Содержание к диссертации
Введение
1 Преобразование Дарбу одномерного стационарного уравнения Дирака 12
1.1 Оператор преобразования Дарбу 12
1.2 Условие самосопряженности преобразованного потенциала . 16
1.3 Взаимно-однозначное соответствие между пространствами решений 22
1.4 Факторизация полиномов дираковского гамильтониана . 26
1.5 Оператор преобразования Дарбу как оператор в гильбертовом пространстве 29
1.6 Скрытая квадратичная суперсимметрия уравнения Дирака . 35
2 Преобразование Дарбу для потенциалов частного вида 37
2.1 Псевдоскалярный потенциал 38
2.1.1 Преобразование Дарбу для псевдоскалярного потенциала 38
2.1.2 Соотношения между преобразованиями Дарбу уравнений Дирака и Шредингера 41
2.2 Скалярный потенциал 44
2.2.1 Преобразование Дарбу для скалярного потенциала . 44
2.2.2 Связь с преобразованиями Дарбу уравнения Шредин-гера 47
2.3 Примеры 48
2.3.1 Прозрачные потенциалы 48
2.3.2 Дираковский осциллятор 55
2.3.3 Скалярный кулоновский потенциал 57
2.4 Периодические потенциалы 60
2.4.1 Зонная структура релятивистского периодического потенциала 61
2.4.2 Построение периодического скалярного потенциала . 63
2.4.3 Периодический псевдоскалярный потенциал 66
Цепочки преобразований Дарбу 69
3.1 Обобщение формул Крума-Крейна 70
3.1.1 Оператор преобразования n-го порядка 71
3.1.2 Преобразованный потенциал 75
3.2 Другие формы записи результирующего действия цепочки преобразований 79
3.2.1 Замена операции дифференцирования умножением на собственное значение 80
3.2.2 Понижение порядка определителей 86
3.3 Полиномиальная супералгебра, связанная с цепочками преобразований 92
3.4 Цепочки преобразований Дарбу матричного уравнения Шре-дингера 94
3.4.1 Основная лемма 99
3.4.2 Преобразование векторов 102
3.4.3 Преобразование потенциала 106
Заключение 109
Литература 112
- Взаимно-однозначное соответствие между пространствами решений
- Оператор преобразования Дарбу как оператор в гильбертовом пространстве
- Зонная структура релятивистского периодического потенциала
- Замена операции дифференцирования умножением на собственное значение
Введение к работе
Точные решения основных уравнений квантовой механики, таких как уравнения Шредингсра, Клейна-Гордона, Дирака и т.д., играют важную роль в современной теоретической физике. Имеется немало примеров того, что на их основе удается достичь более глубокого понимания физической сущности рассматриваемой модели. Кроме того, в последнее время практикуется аппроксимировать потенциалы уравнения Шредингсра, не обладающие точными решениями, точно решаемыми потенциалами, что расширяет область применимости точно интегрируемых моделей (например, до применения в квантовой теории информации [1]). Особо необходимо отметить возможность применения точно решаемых потенциалов одномерных уравнений Шредингсра и Дирака для получения решений нелинейных уравнений (см., например, [2]). В связи с этим развитие методов получения точных решений указанных уравнений является актуальным.
В нерелятивистской квантовой механике в последние годы достигнут значительный прогресс в этом направлении. Открытие метода обратной задачи рассеяния [3, 4, 5] позволило значительно увеличить количество точно решаемых потенциалов уравнения Шредингера (см. например, [6] -[8]) и сделало возможным развитие качественной теории управления спек- трами нерелятивистских квантовых систем [9] - [11]. Хотя метод обратной задачи рассеяния развит также и для уравнения Дирака [12] - [18], в релятивистском случае подобный прогресс пока не наблюдается. Данная работа имеет свой основной целью частично ликвидировать этот пробел.
Эффективным методом конструирования уравнений, имеющих точное решение, является преобразование Дарбу. Впервые преобразования такого типа исследовались Имшенецким [19] и были систематически изучены Дарбу [20] - [22], после чего стали носить его имя. Впоследствии они многократно переоткрывались. Например, метод факторизации Шредингера [23]-[25], подробно исследованный в [2б]-[28], является иной формулировкой преобразования Дарбу (см. обсуждение в [29]). Суперсимметричная квантовая механика, предложенная Виттеном [30, 31], также связана с преобразованием Дарбу, так как операторы, сплетающие отдельные компоненты супергамильтониана, являются преобразованиями Дарбу исходного уравнения Шредингера [32]. Отметим также, что часть результатов, получаемых методом обратной задачи, можно воспроизвести с помощью преобразования Дарбу. В частности, в случае вырожденного ядра, когда решения уравнения Гельфанда - Левитана - Марченко [4, 5] можно получить в замкнутом виде, интегральные преобразования метода обратной задачи эквивалентны частному случаю обобщенных преобразований Дарбу [29, 33]. Таким образом, метод преобразования Дарбу дает в некотором смысле универсальный подход к построению точно решаемых моделей [32, 29].
