Введение к работе
Актуальность тепы.Точные решения дифференциальных уравнений всегда играли и продолжают играть огромную роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов в различных областях естествознания, поэтому проблема интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений в замкнутом виде была и остается одной из наиболее актуальных задач теории дифференциальных уравнений. В последнее время потребности прикладных наук в точных решениях имеют тенденцию к возрастанию. Это объясняется рядом причин, из которых можно выделить следующие: широкое распространение задач моделирования многопараметрических процессов, необходимость оптимизации численных алгоритмов введением разрешимых промежуточных уравнений с целью повышения точности и снижения трудоемкости за счет структурной близости исходного и промежуточных уравнений, дальнейшее развитие симметрийных исследований, растущая актуальность обратных задач для дифференциальных уравнений, двойственность структурно близких дискретных и непрерывных описаний динамических процессов.
Немаловажным обстоятельством является также бурное развитие группового анализа дифференциальных уравнений с частными производными. При этом поиск решений специального вида с заданными свойствами нередко приводит к обыкновенным нелинейным дифференциальным уравнениям.
Для нахождения решений обыкновенных дифференциальных уравнений эффективным оказывается поиск и изучение свойств преобразований исследуемых дифференциальных уравнений. Обратная задача имеет бесчисленное множество решений: если известно разрешимое в конечном виде дифференциальное уравнение, то, применив к нему всевозможные преобразования, можно получить достаточно широкий класс также разрешимых уравнений. Однако получение первоначально исследуемого уравнения в качестве элемента полученного класса совершенно необязательно.
Группы преобразований широко используются в качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Это, например, ляпуновские группы преобразований, рассматриваемые в работах
Воскресенского Е.В. (Группы преобразований Ляпунова // Укр. мат. журнал. 1993, т.45, н 12; Ляпуновскио группы преобразования //Изв. вузов. Математика. 1994, т.7.; Группы преобразований Ляпунова // Укр.мат.журнал. 1993, т.45, м 12) и его учеников.
Многочисленные работы исследованию преобразования обыкновенных дифференциальных уравнения посвятил Беркович Л.М.(Метод точной линеаризации нелинейных автономных дифференциальных уравнений 2-го порядка //Прикл. мат. и мех, т.43, и 4, 1979; Факторизация и преобразования обыкновенных дифференциальных уравнений. Саратов, изд-во ун-та, 1989. 192 с.)
В настоящее время предложены новые дискретно-групповые методы исследования указанной проблемы. Формулировка основных целей и задач принадлежат Зайцеву В.Ф. Новое направление было отмечено на международном коллоквиуме по групповому анализу, посвященном юбилею Л.В.Овсянникова, что свидетельствует о его достаточном развитии и актуальности.
Цель раеоты. I) Проведение полного дискретно-группового анализа гипергеометрического уравнения Гаусса,
d и |- , du
хС1 - хЭ + с - Сэ + Ь + 13 - abu » О (I)
dx* L J dx
его частных случаев и обобщений, включающего доказательство теорем существования и построение дискретных трупп преобразований, допускаемых уравнениями класса (І), в результате чего получены новые интегрируемые случаи уравнений класса (I).
-
Разработка нового подхода к постановке и решению обратных дискретно-групповых задач.
-
Реализация нового подхода для уравнений типа Штурма-Лиувилля
-iL-tkCx^l-qCxiy + ХрСхЭу - О, (2)
решение обратной дискретно-групповой задачи для уравнений класса (2) и исследование свойств решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, полученных как уравнения сдвига спектра параметра.
В дальнейшем уравнения класса (2) рассматриваются в виде
y"+ RCX, хЭу - 0. (3)
Методика исследования. В работе используются методы дискретно-группового анализа, основанные на комплексном применении методов теории обыкновенных дифференциальных уравнения, спектральной теории , теории конечных групп и теории графов.
Научная новизна.I. Впервые предлагается и реализуется новый подход к решению задачи о нахождении множества значений параметра, входящего в дифференциальные уравнения класса (2) с помощью дискретных групп преобразования из некоторого фиксированного класса, действующих на множестве уравнения (2).
2. Впервые формулируется в общем виде обратная
дискретно-групповая задач и приводится ее решение для
уравнения класса (2) з некотором фиксированном классе преобра
зований .
-
При решении обратной дискретно-групповой задачи найдены достаточные условия для функций, входящих в уравнения класса (2), обеспечивающие сдвиг спектра на наперед заданную величину.
-
Предлагается новый подход к проблеме интегрирования некоторых классов нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, полученых .-сак уравнения сдвига спектра параметра уравнений класса (2).
-
Построены общие дискретные группы преобразований, допускаемые уравнениями класса (I), его частными случаями и обобщениями в классе преобразований Q+.
6. Описаны представления построенных дискретных групп
преобразований в виде графов дискретных решеток в пространст
вах параметров исследуемых уравнений, позволяющие построить
сетку разрешимых случаев уравнений рассматриваемого класса,
что существенно увеличивает множество разрешимых в конеч
ном виде даф^ерекцигльных уравнен/.?.
7. Получены новые интегрируемые случаи гкпергеометричвско-го уравнения Гаусса.
Практическая ценность. ДиССерТЭЦИОННаЯ работа НОСИТ
теоретический характер. Ее результаты могут быть применены к исследованию различных классов дифференциальных уравнений, содержащих существенный параметр и играющих важную роль как
в фундаментальных, так ив прикладных исследованиях (физика, астрономия, технические науки).
Апробация работы. Результаты исследований докладывались и обсуждались на семинаре по групповым методам математической физики (Москва, ВЗМИ, 1985), на семинаре кафедры математического анализа РГПУ им.А.И.Герцена (1985 - 1989 гт), на семинаре кафедры прикладной математики МГУ им.Н.П.Огарева под руководством профессора Воскресенского Е.В. (Саранск, 1994 -1995 гт), на международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, декабрь 1994), на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского университета (сентябрь 1995 года), на семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством профессора Волкодавова В.Ф. в Самарском государственном педагогическом университете и на семинаре по групповому анализу под руководством кандидата физико-математических наук Берковича Л.М. в Самарском государственном университете.
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 12 работах. Все результаты получены автором самостоятельно.
Структура и объел диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, общего списка литературы, включающего 47 наименования. Объем диссертации составляет юв страниц машинописного текста. Имеются 4 таблицы и приложение.
Похожие диссертации на Методы преобразований уравнений типа Гаусса и Штурма-Лиувилля
