Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА Математическая структура двухжидкостной модели в теории сверхпроводимости 16
I. Проблема вырождения вакуума в модели Боголюбова - БКШ 16
2. Методы введения процедуры квазиусреднения 23
3. Двухжидкостная модель 29
ГЛАВА. Равновесные свойства в двухжидкостной модели сверхпроводника 34
I. Термодинамика двухжидкостных сверхпроводников в приближении Бардина 34
2. Учет кулоновского взаимодействия между электронами в гетерофазном сверхпроводнике 48
ГЛАВА Термодинамика двухжидкостной системы в приближении Тирринга 6U
I. Модельный гамильтониан и система уравнений в приближении Тирринга 60
2. Исследование системы уравнений 64
3. Условия устойчивости и реализации гетеро-фазных состояний 76
4. Поведение теплоемкости в гетерофазной системе 81
Заключение 83
- Методы введения процедуры квазиусреднения
- Двухжидкостная модель
- Учет кулоновского взаимодействия между электронами в гетерофазном сверхпроводнике
- Условия устойчивости и реализации гетеро-фазных состояний
Введение к работе
Явление сверхпроводимости представляет собой замечательный пример проявления квантовых эффектов в микроскопическом масштабе LIj. В сверхпроводящем веществе конечная доля электронов сконденсирована в "макромолекулу" ("сверхтекучую жидкость"), распространенную на весь объем системы и способную к движению как целое. Согласно современным представлениям [l» 2 J при нулевой температуре конденсация является полной и все электроны участвуют в формировании сверхпроводящей компоненты, хотя конденсация существенно влияет лишь на движение электронов, близких к поверхности Ферми. При увеличении температуры часть электронов "испаряется" из конденсата и образует слабо взаимодействующий газ возбуждений (или "нормальную жидкость"), который также распространяется на весь объем системы - нормальная и сверхпроводящая компоненты при этом проникают друг в друга [2 J , так как радиус корреляции в паре Купера много больше среднего расстояния между электронами. Когда температура приближается к критическому значению Тс , доля электронов, остающихся в сверхпроводящей компоненте, стремится (по предположению) к нулю, и система претерпевает фазовый переход второго ряда из сверхпроводящего состояния в нормальное.
Свойства сверхпроводников связаны с необычным спектром возбуждений сверхтекучей жидкости. Оказывается, что разумно считать, что сверхтекучая жидкость обладает "жесткостью" по отношению к возмущениям, стремящимся, подобно магнитному полю, привести систему в вихревое движение. На основе предположения о подобной жесткости Лондону |_3-5J в 1935 году удалось теоретически объяснить идеальный диамагнетизм сверхпроводников, а также отсутствие сопротивления постоянному электрическому току. На основе микро-
скопической теории сверхпроводимости можно пояснить подобное поведение сверхтекучей компоненты LI J В первом приближении сверхтекучая жидкость образована из электронных пар, связанных силами поляризации решетки [ б J. Эти пары сильно перекрываются в пространстве, и именно эта сильная корреляция между парами в дополнение к корреляции электронов внутри одной пары, приводит к упомянутой выше жесткости волновой функции сверхтекучей жидкости. В более общем плане эти корреляции ответственны за существование в спектре элементарных возбуждений сверхпроводника энергетической цели, чем объясняются, кроме поведения в электромагнитном поле, и многие другие свойства сверхпроводника. Такое приближение в микроскопической теории сверхпроводимости носит название приближения Боголюбова - БКШ {_ 7J. Явление сверхпроводимости было обнаружено Камерлинг Оннесом [ 8J в 191I году. Принимая во внимание физическую и математическую сложность проблемы, не удивительно, что сначала развивались феноменологические теории сверхпроводимости. Ф. Лондон j_3-5j для описания электромагнитных свойств сверхпроводников ввел параметр А , имеющий размерность длины, так называемую "глубину проникновения", а электрический ток раз-делил на две части: "нормальную" компоненту \.^ и "сверхпрово-дящую" компоненту Уп . Предполагалось, что сверхпроводящий ток і- удовлетворяет не закону Ома, а следующим уравнениям:
В теории Ф. Лондона, таким образом, вводится понятие об одновременном сосуществовании нормальной и сверхпроводящей компонент.
Для феноменологического объяснения термодинамических свойств сверхпроводника Гортер и Казимир, основываясь на двухжидкостной модели сверхпроводника, предложили в 1934 году свою двухжидкост-
— t —
ную модель [_9-IIj.
Все феноменологические двухжидкостные модели сверхпроводника базируются на следующих двух предположениях:
1. Система, обнаруживающая сверхпроводимость, обладает упо
рядоченным или конденсированным состоянием, полная энергия кото
рого характеризуется "дополнительным" параметром упорядочения.
Обычно принимается, что этот параметр изменяется от нуля при
Т" 1^ до единицы при Т"- О К и> таким образом, может характеризовать ту часть всей системы, которая оказывается в сверхпроводящем состоянии.
