Максимальные действия торов на момент-угол многообразиях Ероховец, Николай Юрьевич

Введение к работе

Актуальность темы

Теория действий тора имеет длинную историю развития и образует важную область алгебраической топологии. За последние 15 лет на стыке эквива-риантной топологии, алгебраической и симплектической геометрии, комбинаторики, коммутативной и гомологической алгебры возникла новая область исследований — торическая топология, которая быстро привлекла внимание большого числа исследователей и активно развивается в настоящее время. Во второй половине прошлого века в алгебраической геометрии возникло важное направление исследований - торическая геометрия, центральным объектом которой являются торические многообразия. Она является богатым источником явных примеров алгебраических многообразий и имеет яркие приложения в таких областях, как теория особенностей и математическая физика. В работе М. Дэвиса и Т. Янушкевича¹ были введены квазиторические многообразия - топологические аналоги тори-ческих многообразий из алгебраической геометрии. Для этого им потребовалась конструкция (т + п)-мерного многообразия Zp с каноническим действием тора Т^т, таким что простой многогранник Р^п с т гипергранями является пространством орбит. Эта конструкция является обобщением известной конструкции Э. Б. Винберга². В. М. Бухштабер и Т. Е. Панов в³'⁴ показали, что многообразие Zp, названное момент-угол многообразием, обладает канонической гладкой структурой и на основе его конструкции ввели функтор из категории симплициальных комплексов в категорию пространств с действием тора. Эти работы положили начало торической топологии как нового направления исследований. Диссертация посвящена развитию теории момент-угол многообразий и её приложениям. Тема диссертации актуальна, так как момент-угол многообразия являются центральным объектом торической топологии.

Основным объектом изучения в диссертации является инвариант, характеризующий действие тора на момент-угол многообразии. Квазиторические многообразия получаются как факторпространства многообразия

¹М. Davis, Т. Januszkiewicz, Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions, Duke Math. J., 1991. V.62, N2, P.417-451.

²Э. Б. Винберг, Дискретные линейные группы, порождённые отражениями, Известия АН СССР, сер. матем. 35 (1971), 1072-1112.

³В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов, Действия тора и комбинаторика многогранников, Труды МИРАН им. Стеклова, 225, 1999, 96-131.

⁴В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов,Действия торов, комбинаторная топология и гомологическая алгебра,УМИ, 55:5(335) (2000), 3-106

Zp по свободному действию (т—п)-мерного тора Т^т~^п С Т^т. Размерность т—п является максимальной возможной размерностью тора Т^г С Т^т, свободно действующего на Zp и не для всякого многогранника она достигается. Многообразие Zp зависит только от комбинаторного типа многогранника Р, что даёт возможность исследовать комбинаторику многогранника при помощи топологии момент-угол многообразия и наоборот. На основании этого В. М. Бухштабер ввел комбинаторный инвариант s(P) простого многогранника Р как максимальную размерность подгрупп Н ~ Т^г С Т^т, действующих свободно на Zp. Этот инвариант получил название число Бухштабера. В некотором смысле число s(P) является мерой симметрии момент-угол многообразия. В 2002 году В.М. Бухштабер⁵ поставил проблему найти алгоритм вычисления числа s(P) по комбинаторике многогранника Р. Так как конструкция многообразия Zp распространяется на любой симплициальный комплекс, так что Zp = Zk_P7 где Кр = дР* - граница двойственного симилициального многогранника, то аналогичная проблема формулируется для произвольного симилициального комплекса К.

Инвариант Бухштабера изучается с 2001 года. И. В. Изместьев⁶ показал, что s(P) ^ т — 7(-Р); ^гД^е l(P) ~ хроматическое число многогранника, то есть наименьшее число цветов, для которого существует такая раскраска гиперграней, что любые две пересекающиеся гиперграни имеют разный цвет. А. А. Айзенберг⁷'⁸'⁹ показал, что s(K) ^ т — |~log₂(7(^0 + 1)1; ^гД^е т = |Vert(K) |, причём если К - граф, то имеет место равенство. Он также предложил универсальный подход к построению комбинаторных инвариантов симплициальных комплексов, обобщающих хроматическое число многогранника. Одним из подходов к изучению числа s(P) является рассмотрение его вещественного аналога sr(-P). В этом случае sr(P) = т — п тогда и только тогда, когда над многогранником существует хотя бы одно малое накрытие. Легко показать, что s{K) ^ <%(^), причём А. А. Айзенбергом был придуман пример 3-мерного симилициального комплекса К_: для которого неравенство строгое. Кроме того, можно показать, что если г = 1,2,3, то s(K) ^ г тогда и только тогда, когда s-^(K) ^ г. М. Масуда и Ю. Фукукава¹⁰ переформулировали задачу вычисления числа

⁵В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов, Торические действия в топологии и комбинаторике, М.: МЦНМО, 2004.

⁸И. В. Изместьев, Трехмерные многообразия, определяемые раскраской граней простого многогранника, Матем. заметки, 69:3 (2001), 375-382.

