Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. GIT-эквивалентность и диагональные действия 14
1.1. Орбитные конусы и GIT-веер 14
1.2. Построение веера для действия группы БО(У) 17
1.3. Построение веера для действия группы SL(y) 20
Глава 2. Отображение ограничения корней 28
2.1. Однородные локально нильпотентные дифференцирования 28
2.2. Ограничение корней 35
2.3. Действия подторов на торическом многообразии 37
2.4. Корни аффинной группы Кремоны 42
2.5. Аффинные торические поверхности 43
Глава 3. Однородные локально нильпотентные дифференцирования на Т-многообразиях сложности один 49
3.1. Gn-вложения 49
3.2. Многообразие группы SL(2) 58
3.3. Четырёхмерная квадрика 62
3.4. Конус над грассманианом 65
Литература 68
- Построение веера для действия группы БО(У)
- Построение веера для действия группы SL(y)
- Действия подторов на торическом многообразии
- Многообразие группы SL(2)
Введение к работе
Актуальность темы
Диссертация посвящена решению нескольких задач из геометрической теории инвариантов, алгебраической теории локально нильпотентных дифференцирований и теории автоморфизмов алгебраических многообразий.
Алгебраическим тором Т называется алгебраическая группа, изоморфная группе (1СХ)П. Торическое многообразие — это нормальное алгебраическое многообразие, которое допускает действие алгебраического тора Т с открытой орбитой. Теория торических многообразия возникла в начале 1970-х годов в контексте описания эквивариантных компактификаций алгебраических торов. Она быстро завоевала популярность благодаря тому, что многие алгебро-геометрические свойства торических многообразий могут быть выражены на языке выпуклой геометрии и комбинаторики. Напомним, что веером называется такой конечный набор полиэдральных конусов S, что грань любого конуса из S также принадлежит S и пересечение любых двух конусов из S является гранью каждого из них. Всякому торическому многообразию ставится в соответствие некоторый веер, лежащий в векторном пространстве, ассоциированном с решёткой однопа-раметрических подгрупп тора Т. Он определяет многообразие однозначно с точностью до Т-эквивариантного изоморфизма. Понятие веера и соответствующего торического многообразия было введено Демазюром1. В первой работе по теории торических многообразий Демазюр описал группу автоморфизмов гладкого полного торического многообразия. Результаты этой работы открыли новое направление исследований. Позже Кокс интерпретировал их в терминах однородного координатного кольца, что послужило мотивировкой для определения колец Кокса.
Теория торических многообразий допускает обобщение. Пусть А — нормальное алгебраическое многообразие, на котором эффективно действует алгебраический тор Т. Такие А называются Т-многообразиями. Напомним, что сложность Т-действия — это коразмерность типичной Т-орбиты на А. Хорошо известно, что Т-многообразия можно задавать так называемыми комбинаторными данными^ они описываются в терминах полиэдральных дивизоров на полупроективных многообразиях. Многообразия сложности ноль являются торическими. Т-многообразия произвольной
1М. Demazure, Sous-groupes algebriques de rang maximum du groupe de Cremona, Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Superieure, 3, 1970, 507-588
сложности описаны в работе Альтманна и Хаузена2.
Пусть X — аффинное нормальное алгебраическое многообразие. Хорошо известно, что регулярные действия аддитивной группы Ga основного поля на X находятся во взаимно однозначном соответствии с локально нильпотентными дифференцированиями (сокр. ЛНД) алгебры Ж\Х\ регулярных функций на X. Пусть Т — алгебраический тор и М = Нот(Т, 1СХ) — решётка его характеров. Если на X задано действие тора Т, то алгебра К[Х] градуирована решёткой характеров М. Локально нильпотентное дифференцирование градуированной алгебры называется однородным^ если оно переводит однородные элементы в однородные. Геометрически это означает, что соответствующее Qa-действие на X нормализуется тором Т. Если орбиты общего положения Содействия содержатся в замыканиях Т-орбит, то говорят, что соответствующее однородное ЛНД имеет вертикальный тип, в противном случае — горизонтальный тип. Всякое однородное ЛНД сдвигает М-градуировку на некоторый вектор deg<9 Є М, называемый степенью д. Степени однородных ЛНД называются Т-корнями Т-многообразия X, а сами ЛНД — корневыми векторами. Эти понятия были введены Поповым3 по аналогии с понятиями корня и корневых векторов из теории линейных алгебраических групп. Их изучение играет важную роль в описании, вообще говоря, бесконечномерной группы автоморфизмов Aut(X). Результаты работ Попова об однородных локально нильпо-тентных дифференцированиях и сформулированные в них вопросы во многом определили развитие этой области.
