Содержание к диссертации
Введение
1 Уравнение Дирака в римановом пространстве 12
1.1 Понятие риманова пространства 12
1.2 Понятие оператора симметрии 13
1.3 Определение уравнения Дирака в римановом пространстве 16
1.4 Операторы симметрии уравнения Дирака . 18
1.5 Векторное поле Киллинга 19
1.6 Векторное поле Яно 20
1.7 Тензорное поле Яно-Киллинга 22
1.8 Тетрадный формализм 23
1.9 Плоское пространство 25
1.10 Пространство де Ситтера 25
1.11 Резюме 28
2 Методы интегрирования уравнения Дирака 30
2.1 Метод полного разделения переменных 30
2.2 Метод некоммутативного интегрирования . 33
2.3 Резюме 35
3 Алгебра операторов симметрии уравнения Дирака в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры 37
3.1 Векторное поле Яно и тензорное поле Яно-Киллинга в плоском пространстве 37
3.2 Векторное поле Яно и тензорное поле Яно-Киллинга в пространстве де Ситтера 37
3.3 Оператор Дирака и его операторы симметрии в плоском пространстве и в пространстве де Сит-тера 40
3.4 Структура алгебры симметрии уравнения Дирака 42
3.5 О некоммутативном интегрировании с помощью подалгебр 46
3.6 Резюме 47
4 Точно интегрируемые модели уравнения Дирака в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера 49
4.1 Постановка задачи. Алгоритм некоммутативного интегрирования 49
4.2 Интегрирование уравнения Дирака в плоском пространстве 50
4.2.1 Выбор подалгебры и построение А- представления 50
4.2.2 Точное решение уравнения Дирака в модели с киллинговыми симметриями (массивный случай) 51
4.2.3 Точное решение уравнения Дирака в модели со спинорной симметрией (безмассовый случай) 53
4.3 Интегрирование уравнения Дирака в пространстве де Ситтера 55
4.3.1 Выбор подалгебры и построение А- представления 55
4.3.2 Точное решение уравнения Дирака в модели со спинорной симметрией 55
4.4 Анализ решений и спектр 59
4.5 Одна модель асимптотически плоского пространства 63
4.5.1 К вопросу о склейке 65
4.6 Резюме 67
Заключение. 69
Приложение А. Матрицы Дирака. 72
4 Приложение В. Разложения матриц вида
Приложение С. Алгебра операторов симметрии. 77
Приложение D. Операторы симметрии уравнения Дирака в 4-сферической системе координат Приложение Е. Случай уравнения (126) с условием 94
Библиография
- Определение уравнения Дирака в римановом пространстве
- Векторное поле Яно и тензорное поле Яно-Киллинга в пространстве де Ситтера
- Выбор подалгебры и построение А- представления
- Одна модель асимптотически плоского пространства
Введение к работе
В современных исследованиях по математической и теоретической физике выделяют следующие две основные задачи из многих других не менее важных: получение точных решений уравнений математической физики и разработка и применение наиболее общих или эффективных методов для их точного решения. К настоящему времени уже есть множество точных результатов по многим уравнениям квантовой физики, таких, как уравнение Шредингера, Рариты-Швингера, Дирака и др., и еще больше задач до сих пор не решены даже приближенно. Это связано с тем, в частности, что уравнения со временем распространяются на более широкие классы задач и становятся тем самым сложнее. Так открытие уравнения Дирака для релятивистской частицы спина 1/2 в плоском пространстве позволило открыть новые частицы и их античастицы, предсказать новые эффекты, такие, как рождение частиц из вакуума в сильных электромагнитных полях и т.д. Теория уравнения Дирака для плоского пространства хорошо изучена: указаны пределы применимости этого уравнения, построены модели взаимодействия частиц спина 1/2 с электромагнитным полем, развит формализм уравнения Дирака с точки зрения теории групп и т.д., этим вопросам посвящено множество книг и монографий, некоторые из них [38,41,42,43, 57,63]. Затем уравнение Дирака и другие волновые уравнения были естественно обобщены на случай искривленных пространств. Прекрасное изложение теории и данных экспериментальных наблюдений можно найти, например, в [35, 56, 66}
