Топология и геометрия комплексных многообразий с максимальным действием тора Устиновский Юрий Михайлович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Предварительные комбинаторные, геометрические и топологические понятия 14

1.1. Симплициальные комплексы 14

1.2. Вееры 15

1.3. Выпуклые многогранники 16

1.4. Торические многообразия 17

1.4.1. Определение 18

1.4.2. Фактор-конструкция Кокса-Батырева 20

1.5. Момент-угол-комплексы Zfc 21

1.5.1. /С-степени и момент-угол-комплексы . 21

1.5.2. Топология момент-угол-комплексов 23

Глава 2. Топология пространств с действием тора 25

2.1. Общая гипотеза о торическом ранге 25

2.1.1. Главные Тт-расслоения 27

2.1.2. Гипотеза Хоррокса 31

2.2. Гипотеза о торическом ранге для момент-угол-комплексов 34

2.2.1. Вещественные момент-угол-комплексы 35

2.2.2. Операция удвоения симплициальных комплексов 35

2.2.3. Доказательство гипотезы о торическом ранге для момент-угол-комплексов 37

2.3. Градуированная гипотеза о торическом ранге для момент-угол-комплексов 40

2.4. Максимальные действия торов 43

Глава 3. Комплексно-аналитические структуры на многообразиях с макси мальным действием тора 46

3.1. Фактор-конструкция момент-угол-комплексов 46

3.1.1. Гладкие структуры 47

3.1.2. Комплексно-аналитические структуры 51

3.1.3. Комплексно-аналитические структуры на частичных факторах

3.2. Компактные комплексные многообразия с максимальным действием тора 58

Глава 4. Комплексная геометрия компактных комплексных многообразий с максимальным действием тора 61

4.1. Каноническое слоение 62

4.2. Главные расслоения над торическими многообразиями 64

4.3. Модель для когомологий Дольбо 65

4.4. Построение трансверсально-кэлеровых форм 70

4.5. Геометрия общих комплексных структур 76

Список литературы

• Выпуклые многогранники
• Гипотеза Хоррокса
• Комплексно-аналитические структуры
• Модель для когомологий Дольбо

Введение к работе

Актуальность темы исследования. Настоящая диссертация посвящена пространствам с действием тора = (¹). Исследуется топология таких пространств, изучается возможность введения гладких и комплексно-аналитических структур на пространствах с действием “большого” тора , решаются некоторые вопросы касательно геометрии комплексных структур в случае их существования.

Объекты, обладающие богатой группой симметрией, на протяжении последних 30 лет привлекают особенное внимание^[1]. Развитию интереса к пространствам с действием торов способствовало появление торической геометрии — науки об алгебраических многообразиях, допускающих действие алгебраического тора (C^*) с открытой плотной орбитой^[2,3]. Наличие большой группы симметрий позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между торическими многообразиями и комбинаторно-геометрическими объектами — веерами. Это соответствие открыло глубокие связи между геометрическими характеристиками торических многообразий и свойствами соответствующих комбинаторных объектов и нашло многочисленные приложения. Батырев^[4] использовал торические многообразия для явного построения пар многообразий Калаби-Яу со свойствами, предписываемыми зеркальной симметрией. Поммерсхейм^[5] доказал формулу для класса Тодда особой торической поверхности и использовал ее для доказательства теоретико-числовых тождеств, связывающих Дедекиндовы суммы. Стенли^[6], применив сильную теорему Леф-шеца к проективным торическим многообразиям, первым доказал необходимость неравенств МакМюллена в задаче об -векторах простых многогранников.

Возможности торической геометрии, позволяющие доказывать внешние по отношению к алгебраической геометрии результаты при помощи изучения геометрии и топологии торических многообразий, мотивировали построение более общих пространств с действием тора. Дэвис и Янушкевич^[7] определили топологический аналог проективных торических многообразий — квазиторические многообразия. Эти пространства уже не несут алгебраической структуры, однако обладают многими важным топологическими свойствами. Бухштабер и Рэй^[8,9] ввели на каждом квазиторическом многообразии, снабженном допол-[1] Глен Бредон. Введение в теорию компактных групп преобразований. Наука, Москва, 1980. [2] В. И. Данилов. Геометрия торических многообразий. Успехи метем. наук, 33:85–134, 1978. [3] J.-L. Brylinski. Eventails et varietes toriques. Lecture Notes in Math., 777:247–288, 1980. [4] Viktor Batyrev. Dual polyhedra and mirror symmetry for calabi-yau hypersurfaces in toric varieties. J.

Algebraic Geom., (3):493–535, 1993. [5] J.E. Pommersheim. Toric varieties, lattice points and dedekind sums. Math. Ann., 295:1–24, 1993. [6] Richard P. Stanley. Combinatorics and Commutative Algebra, volume 41. Birkhauser, Boston, 1996. [7] M. W. Davis and T. Januszkiewicz. Convex polytopes, coxter orbifolds and torus actions. Duke Math. J.,

62(2):417–451, 1991. [8] V. Buchstaber and N. Ray. Flag manifolds and the landweber–novikov algebra. Geom. Topol., 2:79–101, 1998. [9] Victor M. Buchstaber and Nigel Ray. Tangential structures on toric manifolds, and connected sums of

нительными комбинаторными данными, каноническую стабильно-комплексную структуру и явно описали способ построения квазиторических образующих в кольце комплексных кобордизмов. Ключевым шагом в создании торической топологии стала работа Бухштабера и Панова[¹⁰], в которой была существенно переработана конструкция Дэвиса и Янушкевича и для каждого симплициаль-ного комплекса К, были определены общие момент-угол-комплексы Zjc — центральный объект новой области исследований. Авторы доказали, что момент-угол-комплекс Z)c, отвечающий симплициальному многограннику /С = Р*, допускает эквивариантную гладкую структуру и может быть реализован в виде невырожденного пересечения вещественных квадрик в С^т. При таком описании, всякое квазиторическое многообразие над многогранником Р оказывается пространством орбит свободного действия подтора Т С Т^т на пространстве Zfc. Этот подход нашел применение в работе Бухшатбера Панова и Рэя[¹¹], в которой авторы использовали теорию аналогичных многогранников для определения операции связной суммы на уровне квазиторических многообразий, снабженных стабильно-комплексной структурой, тем самым в каждом классе комплексных кобордизмов был построен связный торический представитель. Реализация общих момент-угол-комплексов в виде /С-степеней привела к появлению смежной области — гомотопической теории полиэдральных произведений, которая в настоящее время активно развивается. Так, в работах Грбич, Терио и Грбич, Терио, Панова и Ву^[12,¹³] удалось описать явный гомотпический тип момент-угол-комплексов, отвечающих специальным классам симплициальных комплексов.