Конструирование новых точно решаемых потенциалов уравнения Шредингера с помощью преобразования Дарбу рассматривалось неоднократно (см., например [34] - [36]). Кроме того, это преобразование имеет много- численные приложения к решению нелинейных уравнений математической физики [2, 37]. Применение метода преобразования Дарбу к нестационарному уравнению Шредингера и связанным с ним нелинейным уравнениям рассмотрено в работах [38, 39, 35].
Для уравнения Дирака наиболее распространенным методом генерации точно решаемых потенциалов является метод обратной задачи рассеяния [40] - [44]. Суперсимметрия уравнения Дирака рассматривалась в работах [45] - [49]. Отметим также цикл работ [50] - [52], в которых точные решения уравнения Дирака находятся с помощью точечных канонических преобразований.
Взаимно-однозначное соответствие между пространствами решений
Доказанные в [2] общие теоремы были использованы в работе [57] для изучения прозрачных потенциалов одномерного безмассового уравнения Дирака. В результате был получен потенциал нового типа, связанные состояния которого погружены в непрерывный спектр. В работе [58] с помощью аналогичного подхода рассматривалось преобразование Дарбу одномерного нестационарного уравнения Дирака с электромагнитным потенциалом.
Общим недостатком всех указанных выше работ является то, что в них рассматриваются потенциалы специального вида, а также не исследованы полностью свойства преобразования Дарбу, такие как условие эрмитовости преобразованного потенциала или соотношение между спектрами исходного и преобразованного гамильтонианов.
Данная диссертация посвящена систематическому исследованию преобразования Дарбу одномерного стационарного уравнения Дирака с самосопряженным потенциалом общего вида. В ней решаются следующие основные задачи: 1. обобщение метода операторов преобразования Дарбу на системы дифференциальных уравнений, такие как одномерная система Дирака и матричное уравнение Шредингера, включающее получение явных выражений для оператора преобразования и потенциалов преобразованных уравнений; 2. исследование основных свойств найденных преобразований, таких как условие эрмитовости преобразованного потенциала, соответствие между пространствами решений исходного и преобразованного уравнений, позволяющее проследить изменение спектра, свойство факторизации операторами преобразования некоторого полинома от оператора Дира-ка, анализ операторов преобразования, как операторов, действующих в гильбертовом пространстве; 3. изучение особенностей преобразования Дарбу для скалярного и псевдоскалярного потенциалов и связей между преобразованиями Дарбу уравнений Дирака и Шредингера; 4. исследование цепочек преобразований Дарбу первого порядка и их замыкания в одно преобразование более высокого порядка; 5. обобщение формул, полученных для системы Дирака, на цепочки преобразований Дарбу матричного уравнения Шредингера. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка лите ратуры. В первой главе из соотношения сплетения для двух дираковских гамильтонианов ho и hi выводятся формулы для матричного дифферен циального оператора преобразования первого порядка и потенциала преоб разованного уравнения. Показано, что оператор преобразования определя ется функцией преобразования, которая является матричной собственной функцией исходного гамильтониана ho. Затем находится условие эрмитово сти преобразованного потенциала и устанавливается взаимно-однозначное соответствие между пространствами решений исходного и преобразованно го уравнений Дирака. Доказывается, что оператор преобразования Дарбу Ф L и формально сопряженный ему оператор L+ факторизуют полиномы от гамильтонианов ho и h\. Далее оператор преобразования Дарбу рассматривается как оператор гильбертова пространства и обсуждаются вопросы сравнения спектров исходного и преобразованного гамильтонианов. В заключение находится квадратичная супералгебра, связанная с преобразованиями Дарбу уравнения Дирака. Результаты этой главы основаны на работах [59] - [61]. Во второй главе рассматривается преобразование Дарбу уравнений Дирака с псевдоскалярным и скалярным потенциалами. Эти частные случаи интересны тем, что уравнение Дирака с потенциалами такого типа может быть приведено к системе двух уравнений Шредингера, связанных между собой преобразованиями суперсимметрии. Найдены условия, при которых применение преобразования Дарбу к уравнению Дирака с псевдоскалярным или скалярным потенциалом дает потенциал того же типа, что и исходный. В этой же главе приведены примеры точно решаемых потенциалов уравнения Дирака, полученных с помощью преобразований Дарбу. В качестве исходных потенциалов рассматривались потенциалы свободной частицы и дираковского осциллятора, а также скалярный кулоновский потенциал. Кроме того, рассмотрен метод построения точно решаемых периодических потенциалов уравнения Дирака с помощью преобразования Дарбу и получено два таких потенциала. Материалы этой главы представлены в работах [61] - [66].