Вопросы получения точного решения физического уравне-
ния напрямую связаны с понятием его интегрируемости. Настоящая работа посвящена вопросам интегрирования уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситте-ра. Традиционно точные решения дифференциальных уравнений математической физики получали методом разделения переменных. В основе метода разделения переменных лежит теория В.Н. Шаповалова [71], С. Бененти, М. Франкавиглия [3],[4] согласно которой провести процедуру разделения можно только при наличии у дифференциального уравнения коммутативной алгебры симметрии. По-видимому, провести корректно процедуру разделения переменных в уравнении Дирака возможно только в так называемых Штеккелевых пространствах. В этом направлении большая работа проделана группой В.Г. Багрова [6],[7]. Отметим, что для разделения переменных в уравнении Дирака нет общепринятого определения. Существуют разные подходы, которые в Штеккелевых пространствах дают, по-видимому, одинаковый результат. Ситуация с процедурой разделения в матричных уравнениях осложняется тем, что существуют примеры гравитационных полей Штеккелева типа, в которых нельзя последовательно провести процедуру разделения переменных в уравнении Дирака, в то время как для уравнения Клейна-Гордона такая процедура возможна [22]. В.Н. Шаповаловым доказаны теоремы о необходимых и достаточных условиях разделения переменных в скалярном уравнении второго порядка [72]. Для уравнения Дирака в настоящее время известны только необходимые условия о разделении переменных. Решением уравнения Дирака в рамках метода разделения переменных занимались многие исследователи. Достаточно полно изучен класс пространств, где уравнение Дирака допускает разделение переменных, и получены соответствующие точные реше-
ния в работах В.Г. Багрова, В.В. Обухова, В.Н. Шаповалова, А.В. Шаповалова и др. [37],[34]. Отметим также значительный вклад математиков Е. Калнинса, В. Миллера [21] и Р. Рудигера [27]. На основе полученных результатов была проведена систематизация практически всех известных решений уравнения Дирака с внешними полями и найдены обширные классы новых точных решений и новых полей. Таким образом, нахождение новых внешних полей, или римановых пространств, на фоне выполненных исследований представляется в значительной мере исчерпанным. Поэтому приобретает интерес получение точных решений в данном уравнении методами, отличными от метода разделения переменных. Это особенно важно в таких разделах теоретической физики, как квантовая электродинамика и квантовая теория поля, при учете поправок ряда теории возмущений, где значение точных решений физических уравнений трудно переоценить.
В данной работе мы строим новый класс точных решений уравнения Дирака в 4-мерном пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры. В случае произвольного риманова пространства общая теория уравнения Дирака сформулирована в работах X. Тетрода [31], В.А. Фока [13] и X. Вейля [32], дальнейшее развитие теория получила в работах В.Н. Шаповалова [70], Б. Картера, Р.Ж. МакЛенагана и П.Х. Спин-дела [8],[25]. Определение уравнения Дирака в пространстве де Ситтера в рамках теории групп было дано К.Ц. Ханнабу-сом [17]. Нахождению решений уравнения Дирака в пространстве де Ситтера посвящено множество работ и монографий. В основном все они базируются на методе разделения переменных. В работе Г.В. Шишкина [29] методом разделения переменных построен класс точных решений уравнения Дирака в пространстве де Ситтера. В основе этой статьи лежит кри-
терий разделяемости переменных в уравнении Дирака для диагональных метрик, доказанный в работе [1]. Одно точное решение уравнения Дирака в связи с задачей о термоэмиссии спиновых частиц в пространстве де Ситтера построено в [26].