Со временем выяснилось, что пространства, изучаемые в торической топологии, зачастую допускают сложные геометрические структуры, сохраняемые действием тора. Основываясь на реализации момент-угол-многообразий в виде пересечения невырожденных квадрик в С^т, Миронов и Панов[¹⁴,¹⁵] построили новые семейства гамильтоново-минимальных лагранжевых погружений в С^т и в общие симплектические торические многообразиях. Хорошо известный результат Дельзана[¹⁶] гласит, что все компактные симплектические многообразия с гамильтоновым действием тора половинной размерности реали-

polytopes. Int. Math. Res. Not., (4):193-219, 2001. [10] В. М. Бухштабер and Т. Е. Панов. Действия торов, комбинаторная топология и гомологическая алгебра.

Успехи метем. наук, 55(5):825–921, 2000. [11] V. M. Buchstaber, T. E. Panov, and N. Ray. Spaces of polytopes and cobordism of quasitoric manifolds.

Mosc. Math. J., 7(2):219-242, 2007. [12] Jelena Grbic and Stephen Theriault. The homotopy type of the polyhedral product for shifted complexes.

Advances in Mathematics, 245:690-715, 2013. [13] Jelena Grbic, Taras Panov, Stephen Theriault, and Jie Wu. The homotopy types of moment-angle complexes

fo fag complexes. Preprint, 2013. [14] А. Е. Миронов and Т. Е. Панов. Гамильтоново-минимальные лагранжевы подмногообразия в торических

многообразиях. Успехи метем. наук, 68(2):203-204, 2013. [15] А. Е. Миронов and Т. Е. Панов. Пересечения квадрик, момент-угол-многообразия и гамильтоново-мини-

мальные лагранжевы вложения. Функц. анализ и его прил., 47(1):47–61, 2013. [16] Thomas Delzant. Hamiltoniens periodiques et images convexes de l’application moment. Bulletin de la Societe

Math. de France, 116(3):315–339, 1988.

зуются неособыми проективными торическими многообразиями. Оказывается, что, если ослабить условие существования симплектической структуры до условия существования инвариантной почти комплексной структуры, квазиториче-ские многообразия предоставляют множество новых примеров. Так, в работе Кустарева^[17] приведены необходимые и достаточные условия существования на квазиторических многообразиях инвариантной почти комплексной структуры, эквивалентной данной стабильно комплексной. Благодаря подходу к ква-зиторическим многообразиям, развитому в работах Бухштабера и Панова^[18], Кустареву удалось дать явный ответ в терминах геометрических и комбинаторных данных, задающих многообразие. Естественно возникающий вопрос об интегрируемости этих почти комплексных структур решен в работе Каршон и Исиды^[19], где изучаются комплексные структуры на компактных многообразиях с действием тора половинной размерности, имеющим неподвижную точку. В этой работе, в частности, доказано, что интегрируемыми оказываются лишь структуры соответствующие компактным торическим многообразиям. Этот результат интересен тем, что, как правило, вопрос об интегрируемости почти комплексных структур крайне труден (например, до сих пор открыт вопрос о существовании комплексной структуры на шестимерной сфере), однако в рамках обширного класса многообразий, предоставляемого торической топологией, он может быть полностью решен.

С построением комплексных структур на многообразиях с действием тора связана другая серия работ^{[20,21,22,23]}, мотивированных вопросами голоморфной динамики. В этих работах удалось построить комплексные структуры на обширном классе многообразий, заданных невырожденной системой вещественных квадрик специального вида в C. Построенные примеры являются далеко идущими обобщениями классических многообразий Хопфа^[24] и Калаби-Экманна^[25]. Все многообразия данных семейств за исключением тривиальных случаев некэлеровы, и к ним неприменимы большинство методов комплексной геометрии. Однако, явная конструкция и наличие большой группы

[17] А. А. Кустарев. Эквивариантные почти комплексные структуры на квазиторических многообразиях.

Труды МИАН, 266:140–148, 2009. [18] V. M. Buchstaber and T. E. Panov. Torus actions and their applications in topology and combinatorics,

volume 24. Univ. Lecture Ser., AMS, 2002. [19] H. Ishida and Y. Karshon. Completely integrable torus actions on complex manifolds with fxed points. to

appear in Mathematical Research Letters, 2012. [20] Santiago Lopez de Medrano and Alberto Verjovsky. A new family of complex, compact, non-symplectic

manifolds. Bol. Soc. Mat. Brasil., 28:253–269, 1997. [21] Jean-Jacques Loeb and Marcel Nicolau. On the complex geometry of a class of non-kahlerian manifolds. Israel

J. Math., 110:371–379, 1999. [22] Laurent Meersseman. A new geometric construction of compact complex manifolds in any dimension. Math.

Ann., pages 79–115, 2009. [23] Laurent Meersseman and Alberto Verjovsky. Holomorphic principal bundles over projective toric varieties. J.

Reine Angew. Math., 572:57–96, 2004. [24] H. Hopf. Zur topologie der komplexen mannigfaltigkeiten. Studies and Essays, Interscience Publishers, Inc.,

New York, pages 167–185, 1948. [25] E. Calabi and B. Eckmann. A class of compact complex manifolds which are not algebraic. Annals of

Mathematics, 58:494–500, 1953.