Третья глава посвящена изучению цепочек преобразований Дарбу уравнения Дирака. Вначале показано, что компоненты оператора iV-кратного преобразования Дарбу и потенциала, полученного в результате такого преобразования, могут быть выражены через детерминанты от элементов функций преобразования и решения исходного уравнения Дирака. Таким образом, получено релятивистское обобщение формул Крума-Крейна (см., например, [35]). Далее рассматривается ряд возможных представлений полученных выражений и производится сравнение с результатами других авторов, а также находится полиномиальная супералгебра, связанная с цепочками преобразований Дарбу. Наконец, рассматривается преобразование Дарбу для матричного уравнения Шредингера. Построены матричный оператор преобразования Дарбу и получено выражение для преобразованного потенциала; исследуются цепочки преобразований Дарбу и доказываются теоремы, обобщающие формулы Крума-Крейна на матричное уравнение Шредингера. Данные результаты представлены в работах [61, 67]. В заключении сформулированы основные результаты диссертации.
Оператор преобразования Дарбу как оператор в гильбертовом пространстве
Это выражение следует понимать в слабом смысле, то есть, оно эквивалентно равенству где ФП), п, т = О,1,... — некоторый ортонормированный базис в Н. В координатном представлении кет-векторам \ Е) соответствуют гладкие спи-норные функции фЕ. Следовательно, действие оператора L на них определено. Рассмотрим теперь следующее семейство спиноров где NE = (E—\i)(E—\2). Легко видеть, что эти спиноры являются элементами Н, если NE 0. Следовательно, они являются собственными функциями гамильтониана h\\ h\\$E) = Е\ФЕ). Более того, используя свойство факторизации (1.67), можем определить действие оператора L+ на спиноры \ФЕ)
Заметим, что правая часть равенства (1.72) есть ни что иное, как сумма двух интегралов по лебеговой мере на вещественной оси. Поэтому, если L действует на собственные функции ho, и L+ действует на собственные функции hi, то сопряженный оператор, формально определенный в начале раздела 2.3, совпадает с сопряженным оператором относительно скалярного произведения (1.72). Следовательно, для любых Лі Аг, таких что интервал (Лі, Аг) не содержит спектральных точек гамильтониана ho, имеем
Этот результат означает, что если Е Х\ или Е Аг таково, что Е Є spec(/io), то Е Є spec(/ii). Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Следовательно, чтобы найти весь спектр гамильтониана h\, нужно проанализировать величины Лі и Аг. Здесь могут иметь место несколько возможностей. Рассмотрим два вещественных числа ц\ и /2г, /ii / 2j таких, что промежуток (fii,fi2) не содержит точек спектра гамильтониана ho, например, интервал между положительной и отрицательной частями спектра. Тогда имеются следующие возможности.