2. Полная энтропия системы определяется неупорядоченным по
ведением отдельных возбужденных неконденсированных электронов,
причем считается, что свойства их подобны свойствам эквивалент
ных электронов в нормальном состоянии. Кроме того, в двухжидкост-
ных моделях делается полезное с эвристической точки зрения пред
положение о том, что в сверхпроводящей фазе часть W электро
нов проводимости состоит из "сверхпроводящих" электронов, скон
денсированных в упорядоченное состояние, а оставшуюся часть i.-VC'
составляют нормальные электроны. Полезность этого разделения сра
зу же выявляется, если записать полную на единицу объема свобод
ную энергию системы, состоящей из VC' "сверхпроводящих" элек
тронов и 1-^ "нормальных" электронов:
где Qn^T) ) S ~0 - свободные энергии на единицу объема соответственно для "нормальных" и "сверхпроводящих" электронов,
обычно выбираемые в виде:
_ I —2.
Цк С О ~ ~ 2" ft ^ У-СОизіг - постоянная Зоммер-
Н?(Т) фельда)
%%^) ~~ ~" %ТГ ( Но - величина магнитного поля,
необходимая для перевода системы из сверхпроводящего состояния
в нормальное). Необходимо отметить мультипликативную зависимость полной свободной энергии от концентрации W , что представляется весьма сильным предположением.
Вид функций Ofl-VcJ и SCWJ выбирается из условия совпадения с экспериментальными данными.
Гортер и Казимир приняли
Сравнение с экспериментальными данными позволяет сделать вывод, что модель Гортера-Казимира в лучшем случае пригодна лишь при качественном анализе [_I2J Однако в этих ограниченных рамках концепция двух взаимопроникающих "жидкостей" - "конденсированных" и "неконденсированных" электронов - весьма полезна для качественного понимания могих эффектов сверхпроводимости. Более того, был предпринят ряд попыток ][l3-I5j усовершенствовать количественную сторону модели Гортера-Казимира с целью получения более точных формул для различных физических величин. Для этого либо менялась функциональная зависимость CL(\,"y^/L) и v(Wy , либо вводились дополнительные варьируемые параметры. При этом считается, что число возбужденных электронов зависит от температуры и от параметра упорядочения. Упорядочение необходимо для того, чтобы дать переход второго ряда, в результате энергия конден-
сации изменяется от макисмального значения при 1=0 К Д НУЛЯ при температуре перехода.
Выбор параметра упорядочения в некоторой степени произволен. Маркус, Максвелл и другие (_I3J используют параметр U> , изменяющийся от единицы при Т~ О К до нуля при "Г—"П. » причем энергия конденсации относительно нормального металла равна --Av<> > гДе # - параметр, характеризующий металл:
f> = VMHcy%ll , Где
к0|.
Но - критическое поле при [-0 К ; \/ - молярный объем. Свободная энергия Гельмгольца нормальной фазы может быть записана в виде
Fh = (KoJ-f^ + FJT),
где у I - электронная теплоемкость и ' lC U - вклад от колебаний решетки. При переходе к сверхпроводящей фазе предполагается, что любое изменение U(o) + FL(T) учитывается членом -—ft\Ks и что -J- ^Т умножается на К (У) , так что
Ft =U(0)-py*-jT2. K(*J+FL(T).
Множитель так же, как и \Л^ , может зависеть от температуры Т" В частности, для модели Гортера-Казимира К(ус^) выбран в виде
Выбор '$ и ',уь. в выше приведенном виде оправдывается следующими соображениями. Если сверхпроводимость возникает в результате взаимодействия электронов с решеткой, то энергия конденсации может явиться следствием нулевой энергии осциляторов. Если необходимые для взаимодействия длины волн столь коротки, что соответствующие колебания при низких температурах не возбуждаются (последнее и имеет место на самом деле), то зависящие от температуры члены Гц (Т) не будут изменяться при переходе от сверхпроводящей фазы к нормальной фазе.
Функция К(ЧРу удовлетворяет следующим предельным случаям (при этом в различных теориях используются различные выражения для K(VG"JJ. Согласно экспериментам [_2J , К №j должно стремиться к нулю при \Сг~+ (что соответствует самым низким температурам) и для обеспечения перехода П рада оно должно стремиться к единице при V^-^O , что соответствует Т~= !с . Как уже
указывалось выше, Гортер и Казимир получили наилучшее согласие с экспериментом, серя км в виде (1-\&) , где о(~^ , которое приводит к изменению теплоемкости с температурой по закону Т и к параболической кривой зависимости критического магнитного поля от температуры. Маркус и Максвелл нашли l3] , что меньшие значения оі лучше описывают кривую зависимости критического поля для некоторых элементов, так что параметр о( , по-видимому, следует подоирать эмпирически.