Впервые Содействия на нормальных Жх-поверхностях были классифицированы в работе Зайденберга и Фленера . Обобщая использованную там конструкцию и понятие корня Демазюра, Льендо описал все однородные ЛНД на аффинных многообразиях сложности ноль и один5, а также однородные ЛНД вертикального типа в случае Т-многообразия произвольной сложности 6.
2К. Altmann and J. Hausen, Polyhedral divisors and algebraic torus actions, Mathematische Annalen, 334, 2006, 557-607
3V.L. Popov, Problems for problem session, Affine Algebraic Geometry, Contemporary Math., 2005, 369, 12-16
4H. Flenner, M. Zaidenderg, Locally nilpotent derivations on affine surfaces with a C*-action, Osaka Journal of Mathematics, 42, 2005, 931-974
5 A. Liendo, Affine T-varieties of complexity one and locally nilpotent derivations, Transformation Groups, 15, 2010, no. 2, 389-425
eA. Liendo, Ga-actions of fiber type, on affine. T-varieties, Journal of Algebra, 324, 2010, 3653-3665
Цель работы
Целью работы является применение теории Т-многообразий и алгебраической теории локально нильпотентных дифференцирований к решению следующих задач:
задача о вариации фактора в геометрической теории инвариантов;
описание корней Т-многообразий;
классификация эквивариантных пополнений коммутативных групп.
Научная новизна
Основные результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно и состоят в следующем:
Описаны классы GIT-эквивалентности линеаризованных линейных расслоений для диагональных действий групп БО(У) и SL(y) на многообразиях F(V)m и F(V)mi х F(V*)m2 соответственно.
Доказано, что отображение ограничения корней аффинного алгебраического Т-многообразия с тора Т на произвольный подтор сюръек-тивно.
Доказано, что всякое многообразие с локально транзитивным действием группы Т х Ga , где Т — алгебраический тор, а Ga — аддитивная группа основного поля, является торическим, и найдено комбинаторное описание орбит на таких многообразиях.
Основные методы исследования
В работе используются методы теории инвариантов, теории представлений и комбинаторные методы алгебраической геометрии.
Теоретическая и практическая ценность работы
Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть полезны специалистам в теории инвариантов, алгебраической геометрии и дифференциальной алгебре.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ:
-
Научно-исследовательский семинар кафедры высшей алгебры (2013);
-
Семинар «Группы Ли и теория инвариантов» (2010-2013, неоднократно);
-
Семинар «Локально нильпотентные дифференцирования» (2012-2013, неоднократно);
а также на всероссийских и международных конференциях
-
Летняя школа-конференция «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов», Самара, 8-15 июня 2009;
-
Вторая школа конференция «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов», Москва, 31 января - 5 февраля 2011;
-
Международная конференция «Алгебра и геометрия», приуроченная к 65-летию Аскольда Хованского, Москва, 4-9 июня 2012;
-
Третья школа-конференция «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов», Тольятти, 24 июня - 1 июля 2012.
Публикации
Результаты автора по теме диссертации опубликованы в трёх работах, список которых приводится в конце автореферата [1 - 3].
Структура и объем диссертации
Построение веера для действия группы БО(У)
На торических многообразиях каждому корню с точностью до пропорциональности соответствует только один корневой вектор. Корневые векторы вертикального типа фиксированной степени образуют векторное простанство (возможно, бесконечномерное). Для корневых векторов горизонтального типа полный ответ на вопрос (1) неизвестен даже для действий тора сложности один. Теорема 2.13 показывает, что если Т-корень е является ограничением только одного Т-корня е, то всякое Т-однородное ЛНД степени е также Т-однородно и корню е соответствует столько же корневых векторов, сколько и е.
В разделе 2.4 мы исследуем случай, когда многообразие X является аффинным торическим, а подтор Т в торе Т, действующем с открытой орбитой, имеет коразмерность один. Пусть N — решётка однопараметрических подгрупп в Т, торическое многообразие задаётся конусом ах С Nq и подтору Т соответствует гиперплоскость у С Nq. Ответы на вопросы (1)—(3) зависят от взаимного расположения ах и у. В разделе 2.5 мы полностью описываем отображение корней для аффинных торических поверхностей. Отметим, что аффинные поверхности с Содействиями и ЛНД на них ранее изучались в работах [23] и [24].