Пусть fi2 является уровнем дискретного спектра ho- Тогда можем выбрать Аг = /i2, U2 = фц2 и /іі Аі Аг (a) Если, кроме того, существует линейная комбинация функций v\ кщ:ір = c\v\ + C2V1 (напомним, что v\ (щ) есть первый столбец матрицы v (v)), такая, что (р Є Н, то уровень Е = Ц2 — А2, принадлежащий спектру ho, не будет принадлежать спектру гамильтониана hi, но в спектре последнего появится новый дискретный уровень Е = Аь Все остальные точки спектра ho являются также и точками спектра h\. (b) Если последнее условие не выполнено, то спектр h\ будет совпадать со спектром ho за исключением одного уровня Е = /хг = Аг, который отсутствует в спектре Лі, но присутствует в спектре ho. II. Если оба числа Лі и Лг лежат внутри интервала (/х до): (ді Лі Лг /хг), то возможны следующие варианты: (a) Спектр h\ полностью совпадает со спектром ho. (b) В спектре hi порождается один дискретный уровень при Е = Лі. (c) В спектре hi порождается один дискретный уровень при Е = Лг (d) В спектре hi порождаются два новых дискретных уровня при Е = Лі и Е = Лг. Остальные точки спектров ho и hi совпадают. Так как функции Фя являются достаточно гладкими, то мы знаем действие оператора L не только на эти спиноры, но и на любую их линейную комбинацию вида Ф) = [ dp(E)C(E)\VE), (1.78) JR где С(Е) есть некоторая финитная функция на R, то есть, функция с компактным носителем. Множество спиноров вида (1.78) образуют линейное пространство, которое в дальнейшем будем обозначать через CQ. Заметим, что оно плотно в Н. Образ пространства Со под действием оператора L состоит из спиноров вида Ф = [ dp(E) NEC(E) \ФЕ), (1.79) JR Это новое множество будем обозначать через Сі. Так как оператор L+ является линейным оператором, то он определен для всех Ф) Є Сі. Более того, имеет место соотношение (ЬЩФ) = (ЩЬ+Ф), Ще Со, УФ)єі. (1.80) Тем не менее, это не означает, что оператор L+ является сопряженным к оператору L относительно скалярного произведения в Н. Чтобы найти такой оператор, нужно корректно задать его область определения. Эта задача в данной работе решаться не будет. Вместо этого будет построено замкнутое расширение L оператора L и найден сопряженный ему оператор L+ относительно скалярного произведения в Н. Предположим для простоты, что гамильтонианы ho и h\ изоспектральны (если это не так, то рассуждения будут аналогичными, хотя и несколько более сложными). В этом случае множество функций (1.75) образует новый базис в том же пространстве Я, и оператор
Зонная структура релятивистского периодического потенциала
В этом подразделе формулируется и доказывается лемма, которая используется затем для получения основных результатов данного раздела.
Пусть a - матрица размерности pxp, состоящая из элементов a{j, i,j = 1,..., р. Обозначим rrijk минор, окаймляющий а при помощи j-ft (j = 1,2) строки, составленной из элементов bjj, j = 1,2, і = 1,. ,.,р и к-то (р к р + п) столбца. Пусть также т% - минор, получаемый из rrijk заменой s-й строки, составленной из asj, (s р), на t-ю строку из элементов Ьц (t = 1,2). Пусть, наконец, ats получается из а той же заменой, т.е. заменой 5-й строки, составленной из asj, (s р), на 2-ю строку из элементов btj (4 = Доказательство. Рассмотрим вспомогательную квадратную матрицу
Здесь j, t = 1,2. Выделим в ней главный минор \а\. Имеется всего четыре минора окаймляющих \а\: rrijk и \а\ окаймляют его строкой б,; , і = 1,.. .р и предпоследним и последним столбцами соответственно и mtk и \а\ окаймляют его нижней строкой и теми же столбцами. Детерминант матрицы, составленной из этих миноров, согласно тождеству Сильвестра (3.20), равен: Теперь, переставив в матрице Ajt местами 5-ю и последнюю строки, получим новую матрицу Левый верхний блок этой матрицы размером р х р — это введенная выше матрица аи. Найдем миноры, окаймляющие этот блок. Очевидно, что тгА. и — mtk окаймляют его предпоследним столбцом и предпоследней и последней строками соответственно. Рассмотрим минор, окаймляющий ats предпоследний строкой и последним столбцом. Последний столбец этого минора содержит лишь два элемента, равных единице; остальные его элементы равны нулю. Разложив минор по элементам последнего столбца, с учетом соответствующих перестановок строк, получаем, что он равен \aia\ — aJ5. Последний окаймляющий минор, также может быть вычислен путем разло 101 жения по элементам последнего столбца. После соответствующей перестановки строк получаем, что он равен — \а\. Определитель матрицы, составленной из этих миноров, находим с помощью тождества Сильвестра: \Ajt\ \ats\ = mtk\at3\ - тік\а 8\ - \а\т%. (3.133) Поскольку \Ajt\ = -\Ajt\, то из (3.131) и (3.133) получаем (3.129). 3.4.2 Преобразование векторов Рассмотрим вопрос об iV-кратном преобразовании вектора Ч?Е. Имеет место следующая теорема Теорема 3.7. Результат действия цепочки из N преобразований па вектор Ф# есть вектор ФЕ = LN -0yE = (ip1E,..., ірпЕУ, (3.134) компоненты которого даются выражением № - Щ №) (ЗЛ35) где WJE{U\- .. MN, Е) определяется формулой (3.125), a W(U\,.. .,UN) — формулой (3.122). Доказательство. Доказательство будем проводить методом математической индукции. Поэтому рассмотрим сначала N = 1. В этом случае ФЕ = ЬМЪЕ = (д- (aWi)Wf х)Фя = ((pus, -.., РПЕ) . (3.136) Обозначим через Ац алгебраическое дополнение элемента Uj \ в матрице Ы\. Согласно определению обратной матрицы имеем \ Если разложить 1 ( , )1 по элементам последней строки и все определители, кроме того, который совпадает с \U\\, разложить по элементам последнего столбца, то получившееся выражение совпадет с числителем в формуле (3.138). Отсюда следует, что W Таким образом, для N — 1 утверждение теоремы доказано. Предположим теперь, что для {N—1)-кратного преобразования теорема верна, то есть выполняется равенство Теперь, согласно (3.116), требуется применить оператор первого порядка Z/jv«_(w-i) к вектору (3.141). Для этого нужно вычислить матрицу YJv = L(jv_i)4_o/jv (см- (3.117)).