симметрий позволяют получать нетривиальные результаты об их геометрии. Так, Меерсманн'²²' при некоторых ограничениях описал поле мерофорфных функций на этих многообразиях и вычислил универсальное пространство деформаций комплексных структур. Кроме нетривиальной геометрии, многообразия из работ Меерсманна имеют сложную топологию. Лопез де Медрано'²⁶' явно описал в частном случае их дифференциальный тип и доказал, что они являются связной суммой произведений сфер. Недавно Босио и Меерсманн'²⁷' установили, что все эти многообразия являются момент-угол-комплексами, соответствующими выпуклым многогранникам, и использовали результаты об их когомологиях для построения компактных комплексных многообразий с предписанным кручением в когомологиях.

Помимо прочего, торическая топология предоставляет массу примеров для анализа различных гипотез эквивариантной геометрии. Упомянем отдельно классическую гипотезу о торическом ранге, являющуюся до сих пор открытой. Она была сформулирована Гальпериным'²⁸' для действия торов Т^т = (S^l)^m. Сама гипотеза дает нижнюю оценку на ранг кольца когомологий конечномерного пространства с почти свободным действием тора Т^т. Пуппе'²⁹' доказал линейную по т оценку на ранг кольца когомологий и, как следствие, установил, что гипотеза верна при т ^ 3. Частные результаты для различных классов пространств с действием тора приведены в книге Феликса, Опреа и Тома'³⁰'.

Цели и задачи диссертационной работы: исследование связи между топологической гипотезой о торическом ранге и алгебраической гипотезой Хоррокса, доказательство оценок на размерности биградуированных компонент когомологий момент-угол-комплексов Z]c. Исследование возможности введения на момент-угол-комплексах, не покрываемых результатами Бухштабера и Панова, гладких и комплексных структур. Построение модели для вычисления когомологий Дольбо главных расслоений со слоем комплексный тор. Изучение геометрии компактных комплексных многообразий с максимальным действием тора.

Научная новизна. Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и заключаются в следующем:

1) Установлена связь между классической гипотезой Хоррокса о размерно
стях модулей Тог^г ](М. Q) и гипотезой Гальперина-Карлссона. Дока-
зана гипотеза Гальперина-Карлссона для индуцированных действий торов

[22] Laurent Meersseman. A new geometric construction of compact complex manifolds in any dimension. Math.

Ann., pages 79-115, 2009. [26] Santiago Lopez de Medrano. Topology of the intersection of quadrics in rⁿ. Lecture Notes in Math.,

1370:280-292, 1989. [27] F. Bosio and L. Meersseman. Real quadrics in cⁿ, complex manifolds and convex polytopes. Acta Math,

197;1:53-127, 2006. [28] S. Halperin. Rational homotopy and torus actions. London Math. Soc. Lecture Notes, 93:293-306, 1985. [29] V. Puppe. Multiplicative aspects of the halperin-carlsson conjecture. Georgian Mathematical Journal,

16(2):369-379, 2009. [30] Y. Felix, J. Oprea, and D. Tanre. Algebraic Models in Geometry. Oxford University Press, 2008.

на момент-угол-комплексах . Доказан градуированный вариант гипотезы Гальперина-Карлссона для момент-угол-комплексов , и, как следствие, получены новые неравенства на биградуированные числа Бетти ^-,2() общих симплициальных комплексов .

1. Доказано, что четномерные момент-угол-комплексы и некоторые их частичные факторы, отвечающие полным симплициальным веерам, допускают гладкие и комплексно-аналитические структуры. Тем самым описаны все компактные комплексные многообразия, допускающие максимальное действие тора.

2. Введено каноническое голоморфное слоение на компактных комплексных многообразиях с максимальным действием тора. Найдено достаточное условие для существования трансверсально-кэлеровой относительно канонического слоения формы. Построена конечномерная модель для вычисления когомологий Дольбо многообразий, для которых листы канонического слоения компактны и изоморфны друг другу.

3. При дополнительных ограничениях на комбинаторные и геометрические данные, определяющие компактное комплексное многообразие с максимальным действием тора, описаны все их аналитические подмножества и мероморфные функции.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы специалистами в области алгебраической топологии, комплексной дифференциальной геометрии, комбинаторики и торической топологии.

Методы исследования. В работе используются методы эквивариантной топологии, рациональной теории гомотопий (минимальные модели расслоенных пространств), коммутативной алгебры, теории торических многообразий и дифференциальной комплексной геометрии. Также используется техника спектральных последовательностей Лере-Серра и Бореля.

Апробация результатов. Содержащиеся в диссертации результаты докладывались на следующих международных научных конференциях:

1. «Ломоносов 2010», г. Москва, 12-15 апреля 2010 г.;

2. «Геометрия, топология, алгебра и теория чисел, приложения», посвященная 120-летию Б.Н. Делоне, г.Москва, 16-20 августа 2010 г.;

3. «Торическая топология и автоморфные функции», г.Хабаровск, 5-10 сентября 2011 г.;

4. «Toric topology meeting», г.Осака, Япония, 28-30 ноября 2011 г.;

5. «Александровские чтения», г. Москва, 21-25 мая 2012 г.;

6. «Рождественские математические встречи фонда “Династия”», г.Москва, 8-11 января 2013 г.;

7. «Действия торов: топология, геометрия, теория чисел», г.Хабаровск, 2-7 сентября 2013 г.;

и научно-исследовательских семинарах:

1. «Алгебраическая топология и её приложения» им. М.М. Постникова под руководством чл.-корр. РАН В.М.Бухштабера, проф. А.В.Чернавского, проф. И.А.Дынникова, проф. Т.Е. Панова, доц. Л.А.Алания и доц. Д.В.Миллионщикова, МГУ, март 2011 г.;

2. Семинар отдела геометрии и топологии МИАН «Геометрия, топология и математическая физика» под руководством академика РАН С.П.Новикова и чл.-корр. РАН В.М.Бухштабера, МИАН, 25 апреля 2012 г.;

3. «Комплексные задачи математической физики» под руководством проф. А.Г.Сергеева и доц. А.В. Домрина, МИАН, 1 апреля 2013 г.;