В главе 3 диссертации изучаются пополнения коммутативных групп ко-ранга один и однородные ЛНД на невырожденных аффинных квадриках с действием тора сложности один.
В качестве аналога торической геометрии можно рассматривать теорию локально транзитивных G-действий. В работе Б. Хассетта и Ю. Чинкеля [27] было установлено соответствие между такими действиями и локальными коммутативными конечномерными алгебрами с фиксированной системой порождающих. Естественно пытаться построить теорию локально транзитивных действий для смешанного случая, то есть для групп Т х (Ga)r, где Т — алгебраический тор. В разделе 3.1 описываются полные вложения группы Gn = Т х Qa. Оказывается, что все они являются торическими многообразиями и имеют лишь конечное число Сп-орбит. Локально транзитивные действия группы Gn на многообразии также будем называть Сп-структурами. Следующая теорема получена в совместной работе автора с И.В. Аржанце-вым.
Теорема 3.12 [44, теорема 2.11] Пусть X — полное нормальное алгебраическое многообразие. Тогда (1) если X снабжено регулярным локально транзитивным действием группы Gn, то оно является торическим; (2) всякая Сп-структура на X задаётся некоторым корнем Демазюра его веера как торического многообразия. Обратно, всякий корень Демазюра веера торического многообразия определяет Сп-структуру; (3) всякая Сп-структура на X имеет конечное число орбит; (4) если X — торическое многообразие с действующим тором Т и заданным с помощью корня Демазюра е локально транзитивным Си-действием, то две Т-орбиты 0\ и О2 лежат в одной Сп-орбите тогда и только тогда, когда для соответствующих конусов и\ и о"2 выполнено условие: е сг2 0 и о"! — гипергрань конуса 0"2, выделяемая уравнением -,е)=0.
В разделе 3.1 найдены все однородные ЛНД на классе аффинных исторических невырожденных квадрик с действием тора сложности один. Из [10, Proposition 2.4.3] следует, что любая такая квадрика X может быть задана уравнением Х\Х2 — Х3Х4 = 1, Х\Х2 + Х3Х4 + х\ = 0 ИЛИ Х\Х2 + Х3Х4 + Х$Хб = 0 в аффинном пространстве А , А5 или А соответственно. Заметим, что найденные для X = {x\X i — Х3Х4 = 1} однородные ЛНД вместе с тором соответствуют элементарным автоморфизмам в смысле работы [30]. Как доказано в [1] и [30], существует автоморфизм X, который не раскладывается в композицию элементарных. Таким образом, мы получаем пример многообразия, группа автоморфизмов которого не порождается максимальным тором и корневыми векторами. Для описания однородных ЛНД использована техника, разработанная в [31]. Для каждой из квадрик вычислены комбинаторные данные, что представляет самостоятельный интерес. Отметим, что изучение однородных ЛНД градуированных факториальных алгебр мотивировано тем, что кольца Кокса полных алгебраических многообразий являются такими алгебрами. Содействие может быть спущено с кольца Кокса на само многообразие, если соответствующее ЛНД однородно и имеет степень ноль относительно характеристического квазитора. Таким образом, знание однородных ЛНД позволяет описать корневые подгруппы, которые вместе с максимальным тором порождают связную компоненту единицы группы автоморфизмов полного многообразия, являющуюся линейной алгебраической группой, если кольцо Кокса конечно порождено, см. [12].
Построение веера для действия группы SL(y)
В данном разделе мы напомним результаты работ [8] и [31], которыми будем пользоваться в дальнейшем.
Напомним, что алгебраическим тором называется алгебраическая группа, изоморфная 1СХ х ... х 1СХ, где 1СХ — мультипликативная группа поля 1С. Характером тора называется всякий его алгебраический гомоморфизм в группу 1СХ. Характеры тора с естественной операцией образуют решётку, то есть конечно порождённую свободную абелеву группу.