Замена операции дифференцирования умножением на собственное значение
В настоящей диссертации получены следующие основные результаты. 1. Произведено обобщение метода операторов преобразования Дарбу на одномерное стационарное уравнение Дирака. Показано, что оператор преобразования и потенциал преобразованного уравнения определяются функцией преобразования и, которая является матричной собственной функцией исходного гамильтониана ho, соответствующей матричному собственному значению Л = diag(Ai, Л2). Установлено взаимно-однозначное соответствие между пространствами решений исходного и преобразованного уравнений Дирака, позволившее сделать вывод о том, что спектр преобразованного оператора может отличаться от спектра исходного не более, чем двумя уровнями. Показано, что оператор преобразования L и ему сопряженный Ь+ факторизуют квадратичную функцию от операторов Дирака ho и hi и обнаружена его скрытая квадратичная суперсимметрия. Оператор преобразования проанализирован, как оператор действующий в гильбертовом пространстве. Найдены квазиспектральные разложения для операторов L иЬ+. 2. Подробно исследованы важные частные случаи псевдоскалярного и скалярного потенциалов. Найдены условия, при которых преобразованный потенциал остается потенциалом того же типа, что и исходный. Показано, что в данном случае преобразование Дарбу индуцирует соответствующие преобразования систем уравнений Шредингера, к которым сводится система Дирака. 3. Приведены многочисленные примеры новых точно решаемых потенциалов уравнения Дирака, сгенерированные из потенциалов свободной частицы и дираковского осциллятора, а также из скалярного кулоновского потенциала. Ряд полученных потенциалов не имеет аналогов в мировой литературе. Предложено релятивистское обобщение метода конструирования точно решаемых периодических потенциалов. Подробно исследованы периодические скалярный и псевдоскалярный потенциалы. В частности, для них найдено простое выражение для функции Ляпунова через элементарные функции, и показано, что использование этих потенциалы для моделирования зонной структуры в релятивистском случае является не более сложным, чем в нерелятивистском. 4. Подробно изучены цепочки преобразований первого порядка и их замыкания в один оператор более высокого порядка. Получено релятивистское обобщение детерминантных формул Крума-Крейна, значительно облегчающее проведение конкретных расчетов. Установлены условия, при которых полученные выражения сводятся к опубликованным в литературе ранее. Установлено свойство факторизации операторами преобразования высоких порядков некоторого полинома от дираковских гамильтонианов, приводящее к скрытой полиномиальной суперсимметрии уравнения Дирака. 5. Рассмотрено преобразование Дарбу матричного уравнения Шредингера. Построен матричный оператор преобразования первого порядка и по 110 лучен преобразованный потенциал, которые, как и в случае уравнения Дирака, определяются матричной собственной функцией исходного гамильтониана. Изучены цепочки преобразований Дарбу и доказаны теоремы, обобщающие формулы Крума-Крейна также и на данный случай. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [59]-[65].
В заключение я считаю своим долгом выразить глубокую признательность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Б.Ф. Самсонову и доктору физико-математических наук, профессору В.Г. Багрову за полезные обсуждения и всестороннюю помощь в работе.