Коппе [I4J предложил специальную форму двухжидкостной модели, базирующуюся на теории Гейзенберга. При этом теория Коппе не связана с взаимодействием, которое обуславливает конденсацию, и может иметь большую область применения. Выражение Коппе для К6&)весьма сложно, хотя и основано на довольно простой идее. Предполагается, что конденсация происходит в импульсном пространстве и охватывает долю \Л^ поверхности Ферми. Состояния над частью поверхности Ферми, охваченной конденсацией, используются для построения волновых функций конденсированного состояния и не могут образовывать возбужденные состояния индивидуальных электронов. Поэтому предполагается, что плотность свободных состояний над поверхностью Ферми уменьшается на множитель j[-VC^ , в то время как плотность состояний ниже границы Ферми остается неизменной. Последнее утверждение представляется необоснованным, поскольку следует ожидать, что состояния над поверхностью Ферми, так и под ней должны были бы использоваться для построения конденсированного состояния, а следовательно, плотности состояний должны были бы уменьшиться в обеих областях. Рассчитанная Коппе зависимость близка к соответствующей функции Гортера-Казимира. Однако при VC'*-* 1. зависимости Коппе и Гортера-Казимира имеют различные ассимптотики. Теория Коппе отличается, в частности, от теории Гортера-Казимира тем, что из нее вытекает экспоненциальная
— и —
зависимость теплоемкости от температуры при і"* О , как это следует ожидать для теории с энергетической щелью |_6j » отделяющей возбужденные состояния. При этом отметим, что теория Коппе дает зависимость теплопроводности от температуры в очень хорошем согласии с экспериментальными значениями для металлов, в которых свободный пробег электронов ограничен рассеянием на примесях.
В связи с моделью, постулирующей существование энергетической щели, рассмотрим двухжидкостную модель, предложенную Гинс-бургом Г15J . Здесь предполагается, что энергия сверхпроводящей фазы может быть записана в виде:
где Jfs и выбраны так, чтобы при Т-1С получался фазовый переход второго рода.
Отметим, что /о в выражении для /""« не умножается на множитель v , обращающийся в нуль при Т~Т1 . Несмотря на то, что кривая для критического поля, полученная в данной модели
f^-^fl if-±,*f'-T«TJ|
хорошо совпадает с почти параболической кривой для ртути, если б"-«2,75" , специальный выбор параметров с целью получить фазовый переход П рода представляется искусственным.
Вообще говоря, существуют различные пути для разработки более удовлетворительной теории, основывающейся на модели с энергетической щелью. Было бы желательно ввести параметр упорядочения обычным для феноменологических двухжидкостных теорий способом. Однако другая возможность состоит в том, чтобы в качестве параметра упорядочения использовать ширину энергетической щели б] . Например, теория Гортера-Казимира в своих выводах об изменении глубины проникновения магнитного поля с изменением температуры
лучше всего оправдывается при высоких температурах, близких к Т^ . Возможно, что правильная теория соответствовала бы модели Гортера-Казимира при высоких температурах ( Т^>0,5 'с) и модели с энергетической щелью при низких температурах ( Т<0,5 1с ).
Для полноты описания феноменологических теорий сравним результаты модели Гортера-Казимира с результатами модели Ф. Лондона. Скомбинировав результат l-vO- /-rr-J модели Гортера-Кази-
'с
мира (где w- \(T)/h* ) для зависящей от температуры плотности сверхтекучей жидкости с выражением Лондона для глубины проникновения
находим
\(0)
/
Эта температурная зависимость удивительно близка к наблюдаемой экспериментально.
Таким образом, при обсуждении теории сверхпроводимости всегда полезно помнить LI6J:
а) феноменологическая теория Лондона совместно с двухжид-
костной моделью Гортера-Казимира удовлетворительно описывает
свойства сверхпроводников;
б) сверхпроводящее состояние представляет собой самостоя
тельную термодинамическую фазу, и поэтому при изучении перехо
да между нормальной и сверхпроводящей фазами можно использовать
обычные термодинамические формулы;
в) имеется большой экспериментальный материал, свидетельст
вующий о наличии "энергетической щели", которая разделяет основ
ное состояние и все одночастичные возбуждения. Теоретическое
представление о такой "щели" может быть получено лишь на основе
микроскопических представлений.
Микроскопическая теория сверхпроводимости развивается исходя из представления, что динамическая система определяется гамильтонианом Фрёлиха, в котором учитывается кинетическая энергия свободных электронов, энергия свободных фононов и энергия электронно-фононного взаимодействия [_ 17-23Д :
«А Ъ (8.1)
Hint 'іИ (j$})A4^3К+«*Ъ С*'-***)
где t(Kj - энергия электрона; UOjJ- энергия фонона; Q, - константа связи; V - объем; СЬК ;^ks ~ операторы рождения и уничтожения электрона с импульсом К и спином S ; %а $* ~ операторы рождения и уничтожения фонона с импульсом (L .
Как теперь хорошо известно, обычная теория возмущений по степеням константы связи неприменима, так как электронно-фононное взаимодействия, несмотря на свою малость, оказывается весьма существенным вблизи поверхности Ферми.