Пусть X — аффинное алгебраическое многообразие, А = К[Х] — алгебра регулярных функций на нём, Т — алгебраический тор, эффективно действующий наХиМ — решётка характеров тора Т. Как правило, мы будем рассматривать М как абстрактную решётку и обозначать её элементы строчными латинскими буквами, например т. Когда надо будет подчеркнуть, что речь идёт о функции на торе, вместо т мы будем писать \т. Обозначим через N дуальную к М решётку: N = Hom(M, Z). Она реализуется как решётка однопараметрических подгрупп в Т. Между М и N существует невырожденное спаривание (,): N х М — Z, определённое по правилу (п,т) = п(т), где п Є N = Hom(M, Z) и т Є М. Пусть Mq = М z Q и N = N z Q — ассоциированные с М и N соответственно рациональные векторные пространства. Спаривание (,) продолжается на Nq х MQ. Хорошо известно, что Т-действия на X находятся во взаимно однозначном соответствии с М-градуировками на А. На самом деле алгебра А градуирована полугруппой целых точек в некотором выпуклом полиэдральном конусе UJ С Mq (достаточно рассмотреть конус, порождённый элементами М, которым соответствуют ненулевые компоненты градуировки). Таким образом, А= р Атх , где иом = wflM. Элементы /Є Л, лежащие в подпространстве Ат, мы будем называть однородными степени т и писать degf = т.
Дифференцирование д алгебры А называется локально нилъпотентным (сокр. ЛНД), если для всякого элемента / Є А найдётся такое п Є N, что dn(f) = 0. Заметим, что для ЛНД д отображение cpg : Ga х А — А, ifd{t d) = ехр( 9)(/), определяет действие аддитивной группы поляСа на А. Оказывается, что любое регулярное Содействие на X = Spec Л получается таким образом, см., например, [25, 1.5]. Дифференцирование д градуированной алгебры А называется однородным, если оно переводит однородные элементы в однородные. Если /, h Є А\ ker д — некоторые однородные элементы, то d(fh) = fd(h) + d(f)h — снова однороден, и следовательно, разность degd(f) — degf = degd(h) — degh не зависит от выбора однородного элемента, не лежащего в ядре. Она называется степенью однородного дифференцирования д и обозначается deg 9. Нетрудно видеть, что ЛНД алгебры А = Ж.[Х] однородно тогда и только тогда, когда соответствующее Qa-действие нормализуется тором Т в группе автоморфизмов Aut(X).
Следующие понятия были введены В.Л. Поповым в [39]. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Ненулевое ЛНД д алгебры А называется корневым, вектором группы Aut]K 4 относительно Т, если существует такой нетривиальный характер \ тора Т, что (2.1.1) todot 1 =x(t)d VteT. При этом характер \ называется корнем группы Aut]K 4 относительно Т, соответствующим д. зо Как мы сейчас увидим, для аффинных градуированных алгебр понятия корневого вектора и корня эквивалентны соответственно понятиям однородного ЛНД и его степени. Далее мы будем пользоваться обеими терминологиями.
ЛЕММА 2.2. Локально нилъпотентное дифференцирование д является корневым вектором тогда и только тогда, когда оно однородно. При этом корнем, соответствующим д, является его степень.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала предположим, что ЛНД д является корневым вектором. Пусть а Є А — однородный элемент. Тогда под действием тора а умножается на некоторый характер А. Из (2.1.1) следует, что t о д(а) = x(t)d(t о а) = (х + X)(t)d(a) для всех t Є Т. Значит, д однородно степени х- Обратно, пусть д однородно степени Х- Тогда для однородного элемента а Є А, умножаемого тором на характер А, справедливо t о д о Г1 (а) = (-X)(t)t о д{а) = {-Х + х + X){t)d{a) = x(t)d(a). Отсюда следует, что выполнено (2.1.1) и д является корневым вектором.
Любое дифференцирование алгебры К[Х] продолжается до дифференцирования поля отношений К(Х) по правилу Лейбница. Будем говорить, что однородное ЛНД д имеет вертикальный тип, если д(К(Х)Т) = 0, и горизонтальный тип в противном случае. Другими словами, д имеет вертикальный тип тогда и только тогда, когда орбиты общего положения соответствующего Qa-действия на X содержатся в замыканиях Т-орбит.
