры Ходжа.
Локальная теория
Построена теория симплектичсских деформаций для симплектических разрешений - а именно, показано, что деформации не имеют предпятствий (обобщение теоремы Богомолова-Тьяна-Тодорова), и имеется аналог теоремы То-релли. Выделен важный класс однопараметрических деформаций - твисторные деформации. Твисторные деформации построены также для любых сколь угодно особых пуассоновых схем.
Построены и классифицированы некоммутативные деформации симплектических разрешений, также известные как (деформационные) квантования. Показано, что квантования имеют те же хорошие свойства, что и коммутативные симплектические деформации.
Теория .квантования симплектических разрешений обобщена на многообразия над полем положительной кахрактеристики р 0. Выделен важный класс квантований - Фробениус-постоянные квантования, которые построены и классифицированы. В процессе изучения квантований выделен и изучен пуассонов аналог классического понятия р-алгебры Ли.
Сведением в простую характеристику и применением Фробениус-постоянных квантований получены так называемые наклонные генераторы для производной категории когерентных пучков на симплектическои разрешении X, что позволяет дать чисто алгебраическое описание этой производной категории.
Доказана гипотеза А.И. Бондала и Д.О. Орлова о том, что два разных симплектических разрешения одной и той же симплектическои особенности имеют эквивалентные производные категории.
При дополнительных предположениях доказано, что когомологии слоев сим-плектического разрешения порождены классами алгебраических циклов. В случае симплектического разрешения X симплектической факторособен-ности V/G, получена точная информация о кольце когомологий X (мультипликативное соответствие Маккея) и о производной категории когерентных пучков на X (эквивалентность Маккея).
Результаты получены и опубликованы в работах [Kail], [Ка12], [KV], [GiKa], [BKl], [Kal5], [Kal4], [КаІЗ], [BK2], [ВКЗ], [Kal6], и неоднократно докладывались на различных конференциях в России и за рубежом - например, в цикле из трех докладов на конференции AMS по итогам развития алгебраической геометрии за последние 10 лет, которая состоялась в г. Сиэттл в июле-августе 2005 года.
К характеристики 0. Изучение симплектических разрешений удобно начать со следующего определения, которое принадлежит А. Бовилю [Beau]. Определение 1.1. Симплектической особенностью называется нормальное неприводимое алгебраическое многообразие Y над полем К, снабженное невырожденное симплектической формой Vt Є H(Ysm,Q2) на гладкой части Ysm С Y, которая продолжается до (возможно, вырожденной) симплектической формы на каком-либо гладком проективном разрешении особенностей X — Y.
Здесь и далее в настоящей работе слово симплектической следует понимать в смысле алгебраической геометрии; в частности, мы не занимаемся С симплекти-ческими формами, которые возникают в геометрии кэлеровои. Под разрешением особенностей мы понимаем гладкое алгебраическое многообразие X над полем К, снабженное проективным бирациональным отображением X — Y. Бовиль в своем определении требовал только существования формы Q, однако же нам будет удобнее всегда фиксировать форму как часть исходных данных.
Легко показать ([Beau]), что если Q продолжается на какое-то разрешение X, то она продолжается и на любое другое разрешение X ; таким образом, в определении 1.1 можно без потери общности заменить "какое-либо разрешение" на "любое разрешение".
В настоящей работе симплектические особенности будут изучаться в основном локальное — в частности, мы обычно будем предполагать, что Y аффинно. Поскольку мы также предполагаем Y нормальным, имеем Y = S pecH(X, Ох) -там самым, как только дано разрешение X, многообразие Y можно однозначно восстановить, и нет нужды отдельно его указывать. Непосредственно из определения симплектической особенности легко выводится следующий факт. Лемма 1.2 ([Beau]).