4. «Петербургский геометрический семинар им. А.Д.Александрова» под руководством проф. Ю.Д. Бураго, ПОМИ, 18 апреля 2013 г.;

5. Cеминар лаборатории «Дискретная и вычислительная геометрия» им. Б.Н.Делоне, ЯрГУ, 13 сентября 2013 г.;

6. «Mathematics and Physics seminar» под руководством проф. T.Пантева, University of Pennsylvania, 5 ноября 2013 г.;

7. «Algebraic Topology Seminar» под руководством проф. T.Бари, Princeton University, 7 ноября 2013 г.;

8. «Группы Ли и теория инвариантов» под руководством проф. Э.Б.Винберга, проф. А.Л. Онищика, проф. И.В.Аржанцева и доц. Д.А. Тимашева, МГУ, 5 марта 2014 г.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в шести печатных работах в рецензируемых научных журналах, список которых приведен в конце автореферата [–]. Из совместной публикации с научным руководителем Тарасом Евгеньевичем Пановым [] на защиту выносятся результаты, в получении которых роль диссертанта была решающей.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами.

Структура и объем диссертации.

Выпуклые многогранники

Хорошо известно (см., например, [72]), что эти два определения приводят к одному и тому же геометрическому объекту. Размерностью многогранника Р называется размерность его аффинной оболочки. Ниже, по умолчанию, размерность рассматриваемых многогранников совпадает с размерностью объемлющего пространства V. Далее мы будем пользоваться, в основном, Определением 1.3.2, при этом будет предполагаться, что система (1.2) приведенная, то есть ни одно из неравенств {v, а І) + 0 не является следствием остальных. В этом случае пересечение многогранника Р с каждой из гиперплоскостей {v Є V\{v,a,i) -\-ЬІ = 0} является гипергранъю многогранника Р. Многогранник Р называется простым, если каждая его вершина принадлежит ровно dim Р гиперграням.

Каждый выпуклый многогранник определяет веер в двойственном пространстве:

Определение 1.3.3. Пусть Р С V — многогранник полной размерности, заданный системой неравенств вида (1.2). Сопоставим каждой грани F конус 7р В пространстве V , порожденный всеми такими векторами оц, что соответствующая гипергрань Fi пересекается с гранью F. Множество всех конусов ар образует полный веер Ер, который называется нормальным веером многогранника Р. Веер Е симплициальный, если многогранник Р простой.

Следующий пример демонстрирует, что существуют вееры не являющиеся нормальными веерами какого-либо многогранника:

Пример 1.3.4 (Фултон [26, Section 3.4]). Рассмотрим в пространстве V К3 с базисом (еі,Є2,Єз) веер Е, имеющий 7 одномерных конусов, порожденных векторами V\ = —e\,V2 = — e2,v3 = — e3,V4 = Єї + e2 + e3,v5 = Єї + e2, 6 = e2 + e3,v7 = Є\ + е3, из которых 10 троек векторов Vi порождают максимальные конусы: {1,2,3}, {1,2,6}, {1,3,5}, {1,5,6}, {2, 3, 7}, {2, 6, 7}, {3, 5, 7}, {4, 5, 6}, {4, 5, 7}, {4, 6, 7}. Как показано в [26, Section 3.4] этот веер не является нормальным.

Прежде всего, зафиксируем обозначения и напомним, что С := С\{0} обозначает мультипликативную группу поля комплексных чисел, группа Т (С )"1 называется алгебраическим тором, а группа Тт (S 1 )т называется компактным тором, или просто тором. При этом, когда мы пишем Т = (С )"1 (соответственно, Tm = (Sl)m), мы подразумеваем, что зафиксировано разложение Т = С х х С (соответственно, Tm = Sl х х S1). Группу Т — С/Л, где Л Z21 — решетка полного ранга, мы называем комплексным тором. Нормальное неприводимое алгебраическое многообразие V, на котором действует алгебраический тор Т с открытой плотной орбитой, называется торическим.

Примерами торических многообразий могут служить (С )га, Сга, СРп, Сп\{0}. Один из основных результатов теории торических многообразий гласит, что имеется взаимно-однозначное соответствие между торическими многообразиями и рациональными веерами в алгебре Ли t компактного тора Тп С Т, в которой зафиксирована решетка N, двойственная решетке характеров. Именно, всякое гладкое торическое многообразие V может быть получено при помощи следующей конструкции (детали можно найти в книге Фулто-на [26]):

Конструкция 1.4.2 (Торические многообразия). Напомним, что, если М — аддитивная полугруппа, то С[М] — коммутативная алгебра фтєм С ит с умножением, заданным на аддитивных образующих следующим образом: иті ит2 = umi+m2.

Пусть Е — рациональный веер в векторном пространстве і, в котором зафиксирована решетка Net, dimt = п. Для каждого конуса о Є Е определим алгебру С [а П N ]. Каждая алгебра С[ 7 П N ] определяет открытую карту Ua = SpecC[ r П N ]. Множество карт Ua упорядочено по включению так же, как и множество конусов Е. Определим Схема Vs оказывается алгебраическим многообразием, на котором с открытой плотной орбитой действует тор Т = N 0 С . Таким образом алгебра Ли тора Т есть t it.

Замечание. Геометрия многообразия Vs тесно связана с геометрией и комбинаторикой соответствующего веера Е. Приведем лишь несколько утверждений, демонстрирующих эту связь. Многообразие 1 компактно тогда и только тогда, когда веер Е полный. Многообразие 1 неособо тогда и только тогда, когда веер Е регулярный. Многообразие Vs является орбифолдом тогда и только тогда, когда веер Е симплици-альный. Многообразие Vs проективно тогда и только тогда, когда веер Е является нормальным веером выпуклого многогранника. Пример 1.4.3 (Фултон [26, Section 1.1]). Пусть Е - полный веер в К, то есть веер, состоящий из трех конусов: а0 = {0},а+ = {t Є R\t 0}, т_ = {t Є R\t 0}. Соответствующее торическое многообразие, получаемое в результате склейки: Введем важный класс торических многообразий, который будет играть ключевую роль в последующих конструкциях.

