Введение к работе
В диссертации развивается новое направление в конструировании точно решаемых моделей в нерелятивпстской квантовой механике, основанное на идеях, впервые высказанных Дарбу, Имшенецким, Дельсартом - метод операторов преобразования типа Дарбу применительно к уравнению Щредингера
Актуальность темы
Нерелятивистская квантовая механика является одной из важнейших моделей, построенных для описания явлений природы, а уравнение Шредингера по праву считается одним из фундаментальнейших достижений физики этого столетия. Его роль в построении современной физической картины мира невозможно переоценить. Именно поэтому задача отыскания точных или приближенных решений этого уравнения с заданным потенциалом весьма быстро трансформировалась в задачу отыскания и классификации потенциалов, допускающих точные решения. Наибольший прогресс в этой области связан с открытием метода обратной задачи квантовой теории рассеяния. Этот метод принципиально позволяет сконструировать потенциал с любыми наперед заданными свойствами, его определяющими, и развит к настоящему времени вплоть до качественной теории управления спектрами1. Однако, практически реализуемым до конца является случай вырожденного ядра интегрального оператора Гельфанда-Левитана-Марченко. Оказывается, что в этом случае тот же потенциал можно получить и при помощи более простого дифференциального оператора преобразования типа Дарбу.
Уравнение Шредингера является не только одним из основных уравнений квантовой механики. Его универсальность проявляется, в частности, в том, что это уравнение является одним из основных элементов при решении нелинейных эволюционных уравнений, возникающих в самых разных науках. Этим, в частности, и обусловлено активное развитие метода обратной задачи квантовой теории рассеяния, позволившее адаптировать его к решению нелинейных эволюционных уравнений. Операторы преобразования типа Дарбу оставляют инвариантным нулевое значение коэффициента отражения частицы, рассеиваемой на данном потенциале, и поэтому порождают цепочки безотражательных потенциалов, из которых конструируются солитонные решения нелинейных эволюционных уравнений.
Другим важным применением операторов преобразования типа Дарбу является
'Захарьев Б.Н. Уроки квантовой интуиции. ОИЯИ: Дубна, 1996.
их использование при конструировании суперзарядов и парасуперзарядов в суперсимметричной квантовой механике. Суперсимметричная квантовая механика была впервые введена Виттеном2 в качестве модели квантовой теории поля, иллюстрирующей проблему нарушения суперсимметрии на квантовом уровне. С тех пор она развилась в отдельную область, нашедшую применение в теории атомов, статистической механике, физике твердого тела, квантовой теории поля.
Таким образом, актуальность тематики данной работы не вызывает сомнений.
Цель работы
Цель диссертационной работы состоит в разработке методов конструирования на основе преобразования Дарбу точно решаемых моделей в квантовой механике и применению их к исследованию когерентных состояний.
Основные результаты и положения, выносимые на защиту
-
Разработан метод конструирования точно решаемых потенциалов нестационарного уравнения Шредингера, обобщающий метод преобразования Дарбу стационарного уравнения и названный "нестационарным преобразованием Дарбу". Проведено его систематическое изучение. Установлена его связь с известными методами, такими как метод факторизации и преобразование Дарбу нелинейных эволюционных уравнений и с интегральными методами, основанными на решении уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко.
-
Установлена суперсимметрия и парасуперсимметрия нестационарного уравнения Шредингера.
-
Произведено обобщение преобразования Дарбу на операторы высших порядков по производным и введено понятие полностью приводимой цепочки преобразований.
-
Построена суперсимметричная квантовомеханическая модель, проявляющая свойства, присущие как моделям с точной суперсимметрией, так и моделям
2Witten Е. Nucl. Phys. В. - 1981. V. 185. - Р. 513.
со спонтанно нарушенной суперсимметрией и описываемая квадратичной супералгеброй.
-
Для стационарного случая доказана геореліа о факторизации оператора преобразования Дарбу TV-го порядка операторами первого порядка.
-
Установлено, что для стационарного уравнения Шредннгера интегральные операторы преобразования, соответствующие решению уравнения Гельфан-да-Левитана-Марченко с вырожденным ядром, получается определенным предельным переходом из некоторой цепочки преобразований Дарбу.
-
Получены обширные классы новых стационарных и нестационарных точно решаемых потенциалов, выражающихся через элементарные функции, и решений уравнения Шредннгера для них. В частности, а) ангармонические регулярные и сингулярные в нуле потенциалы с зависящей от времени частотой; б) ангармонические сингулярные стационарные потенциалы с эквидистантным и квазиэквидистантным спектрами; в) кулоновоподобные стационарные потенциалы; г) изоспектралыше стационарные потенциалы типа Морса; д) ангармонические стационарные потенциалы с эквидистантным и квазиэквнднстантпым спектрами; е) сферически-симметричные потенциалы с заданным расположением уровней дискретного спектра.
-
Получено новое существенно более простое по сравнению с известными выражение для солитонных стационарных и нестационарных потенциалов.
-
Построен классический аналог преобразования Дарбу, отличающийся тем, что геометрическое квантование полученной классической системы приводит к голоморфному представлению квантовой системы, преобразованной по Дарбу. Установлено, что преобразованию Дарбу на классическом языке соответствует преобразование потенциала Кэлеровой метрики, при котором функция Гамильтона и кривизна исходного фазового пространства изменяются таким образом, что уравнения движения остаются неизменными.
-
Получены системы когерентных состояний для потенциалов ангармонического осциллятора с эквидистантным и квазиэквидистантным спектрами, сингулярных осцилляторных потенциалов с квазиэквидистантным спектром, солитонных стационарных и нестационарных потенциалов, ангармонических регулярных и сингулярных в нуле осцилляторов с переменной частотой.
-
Показано, что в качестве алгебры динамической симметрии одномерной квантовомеханической системы с квадратичным гамильтонианом может вы-
ступать супералгебра osp(2/2). Получены суперкогерентные состояния нерелятивистской свободной частицы и гармонического осциллятора.
12. В рамках суперсимметричной квантовой механики построены суперкогерентные состояния сингулярного осциллятора.
Научная новизна и личный вклад автора
Все перечисленные выше результаты являются новыми и получены лично автором
Апробация диссертации и публикации
Результаты работы докладывались на:
Международной конференции "Quantum Systems: New Trends and Methods", Минск, 1994;
Международных конференциях "Quantum Field Theory and Gravity", Томск, 1994, 1997;
Ill и V Всероссийских школах-ссылнарах "Секреты квантовой и математической интуиции", Дубна, 1994, 1997;
7 и 8 Международных ломоносовских конференциях "Problems of Fundamental Physics", Москва, 1995, 1997;
8 Международной конференции "Методы симметрии в физике", посвященной 80-летию со дня рождения профессора Я.А. Смородинского, Дубна, 1997;
Международной конференции "Геометризация физики III", Казань, 1997;
Семинаре лаборатории теоретической физики Объединенного института ядерных исследований, Дубна, 1997;
Семинаре лаборатории теоретической физики института математики СО РАН, Новосибирск, 1998;
Городских семинарах по теоретической физике в Томске.
По теме диссертации опубликовано 24 работы в отечественной и зарубежной научной периодике.
Структура и объем диссертации