Наш подход принципиально отличается от метода разделения переменных. Мы используем теорию некоммутативного интегрирования, развитую в работе А.В. Шаповалова и И.В. Широкова [67]. В этом методе за основу берется некоммутативная алгебра симметрии. При некоторых дополнительных условиях на алгебру дифференциальное уравнение (систему) в частных производных можно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое, как правило, интегрируется в квадратурах. Интересно, что для уравнения Дирака в пространстве де Ситтера такие некоммутативные алгебры существуют и их довольно много, в то время как коммутативных алгебр, необходимых для разделения переменных, нет (а в плоском пространстве такие коммутативные алгебры существуют). Отсутствие коммутативных алгебр служит причиной того, что во многих работах по точным решениям уравнения Дирака в пространстве де Ситтера приводят только узкие классы решений. Без наличия полного коммутативного набора операторов симметрии невозможно построить полный базис решений с помощью метода разделения переменных. Это, конечно, не снижает роли частных решений, которые могут иметь важный физический смысл.
В процессе работы по нахождению решений уравнения Дирака мы установили, что в алгебре операторов симметрии первого порядка для уравнения Дирака существует одна специальная алгебраическая структура. Эта структура представляет собой ассоциативную алгебру, которая не является алгеброй Ли. В нашем случае коммутаторы операторов симмет-
рий выражаются через себя полиномиально, более точно
k,l=l к=1
В литературе такие объекты называются ЇУ-алгебрами [16, 11]. Некоторая классификация W-алгебр дана в работе [2], полной классификации, по-видимому, не существует. Поскольку в правой части (1) стоит полином второго порядка, мы называем такую алгебру квадратичной. Рассмотренная нами ^-алгебра содержит линейные подалгебры Ли. Расширение нашей линейной алгебры до квадратичной в некотором смысле единственно. С помощью линейных подалгебр Ли нам удалось провести процедуру интегрирования уравнения Дирака в полном объеме и даже найти спектр массивной частицы. Для проведения процедуры интегрирования уравнения Дирака мы используем только один оператор из расширения. Остальные операторы из расширения непригодны, из-за наличия функциональных соотношений между ними. Интересно, что рассмотренная нами квадратичная алгебра является общей для уравнения Дирака как в плоском пространстве, так и в пространстве де Ситтера. Это приводит к тому, что можно построить решения уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера с общей переменной. В нашем случае эта переменная представляет собой обобщенный интервал в плоском пространстве. По-видимому, на это впервые обратил внимание Котаеску в работах [9],[10] в случае пространственного интервала. Мы используем этот факт для построения решений уравнения Дирака в плоском пространстве по известному решению в пространстве де Ситтера. Краткое содержание работы.
В первой главе даны общие определения теории уравнения Дирака в римановом пространстве и его операторов симметрии, которые условно делятся на киллинговые (лоренцевы) и спинорные. Киллинговые (лоренцевы) симметрии строятся по векторному полю Киллинга, спинорные симметрии строятся по спинорным полям, к которым относятся поля Яно и Яно-Киллинга.
Во второй главе изложены основные положения метода разделения переменных и метода некоммутативного интегрирования. Проведено сравнение этих двух методов.
В третьей главе найдены поля Яно и Яно-Киллинга в плоском пространстве и пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры. По этим полям, а также по полям Киллинга построены операторы симметрии и показано, что эти операторы в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера совпадают (эквивалентны). Соответственно алгебры симметрии уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера эквивалентны. Построенная алгебра является квадратичной, но содержит линейные подалгебры, которые удовлетворяют условиям теоремы о некоммутативной интегрируемости.
В четвертой главе построены интегрируемые модели уравнения Дирака в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера, найдены точные решения - волновые функции, проведен анализ спектра де Ситтеровской частицы и приведена одна точно решаемая модель с граничным условием склейки плоского пространства и пространства де Ситтера.
В заключении подведены итоги и сформулированы выводы диссертации.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту, следующие:
Нахождение полного числа решений уравнений на поля Яио и Яно-Киллинга в плоском пространстве и пространстве де Ситтера.
Изучение алгебры операторов симметрии уравнения Дирака в этих пространствах. Исследование вопроса построения интегрируемых моделей уравнения Дирака в этих пространствах в рамках метода некоммутативного интегрирования; выделение подалгебр Ли, удовлетворяющих условиям теоремы о некоммутативной интегрируемости, из общей 11-мерной квадратичной алгебры симметрии.
Интегрирование уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера методом некоммутативного интегрирования, нахождение нового класса точных решений.
