Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Функция Гамильтона, метод Гиббса и уравнения состояния 11
1.1 Динамические величины и уравнения состояния 11
1.2 Средние значения и флуктуации. Леммы Гиббса 14
1.3 Проблема вычисления флуктуации давления 20
1.4 Давление и сжимаемость как квазидинамические величины 22
Глава 2. Динамические уравнения состояния 26
2.1 Обобщенная теорема Боголюбова—Зубарева 26
2.2 Общие выражения для систем с однородной функцией Гамильтона . 29
2.2.1 Неидеальные системы 29
2.2.2 Идеальные газы 31
2.3 Классический релятивистский идеальный газ 34
Глава 3. Термодинамические уравнения состояния. Точные соотношения 39
3.1 Общие соотношения 39
3.2 Соотношения для классического идеального газа 41
3.2.1 Общий неоднородный случай 43
3.2.2 Предельные однородные случаи 44
3.3 Классический релятивистский идеальный газ 47
3.3.1 Общие соотношения 47
3.3.2 Низкотемпературное представление. Точные формулы 49
Глава 4. Приближенные термодинамические уравнения состояния классического релятивистского идеального газа 53
4.1 Низкотемпературное разложение 53
4.2 Высокотемпературное разложение 57
4.3 Эффективный показатель однородности и релятивистские поправки к термодинамическим уравнениям состояния 63
4.4 Деформированный (не-лоренцев) закон дисперсии и двухтемпературное разложение 68
4.4.1 Модифицированный закон дисперсии 69
4.4.2 Динамический анализ следствий модифицированного закона дисперсии 71
4.4.3 Термодинамический анализ следствий модифицированного закона дисперсии 73
4.4.4 Численные оценки 75
Рисунки к диссертации '. 76
Заключение. Основные результаты и выводы 80
Литература 83
- Давление и сжимаемость как квазидинамические величины
- Классический релятивистский идеальный газ
- Низкотемпературное представление. Точные формулы
- Эффективный показатель однородности и релятивистские поправки к термодинамическим уравнениям состояния
Введение к работе
Несмотря на прошедшие уже более ста лет с момента создания Дж. У. Гиббсом [1] классической равновесной статистической механики, многие ее задачи по-прежнему остаются актуальными для теоретической и математической физики, поскольку они или не поддаются точному решению, или вообще не имеют достаточно ясной и общепризнанной постановки.
К числу задач первого типа относится построение статистической механики идеального газа частиц с зависящей только от импульсов релятивистской функцией Гамильтона (законом дисперсии) во всем интервале значений импульсов, а к числу задач второго типа вычисление равновесных флуктуации давления в рамках общего подхода Гиббса, причем обе задачи весьма актуальны и рассмотрены нами в данной диссертации.
Основная цель исследований, проведенных в настоящей диссертации, состоит в том, чтобы построить регулярную теорию возмущений для основных термодинамических величин классического релятивистского идеального газа в области как низких температур (но превышающих температуру квантового вырождения) в нерелятивистской области импульсов, так и высоких температур соответственно, в ультрарелятивистской области импульсов.
Знание термодинамических свойств релятивистских газов необходимо для ряда практических приложений, прежде всего применительно к астрофизическим явлениям например, космическим лучам сверхвысоких энергий. Кроме того, эти результаты актуальны для релятивистской ядерной физики например, при анализе термодинамической устойчивости фаейерболов, "адронных мешков"и т.п. феноменологических моделей. Наконец, поправки в ультрарелятивистской области импульсов и/или температур необходимы при анализе физических свойств идеального газа легких (но принципиально не безмассовых) частиц например, некоторых видов нейтрино.
6 Проблема флуктуации в физических системах в состоянии теплового равновесия приобрела значительную актуальность в связи с активным изучением мезо- и микроскопических систем и разработке на их основе на-нотехнологий. Знание флуктуации дает основу для изучения термодинамической устойчивости этих систем как тепловой, так и механической. Особый интерес представляют весьма мало изученные флуктуации давления (ФД), определяющие — наряду с флуктуациями энергии — термодинамическую устойчивость любой физической системы, объем которой ограничен извне твердыми стенками.
Длительное время проблема вычисления флуктуации давления не имела последовательного решения в рамках подхода Гиббса или нуждалась в привлечении каких-либо дополнительных предположений. Трудности изучения флуктуации давления обусловлены тем, что сопряженный им термодинамический параметр — объем (также способный к флуктуациям) сложным нелинейным образом входит в функцию Гамильтона системы. Ряд имеющихся в литературе попыток, предпринятых известными физиками (Фаулер [5], Вергеланд [6], Клейн [7], Мюнстер [4], Терлецкий [2]), не привел к успеху даже в простейшем случае классического нерелятивистского идеального газа.