Пример 1.4.4 (Дополнение до набора координатных подпространств в С"1). Рассмотрим симплициальный комплекс /С на множестве [га]. Следуя Конструкции 1.2.4 построим веер Ек; в пространстве К"1 с базисом е\,... , ет и со стандартной решеткой Zm С Жт. Определим многообразие: U(K,) = Ст\ (J {(zb ..., zm) Є (Hz, = 0 при j є J}. (1.7) Отметим, что на пространстве U(JC) имеется естественное покоординатное действие алгебраического тора Т с фиксированным изоморфизмом Т (С )"1. 1.4.2. Фактор-конструкция Кокса-Батырева

Согласно Конструкции 1.4.2 всякое торическое многообразие V определяется некоторым рациональным веером Е в векторном пространстве t с фиксированной решеткой N. При этом, данные, закодированные в веере Е, состоят из двух частей: (1) комбинаторной, то есть частично упорядоченного по включению множества конусов веера Е, и (2) геометрической, то есть примитивных образующих одномерных конусов. Оказывается, что имеется замечательная конструкция Кокса-Батырева [16], позволяющая разделить эти части.

Хотя конструкция Кокса-Батырева имеет место для произвольных торических многообразий, мы сформулируем ее только для многообразий Vs, отвечающих симплициальным веерам Е. Это, с одной стороны, позволит упростить и усилить формулировку конструкции, с другой стороны, именно в такой общности она будет применяться дальше.

Конструкция 1.4.5. Пусть Е — рациональный веер в векторном пространстве і Кга, в котором зафиксирована решетка N С t, d\,... , ат Є N — примитивные векторы, порождающие его одномерные конусы. Предположим дополнительно, что линейная оболочка векторов бц совпадает с t

Гипотеза Хоррокса

В прошлом параграфе мы доказали частные результаты касательно гипотезы о торическом ранге для общих топологических пространств. На пространствах ZJC, как мы отметили в части 1.5, имеется стандартное действие га,-мерного тора. Это действие не является почти свободным, однако, при некоторых г возможно выбрать подтор ТТ С Тт, действующий на пространстве Z почти свободно. Мы хотим оценить сверху максимальный ранг г такого подтора, найти нижнюю границу для hrk(2 ,Q) и проверить, таким образом, выполнение гипотезы о торическом ранге для индуцированных действий подторов Т С Тт на момент-угол-комплексах Zfc- Для этого мы рассмотрим операцию /С ь- L(JC) на множестве симпли-циальных комплексов, которую называем операцией удвоения. Эта комбинаторная операция была привнесена в торическую топологию в недавней работе авторов Бари, Бендерски, Ко-эн и Гитлер, посвященной /С-степеням [3]. Основное свойство операции удвоения состоит в том, что момент-угол-комплекс Zfc может быть отождествлен с вещественным момент-угол-комплексом КД (к;), отвечающим удвоенному комплексу L(JC). Мы докажем гипотезу о то 35 рическом ранге для пространств Z 1 оценив снизу ранг кольца когомологий вещественных момент-угол-комплексов Ж2к 2.2.1. Вещественные момент-угол-комплексы

Определение 2.2.1. Пусть /С — симплициальный комплекс на множестве [га]. Вещественным момент-угол-комплексом ЖЯ/с называется пространство

Пример 2.2.2. Пусть /С = 9Д3 — граница трехмерного симплекса, то есть симплициальный комплекс на множестве {1,2,3,4}, состоящий из всех собственных подмножеств X С {1,2,3,4}. Соответствующий вещественный момент-угол-комплекс есть граница четы-рех-мерного куба:

Как мы покажем ниже, всякий момент-угол-комплекс 2% является вещественным момент-угол-комплексом Ж2)с для некоторого комплекса К! . Операция удвоения симплициальных комплексов Об определении, сформулированном ниже, автор узнал от авторов работы [3], в которой впервые операция удвоения была рассмотрена в контексте торической топологии.

Отметим, что если комплекс /С = дР является границей многогранника двойственного простому многограннику Р, то L(JC) также является границей выпуклого многогранника и совпадает с операцией L(P) , введенной в [66, Определение 1]. Операция удвоения простых многогранников использовалась также в работе [28] С. Гитлера и Лопеса де Медрано для описания топологического типа некоторых момент-угол-комплексов.

Обозначим через mdim /С минимальную размерность максимального по включению симплекса комплекса /С. Таким образом, например, комплекс, /С является чистым, то есть все максимальные по включению симплексы имеют одинаковую размерность, тогда и только тогда, когда mdim/С = dim/С.

Следующая лемма напрямую следует из определений. Лемма 2.2.5. Пусть /С — симплициалъный комплекс на множестве вершин [га], тогда dim L(fC) = m + dim /С и mdim L(fC) = m + mdim /C. Ключевым свойством операции удвоения является тесная связь с конструкцией /С-степеней, что позволяет использовать ее при изучении связей между момент-угол-комплексами и их вещественными аналогами.

Лемма 2.2.6. Пусть (X, А) — пара клеточных пространств, /С — симплициалъный комплекс на множестве [га]. Рассмотрим пару пространств

Для точки х = {х\,х\,... , хт, х!т) Є Х2т подмножествоХх{х) С [2га] определяется аналогично. Пусть у = (г/і,..., ут) = ((хі,х[),... , (хт, х т)) Є Ym = Х2т. Из определения /С-степеней следует что у {Y,B)K тогда и только тогда, когда Ту (у) К. Покажем, что последнее эквивалентно условию Хх{х) L(K), где х = {х\, х\,... , хт, х т).

Действительно, если Ту {у) = {vh,. .} . К то Хх(ж) D {vi v1 ... ,vik,v ik} . L(K). Обратно, пусть Хх{х) L(K), тогда по определению операции удвоения в комплексе Ь(/С) найдется недостающий симплекс вида {yix,v\x,... ,Vik,v ik} С Xxix), где { ,...,} /С. Следовательно Ту [у) содержит недостающий симплекс комплекса К, что и требовалось.