Действия подторов на торическом многообразии
Аффинный случай. Пусть X — аффинное нормальное алгебраическое многообразие с регулярным локально транзитивным действием группы Gn = Г х Gfl, где Т — алгебраический тор размерности п — 1. Мы будем называть такие действия Qn- структурами. Без ограничения общности можно считать, что Т действует на X эффективно. Тогда Т-действие имеет сложность ноль или один. Поскольку Содействие коммутирует с Т, соответствующее ЛНД однородно, имеет горизонтальный тип и нулевую степень. Но на торическом многообразии не существует таких ЛНД. Значит, Т-действие на X имеет сложность один. Тогда найдутся такие кривая С {С = А или С = Р1), конус о" и собственный сг-полиэдральный дивизор 1) на С, что X как Т-многообразие изоморфно Spec А [С, ].
ЛЕММА 3.1. Пусть на алгебре А[С} ] существует однородное ЛНД горизонтального типа степени ноль. Тогда (1) если С = А1, то дивизор можно выбрать (согласно теореме 2.4 (2)) тривиальным; (2) если С = Р1, то можно выбрать 1) = Аж [оо], где Аж а — некоторый а-полиэдр. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть (33,0) — согласованная пара, соответствующая данному однородному ЛНД горизонтального типа. Без ограничения общно сти можно считать, что ZQ = 0 и z = оо в случае С = Р . По определению согласованной пары существует такое s Є Z, что (0, s) является корнем Де мазюра конуса а, соответствующим ребру (dvo,d). Тогда s = — 1, d = 1 и, следовательно, VQ Є N. Поскольку для всех z Є С и каждой вершины v j vz полиэдра Az должно выполняться неравенство (f,0) 1 + (г О), каждый полиэдр Az, где z Є С", имеет ровно одну вершину vz. Заменив дивизо ром + 2,zec { vz + ) 2, получим утверждение леммы. Условие AQO С_ О" возникает из-за того, что дивизор 1) собственный. СЛЕДСТВИЕ 3.2. Всякое аффинное нормальное алгебраическое многообразие, снабжённое Gn-структурой, является торическим. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Утверждение сразу следует из леммы 3.1 и след ствия 2.5. Обозначим через Т тор, действующий на X с открытой орбитой. Тор Т является подтором в Т. Следующее предложение показывает, что Ga-действие на X, коммутирующее с Т, нормализуется большим тором Т, и следовательно, определяется некоторым корнем Демазюра конуса а торического многообразия X. УТВЕРЖДЕНИЕ 3.3. Пусть X — аффинное нормальное многообразие т с заданной G n-структурой. Пусть также X = SpecА[С, 1)}, где С = А1 или С = Р1, — собственный а-полиэдральный дивизор на С, выбранный как в лемме 3.1. Тогда (1) если С = А , то X = Y х А , где Y — торическое многообразие, соответствующее конусу а, и Ga действует на А1 сдвигами; (2) если С = Р1, то X — торическое многообразие, конус Ъ С N 0 Z которого порождён (а, 0), (AQO, —1) и (0,1). При этом Ga-deucmeue на X задаётся корнем Демазюра е = (0, —1) Є М 0 Z конуса Ъ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть К(С) = K(t). (1) Сначала предположим, что С = А . Тогда дивизор 1) тривиален и, следовательно, однородная компонента Ат алгебры А[С\ ] равна K.[t] для каждой точки т Є иом- Тогда А[С, 2 ] = 0 КМ Хт = Щшм] 8 К[ ] = K[Y] КМ and 1 = У х А1. Согласно равенству (2.1.2), однородное ЛНД, соответствующее Ga-действию на X, задаётся формулой (3.1.1) 9(Хт Г) = гХт Г"1 для всех т Є UJM и г Є Z o- Мы видим, что Ga действует на А по правилу а о х = х + а, где а Є Ga и ж Є А1, и тривиально на У. (2) Если С = Р1, то 1) = AQO [оо]. По определению получаем hoo(m) Л[С\ 2)] = 0 0 КГ Хт = 0 КХт f = Kfe], где M = M0ZHW С M Q — конус, дуальный конусу 5\ Таким образом, алгебра А[С\ ] является полугрупповой алгеброй, и, следовательно, X — торическим многообразием с конусом а. В данном случае равенство (2.1.2) задаёт ЛНД, соответствующее корню Демазюра е = (0,-1). СЛЕДСТВИЕ 3.4. Аффинное нормальное многообразие с заданной Gn-структурой полностью определяется конусом а, если С = А1, и и-полиэдром AQO CJ а, если С = Р1.
Теперь мы покажем, что верно и обратное — каждый корень Демазюра на торическом многообразии X задаёт Сп-структуру.