Используя преобразование [_24J
где vo - ренормированный оператор уничтожения фонона С импульсом а. , восходящее к работе Боголюбова по теории бозе-кон-денсации |_25Д , можно показать, что сверхпроводящие свойства динамической системы, характеризуемые гамильтонианом (В.І), могут быть достаточно точно описаны модельным гамильтонианом Боголюбова - БКШ, вид которого был предложен Бардиным, Купером, Шриффером [2б] и независимо Н.Н. Боголюбовым ]_23, 27, 28J :
где 4 = {KG) -4- = (-К~($) (Г - спиновый индекс, принимающий зна-чения + — и - — , К - импульс, TjB К. ._// , /f - химический
потенциал, (A/J^ (#/) - операторы рождения (уничтожения) электрона с импульсом К и спином (Г , ^(i{iJ - действительная функция, обладающая свойствами
Исследование модельной системы (В.2) в случае факторизуемо-го взаимодействия
%(фзХ(*П(4') , где
где Л - некоторая постоянная величина, - можно строго провести при нуле температуры и построить [29] в термодинамическом пределе энергию основного состояния, функции Грина и корреляционные функции, характеризующие динамическое поведение системы; при этом предполагается, что функция л(%) удовлетворяет некоторым достаточным условиям 29-30J , мало ограничивающим динамическую систему (В.2).
Существенный интерес представляет изучение аналогичной проблемы при люоых температурах, т.е.
В этом случае, однако, даже простейшее обобщение методики исследования системы при Q=0 оказывается невозможным.
Для исследования этой проблемы Н.Н. Боголюбовым (мл.) был развит мощный метод - метод аппроксимирующего гамильтониана, позволяющий решать ряд важных модельных задач статистической механики _3I-32J . На основе метода аппроксимирующего гамильтониана подробно изучалась обобщенная модельная система (с притяжением вблизи поверхности Ферми) [ЗЗД і частным случаем которой является система, характеризуемая модельным гамильтонианом Боголюбова - БКШ (В.2)
Обобщенная система характеризуется гамильтонианом
т -г +
Эта система переходит в оОычную модельную систему Боголюбова - БКШ с факторизуемым взаимодействием, если в качестве операторов Т~ с^ взять квадратичные формы из ферми-операторов
Для рассмотрения модельной задачи (В.З) строится аппроксимирующий гамильтониан
Входящие сюда комплексные постоянные G , (^L^ol^K) определяются из условия абсолютного минимума свободной энергии
4(ь, cM>-JL^sP
в области комплексных величин ( Q,.... C-ц).
На основе результатов работ ]_31—33J был разработан способ, с помощью которого при достаточно общих условиях, накладываемых на операторы I и J , удается найти для разности свободных энергий на единицу объема
мажорационную оценку. Из этой оценки следовало, что рассматриваемая разность стремится к нулю при \{-> <=*=> . Найденные результаты были справедливы как в случае ЄУО , так и в случае 0= Q При этом для модельных систем (В.З) можно построить и найти выражение для свободной энергии в термодинамическом пределе, используемое при рассмотрении фазовых переходов.
Следует отметить, что способ исследования модельных гамильтонианов с помощью метода аппроксимирующего гамильтониана Н.Н.Боголюбова (мл.) позволяет математически строго рассматривать ряд других важных проблем, таких как явление ферромагнетизма [_34-35_[,
— xo —
сегнетоэлектрические явления |_ 36J , модельные задачи, учитывающие взаимодействие с бозонными полями j^37-40J , явление сверхпроводимости L 41, 42J . При этом в соответствующих микроскопических теориях при температурах ниже точки фазового перехода с необходимостью предполагалось, что все частицы, находящиеся в упорядоченной фазе: сверхпроводящее состояние оказывается однородным в фазовом смысле, т.е. совершенно лишенным макроскопических зародышей нормальной компоненты.
Однако подобное предположение является, вообще говоря, необоснованным с феноменологической точки зрения, так как реальные системы имеют свойства, присущие разным фазам - упорядоченной и неупорядоченной - при любых температурах, что особенно отчетливо проявляется в окрестности точек фазового перехода I 43, 44J .
Экспериментально взаимное проникновение нормального и сверхпроводящего фазовых состояний наблюдается в сверхпроводниках второго рода [45J и некоторых сверхпроводниках первого рода [46-47} В этом отношении весьма перспективной представляется методика, основанная на непосредственном исследовании изменений в пространственном распределении электронной плотности при изменении фазового состояния Г 48 J .
Основываясь на концепции квазисредних Н.Н. Боголюбова [49J, В.И. Юкалов предложил микроскопический двухжидкостный подход для описания сосуществования различных фаз [50J . При этом, помимо квазиусреднения, необходимо воспользоваться также условием равновесия между компонентами и предположением о равномерном перемешивании в системе при с~* ^=^ , где ~Ь - время наблюдения [50-51
Рассмотрим равновесную гетерофазную (двухжидкостную) систему в какой-либо момент времени ~t . Такая система будет состоять из ряда макроскопических областей, относящихся к нормальной и сверхпроводящей фазовым компонентам и занимающим совокупные объ-
емы V^, и V^ (\/и + Vз — VJ Величина каждого из фазовых объемов V^(^-S,^J определяется условием локального равновесия в системе, однако число областей, составляющих V^ и их взаимное расположение может меняться со временем. Чтобы избавиться от такой зависимости, необходимо провести усреднение по промежутку времени ЛІ и перейти к пределу Л~Ь -^ ,:::^=> , что соответствует равновесному статистическому описанию. В указанном пределе в макроскопической системе, по-видимому, должно произойти равномерное перемешивание. В этой связи отметим, что принципиальная связь, существующая между свойством макроскопичности и эргодичес-ким поведением статистических систем, обсуждалась в работе Боголюбова Н.Н. \_Ь2] .