Подход к построению точных решений уравнения Дирака в одной модели асимптотически плоского пространства, которое склеено из пространства де Ситтера и плоского пространства.
Определение уравнения Дирака в римановом пространстве
Для получения операторов симметрии вида (16) необходимо решать уравнение на векторное поле Яно (19). Свойства тензорного поля Яно-Киллинга изучались в работе [48]. Рассмотрим некоторые очевидные свойства этого поля, приведенные в этой работе. Свойство 1. fi3]k = f3k\% — Лгу, т.е. индексы можно цик-лировать. Следует из формулы (19). Свойство 2. fi3]k = 0 при совпадении любых двух индексов. Следует из формулы (19). Свойство S. fi3-k = }г3-к + fjk,i + /b;j = fij,k + fjk,i + /kj. Следует из антисимметрии этого тензора и симметрии символов Кристоффеля по нижним индексам. Свойство 4 (необходимое условие существования тензорного поля Яно-Киллинга).
Рассмотрим два уравнения на поле Яно-Киллинга: a) ftj;j = О, b) f34 = 0. Уравнение а) продифференцируем по координате х1, уравнение Ь) - по координате х3 и сложим их. После приведения подобных, с использованием свойств 2 и уравнений (19), получим следующее выражение: которое должно выполняться для всех индексов гфз Свойство 5(пеобходимое условие существования тензорного поля Яио-Киллинга).
Рассмотрим три уравнения на поле Яно-Киллинга: а) /у &+ flkl3 = 0 (все индексы различны), b) /IJ;, = 0, с) ftk l = 0. Уравнение а) продифференцируем по координате хг, уравнение Ь) - по координате хк, уравнение с) - по координате х3 и вычтем из первого уравнения второе и третье. После приведения подобных, с использованием свойства 2 и уравнений (19), получим следующее выражение: которое должно выполняться для всех различных индексов i,j,k. Отметим, что формула (30) есть частный случай формулы (31), если положить Обе формулы удовлетворяются тождественно для пространств постоянной кривизны.
Зададим базис из четырех контравариантных векторов el , индекс а - нумерует вектор (тетрадный индекс), а индекс г -компоненты вектора. Определим также ковариантные векторы соотношением е(0). = й е в)і (32) gtk - метрический тензор. По аналогии введем векторы с верхним тетрадным индексом е[\ Введенные векторы связаны с векторами ejaj соотношениями рг ЛЬ) _ М г (а) _ « %)Єг %)1 e(afj V По определению Є\а)Є(Ь)г = Ца)(Ь), (33) здесь Ща)(Ь) - постоянная симметричная матрица. Введем в рассмотрение обратную матрицу т/а№): пШЬ) _ АЬ) Нетрудно показать, что справедливы следующие тождества: Имеем соотношение
Положим 7 (ж) = е(а)7) гДе 7 постоянные матрицы Дирака (со шляпками) в стандартном представлении. Вид этих матриц приведен в приложении А. Саму тетраду мы находим из уравнений еїаче») ру = щ, где %& - матрица Минковского.