УТВЕРЖДЕНИЕ 3.5. Каждая пара (сг,е), где Ъ С Nq — острый полиэдральный конус и є Є М — корень Демазюра а, определяет аффинное нормальное многообразие, снабжённое Gn-структур ой. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть X — аффинное торическое многобразие с конусом Ъ и действующим тором Т = SpecK[M]. Корень Демазю ра е = (еі,.. . , еп) определяет Ga-действие на X. Рассмотрим подтор Т := {(t\,... Лп) Є Т t\l .. Ле = 1} коразмерности один. Действия Ga иГ перестановочны, и группа Т х Ga имеет на X открытую орбиту. ЗАМЕЧАНИЕ 3.6. Пары (а,е) и (а е7) определяют эквивалентные Gn-структуры тогда и только тогда, когда существует такой изоморфизм (р : Nq - Nq, что (p(a) = а и (р (е?) = е.
Для описания Сп-орбит на X нам потребуются некоторые результаты из [2]. УТВЕРЖДЕНИЕ 3.7. [2, предложение 2.1] Пусть X — торическое многообразие с действующим тором Т и конусом а, є Є 91 — корень Демазюра конуса а, Не С Aut(X) — соответствующая однопараметрическая подгруппа и Re С Т — однопараметрическая подгруппа, соответствующая ребру ре- Тогда (1) для каждой точки х Є X, не являющейся Не-неподвижной, орбита Нех пересекает ровно две Т-орбиты 0\ и 0 і на X, причём dim Ох = 1 + dim 02; (2) пересечение О і П Нех состоит из одной точки, аО\П Нех = Rey для всякого у Є 0\ П Не х. Орбиты 0\ и О2 из условия утверждения 3.7 называются Не-связными.
УТВЕРЖДЕНИЕ 3.8. [2, лемма 2.2] Пусть Ох и02 — две Т-орбиты на X, соответствующие граням а\ и а і, причём 0 i С 0\. Пусть є Є 91 — корень Демазюра конуса а. Орбиты 0\ и 0 і Не-связны тогда и только тогда, когда е сг2 0 и о"! — гипергрань конуса а%, выделяемая уравнением (-,е) = 0. Как показывает следующее утверждение, всякая Сп-орбита на X является объединением не более чем двух Т-орбит. В частности, число Сп-орбит всегда конечно.
Многообразие группы SL(2)
Пусть Re С Т — однопараметрическая подгруппа, соответствующая ребру ре. Поскольку Т = ker(e) С Т, пересечение подгрупп RenT тривиально. Сравнивая размерности, получаем, чтоТ = Т х Re. Обозначим через Не образ группы Ga в группе Aut(X) при действии, отвечающем корню е. Тогда для доказательства того, что каждая орбита группы Gn = Не х Т инвариантна относительно Т, достаточно показать, что любая і7е-орбита Ле-инвариантна. Но каждая ненульмерная і7е-орбита состоит из Ле-орбиты и точки, в стабилизаторе которой содержится группа Re. Отсюда получается требуемое. (2) Две Т-орбиты лежат в одной орбите Сп-структуры, соответствующей корню Демазюра е, тогда и только тогда, когда они 77е-связны. Поэтому утверждение сразу следует из описания 77е-связных Т-орбит. Резюмируя, получаем следующую теорему. ТЕОРЕМА 3.10. Пусть X — аффинное нормальное алгебраическое многообразие без непостоянных обратимых функций. Тогда (1) если X снабжено Gn-структур ой, то оно является торическим; (2) всякая Оп-структура на X задаётся некоторым корнем Демазюра конуса торического многообразия X. Обратно, всякий корень Демазюра веера торического многообразия определяет Gn-структуру; (3) всякая Gn-структура на X имеет конечное число орбит; (4) если X — торическое многообразие с действующим тором Т и заданным с помощью корня Демазюра е локально транзитивным Gn-действием, то две Т-орбиты 0\ и 0 i лежат в одной Gn-орбите тогда и только тогда, когда для соответствующих конусов о \ и о 2 выполнено условие: є \а2 0 и o i — гипергрань конуса о 2, выделяемая уравнением (-,е) = 0. ПРИМЕР 3.11. Найдём все Сг-структуры на аффинной плоскости. Конусом А как торического многообразия является положительная четверть Q 0-Множество корней Демазюра конуса Q 0 имеет вид д\ = {(-1, к) к є Z 0} и {(к, -1) I к є Z 0}. &2-структура на А2, соответствующая корню (—1,&), задаётся следующим образом: (3.1.2) (t,а) о (жі,X z) = {tkx\ + ах%, tx \ где {xi X i) Є А2, а Є Ga, и t Є Іх. Если к = 0, то существует прямая /, состоящая из Са-неподвижных точек. При этом стабилизатор любой ненулевой точки на / изоморфен Z&. Если к = 0, то множество Са-неподвижных точек пусто. Таким образом, формула (3.1.2) задаёт неэквивалентные Сг-действия для к\ т 2- Осталось заметить, что Сг-структуры, соответствующие корням (к, — 1) и (—1,к) эквиваленты.