При 40^-=^ электрон, относящийся к С -фазе, может находиться в любой точке внутри полного объема системы V с вероятностью \Х^ , определяемой соотношением
— \х>
где /vі - число частиц в 6 -фазе.,- и характеризоваться [5I-53J ренормированными операторами рождения и уничтожения
где Qj} Pfi - операторы рождения и уничтожения электрона с обычными перестановочными соотношениями Ферми. Полученные таким образом гамильтонианы для упорядоченной и неупорядоченной фаз будут характеризовать сосуществование и взаимное проникновение обеих фаз друг в друга, и такое сосуществование и проникновение учитывается на микроскопическом уровне [_53.1»
Предложенный подход расширил представление о поведении кристаллических веществ [50, 51, 53, 54J , ферромагнетиков [55-56J и развивается в работах |_57-60j , посвященных исследованию сверх-
проводящих свойств вещества.
Систематические основы метода учета взаимного проникновения упорядоченной и неупорядоченной фаз друг в друга для широкого класса модельных систем были изложены А.С. Шумовским и В.И. Юка-ловым на П международном симпозиуме по проблемам статистической механики [55] .
Целью диссертационной работы является последовательное с микроскопической точки зрения исследование двухжидкостной модели Боголюбова - БКШ с гетерофазными флуктуациями на основе концепции квазисредних с использованием квазиспинового представления модельного гамильтониана Боголюбова - БКШ.
В первой главе диссертации рассматривается математическая структура двухжидкостной модели сверхпроводника с гетерофазными флуктуациями. На основе процедуры квазиусреднения Н.Н. Боголюбова учитывается вырождение вакуума при построении и формулировке двухжидкостной модели сверхпроводника.
Равновесные свойства двухжидкостной модели в приближении Бардина рассмотрены во второй главе. Выявлена стабилизирующая роль кулоновского взаимодействия между электронами в гетерофаз-ной системе.
Третья глава посвящена исследованию двухжидкостной модели сверхпроводника с гетерофазными флуктуациями в приближении Тир-ринга. Сформулированы условия устойчивости и реализации гетеро-фазных состояний. Исследовано поведение теплоемкости.
В заключении дана краткая формулировка результатов исследования двухжидкостной модели сверхпроводника с гетерофазными флуктуациями в приближении Бардина и Тирринга при учете кулоновского взаимодействия между электронами.
- JLO -
Методы введения процедуры квазиусреднения
Модель была предложена в 1957 году Бардиным, Купером и Шри ь фером 26j и независимо Н.Н. Боголюбовым [28] . Математические свойства модели впервые были отмечены Боголюбовым Н.Н. j_6IJ и развиты Хаагом P. [_62j. Последовавшие за публикацией статей Н.Н. Боголюбова и Хаага Р. многочисленные работы других авторов [42, 63-65] , показывают, что выводы, к которым пришли Боголюбов Н.Н. и Хааг Р. в своих работах, оказались в основном правильными и, в частности, стимулирующими рассмотрение проблемы вырождения вакуума в модели Боголюбова - БКШ на основе математической структуры модели в термодинамическом пределе ( V- « " — u Ktt ). Модель Боголюбова - БКШ - нерелятивистская и характеризуется гамильтонианом, в котором оставлено взаимодействие частиц лишь с противоположно направленными импульсами и спинами J_49 : Н =Z. + f 4 -j r r Hin(t )«} a-fV (ІЛ) где J. - f p 5) d (-p1 -Q ) 5—- — - значения спина электрона, p - вектор импульса электрона; ?/ ?./ - операторы рождения и уничтожения электрона с импульсом р и спином S - являются операторами в представлении вторичного квантования.
При фиксировании объема V - L проекции импульса принимают значения: Лїї $Т/ $її /т лч FS h = "V Ь -" ; (1-2) где уіу Ни. - целые числа. Для ± и У Ц) имеем со отношения: 8J = р/okn f( /о - химический потенциал. \W\- л (I-3) где Л - некоторая постоянная величина (справедливо соотношение: А Ъ wo — средней энергии тепловых колебаний решетки). Для специального класса собственных функций Ф , удовлетворяющих условию 29J (a,fa- x.f L4)i = 0 (1.4) гамильтониан (I.I) может быть записан в виде: Н=л jZ є, ф, - %-z Z. ф? і {І-5) где операторы - , // называются амплитудами Паули и удовлетворяют перестановочным соотношениям:
Возможность представления гамильтониана (I.I) в виде (1.5) с использованием амплитуд Паули была указана Н.Н. Боголюбовым в раоотах [23, 27] . Развитие других микроскопических теорий Jj34-40] показало несомненную эффективность исследования свойств систем с использованием амплитуд Паули, позволяющим достаточно просто переходить к исследованию модельных систем, представленных в квазиспиновом виде.