Для определения явного вида оператора Дирака и его симметрии представим эти операторы в удобном для вычисления виде. Для этого подставим представления тензоров и матриц Дирака в тетрадном формализме в формулы (11),(15)-(17). Плоское четырехмерное пространство - время, объединяющее физическое трехмерное пространство и время, введено немецким ученым Г. Минковским (H.Minkowski) в 1907-1908 гг. Точки в пространстве - времени Минковского соответствуют "событиям"специальной теории относительности. Положение события в этом пространстве задается четырьмя координатами - тремя пространственными и одной временной. Геометрические свойства в пространстве - времени Минковского определяются выражением для квадрата расстояния между двумя событиями
Геометрия пространства-времени Минковского позволяет наглядно интерпретировать кинематические эффекты общей теории относительности (изменение длин и скорости течения времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета в другую и т.д.) и лежит в основе современного математического аппарата теории относительности. Мы будем рассматривать случай произвольной сигнатуры и запишем линейный элемент плоского пространства в виде:
Векторное поле Яно и тензорное поле Яно-Киллинга в пространстве де Ситтера
Алгебра операторов симметрии первого порядка для уравнения Дирака задается операторами (15), (16) и (17). В случае плоского пространства она фигурирует во многих монографиях и учебниках. Как правило, ее получают прямым вычислением (см., например, [63, 69]). Построение этой алгебры с помощью полей на многообразии имеет определенные преимущества, поскольку мы извлекаем дополнительную информацию геометрического характера (поля (19), (20) определяют первые интегралы второго порядка для уравнений геодезических [70]). Мы приведем коммутаторы для операторов (78)-(81), (82). Помимо спинорных операторов, для уравнение Дирака в обоих пространствах существуют симметрии вида (15). Для их построений необходимы решения уравнений Киллинга, которые хорошо известны как в плоском пространстве, так и в пространстве де Ситтера. Общее колли-чество киллинговых симметрии в обоих случаях равно десяти (оба пространства являются пространством максимальной подвижности). Векторы Киллинга, необходимые для построения операторов (15), указаны в монографии [45, стр.72] как для плоского пространства, так и для пространства де Ситтера. Построение симметрии с помощью полей Киллинга в плоском пространстве и пространстве де Ситтера с помощью тетрад, указанных в данном параграфе для плоского пространства и пространства де Ситтера, привело к следующему результату: б из 10 операторов имеют одинаковый вид:
Подчеркнем, что эти операторы коммутируют как с оператором Дирака (77) в плоском пространстве, так и с оператором Дирака (84) в пространстве де Ситтера. Наша ближайшая цель состоит в изучении структуры алгебры операторов (78)-(81), (82) и (85)-(90). Чтобы отличить алгебру симметрии в плоском пространстве от алгебры симметрии в пространстве де Ситтера, мы первую из них обозначим символом Л , а вторую - символом Л$. Результат, который мы получили, можно записать равенством Ар = As- Причем равенство нужно понимать не просто как изоморфизм алгебр, а в смысле одинаковой реализации элементов этих алгебр. В тех случаях, когда у нас нет необходимости различать эти алгебры, мы будем пользоваться единым символом Л. Совпадение операторов симметрии для уравнения Дирака в разных пространствах можно объяснить удачным выбором тетрад. Разный выбор тетрад приведет к несовпадению этих операторов, однако в этом случае существует невырожденная матрица S, которая осуществляет эквивалентность типа S ApS = As. В этом смысле мы понимаем стандартную эквивалентность этих алгебр. Теперь приведем коммутационные соотношения: полную сводку произведений матриц Дирака для четырехмерного пространства можно найти в монографии [44].
Из приведенных соотношений видно, что рассмотренная нами алгебра Л (91)-(95) не является алгеброй в обычном смысле слова, а является так называемой квадратичной алгеброй [58]. Оба оператора Дирака (77) и (84) по отдельности принадлежат центру алгебры Л. Добавление к алгебре Л обоих операторов приводит к тому, что алгебра становится без центра. Это связано с тем, что операторы Дирака (77) и (84) не коммутируют, хотя и порождают оператор первого порядка.
Лемма 1 Для операторов Дирака в плоском пространстве (17) и в пространстве де Ситтера (84) существуют 11-мерные подалгебры операторов симметрии Ар и Кк, причем эти подалгебры стандартно эквивалентны, т.е. AF — AK,
Доказательство проводится прямым вычислением. Построенные операторы симметрии в плоском пространстве с тетрадой для метрики (76) и полями Яно и Япо-Киллинга (66),(61) имеют вид (18)-(82). Операторы симметрии в пространстве де Ситтера с тетрадой для метрики (83) и полем Яно }г = адгзх3/В2 и 4 полями Япо-Киллинга ftJ =
Выбор подалгебры и построение А- представления
В плоском пространстве спектр уравнения Дирака непрерывный - это хорошо известно. В пространстве анти де Ситтера на непрерывный спектр накладывается осцилляторная добавка, которая зависит от кривизны. В точке ветвления К = О получаем, как и должно быть, дважды вырожденный спектр для положительной энергии и дважды вырожденный спектр для отрицательной энергии. В пространстве анти де Ситтера энергия частицы отличается от энергии той же частицы в плоском пространстве на дискретную величину. Возможно уменьшение или увеличение энергии дискретными порциями. Образно говоря, если К ф О, то частица меняет энергию ступенчато, отдавая кванты энергии один за другим во внешнее пространство. Хотя возможен и другой сценарий. Изменение спектра может произойти, если меняется К (например, если кривизна является случайной величиной).