⁷А. А. Айзенберг, Курсовая работа, мехмат МГУ, 2009.

⁸А. А. Айзенберг, Экспоненциальный закон для К-степени, УМН, 64:4(388) (2009), 175-176.

⁹А. Ayzenberg, The problem of Buchstaber number and its combinatorial aspects, arXiv:1003.0637vl [math.CO].

¹⁰Y Fukukawa, M. Masuda, Buchstaber invariants of skeleta of a simplex, Osaka J. Math. Volume 48,

s-R_(m,p) = sr(AI₁_ ) как задачу целочисленного линейного программирования и получили значительные результаты по ней. А. А. Айзенбегом были придуманы примеры графов Г і и Г2, таких что й(Гі*Г2) Ф s(Ti) + s(r2) и аналогично для вещественного числа Бухштабера. Им был также построен аналог хроматического многочлена для s^(K).

В диссертации рассмотрены также задачи, важные для развития связей торической топологии с другими актуальными разделами математики, такими как комбинаторика симметрической группы, теории алгебр Хопфа и квазисимметрических функций. Одной из таких задач является изучение комбинаторики многогранников, у которых s(P) = т — п. Такой пример дают нестоэдры - простые многогранники, возникшие в работах А. Постникова¹¹ и Е. Фейхтнер и Б. Штурмфельса¹². В работе А. Постникова, В. Рай-нера и Л. Вильямса¹³ была доказана гипотеза Гала о числах граней флаговых многогранников для нестоэдров, отвечающих так называемым «хордовым» производящим множествам. Их подход заключается в сопоставлении вершинам нестоэдра перестановок таким образом, что /г-полином является производящей суммой их «числа спусков». Нас интересует задача развития этого подхода для производящих множеств, не являющихся хордовыми. Другой задачей является интерпретация известных конструкций теории многогранников на основе дифференциальных колец выпуклых многогранников, введённых В. М. Бухштабером¹⁵'¹⁶. В диссертации рассматривается конструкция торического ^-полинома¹⁷'¹⁸ и ^-полинома квазисимметрической функции¹⁹.

Number 2 (2011), 549-582.

¹¹ A. Postnikov, Permutohedra, associahedra, and beyond, arXiv: math.CO/0507163.

¹²E.-M. Feichtner, B. Sturmfels, Matroid polytopes, nested sets and Bergman fans, Portugaliae Mathematica 62 (2005), 437-468.

¹⁵B. M. Бухштабер, Кольцо простых многогранников и дифференциальные уравнения, Труды математического института им. В. А. Стеклова, т.263, 2008, 1-26.

¹⁶В. М. Бухштабер, Н. Ю. Ероховец, Многогранники, числа Фибоначчи, алгебры Хопфа и квазисимметрические функции, УМН, 66:2(398) (2011), 67-162.

¹⁷R. P. Stanley, Generalized h-vectors, intersection cohomology of toric varieties, and related results, Commutative Algebra and Combinatorics, Advanced Studies in Pure Mathematics, 11, Kinokuniya, Tokyo, and North-Holland, Amsterdam/New York, 1987, 187-213.

¹⁸M. M. Bayer and R. Ehrenborg, The toric h-vector of partially ordered sets, Trans. Amer. Math. Soc, 352, 2000, 4515-4531 (electronic).

¹⁹L. Billera, S. Hsiao, S. van Willigenburg, Peak quasisymmetric functions and Eulerian enumeration, Adv. Math, bf 176 (2003), no. 2, 248-276, arXiv: 0706.3486vl [math.CO], 24 June 2007.

Цель работы.

Целью работы является построение теории инварианта Бухштабера: развитие методов вычисления, анализ связи с другими инвариантами, исследование поведения инварианта относительно операций и структур, связанных с простыми многогранниками, вычисление значения для специальных классов многогранников и симплициальных комплексов.

Научная новизна.

В диссертации получены следующие результаты:

1. Показано, что максимальная размерность s(P) торических подгрупп,
действующих свободно на момент-угол многообразии Zp_: обладает
следующими свойствами:

1. s(P) = 1 тогда и только тогда, когда Р = А^п.

2. Если 2 < т - п < ^, то s{Cⁿ{mY) = 2, где С^п(т) циклический многогранник. В частности, для любого к ^ 2 существует многогранник Р, такой что т — п = к и s(P) = 2.

3. s(P) ^ т—^ry(P)^Jrs(A'J_lZi). Эта оценка улучшает результат И. В. Из-местьева.

4. s(P) + s(Q) ^ s(P х Q) ^ s(P) + s(Q) + min{fci - s(P), k₂ - s(Q)}, где ki = mi — Щ, / = 1, 2. В частности, s(P x Q) = s(P) + s(Q), если s(P) = k\ или s(Q) = hi, и s(P xQ) < k\ + / если s(P) < k\ или s(Q) < &2_r

5. Пусть [m] = uj\ U U uj_r, причём P| F{ = 0 для каждого І Є [г].

Тогда s(P) ^ г. В частности s(P) ^ [^].