Известно [33J , что системы, определяемые гамильтонианом (1.5) и его аппроксимирующим f/. , являются термодинамически эквивалентными в термодинамическом пределе. С целью использования результатов работы [42] запишем гамильтониан (1.5) и его аппроксимирующий /-/ в квазиспином виде: Н = Т s±(i-sfy ZZ cj-6-Д « где сг+ = I - А фЬ GJ". tf 5-f+ - io Wo-g (І-Ф- Ч І-) VC, (1.8) где С - комплексная величина, характеризующая термодинамические свойства модельной системы, - определяется из условия абсолютного минимума свободной энергии г во всей комплексной плоскости величины С 1.3 Так как гамильтониан (1.8) легко диашолизуется, то непо средственное вычисление свободной энергии модельной системы по формуле _ и , вместе с условием минимума данной свободной энергии дает для ве личины С самосогласованное уравнение для определения С как функции температуры Q [33J : где суммирование ведется по узкому слою Д0о вблизи поверхности Ферми. (Очевидно, что существуют отличные от нуля решения этого уравнения). Легко видеть, что гамильтониан (1.7) является инвариантным по отношению к вращениям квазиспинов в плоскости (Х, ) - т.е. инвариантным по отношению к преобразователям группы U (f): G"/ - /= - tf K f ш f Калибровочный параметр tP {О ЛН ) непрерывным образом "нумерует" вакуумные состояния системы с исходным гамильтонианом [62].
Следствием такой инвариантности является тождественное равенство нулю величины энергетической щели С в термодинамическом пределе (\J- - , л/- -=tOn4t). Однако гамильтониан (1.8) неинвариантен по отношению к преобразованиям группы LL (1)(поэтому величина С , вообще говоря, не равна нулю). Следовательно, необходимо нарушить инвариантность гамильтониана (1.7) с тем, чтобы в термодинамическом пределе гамильтонианы (1.7) и (1.8) описывали эквивалентные в термодинамическом смысле модельные системы.
С этой целью, учитывая конечное число частиц в системе (в случае, когда термодинамический предельный переход еще не произведен) а также условие сильного спаривания ( р = =сонлЪ- )у проведем диагонализацию гамильтониана (1.8) и получим гамильтониан
Двухжидкостная модель
Нетривиальное решение уравнения (1.25) относительно Ч как функции температуры, характеризуя термодинамические свойства сис темы в сверхпроводящем состоянии, изменяется от максимального зна чения при до минимального значения при . пока зывая, что "степень сверхпроводимости" системы уменьшается с уве личением температуры и при Q 0С происходит фазовый переход П рбда из сверхпроводящего состояния в нормальное состояние. Однако подобное поведение параметра порядка С J существенно зави сит от предположения, что вся система при температурах @ ?&с на ходится в сверхпроводящем состоянии б] , а такое предположение является, вообще говоря, необоснованным [,54] . Правильнее считать, что при Q CQC в системе, характеризуемой гамильтонианом Боголю бова - БКШ, сосуществуют и взаимно проникают друг в друга две фа зы - сверхпроводящая и нормальная.
Поэтому будем характеризовать такую систему формальным гамильтонианом Н для сверхпроводящей фазы и формальным гамильтонианом п для нормальной фазы, а полную систему, состоящую из двух сосуществующих и взаимно проникающих друг в друга фаз, будем характеризовать гамильтонианом (Ч , являющимся прямой суммой гамильтонианов Н„ и Н : ии-rV/j \г 0щ гм, (i26) f lf где zZ и 27 означает суммирование по импульсам и спинам 4- 4 "сверхпроводящих" электронов и "нормальных" электронов соответственно, а взаимное проникновение фаз друг в друга с необходимостью предполагает существование каждой из них во всем объеме V , предоставленном системе. - OX При этом сверхпроводящая и нормальная подсистемы рассматриваются как находящиеся в тепловом равновесии термодинамические фазы, что влечет равенство химических потенциалов М и М сверхпроводящей и нормальной фаз соответственно:
В соответствии с I главы I гамильтониан п определим на пространстве хг/ = Л? , на котором реализуется прямой интеграл примарных представлений для инвариантного по отношению к градиентным преобразованиям I рода гамильтониана И . Соответственно на пространстве $-( гл = $$- — Hj - оператор проектирования на пространство J2a - определим неинвариантный гамильтониан, характеризующий сверхпроводящую фазу, а на пространстве W \ W и { » на котором в силу несепарабельности пространства Ц)у1 и сепарабельности пространства ОН] Л реализуется прямой интеграл примарных представлений гамильтониана Боголюбова - БКШ, определим гамильтониан Hi , характеризующий нормальную фазу.
Итак, имеем следующую структуру пространства состояний для цвухжидкостной модели сверхпроводника: где Ру - оператор проектирования на пространство J? . И, на S Ч!— II конец, заметим, что суммы в выражениях (1.26) — и 2— можно г л Ї 4 записать следующим образом L55J : f ъ ) J- , где Ь и V - фазовые концентрации сверхпроводящей и нормальной фаз соответственно, при этом по определению где М$ // - числа "сверхпроводящих" электронов и "нормальных" электронов.