В какие формы переходит энергия частицы? Если частица заряженная, то мы можем ожидать радиационных переходов с излучением или поглощением фотонов. Минимальный квант энергии, который излучает или поглощает частица, имеет порядок где h - постоянная Планка, с - скорость света. Параметр имеет смысл характерной длины волны излучения.
Если частица нейтральная, то мы полагаем, что возможно излучение гравитонов. Основания в пользу такого предположения состоят в том, что энергия кванта (147) содержит параметр самого пространства. Отметим, что в плоском пространстве все эти процессы запрещены законом сохранения энергии и импульса, однако в искривленном пространстве эти процессы возможны.
Наши решения имеют хорошее поведение на бесконечности. При г — со асимптотика спинора (127) в случае спектра (145)-(146) для частицы (J2 0) и античастицы (j 2 0) имеет вид:
Очевидно, радиальный спинор квадратично интегрируем. Что касается матрицы угловой части Фпп(фі,ф2,фз ,\) из (123), то она имеет особые точки ветвления. Однако в случае одновременно целых или полуцелых значений параметров j\ и 22 особенности исчезают. Таким образом, параметр ji тоже является полуцелым: к = к + -, keZ при дополнительном условии к ф I Из (150) следует
Мы интерпретируем (151) следующим образом. Квантование движения частицы возможно только при квантовании кривизны пространства анти де Ситтера. Комбинируя формулы для J2, получим следующую формулу для спектра частицы в пространстве де Ситтера:
При К 0 параметр т становится комплексным и уравнение Дирака не имеет действительного спектра. Действительная часть т непрерывная, мнимая часть дискретная.
Все наши выводы имеют достаточно общий характер и не зависят от сигнатуры пространства.
Слагаемое с кривизной в формулах для спектра (145), (146) начинает играть сколько-нибудь заметную роль при значениях кривизны у/К 1/Л - ю12 т 1, в этом случае это слагаемое сравнимо с энергией покоя электрона. В реальных условиях кривизны нашего пространства очень малы даже в пределах микромира. На качественном уровне можно утверждать, что обсуждаемые эффекты проявляются в окрестности черных дыр, в белых карликах, нейтронных звездах (эти объекты создают сильное гравитационное поле с большой кривизной пространства , геометрия гравитационного поля которых хотя и далека от де Ситтеровской, но все же обладает сферической симметрией. В монографии [56] указывается на то, что могут существовать локальные области со сферической де Ситтеровой симметрией [56].
Одна модель асимптотически плоского пространства
Построенный базис решений уравнения Дирака в пространстве де Ситтера очень удобен при постановке граничных задач, где используется интервал г. В качестве одного приложения рассмотрим следующую модель асимптотически плоского пространства-времени. Зададим метрику следующим об разом:Мы интерпретируем метрику (154) как гравитационную яму. Аналогично можно рассмотреть гравитационный барьер. Используя наши результаты, можно построить решение уравнения Дирака в метрике (154).
В областях I и II оператор Дирака разный, однако алгебра симметрии для уравнения Дирака одинакова, операторы из этой алгебры суть (78)-(82), (85)-(90). В областях I и II решение уравнения Дирака имеет вид (123), причем угловая часть %т{Фіі Фь Фъ\ ) одинакова и ее можно не рассматривать. В области I радиальный спинор Fn32{r\K) имеет компоненты (130)-(133). В области II радиальный спинор Fnn{r) имеет компоненты (138)-(141). Сделаем сшивку радиальных спиноров в точке го
Одна модель асимптотически плоского пространства
На основе полученных результатов была проведена систематизация практически всех известных решений уравнения Дирака с внешними полями и найдены обширные классы новых точных решений и новых полей. Таким образом, нахождение новых внешних полей, или римановых пространств, на фоне выполненных исследований представляется в значительной мере исчерпанным. Поэтому приобретает интерес получение точных решений в данном уравнении методами, отличными от метода разделения переменных. Это особенно важно в таких разделах теоретической физики, как квантовая электродинамика и квантовая теория поля, при учете поправок ряда теории возмущений, где значение точных решений физических уравнений трудно переоценить.
