Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Точные решения основных уравнений квантовой механики, таких как уравнение Шредингера, Клейна - Гордона, Дирака играют важную роль в теоретической физике. Они необходимы не только для контроля результатов численных расчетов, но зачастую на их основе удается достичь более глубокого понимания физической сущности рассматриваемой модели. Как правило, входящие в уравнение Шредингера потенциалы, описывающие какую-либо реальную физическую задачу, столь сложны, что не допускают нахождение в явном виде точных аналитических решений, но во многих случаях их удается аппроксимировать точно разрешимыми потенциалами, что существенно расширяет область применимости точно интегрируемых моделей (например, работа [1]).
Эффективным способом конструирования уравнений, имеющих точное решение, является метод операторов преобразования [2] и, в частности, метод операторов преобразования Дарбу. Впервые подобные преобразования изучались Дарбу [3] и впоследствии многократно переоткрывались. Например, как показано в работах [4], [5], метод факторизации Шредингера [6] и суперсимметричная квантовая механика, предложенная Виттеном [7], являются, по существу, иными формулировками метода преобразования Дарбу.
Конструирование новых точно решаемых потенциалов для стационарного и нестационарного уравнений Шредингера с помощью преобразования Дарбу рассматривалось многими авторами (см., например, [8] и приведенные там ссылки). По-видимому, впервые оператор преобразования Дарбу для одномерного стационарного уравнения Дирака с векторным и скалярным потенциалом был построен в работе Андерсона [9]. Преобразование Дарбу одномерного стационарного уравнения Дирака более подробно изучено в работах [10], [11], [12], [13]. Однако, по-видимому, существует лишь одна работа, в которой рассматривается преобразование Дарбу нестационарного уравнения Дирака [14]. В ней получены формулы для преобразованного потенциала и решений преобразованного уравнения, найдена супералгебра, порождаемая преобразованием Дарбу, а также рассмотрены преобразования высших порядков. Однако автор ограничивает свое исследование лишь электромагнитными потенциалами, в то время как во многих задачах встречаются потенциалы и других типов. Например, центробежный потенциал, возникающий при разделении переменных в уравнении Дирака для частицы в центрально-симметричном поле, является псевдоскалярным [15]. В теории поверхностных состояний и различных моделях межкваркового взаимодействия встречаются скалярные потенциалы [16]. Изучение свойств релятивистской частицы, движущейся в одномерном периодическом потенциале, имеет важное значение для понимания многих явлений в физике твердого тела и атомного ядра
[17], [18]. Этой задаче посвящен ряд работ, в которых рассматривались релятивистское обобщение классической модели Кронига—Пенни [17], [19], а также [18] численное решение уравнения Дирака с периодическим потенциалом. Применение метода матриц преобразования для определения границ зон было изучено в работе [20].
Данная диссертация посвящена применению общих идей метода операторов преобразования для развития техники преобразования Дарбу одномерного нестационарного уравнения Дирака с самосопряженным потенциалом общего вида и подробному исследованию общих свойств этого преобразования, а также построению на основе преобразования Дарбу точно решаемых релятивистских моделей.
Цель работы.
Обобщение метода операторов преобразования Дарбу на систему дифференциальных уравнений. В качестве основного конкретного объекта исследований рассматривается одномерная нестационарная система Дирака, для которой получены явные выражения для оператора преобразования и потенциалов преобразованных уравнений;
Изучение основных свойств найденных преобразований, в частности обнаружение несоответствия между пространствами решений исходного и преобразованного уравнений, установление взаимного соответствия между ядрами оператора преобразования Дарбу и сопряженного оператора, изучение особенностей преобразования Дарбу нестационарного уравнения Дирака для скалярного потенциала;
На основе изученных свойств построение интегрального преобразования одномерного нестационарного уравнения Дирака, индуцированного преобразованием Дарбу этого уравнения;
Применение метода преобразования Дарбу для построения новых точно решаемых периодических потенциалов одномерного стационарного уравнения Дирака;
Разработка метода построения функции Грина краевой задачи одномерного стационарного уравнения Дирака с самосопряженными потенциалами исходного и преобразованного уравнений.