Найдём С2-орбиты на А . Пусть сначала Сг-структуру задаёт корень е = ( —1,/с), где к т 0, и Не — соответствующая одномерная унипотентная группа. Дз-связными являются плотная орбита и орбита, отвечающая ребру Ре = Q o (1,0). Группа G2 "склеит"только их. Таким образом, имеется три Сг-орбиты. Для корня е = (—1,0) есть ещё одна пара 77е-связных орбит — это орбиты, соответствующие конусам Q 0 и Q o (0,1). В этом случае число Сг-орбит равно двум.
Пополнения группы Gn. Пусть X — полное нормальное алгебраическое многообразие с регулярным локально транзитивным действием группы Gn = Т х Ga. Как и раньше, мы будем называть такие действия Сп-структурами. Справедлива следующая теорема. ТЕОРЕМА 3.12. [44, теорема 2.11] Пусть X — полное нормальное алгебраическое многообразие. Тогда (1) если X снабжено регулярным локально транзитивным действием группы Gn, то оно является торическим; (2) всякая Gn-cmpyKmypa на X задаётся некоторым корнем Демазюра его веера торического многообразия X. Обратно, всякий корень Демазюра веера торического многообразия определяет Gn-структуру; (3) всякая Gn-структура на X имеет конечное число орбит; (4) если X — торическое многообразие с действующим тором Т и заданным с помощью корня Демазюра е локально транзитивным Gn-действием, то две Т-орбиты 0\ и 0 i лежат в одной Gn-орбите тогда и только тогда, когда для соответствующих конусов о \ и о 2 выполнено условие: є \а2 0 и o i — гипергрань конуса о 2, выделяемая уравнением (-,е) = 0.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) Без ограничения общности можно считать, что открытая Сп-орбита на X изоморфна Gn. Тогда X — рациональное полное многообразие с Т-действием сложности один. Отсюда следует, что группа классов С\(Х) и кольцо Кокса R(X) конечно порождены, см. [28, Theorem 1.3]. Рассмотрим реализацию Кокса многообразиях X с X =SpecR{X)
1/Нх X. Действие связной группы Gn на X может быть поднято до (Нх х Содействия на X. Пусть Нх С Нх — связная компонента единицы. Группа Нх х Gn имеет на X открытую орбиту. По следствию 3.2 многообразие X является торическим. Это означает, что найдётся одномерный тор S С AutX, централизующий НххТ и нормализующий Qa. Поскольку X является максимальным Дх-подмножеством, оно инвариантно относительно действия группы Нх х Т х S. Спуская это действие на X = X//Нх, получаем, что X — торическое многообразие.
(2) Пусь Е С ATQ — веер торического многообразия X и Т — тор, действу ющий на X с открытой орбитой. Докажем, что всякая Сп-структура на X задаётся некоторым корнем Демазюра веераS. Действительно, мы уже зна ем, что Т-действие на X получается из (Нх х Т х 5 )-действия на X, которое нормализует Qa. Тогда и Содействие на X нормальзуется Т-действием.
Обратно, пусть е — корень Демазюра веера Е и Т := ker(e) С Т — подтор коразмерности один. Действие группы Ga на X, соответствующее е, перестановочно с Т-действием, и группа Т х Ga имеет открытую орбиту на X. (3) — (4) Пусть ре — ребро веера Е, отвечающее корню е, задающему Gn структуру на X, и V{,i Є /, — аффинные Т-инвариантные открытые под многообразия в X, соответствующие конусам, содержащим ре. Одномерная унипотентная группа Не сохраняет каждое V{ и оставляет неподвижным до полнение X \ (J V{. Так что мы можем применить предложение 3.9 к каждо