Аппроксимация по Артину
Любая симплектическая особенность Y - каноническая и рациональная. Следствие 1.3. У любого слоя F гладкого разрешенья 7г : X — У симплектиче-ской особенности У первая группа когомологий H1(Fan,Z) тривиальна. Proof. По теореме о собственной замене базы достаточно доказать, что Т&ъ+Ъх = 0; рассматривая экспоненциальную точную последовательность, немедленно выво дим это из того, что, в силу рациональности У, имеем В}ж Ох = 0. D Приведем некоторые примеры симплектических особенностей. Пример 1.1. Y = W/G, где W - двумерное векторное пространство, которое мы рассматриваем как аффинное алгебраическое многообразие, a G С SL(W) - произвольная конечная подгруппа. Это классические случай так называемых "дювалев-ских особенностей". Как известно (см. например [Lau]), У допускает единственное гладкое разрешение X с тривиальным каноническим расслоением. Поскольку X имеет размерность 2, это эквивалентно существованию симплектической формы. Пример 1.2. У = A2"/Sn, фактор аффинного пространства размерности 2п по действию группы перестановок п букв. Эквивалентным образом, У можно описать как тг-ю симметрическую степень аффинной плоскости А2. Разрешение X дается схемой Гильберта нульмерных подсхем в А2 длины п (для краткости, говорят "схема Гильберта п точек на А2"). Пример 1.3. Комбинация двух предыдущих примеров: в качестве берем У0 = W/G, dim W = 2, G С SL(W), в качестве X берем схему Гильберта п точек на каноническом симплектическом разрешении XQ многообразия Y0. Пример 1.4. У = V/G - фактор симплектического векторного пространства V по действию конечной подгруппы G С Sp(V), X - любое разрешение особенностей. Пример 1.5. У С 0 - нильпотентный конус в алгебре Ли Q полупростой алгебраической группы G, X — T (G/B) - кокасательное расслоение к многообразию полных флагов G/B, построенному по группе G (это известно как разрешение Спрингера). Пример 1.6. Обобщение предыдущего примера: X — T (G/P) - кокасательное расслоение к однородному пространству G/P, связанному с параболической подгруппой Р С G полупростой группы Ли G. В этом случае У = Spec Я0 (X, Ох) представляет собой замыкание некоторой нильпотентной орбиты G в присоединенном представлении д. Пример 1.7. Дальнейшее обощение: в качестве Y берем нормализацию замыкания какой-либо нильпотентной орбиты G в присоединенной представлении д, X -любое разрешение особенностей. Пример 1.8. Y и X - колчанные многообразия, построенные X. Накаджимой [Nak] по комбинаторным данным некоторого вида. Отметим, что примеры 1.1-1.3 - частные случаи примера 1.4, в то время как примеры 1.5-1.6 - частные случаи примера 1.7. Мы выделили эти частные случае, поскольку в них верно более сильное предположение - существует такое разрешение X, на которое симплектическая форма Q продолжается без вырождений. В отличие от общего определения симплектическои особенности, это свойство зависит от выбора разрешения. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, вводим следующее определение.
Определение 1.4. Симплектическим разрешением называется гладкое алгебраическое многобразие X над К, снабженное невырожденной замкнутой 2-формой П, и такое, что каноническое отображение X — Y = S pecH(X,Ox) бирационально и проективно.
Не все симплектические особенности допускают симплектические разрешения. Среди факторособенностей (пример 1.4), единственные известные примеры сим-плектических разрешений перечислены в примере 1.3. Более того, М.С Вербицкий в статье [Ve] доказал, что существование симплектического разрешения накладывает сильное необходимое условие на подгруппу G С Sp(V), причем даже это сильное условие, вообще говоря, недостаточно (см. [GiKa]). В случае нильпотентной орбиты (пример 1.7), вопрос существования симплектического разрешения был полностью разобран Бао-хуа Фу в статье [Fu]; все существующие симплектические разрешения покрываются примером 1.6. Наконец, для колчанных многообразий симплектическое разрешение существует всегда, но это, на самом деле, следует из некоторых дополнительных условий на исходные комбинаторные данные, которые наложены в статье [Nak]. Если не накладывать эти условия, то для некотрых колчанных многообразий симплектического разрешения не будет (например, таковы многообразия, изученные в [KLS]). Кроме того, что более удивительно, существуют колчанные многообразия, для которых симплектическое разрешение есть, но оно не получается общей конструкцией из [Nak] и само по себе не является колчанным многообразием - такова особенность О Грэйди, изученная в [KL].