В данной работе мы строим новый класс точных решений уравнения Дирака в 4-мерном пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры. В случае произвольного риманова пространства общая теория уравнения Дирака сформулирована в работах X. Тетрода [31], В.А. Фока [13] и X. Вейля [32], дальнейшее развитие теория получила в работах В.Н. Шаповалова [70], Б. Картера, Р.Ж. МакЛенагана и П.Х. Спин-дела [8],[25]. Определение уравнения Дирака в пространстве де Ситтера в рамках теории групп было дано К.Ц. Ханнабу-сом [17]. Нахождению решений уравнения Дирака в пространстве де Ситтера посвящено множество работ и монографий. В основном все они базируются на методе разделения переменных. В работе Г.В. Шишкина [29] методом разделения переменных построен класс точных решений уравнения Дирака в пространстве де Ситтера. В основе этой статьи лежит кри терий разделяемости переменных в уравнении Дирака для диагональных метрик, доказанный в работе [1]. Одно точное решение уравнения Дирака в связи с задачей о термоэмиссии спиновых частиц в пространстве де Ситтера построено в [26].
Наш подход принципиально отличается от метода разделения переменных. Мы используем теорию некоммутативного интегрирования, развитую в работе А.В. Шаповалова и И.В. Широкова [67]. В этом методе за основу берется некоммутативная алгебра симметрии. При некоторых дополнительных условиях на алгебру дифференциальное уравнение (систему) в частных производных можно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое, как правило, интегрируется в квадратурах. Интересно, что для уравнения Дирака в пространстве де Ситтера такие некоммутативные алгебры существуют и их довольно много, в то время как коммутативных алгебр, необходимых для разделения переменных, нет (а в плоском пространстве такие коммутативные алгебры существуют). Отсутствие коммутативных алгебр служит причиной того, что во многих работах по точным решениям уравнения Дирака в пространстве де Ситтера приводят только узкие классы решений. Без наличия полного коммутативного набора операторов симметрии невозможно построить полный базис решений с помощью метода разделения переменных. Это, конечно, не снижает роли частных решений, которые могут иметь важный физический смысл.
В процессе работы по нахождению решений уравнения Дирака мы установили, что в алгебре операторов симметрии первого порядка для уравнения Дирака существует одна специальная алгебраическая структура. Эта структура представляет собой ассоциативную алгебру, которая не является алгеброй Ли. В нашем случае коммутаторы операторов симмет рий выражаются через себя полиномиально, более точно k,l=l к=1
В литературе такие объекты называются ЇУ-алгебрами [16, 11]. Некоторая классификация W-алгебр дана в работе [2], полной классификации, по-видимому, не существует. Поскольку в правой части (1) стоит полином второго порядка, мы называем такую алгебру квадратичной. Рассмотренная нами -алгебра содержит линейные подалгебры Ли. Расширение нашей линейной алгебры до квадратичной в некотором смысле единственно. С помощью линейных подалгебр Ли нам удалось провести процедуру интегрирования уравнения Дирака в полном объеме и даже найти спектр массивной частицы. Для проведения процедуры интегрирования уравнения Дирака мы используем только один оператор из расширения. Остальные операторы из расширения непригодны, из-за наличия функциональных соотношений между ними. Интересно, что рассмотренная нами квадратичная алгебра является общей для уравнения Дирака как в плоском пространстве, так и в пространстве де Ситтера. Это приводит к тому, что можно построить решения уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера с общей переменной. В нашем случае эта переменная представляет собой обобщенный интервал в плоском пространстве. По-видимому, на это впервые обратил внимание