Заменив комплексы А1 и дА1 произвольным симплициальными комплексам К\ D К-2, мы аналогично Лемме 2.2.6 можем рассмотреть /С-степень {Y,B)K. Оказывается, что пространство (Y, В)к является /С-степенью (X, Д ь г, ) дЛЯ некоторого комплекса С(К\, К-2, К) (то есть в терминах этих обозначений C(Al,dAl,K) = Ь{К)).

Таким образом, можно определить комбинаторную операцию переводящую пару комплексов К\ D К-2 на множестве вершин [к] и комплекс К на множестве [га] в комплекс на множестве [га] х [к]. Эта операция оказывается чрезвычайно полезной с точки зрения конструкций торической топологии [3; 28], она обладает важными свойствами дистрибутивности и ассоциативности относительно стандартных операций на симплициаль-ных комплексах, для нее выполняется экспоненциальный закон [54; 55].

Доказательство. Для подмножествах С [га] положим Тх = (S1, е)х (см. определение общих /С-степеней 1.5.1), где є Є S1 — единица группы. Легко видеть, что стабилизаторы точек в Z)Q имеют вид Тх, X Є К. Следовательно Тг С Тт действует почти свободно тогда и только тогда, когда пересечение Тг П Тх конечно для каждого симплекса X Є К. Рассмотрим симплекс X размерности (п—1). Так как пересечение Тг ПТх двух подторов в Тт конечно, то

Замечание. На самом деле, для каждого (п — 1)-мерного комплекса /С найдется подтор ТТ С Тт ранга в точности г = га — п, действующий на ZJC почти свободно. Действительно, достаточно найти в касательном пространстве t = М.т к единице е группы Тт такое подпространство V, что (1) diniQ(VC\Qm) = dimR V; (2) dimF = га —n; (3) V трансверсально пересекает все пространства вида (Ш, 0)х, где X Є 1С. Тогда тор Т" := ехр V С Тт пересекается со всеми торами Тх по конечной подгруппе.

Лемма 2.2.9. Пара клеточных пространств (X, А) такова, что у А есть окрестность U (А) вХ, вида (U (А), А) (А х [0; 1), А х {0}). Обозначим за Y = Х\ [\А Х2 пространство, полученное склейкой двух копий X вдоль А. Тогда для ранга кольца когомологий пространства Y имеет, место оценка снизу:

Доказательство. Пусть Y = Хх UX2 и U\(A), ІІ2(А) — окрестности пространства А в Хх и в Х2, соответственно. Рассмотрим покрытие Y = W\ U W2 открытыми множествами W\ = Х\ U U2(A), W2 = X2UUi(A) (в частности Wi he X; WiC\W2 = Ui(A)UU2(A) Ax(-1,1)). Теперь рассмотрим длинную точную последовательность Майера-Вьеториса (над Q) и оценим ранг кольца когомологий пространства Y:

Комплексно-аналитические структуры

Доказательство. Пусть / = dime Н = dime Н . (1)= (2) Лист слоения J- , проходящий через общую точку, имеет вид Н /(Н П Н ), где Н С1, Н П Н — дискретная подгруппа. Если свободная орбита группы Н /(Н П Н ) замкнута, то она компактна, следовательно Н /(Н Г\ Н ) является компактным комплексным тором. Значит все орбиты изоморфны фактор-группам группы Н /(Н П Н ), поэтому сами являются компактными комплексными торами. (2)= (3) Предполоясим, что общая орбита, изоморфная Н /(Н П Н ), является компактным тором. Тогда гк(ЯПЯ ) = 21, значит гк((()())fliV) = 21. Заметим, что ()() = р(І))ір(ї)), поэтому гк(р([)) П N) = dimRp([)) = 21. (3)= (4). Если пространство p(t)) таково, что diniRp(f)) = rk(p([)) П N), то Н х Н = ехр(р([)) ip(t))) (N Пр([))) z С — алгебраический тор. (4)= (1). Если Н х Н — алгебраический подтор в Т, то фактор-группа (Н х Н )/Н, согласно Примеру 3.1.13, является компактным комплексным тором, следовательно все ее орбиты замкнуты.

Главные расслоения над торическими многообразиями Рассмотрим многообразие М(Е, ()) снабженное такой комплексной структурой, что все листы канонического слоения замкнуты. Оказывается, в этом случаем пространство листов слоения несет структуру алгебраического многообразия. Теорема 4.2.1. Предположим, что листы канонического слоения Т на многообразии М(, [)) замкнуты. Тогда пространство листов слоения Т есть торическое многообразие Vg(E), где д() — рациональный веер в пространстве t/p(f)) с решеткой N/(N Г\р(і))).

Доказательство. Согласно Конструкции 3.2.1 многообразие М(, ()) есть пространство орбит Vs/Я, где Я = ехр \) С Т, а тор Т действует на торическом многообразии Vs с открытой плотной орбитой. Из определения канонического слоения следует, что пространство орбит его листов есть фактор-пространство действия группы (Я х Н)/Н на М(, ()). Следовательно интересующее нас пространство орбит естественным образом отождествляется с УЕ/(Я х Я ).

В свою очередь, согласно Конструкции Кокса-Батырева 1.4.5, V(E) есть U(fC )/G, где G С (C )fc, к - количество вершин /СЕ, Т = (C )k/G. Пусть тг: (C )fc - (C )k/G = Т -проекция. Тогда группа G" = 7Г_1(Я х Я ) действует на [/(/Сц), причем

Замечание. В том случае, когда веер д() регулярный, действие G : U(fC) свободно, следовательно действие Я х Я на 1 тоже свободно и многообразие М(, ()) есть тотальное пространство главного расслоения (Я х Н )/Н — М(, ()) — V s).