Таким образом, приходим к формулировке модельной системы Боголюбова - БКШ с учетом сосуществования и взаимного проникновения сверхпроводящей и нормальной фаз при температурах, меньших критической.
Модельная система характеризуется гамильтонианом ty = w«?V/ »"i Щ . - Щ4 ) 4І tyfyi ty», (1.27) где индексы 2 и Vu указывают сверхпроводящую или нормальную фазу, - определенном на пространстве состояний SL фазы находятся в тепловом равновесии ( М- JUg А ), и исследование двухжидкостной системы можно проводить, используя обычные приемы равновесной статистической механики (имеется равновесие между конкурирующими фазами). Свойства микроскопической двухжидкостной модели сверхпроводника в некоторых случаях удобно исследовать на основе модельного гамильтониана микроскопической двухжидкостной модели сверхпроводника, в котором явно указана спиновая зависимость операторов рождения и уничтожения: где \А? - фазовая концентрация сверхпроводящей фазы, - фазовая концентрация нормальной фазы, С - (К ) ( i(Ht)) - операторы рож-дения (уничтожения) электрона с импульсом К и спином "вверх" в І-ой фазе, 5 -="J - -/ . АС- - химический потенциал, V -объем системы, ty(\{ К ) - потенциал электронного взаимодействия, обусловленного обменом фононами,
Учет кулоновского взаимодействия между электронами в гетерофазном сверхпроводнике
Из (2.32) видно, что при равном нулю среднем кулоновском поле (Q 0 система уравнений (2.32) переходит в систему уравнений (2.20), описывающую поведение гетерофазной сверхпроводящей системы без учета кулоновского взаимодействия. Как было показано выше, в этом случае величина фазовой концентрации \# при абсолютном нуле температур равна единице; в случае S?T O величина фазовой концентрации \Х/ при Q 0 не равна I: №0 4. » и может быть определна из системы трех уравнений с тремя неизвестными А у , , MQ . Очевидно, что в этом случае поведение гетерофазной сверхпроводящей системы определяется входящими в систему уравнений (2.32) постоянными величинами, характеризующими свойства конкретного сверхпроводника: плотностью уровней на поверхности Ферми Ро І интегралом электрон-электронного взаимодействия, обусловленного электрон-фононным обменом при учете действия экранированного кулоновского поля-величиной , средней энергией кристалла "h dc , величиной кулоновского отталкивания между электронами Ь . В частности, для цинка 5L u величина фазовой концентрации V при абсолютном нуле температур равна 0 7 L55J » что свидетельствует о том, что даже в основном состоянии в гетерофазной системе не все электроны находятся в упорядо ченном состоянии. Эксперименты, подтверждающие подобное поведение сверхпроводников j_46-48j J находятся в качественном согласии с приведенной выше теоретической оценкой. Для ясности отметим, что экспериментальные значения величины энергетической щели соответствуют величине Л- Л учитывающей долю электронов в сверхпроводящей компоненте двухжид-костной системы. При этом в чистосверхпроводящей системе (\&=±) получаем обычную энергетическую щель: /\=-Л. Для того, чтобы соответствующие гетерофазные состояния сверхпроводящих систем наблюдались в экспериментах, необходимо выполнение условия устойчивости такого гетерофазного состояния (2.27), которое в основном состоянии сверхпроводника при учете кулоновского поля в виде среднего поля Q принимает вид:
Следовательно, при достаточно больших значениях У - при достаточно сильном кулоновском отталкивании электронов - двухжид-костная гетерофазная сверхпроводящая система становится устойчивой по отношению к гетерофазным флуктуаціям.
Рассмотрим поведение сверхпроводника с гетерофазными флукту-ациями вблизи точки фазового перехода. Аналогично случаю б? —О предельный переход Л - О дает: v — у и для Критической температуры $с имеем выражение:
Очевидно, что температура фазового перехода П рода в гетеро-фазной системе имеет различное значение при различных значениях кулоновского экранированного отталкивания между электронами,но не зависит от среднего поля Q , в котором движутся электроны: — KJ I — Поведение двухжидкостной системы вблизи точки фазового перехода Q характеризуется системой уравнений: (2.33) Г0С Щ 4вс к Ж. ,Ал Ios + $ гL 4 J: Л IMIJ. 4 f J- L А. и ? )- ±Л с / - суммирование по слою І (К)\ TJWQ ; вблизи точки фазово-го перехода е9с имеем разложение: Переходя от суммирования по К к интегрированию по К , преобразуем систему уравнений (2.33) к виду: ,b/J/ b/ oO, _, - » Г Г Сравнение величин Й. # Lh l h при Q — О с соответствующими величинами Й.и R,h Lh L. полученными для гетеро-фазной системы без учета кулоновского взаимодействия, дает основание считать, что поведение двухжидкостной гетерофазной системы вблизи критической точки без учета кулоновского отталкивания между электронами является частным случаем поведения двухжидкостной гетерофазной системы при учете кулоновского отталкивания между электронами .