Научная новизна и практическая ценность диссертации. Впервые метод матричных операторов преобразования применен для получения преобразования Дарбу одномерного нестационарного уравнения Дирака с самосопряженным потенциалом общего вида и исследованы основные свойства полученных преобразований.
На основе исследованных свойств впервые построено преобразование интегрального типа одномерного нестационарного уравнения Дирака, индуцированное преобразованием Дарбу этого уравнения, что открывает более широкие возможности для построения релятивистских точно решаемых моделей. Также впервые предложено релятивистское обобщение метода конструирования точно решаемых периодических потенциалов и построение функции Грина краевой задачи одномерного стационарного уравнения Дирака с самосопряженным потенциалом.
Результаты диссертации представляют интерес для специалистов в области релятивистской квантовой механики, математической физики, точных решений дифференциальных уравнений, квантовой теории поля.
Метод построения точно решаемых периодических потенциалов может иллюстрировать основные особенности релятивистской зонной структуры на элементарном уровне и ввиду своей простоты может найти применение в учебном процессе.
Полученные новые точно решаемые потенциалы могут найти применение в теории солитонов, а новые точно решаемые периодические потенциалы могут быть использованы в различных моделях с периодическими структурами, например, в задачах физики твердого тела, теории ондуляторного излучения, при изучении наноструктур. Предложенный метод построения функции Грина может быть использован для теоретического расчета различных процессов в квантовой электродинамике.
Положения, выносимые на защиту:
1. Обобщение метода операторов преобразования на одномерное нестацио
нарное уравнение Дирака с самосопряженным потенциалом.
а) Построение матричного оператора преобразования Дарбу для одно
мерного нестационарного уравнения Дирака с произвольным самосопря
женным потенциалом и изучение его основных свойств.
б) Исследование преобразования Дарбу нестационарного уравнения Ди
рака со скалярным потенциалом, нахождение условий, при которых пре
образованный потенциал остается потенциалом того же типа, что и ис
ходный.
в) Построение интегрального преобразования одномерного нестационар
ного уравнения Дирака с самосопряженным потенциалом, индуцирован
ного преобразованием Дарбу этого уравнения.
г) Построение на основе разработанных подходов новых потенциалов, до
пускающих точные аналитические решения нестационарного уравнения
Дирака.
2. Релятивистское обобщение метода построения новых точно решаемых
периодических потенциалов.
а) Исходя из какого либо точно решаемого (в общем случае не пери
одического) потенциала, строится новый точно решаемый потенциал с
помощью преобразования Дарбу. Построенный потенциал рассматрива
ется как определенный на ограниченном интервале и периодически про
должается за пределы этого интервала.
б) Построены скалярный и псевдоскалярный новые точно решаемые пе
риодические потенциалы.
3. Преобразование Дарбу функции Грина регулярной краевой задачи одномерного стационарного уравнения Дирака.
а) Построена функция Грина регулярной краевой задачи одномерного
стационарного уравнения Дирака с самосопряженным потенциалом, най
дено ее спектральное представление.
б) Построено преобразование Дарбу функции Грина регулярной краевой
задачи одномерного стационарного уравнения Дирака с самосопряжен
ным потенциалом.
в) Найдены фурмулы полного следа от разности преобразованной и пер
воначальной функций Грина.
Апробация результатов. Материалы диссертации докладывались на
XI международной конференции "Общая теория относительности и грави-таци"(Томск, 2002), международном семинаре "Supersymetries and Quantum Symmetries "(Дубна, 2003), XLII международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс"(Новосибирск, 2004), / всероссийской конференции студентов и молодых ученых "Перспективы развития фундаментальных наук" (Томск, 2004), XVII международной летней школы-семинара по современным проблемам теоретической и математической физики "Волга-2005" (Казань, 2005), семинарах ЛИТ и ЛТФ ОИЯИ (Дубна 2007).
На тему диссертации опубликовано 9 печатных работ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии, которая насчитывает 109 наименований. Она содержит 9 рисунков. Общий объем диссертации составляет 104 страницы.