Пример 4.2.2. Пусть Я = (С2\{0})/Г — поверхность Хопфа из примера 3.1.14. Листы канонического слоения Т на поверхности Хопфа замкнуты тогда и только тогда, когда группа Г лежит в 1-мерном алгебраическом торе Tjl С (С )2. В этом случае пространство орбит слоения Т есть проективная прямая (C2\{0})/Tjl, причем слоем проекции Я — СР1 над общей точкой является комплексный тор Tjl/Г.

Пространство С-гладких комплекнозначных дифференциальных форм АкТ М на всяком почти комплексном многообразии М раскладывается в прямую сумму дифференциальных форм типа (p,q): p+q=k в соответствии с разложением комплексифицированного касательного пространства в прямую сумму собственных пространств оператора почти комплексной структуры — голоморфной и анти-голоморфной частей:

Компонента типа (0,1) дифференциала де Рама d называется дифференциалом Дольбо и обозначается d0 1 = д (компонента типа (1,0) обозначается, соответственно, д). В случае интегрируемой почти комплексной структуры д2 = д2 = 0. Всюду далее мы будем иметь дело только с интегрируемыми комплексными структурами.

Определение 4.3.1. Когомологиями Дольбо H q(M) комплексного многообразия М называются когомологии цепного комплекса (Ар яТ М,д). Размерности однородных компонент когомологии Дольбо обозначаются hp q(M) и называются числами Ходжа: hp q(M) = dimc Щ д(М). Пример 4.3.2. Пусть Т — С1 /А, где Л Ъ21 — компактный комплексный тор. Тогда его когомологии Дольбо есть свободная алгебра от / образующих степени (1,0) — голоморфных дифференциалов и / образующих степени (0,1) — анти-голоморфных дифференциалов:

Нашей целью является построение модели для вычисления когомологии Дольбо компактных комплексных многообразий с максимальным действием тора, являющихся главными расслоениями со слоем комплексный тор над торическими многообразиями.

Сначала докажем общий результат о когомологиях Дольбо главных голоморфных расслоений. Предположим, что комплексный тор Т — С /Л, где Л Z2 , свободно действует на комплексном многообразии М так, что отображение Т х М —) М голоморфно. Тогда пространство орбит М/Т — комплексное многообразие. Мы хотим вычислить когомологии Дольбо многообразия М, зная когомологии пространства орбит и характеристический класс главного расслоения Т — М — М/Т. Будем говорить, что комплексное многообразие Z удовлетворяет условиям дд-Леммы, если для всякой 9-точной, 5-замкнутой формы а на Z существует такая форма /3, что а = дд/3.

Предположим, что многообразие М/Т удовлетворяет условиям дд-Леммы. Тогда, согласно результату [46, Th. 8], оно строго формально, то есть его минимальная модель над полем С реализует одновременно обычные когомологий и когомологий Дольбо. В частности, в Я2 (М/Т, С) имеется разложение Ходжа:

Модель для когомологий Дольбо

Так как веер д(Е) полный, можно выбрать такой набор векторов д(бц.) Є t/p(t)), j = 1,... , n + 1, что где conv обозначает внутренность выпуклой оболочки. В частности, их линейная оболочка совпадает с t. Без ограничения общности можно считать, что векторы а ,..., оцп+1 линейно независимы. Действительно, если это не так, добавим к набору вектор flin+2, не лежащий в линейной оболочке векторов а ,... , оцп+1 (такой вектор существует, так как линейная оболочка Obi совпадает с t по условию). Тогда можно заменить ровно один из векторов оц., j = 1,... , п + 1 на вектор оцп+2 так) чтобы условие (4.10) сохранилось.

Поскольку для общей комплексной структуры на М пространство p(f)) полностью иррационально, в достаточно малой окрестности вектора Vі в () можно найти такой вектор v, что разложение вектора p(v) по базису а ,... , бцт пространства t имеет положительные координаты; ни один ненулевой характер и Є N не обращается в ноль на векторе p(v). Выберем в качестве веера Е конус, порожденный векторами а ,... , бцт, и все его грани. В качестве веера Ео возьмем Е П Е . Получим вложения соответствующих торических многообразий Так как множества одномерных конусов вееров Е0 и Е совпадают, дополнение Vy/\Vj]0 имеет коразмерность 2 в Vv/. 2. Выясним подробнее как устроено торическое многообразие Vjy. Применим для этого конструкцию Кокса 1.4.5. Многообразие U(fC) есть С"1, поэтому 3. Рассмотрим произвольную мероморфную функцию /: М --- С. Пусть г: V (E) — М — естественная проекция. По теореме Хартогса (см., например, [60]) мероморфная функция г о г о f на многообразии Vs0 продолжается до функции на многообразии Vjy, поскольку многообразий Vs0 и Vjy отличается во множестве коразмерности 2. Обозначим прообраз этой функции при проекции (4.11) через F: С"1 --- С. Функция F инвариантна относительно действия группы и 1(Н) С (С )"1 (см. (4.12)), в частности она инвариантна относительно действия подгруппы Г Z, порожденной умножением на любой из прообразов ехр v Є Н при отображении 7Г.

Из условия (1) на вектор v следует, что действие группы Г удовлетворяет условиям Примера 4.4.9 и фактор-пространство = Ті = (Cm\{0})/T есть многообразие Хопфа, на котором корректно определена мероморфная функция F. Из условия (2) следует, что действие удовлетворяет условиям Следствия 4.5.8, тем самым функция F постоянна на И, а значит и исходная функция /: М --- С постоянна.

Теорема 4.5.9 демонстрирует, что большая часть многообразий M(E,f)), снабженных типичной комплексной структурой устроены с точки зрения бирациональной геометрии максимально "бедно" — на них не существует непостоянных мероморфных функций. В этом смысле они похожи на общие многообразия Хопфа (см. 4.5.8) и общие компактные комплексные торы Т. Как показывает следующий результат, это касается не только мероморфных функций — общие комплексные структуры на многообразиях М(Е, ()) при условии слабой нормальности веера (?(Е) содержат лишь конечное число аналитических подмножеств положительной размерности.