Топология
Очевидный источник примеров гладких симплектических многообразий - ко-касательные расслоения X = Т М, где М - какое-либо гладкое алгебраическое многообразие. Однако с точки зрения симплектических особенностей это не очень многообещающий случай. Дело в том, что существует следующая гипотеза, которая приписывается иногда Ж.-П. Демайи, иногда Ф. Кампане и Т. Петернеллу -гипотеза очень трудная, но давно высказанная и считающаяся правдоподобной. Гипотеза 1.5. Пусть дано гладкое алгебраическое многообразие М, пусть X = Т М, и предположим, что естественное отображение X —f Y = Н(Х,Ох) -проективное бирационалъное отображение. Тогда М — G/P, фактор полупротой алгебраической группы G по параболическое подгруппе Р С G. Поэтому гипотетически, все симплектические разрешения вида Т М покрываются примером 1.6. Отметим, что если в предположениях гипотезы 1.5 дополнительно предположить, что Y имеет изолированную особенность, то можно доказать, что М - проективное пространство: в самом деле, это ни что иное, как знаменитая теорема Ш. Мори о гладких многообразиях с обильным касательным расслоением.
Другой естественный источник симплектических разрешений - голоморфная симплектическая геометрия "в целом". Если дано проективное голоморфно симплектическое многообразие X, то иногда удается построить то или иное бираци-ональное стягивание X — Y; в таком случае прообраз X с X любого открытого аффинного подмножества Y С Y будет симплектическим разрешением в смысле определения 1.4. Однако на сегодняшний день все полученные таким образом симплектические особенности покрываются примером 1.6 (важные частные случаи здесь это стягивание Мукаи, где X — Т Р", и особенность ОТрэйди, где X — T L, a L - грассманиан лагранжевых подпространств в 4-мерном симплектическом векторном пространстве). Для дальнейшего изучения геометрии симплек-тической особенности Y оказывается весьма полезно заметить, что У наделено канонической структурой так называемой пуассоновой схемы. Приведем соответствующие определения. Определение 1.6. Пуассоновой алгеброй над полем ІС называется коммутативная алгебра А над К, снабженная дополнительной кососимметрической билинейной операцией {—, —} : А А—і- А, причем {a, be} = {a, b}c + {а, с}Ь, О = {а, {Ь, с}} + {&, {с, а}} + {с, {а, &}}, для любых а,Ь,с Є А. Идеал I С А называется пуассоновым идеалом если для любых і Є І, а Є А имеем {г, а} Є /. Мы всегда будем предполагать, что пуассонова алгебра А имеет единичный элемент 1 Є А, причем {1, а} = 0 для любого а Є А. Определение 1.7. Пуассоновой схемой над К называется схема X над К, стук-турный пучок которой снабжен кососимметрической билинейной скобкой, удовлетворяющей (1.1).
Локализация пуассоновой алгебры очевидным образом наследует пуассонову структуру; в частности, спектр X = Spec Л пуассоновой алгебры А над К автоматически является пуассоновой схемой. Редукция, неприводимые компоеннты и пополнения пуассоновой схемы также очевидным образом пуассоновы. То же верно и для нормализации.
Теорема 1.8 ([Ка13]). Пусть А0 - превосходная нетерова область целостности над полем К характеристики 0, и пусть А - ее целое замыкание в поле частных. Тогда любая скобка Пуассона {—, —} на алгебре AQ продолжается до скобки Пуассона на А.