(f) Если многогранник Q получается из многогранника Р при помощи
«-перестройки, 2 ^ і ^ п — 1, то |s(P) — s(Q)| ^ 1. Кроме того,

s(P) + 1 < s(PftAⁿ) < s(P) + 2.

2. В первом нетривиальном случае простых n-мерных многогранников
cm = п + 3 гипергранями получены ответы на основные вопросы
теории инварианта Бухштабера s(-P), перечисленные в разделе «це
ли работы», в том числе получена формула для числа s(P) в терми
нах диаграммы Гейла, построены многогранники Р и Q₇ такие что
f(P) = f(Q)MP) = 7(Q), но s(P) ф s(Q), где f(P) вектор граней

и 'j(P) - хроматическое число. Вычислено биградуированное кольцо когомологий ~H*'*(Zp). В качестве следствия получена формула для числа s(P) многогранника Рст = п + 3в терминах биградуирован-ных чисел Бетти момент-угол многообразия Zp.

3. Доказана гипотеза Гала для нестоэдров, отвечающих полным двудольным графам К_Рд_: на основе развития метода А. Постникова, В. Рай-нера и Л. Вильямса¹³ описания комбинаторики нестоэдров в терминах группы перестановок.

4. Получена функториальная алгебраическая конструкция кольцевых гомоморфизмов, которая в случае алгебры частично-упорядоченных множеств и джойн-кольца выпуклых многогранников даёт торический д-полином, а в случае кольца квазисимметрических функций - ^-полином квазисимметричекой функции.

Основные методы исследования.

В работе используются методы торическои топологии, теории многогранников, комбинаторики и алгебры.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты представляют интерес для торическои топологии, теории многогранников и алгебры.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах и научных конференциях:

1. Семинар «Геометрия, топология и математическая физика» под руководством акад. РАН С. П. Новикова и чл.-корр. РАН В. М. Бухштабе-ра; кафедра высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова;

2. Семинар «Алгебраическая топология и её приложения» им. М. М. Постникова под руководством чл.-корр. РАН В. М. Бухштабера, проф. А. В. Чернавского, проф. И. А. Дынникова, проф. Т. Е. Панова, доц. Л. А. Алания и доц. Д. В. Миллионщикова; кафедра высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета МГУ;

3. Семинар «Дискретная геометрия и геометрия чисел» под руководством проф. Н. П. Долбилина и проф. Н. Г. Мощевитина, кафедра теории чисел Механико-математического факультета МГУ;

4. Семинар «Выпуклые многогранники» под руководством проф. Н. П. Долбилина, кафедра теории чисел Механико-математического факультета МГУ;

5. Семинар по геометрии и динамике, Высшая Нормальная Школа, г.Лион, Франция, 26 мая 2010 года;

6. Русско-Японская мини-конференция «Discrete Geometry and Statistics of Configurations», МИРАН им. В. А. Стеклова, г. Москва, 1-3 июня

2009 года;

7. Международная конференция «Toric topology in Manchester», г. Манчестер, Великобритания, ноябрь 2009 года;

8. Международная конференция «Топология и динамика: мемориал В. А. Рохлина», институт Л. Эйлера, г.Санкт-Петербург, 11-16 января 2010 года;

9. Международная конференция «Ломоносов 2010», г. Москва, 12-15 апреля 2010 года.

10. Международная конференция «Геометрия, топология, алгебра и теория чисел, приложения», посвященная 120-летию Б. Н. Делоне, г.Москва, 16-20 августа 2010 года;

11. Международная конференция «Topological methods in toric geometry, symplectic geometry and combinatorics», г.Банфф, Канада, 7-12 ноября

2010 года;

12. Международная конференция «Ломоносов 2011», г. Москва, 11-15 апреля 2011 года.

13. Международная конференция «Торическая топология и автоморфные функции», г. Хабаровск, 5-10 сентября 2011 года.

Публикации.

Основное содержание диссертации опубликовано в четырёх работах, список которых приведен в конце автореферата [1,2,3,4].

Структура и объем диссертации.

Похожие диссертации на Максимальные действия торов на момент-угол многообразиях

Геометрия многообразий с регулярным действием торовИзместьев Иван Вениаминович

Топология и геометрия комплексных многообразий с максимальным действием тораУстиновский Юрий Михайлович

Римановы метрики положительной кривизны Риччи на многообразиях с торическими действиямиМатвиенко, Иван Викторович

Топология и комбинаторика действий торовПанов, Тарас Евгеньевич

Комбинаторная коммутативная алгебра и топология момент-угол комплексовЛимонченко Иван Юрьевич

Геометрия действий торов на многообразиях флаговЖгун Владимир Сергеевич

Стабильность диагональных действий и многообразия двойных смежных классовАнисимов Артём Борисович

О росте чисел пересечения подмногообразий под действием динамических систем в компактных многообразиях и в пространствах C m и R mРосалес Гонсалес Эрнесто

Действия торов и локально нильпотентные дифференцированияКотенкова Полина Юрьевна