Введение к работе
-t'^^i Актуальность темы. Преобразование Дарбу (ПД) является эффективным способом построения точных решений солитоносодержащих уравнений и учете взаимодействия точного решения '. с произвольным фоновым решением Сшумом) нелинейной системы.Эффективность ПД связанна с тем обстоятельством,что при нахождении новых решений нелинейной задачи требуется знать лишь частные решения линейных дифференциальных уравнений, содержащих заданое нелинейное в 'качестве условия их совместности друг с другом. Это позволяет,с одной стороны провести детальный учет всех свободных параметров построенного решения нелинейного уравнеия,а с другой конструировать новые нетривиальные решения,нахождение которых другими методами Снапример МОЗР) было бы достаточно сложней задачей.Например простое дополнение классического ПД операцией дифференцирования по вспомогательному спекральному позволило обнаружить новый' тип точных решений Спозитоны) в такой казалось бы хорошо изученой модели,как КдФП).
Итерирование ПД,оставляющего потенциал несингулярным,ограничивается добавлением или уничтожением нижнего уровня дискретного спектра квантозомэханического гамильтониана,или . не меняет его вовсе.Для последнего случая существуют два преобразования Дарбу построенные по линейно-независимым частным решениям исходного уравнения Шредикгера обладающих следующими свойствами: і Зоба решения всюду положительны;
иЗодно из решений при х-»+ш стремится к С +0(0,а при х-*-ш к нулю. Собственно CN+D-солитонное решение строится из N-солитонного добавлением к спектру нижнего уровня,с помощью линейной комбинации двух описанных решений,зависящих от вспомогательного' параметра-"времени" I, причем при t-»±co одно из решений в силу наложенных на него выше условий обращается в нуль,что приводит к К-солитонному решению с фазовым сдвигом. Аналогичное утверждение справедливо и для солитона проходящего через произвольный быстро убывающий фон,причем, в последнем случае фазовый сдвиг, представляет собой асимптотический, ряд коэффициенты которого являются интегралами движения фона: числа частиц,энергии и т. д.
Особенно эффективно ПД для многомерных задач и в силу чрезвычайной сложности последних,зачастую представляют собой единственный способ нахождения новых нетривиальных решений соответствующих нелинейных уравнений.Важный класс таких уравнений составляют модели с
--2-.-кубической нелинейностью возникающие.во множестве физических задач при учете простейшей .зависимости дисперсионного соотношения от амплитуды волны.При d=2 интегрируемую систему с кубической нелинейностью составляют уравнения Дэви-Стюартсока СДО,описывающие в рамках гидромеханики распространение квазиодномерных,квазимонохроматических волновых цугов малой амплитуды по поверхности безвихревой невязкой жидкости достаточно большой глубины с учетом поверхностного натяжения.При редукции к .d=l система ДС переходит в нелинейное уравнение Шредингера (НЮ.т.е. представляет собой двумерный интегрируемый аналог последнего.
Другой пример физически интересной системы в С2+1) -модель |р|4. играющая важную роль в электрослабых квантовополевых моделях и теории фазовых переходов. Несмотря на неинтегрируемость,соответствующие уравнения тесно связаны с НШ,в том смысле,что допускают некоторую автомодельную замену переменных,такую что в специально выбранном анзаце |р|4 переходит в НШ. Это позволяет использовать НШ в .качестве "поставщика" нетривиальных решений для |р|4. Изучению этих многомерных моделей и посвящена настоящая диссертация. Цель работы заключается в разработке адекватной математической техники,-пригодной для построения широких классов точных решений моделей ДС и |??!4 в С2+1).
Кроме того цель работы состоит в обобщении метода ПД на многомерные квантовомеханические гамильтонианы и изучении связи последних с суперсимметричной квантовой механикой.
Научная новизна. В диссертационной работе полученны следующие новые результаты:
-показано,что при d=l существует ровно четыре гамильтониана,для которых ПД не приводит к изменению формы потенциала. Полученные формулы применяются к вычислению точной одкопетлевой квантовой поправки к кинку <р4 с использованием метода дзета-функции,причем использований ПД позволяет не прибегать к хорошо известному асимптотическому представлению последней в виде ряда по степеням вспомогательного параметра;
-для произвольной размерности d найдено бинарное ПД,т. е. преобразование переходящее после редукции к d=l в одномерное ПД реализованое на двух линейно независимых решениях уравнения Шредингера; -предложен способ вывода интегрального ПД для d=2.Показано,что при
d=3 эти преобразования приводят к модельным системам,списывающим частицу во внешнем магнитном поле;
-обсуждается суперсимметричная связь между иерархиями солитоносо-держащих уравнений и предложен новый способ вычисления солитснного сдвига фаз без обращения к формулам Крама;
-показано,что уравнения Дэви-Стюартсона допускают линейное представление с помощью одномерного матричного уравнения Шредингера. Построены новые точные решения такие какмультидрсмионы, периодические решения ДС-1 и коллапсары ЛС-2;
-найдено ПД для дефокусирующего НШ и построен аналог,эксультона для этого уравнения;
-описано ПД для матричного НШ с изогруппой GL(n,C)xGL(m,C) и построено решение редукционных уравнений;
-описано наиболее общее линейное преобразование содержащее как частный случай подстановку Тайири и построены локализованные рациональные решения С2+1) |р|4 во внешнем поле со спонтанно нарушеной симметрией.Получены формулы нелинейной суперпозиции позволяющие "сталкивать" полученые лампы друг с другом. Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационной работы могут быть применены при исследовании конкретных физических процессов и явлений описываемых рассматриваемыми нелинейными уравнениями. Новые точные решения ДС и \р\А могут соответствовать интересным физическим эффектам. В частности лампы (2+1) Ы4 со спонтанно нарушеной симметрией представляют интерес с точки зрения общей теории фазовых переходов описызаемых двухкомпснентными полями с кубической нелинейностью.
Полученые во второй главе двумерные потенциалы не меняющие своего вида при ПД могут оказаться полезным! при построении конкретных моделей двумерной суперсимметричной и парасуперсимметричной квантовой механики. Материалы диссертации использовались при чтении лекций по теории солитоноз и квантовой механики в Калининградском, государственном университете.
Апробация работы.Основные результаты диссертационного исследования докладывались на Всесоюзной школе-семинаре "Нелинейные волны" г. Светлогорск,Калининградская область,Россия,1989;международной школе семинаре "Nonlinear Waves",г.Светлогорск,Россия,1991;международной конференции "NEEDS'91",r.Лєччо,Италия,1991 международной конферен-
тттжт» *,МиЧГПС»07"т. ТЬгЛтто D^/>/~tjo- 1GGP
-Публикация результатов диссертации. Основное содержание диссертационного исследования отражено в пяти статьях перечень которых прилагается .'В'-конце автореферата.
Объем и структура работы.диссертация состоит..из введения,трех .глав с автономной .нумерацией формул внутри параграфов.,заключения,двух приложений и списка использованной литературы. Общий объем диссертации 115 машинописных страниц,список использованной литературы содержит 72 наименования.