Выше отмечалось, что ряд фазового перехода в отсутствие кулоновского взаимодействия между электронами определяется интегралом парного взаимодействия между электронами v(i K J , обусловленного электрон-фононным обменом. При учете кулоновского взаимодей-зтвия между электронами в виде среднего поля и? ситуация меняет-ся и род фазового перехода в двухжидкостной гетерофазной системе \ложет измениться при изменении величины о (при фиксированном 9 (к 9 )), т.е. для различных сверхпроводников с гетерофазными фпуктуациями род фазового перехода, вообще говоря,
Условия устойчивости и реализации гетеро-фазных состояний
Из рисунка 3 видно, что (также как и для температурной зависимости фазовой концентрации V ) температурные зависимости квад рата параметра порядка А разбиваются на два класса: температур .2 ные зависимости А при положительном среднем кулоновском поле Q и положительном параметре и (кривые I, 2, 3, 4, 5); темпера-турные зависимости А при (х 0 и ь О (кривые 7, 8, 10). Все кривые проходят через две общие для кривых ТОЧКИ:(A —AQ однако вид температурных зависи-мостеи квадрата параметра порядка А существенно зависит от знака величины с В силу инвариантности уравнения (З.П) для фазовой концентрации \# как функции температуры О по отношению к преобразованию Q " -(Q Т - "-" имеем такую же инвариантность темпе А2 ратурнои зависимости квадрата параметра порядка Л , так как уравнение для энергетической щели А (3.9) может быть записано ви виде:
Все кривые I, 2, 3, 4, 5 температурной зависимости квадрата параметра порядка Л при начинаются в точке ( A0L Є-0 ), имеют выпуклость вверх, проходят через точку А О/ 0=ЄС меняют направление выпуклости и идут до пересечения с осью Д — - Л0 . Все кривые 7, 8, 10 температурной за-висимости квадрата параметра порядка А при i 0 (Q 0 , являются замкнутыми линиями, начинающимися и кончающимися в точке ( Л —До, 0-0 ). Таким образом, при увеличении температуры, начиная с абсолютного нуля, квадрат параметра порядка А при с 0 может изменяться в гетерофазнои системе двумя способами - по верх ней (выпуклой) или по нижней (вогнутой) части замкнутой линии, 2. отображающей зависимость квадрата параметра порядка А от температуры У . В зависимости от соотношения среднего кулоновского поля Q и величины S = vft t имеем три различных случая, показанных на рисунке 3 соответственно линиями 7, 8, 10. Линия 7 соответствует температурной зависимости квадрата параметра порядка А при (5 ""\Р и пересекает ось Д - ? в точках 6 ий ( Єс ) Соответственно верхняя часть линии 7 пересекает ось /\L- О в точке О- Gc , а нижняя - в точке Oj_ . При Q--f точка О совпадает с Gc . При (Q f верхняя часть линии 8 пересекает ось при О У 0 . Следовательно, при Q/-f часть замкнутых линий лежит выше оси Л -О , а часть - ниже оси А —О . При (L?-- p вся замкнутая линия 10 лежит в области 0 0, О- А Л0 . Так как физически определенным состояниям системы соответствуют только те состояния, для которых величины фазовой концентрации w и квадрата параметра порядка А лежат в областях: то части кривых зависимости квадрата параметра порядка А , ле-жащие выше оси А —О , соответствуют возможным физическим состояниям гетерофазной системы. При этом, из двух ветвей фазовой кон-центрации V и квадрата параметра порядка А следует при рассмотрении гетерофазной системы рассматривать верхнюю ветвь, так как сравнение свободных энергий верхней и нижней ветвей приводит к выводу о метастабильности состояний гетерофазной системы, описываемых нижними частями кривых температурной зависимости фазовой концентрации VC и квадрата параметра порядка А . Состояния, описываемые верхними частями кривых температурной зависимости фа 2. зовой концентрации V и квадрата параметра порядка Л , имеют, таким образом, меньшую свободную энергию по сравнению с соотношениями, описываемыми нижними частями кривых температурной зависимости. Для полноты картины на рисунке 3 приведены кривая зависи-мости квадрата параметра порядка ел для чистосверхпроводящей ()& = .) системы и кривая 9, на которой лежат точки возврата зависимости квадрата параметра порядка Д . Эта линия начинается в точке Л —Q, -с.; имеет выпуклость вверх и кончается в точке А =0tQ= (/vArm t. Однако не следует считать, что линия 9 совпадает с линией, на которой лежат точки фазового перехода I ряда из гибридных сверхпроводящих состояний, описываемых линиями 7, 8, 10 в гибридное нормальное состояние с фазовой концентра-цией \ =л" и параметром порядка A = U . Точки фазового перехода I рода должны выбираться из условия равенства свободных энергий гибридного сверхпроводящего состояния и гибридного нормального состояния в точке фазового перехода; при этом необходимо рассматривать гибридное сверхпроводящее состояние, описываемое верхней частью кривых температурной зависимости фазовой концентрации к2 VC и квадрата параметра порядка Д .