Теорема 4.5.10. Для общей комплексной структури на многообразии М(Е,()) верно, что если веер д(Е) слабо нормален, то все аналитические подмножества положительной размерности являются замыканиями Т/Н-орбит. Доказательство. Далее считаем, что для всех наших комплексных структур веер q(T,) слабо нормален. В частности, определена трансверсально-кэлерова форма uj- (класса гладкости С1).

Рассмотрим неприводимое аналитическое подмножество Y С М минимальной возможной положительной размерности, проходящее через точку в отрытой плотной Т /Н-орбите. Введем число является открытым плотным подмножеством Y. Покажем, что dime Y к 0. Если к = 0, мы приходим к противоречию путем рассмотрения интеграла ]у(ш \у)Аітс аналогично доказательству Теоремы 4.5.7. Если же к = dim У, аналитическое множество Y содержится в листе слоения Т, который, согласно части (Ь) Следствия 4.5.5, изоморфен С1. Поскольку Y компактно, это невозможно. Итак,

Листы слоения Т являются орбитами действия группы (Н х Н )/Н. Отождествим () = ([) Ф [))/[) с алгеброй Ли группы (Н х Н )/Н . Определим evy: () — ТуТ — отображение, отправляющее вектор v Є f) в вектор соответствующего фундаментального векторного поля.

Введем аналитическое подмножество Y С Y х Gr(fc,f)), состоящее из всех таких пар (у, V) Є У х Gr(fc,T), что evy(V) С TyY П ТуТ. Обозначим за 7Гу: Y - Y и 7rG: Y - Gr(k,[)) естественные проекции. Отметим, что отображение -лу : С/у — тіу (С/у), является биекцией, поскольку dime TyYГ)ТуJ7 = к при у Є С/у, то есть существует единственное такое fc-мерное пространство V С (), что ev(V) С TyY C\TyJ- . Аналитическое множество Y, вообще говоря, приводимо и его неприводимые компоненты имеют разную размерность. Рассмотрим неприводимую компоненту Y С Y, содержащую гладкую точку п 1(у), у Є С/у. Выберем V Є Gr(k, Ь)) и рассмотрим множество 7Гу о TIQ1{V) С Y. По теореме Реммерта, 7Гу о 7Гд (У) аналитическое подмножество в М. Так как Y С М аналитическое подмножество минимальной положительной размерности, возможны два случая:

Для всех V Є Gr(fc, [)) множество 7Гу о 7Г 1(У) С У кончено. Определим на Y две дифференциальные формы: шу = ИУШТ\У И UJQ = vr o;, где ш — кэлерова форма на Gr(fc, [)). В силу нашего предположения, отображение TIQ - Y — Gr(k, ()) конечно в общей точке, следовательно форма шо положительна в общей точке. Форма ш \у также невырождена по крайней мере в окрестности одной точки у Є Uy, поскольку UJJ- трансверсально-кэлерова относительно слоения Т1 а к dime Y, то есть Y не лежит в листе слоения. Тогда форма

С другой стороны, форма шу точна, а форма UJG замкнута, поэтому форма wGimc Л шу также точна и интеграл обязан обращаться в ноль. Противоречие.

Для некоторого V Є Gr(fc, ()) множество 7Гу07г 1(У) С Y совпадает с У. В этом случае, в каждой точке аналитическое множество У касается направления evy(V) С ТуТ. Следовательно Y содержит орбиты группы ехр V С Н /(Н П Н ). Докаж;ем, что аналитическое замыкание орбиты группы ехр V есть все многообразие М. Пусть 7Гя: Н х Н — (Н х Н )/Н — естественная проекция. Рассмотрим группу G := 7г_1(ехр1/) С Т, где ехр V — замыкание группы ехр V в Т/Н. Пусть 0 — ее алгебра Ли. Тогда (1) f) С 0, так как Н С ker 7Гя С G; (2) 0 П \) ф {0}, так как V С і) и V С 0; (3) dimR(0 П t) = rk(0 П N), так как G П Тт есть подтор в Тт. Следовательно комплексное подпространство 0 С ic удовлетворяет условиям (1)-(3) Леммы 4.5.4, поэтому для общего выбора () алгебра 0 совпадает с ic- Тем самым G = Т, поэтому Y совпадает со всем многообразием М.

Итак, единственным аналитическим множеством, проходящем через точку в отрытой является все многообразие М. Если же аналитическое подмножество У С М не пересекает открытую Т/і7-орбиту, повторим доказательство, рассмотрев вместо М подмногообразие Мі = (Т/Н)у, где у Є Y. Замечание. Теоремы 4.5.9 и 4.5.10 описывают мероморфные функции и аналитические подмножества общих комплексных структур на многообразиях М(Е, ()) только при дополнительных технических ограничениях (условие того, что веер Е линейно порождает t и условие слабой нормальности веера (?(Е), соответственно). Мы рассчитываем, что и в отсутствии этих условий компактные комплексные многообразия, снабженные общей структурой, все-равно содержат лишь конечное число аналитических подмножеств, и, как следствие, допускают лишь постоянные мероморфные функции.

Похожие диссертации на Топология и геометрия комплексных многообразий с максимальным действием тора

Геометрия многообразий с регулярным действием торовИзместьев Иван Вениаминович

Максимальные действия торов на момент-угол многообразияхЕроховец, Николай Юрьевич

Топология и комбинаторика действий торовПанов, Тарас Евгеньевич

Теория С*-индекса в геометрии и топологииТроицкий, Евгений Вадимович

Геометрия и топология слоений c неотрицательной кривизной в смешанных направленияхРовенский, Владимир Юзефович

Геометрия и топология спектральных задачПенской, Алексей Викторович

Геометрия многообразий Кенмоцу и их обобщенийУмнова Светлана Викторовна

Эрмитовы метрики в алгебрах и их применение к геометрии многообразий прямых и плоскостей вещественных пространствВыплавина, Раиса Порфирьевна

Геометрия многообразия направлений физического пространства Иванов Денис Владимирович

Элементы дифференциальной геометрии ... многообразий в евклидовых пространствахКаланчук, Роман Иванович