Для доказательства требуется лемма, в которой изучается, что происходит в коразмерности 1. Пусть дана превосходная локальная нетерова алгебра А0 над К круллевской размерности 1, и пусть К0 - ее поле вычетов, а А - целое замыкание AQ в поле частных. Поскольку AQ превосходня, А конечна над ней, и следовательно, представляет собой полулокальное кольцо с конечным числом I максимальных идеалов ттц С А, 1 і 1. Для любого ттц, локализация А - нормальное локальное кольцо размерности 1, а стало быть, кольцо дискретного нормирования; его поле вычетов КІ = А/щ - конечное расширение поля вычетов KQ. Обозначим нормирование на Лпц через Vj, и зафиксируем униформизующие %І Є А , Vifa) = 1. Кольцо А регулярно и совпадает с пересечением (1-2) А= f A cFrac ) в поле частных Ргас(Л) — Frac(ylo). Лемма 1.9. В этих предположения, алгебра Ат для любого і, 1 і I порождена над А0 одним элементом х Є А . Proof. По теореме о примитивном образующем, поле Kt порождено над К0 одним элементом, например х. Пусть Р(х) - минимальный полином х над KQ. Поднимем х до элемента х Є Ащ, и рассмотрим у — Р(х) Є А. По определению у = 0 mod 7Tj, так что Vi(y) 0. Если Vi(y) = 1, все доказано: х и у порождают А над AQ, причем у = Р(х). В противном случае заменяем у на у = Р{х + щ). По формуле бинома, имеем у = P (x)iv mod 7г2. Поскольку полином Р минимальный, его производная Р удовлетворяет Р (х) ф 0. Поэтому Vi(y ) = 1, и доказательство завершено: Ami порождено над А0 элементом X + 7ГІ- П Доказательство теоремы 1.8. Вернемся к обозначениям теоремы. Продолжим данную скобку Пуассона на поле частных Frac 4 = Frac AQ. Надо доказать, что для любых f,g Є А имеем {/, д} Є А. Поскольку А нормально, имеем А = [)АР, р где пересечение берется по всем простым идеалам р С А высоты 1. Поэтому до статочно доказать, что все локализации Лр замкнуты относительно скобки. Дей ствительно, по лемме 1.9, любая такая локализация Ар порождена одним элементом х над локализацией Ло в идеале рП Л0 С Л0. Достаточно доказать, что {х,х} Є Л, и что {x,f} Є А для любого / Є Л0. Но тавтологически имеем {х, х} = 0, а {—,х} - дифференцирование алгебры (Ло)рпл0 и потому, как хорошо известно (см. например SGA7.2, Lemma 2.33), продолжается до дифференцирования ее це лого замыкания. Следствие 1.10. Пусть XQ - нетерова целая схема нам полем К характери стики О, а X - ее нормализация. Тогда любая структура пуассноивой схемы на Х0 единственным образом продолжается на X. Будем говорить, что пуассонова схема локальна, если она представляет собой спектр локальной пуассоновой алгебры Л, причем максимальный идеал m С А — пуассонов идеал. Пусть дана пуассонова схема X. Для любой локальной функции / на X скобка {/, —} есть по определению дифференцирование кольца функций, а ртало быть, векторное поле на X, которое мы будем обозначать через Я/. Такие векторные поля будем называть гамилътоновыми. Сама скобка Пуассона есть дифференцирование по каждому аргументу, а потому выражается как (1.3) {f,9} = e(dfAdg), где есть Ox-линейное отображение. Оно называется пуассоновым бивектором. В силу тождества Якоби, имеем Hf{Q) = 0 для любого / (гамильтоновы векторные поля сохраняют пуассонов бивектор). Если схема X гладкая - например, спектр поля - то кокасательный пучок 1Х плоские, и в задает на нем кососимметрическое билинейное спаривание.
Замкнутую подсхему Y С X будем называть пуассоновой если она локально задается пуассоновым идеалом в Ох- Эквивалентным образом, подсхема пуассонова если локально ее сохраняют все гамильтоновы векторные поля (другими словами, все гамильтоновы векторные поля касаются Y). В этом случае Y наследует структуру пуассоновой схемы. Заметим, что понятие пуассоновой схемы - чисто алгебраическое, и никак не зависит от гладкости; именно поэтому оно удобно для изучения особенностей. Оказывается полезным ввести два специальных класса пуассоновых схем (это было сделано в [Ка15]) - голономные и локально точные пуассоновы схемы. Определение 1.11. Нетерова целая пуассонова схема X над К с общей точкой г? называется невырожденной в общей точке если спаривание на кокасательном модуле Q}{TJ/K), заданное пуассоновым бивектором 0, невырожденно. Схема X называется голономной, если любая целая пуассонова замкнутая подсхема Y с X невырождена в общей точке.
В частности, голономная пуассонова схема X сама по себе невырождена в общей точке. Кроме того, любая целая пуассонова замкнутая подсхема Y С X голономной пуассоновой схемы X очевидным образом голономна. По определению, и само X, и любая такая подсхема Y С X должны быть четномерны над базовым полем К (пуассонов бивектор, задающий невырожденное спаривание на кокасательном пучке, кососимметричен). Кроме того, нормализация X голономной пуассоновой схемы X также голономна: для любого простого идеала J С А в нормализации А пуассоновой алгебры Л, пересечение J = J П А С А есть простой идеал в А, причем A /J этально в общей точке над A/ J; если J - пуассонов идеал, то J тоже пуассонов идеал, причем, поскольку A/ J должно быть невырождено в общей точке, A /J также невырождено в общей точке.