В соответствии с перечисленными общими проблемами, в диссертации были поставлены следующие конкретные задачи:
Получение динамических уравнений состояния для динамического давления и динамической сжимаемости для классического релятивистского идеального газа.
Выявление особенностей этих уравнений состояния в предельных случаях однородных (в смысле Эйлера) выражений для функции Гамильтона.
Получение термодинамических уравнений состояния классического релятивистского идеального газа на основе общего вида статистической суммы.
4. Получение регулярных низкотемпературных (нерелятивистских) и
высокотемпературных (ультрарелятивистских) разложений для термодинамических средних величин и их флуктуации.
5. Анализ влияния деформации закона дисперсии свободных реляти
вистских частиц за счет не-лоренцевских слагаемых на термодинами
ческие свойства идеального газа этих частиц.
В соответствии с перечисленными выше целями и задачами диссертация построена следующим образом. В главе 1 кратко формулируются основные элементы метода статистической механики Гиббса, причем особый акцент сделан на вычисление не только средних значений, но и флуктуации основных динамических величин (раздел 1.2). В разделе 1.3 изложены трудности, связанные с имевшимися ранее в литературе попытками нахождения флуктуации давления.
Особое внимание уделяется корректному введению в метод Гиббса квазидинамических понятий объема, давления и сжимаемости (раздел 1.4), которое опирается на идеи метода квазисредних Боголюбова [8] (его краткое описание дано в Приложении 1).
В главе 2 приведена обобщенная теорема Боголюбова—Зубарева [10] (доказательство, полученное в работе Рудого и Суханова [3], находится в Приложении 2) и дано ее приложение к получению динамических уравнений состояний для классического релятивистского идеального газа (КРИГ)(раздел 2.3), а также дан анализ предельных случаев, соответствующих однородным (в смысле Эйлера) законам дисперсии (раздел 2.2). Обобщенная теорема Боголюбова—Зубарева [3, 8, 10] позволяет получить выражение для динамического давления и его флуктуации через первые и вторые производные от функции Гамильтона. Поэтому при вычислении температурных средних значений этих величин удается в противоположность высказанному ранее мнению ряда авторитетных исследователей [2, 4, 5, 6] полностью оставаться в рамках канонического подхода Гиббса.
Давление и сжимаемость как квазидинамические величины
С одной стороны, параметр V вводится "руками"на стадии усредне ния при классическом описании. Следовательно, определения (1-7) и (1-9) "не работают", и уравнения ДУС-І и ДУС-И просто лишены физическо го смысла. Обычно вообще не рассматривается ДУС-П для сжимаемости Фу (Г, а) (и соответственно ТДУС-И для определяющего ФД нетермодина мического среднего #у) Что же касается ДУС-І для давления Ру(Г, а), то это уравнение обычно представляет интерес не само по себе, на лишь в связи с получением ТДУС-І для среднего давления Ру. Ясно, что уравнение ТДУС-І приобретает смысл лишь потому, что согласно (1-42) величина Ру является термодинамическим средним. С другой стороны можно считать, что параметр V имеет дина мическую (силовую) природу, поскольку стенки "ящика"как бы оттал кивают все падающие них частицы обратно внутрь "ящика", обеспечи вая его непроницаемость. Тогда динамический характер объёма V можно учесть добавлением к функции Гамильтона неограниченной макросистемы #()(Г, а) внешнего сингулярного потенциала отталкивания где q\a — совокупность всех / координат (а = 1, , /) всех N частиц (i = 1,--- ,iV) макросистемы; определения областей {q} и {q}W даны перед формулой (1-5). Таким образом, полную функцию Гамильтона макросистемы в ограниченном объёме следует принять равной причём формальный параметр є может принимать любые положительные значения. Именно динамическая трактовка объёма V как внешнего параметра вполне адекватна подходу Гиббса и позволяет, в частности, решить проблему Гиббса для ФД. Однако практически реализовать определения (1-7) и (1-9) с функцией Гамильтониана (1-54) весьма затруднительно ввиду сингулярного дельтаобразного характера потенциала (1-53).
Выход из указанного затруднения удаётся найти, следуя идеям метода квазисредних Боголюбова (см. Приложение 1). Это означает, что вместо обычных динамических величин (1-7) и (1-9) в рамках классического описания макросистемы целесообразно рассматривать квазидинамические величины — давление и сжимаемость так что ДУС-І и ДУС-И следует находить независимо друг от друга.
Смысл определений (1-55) и (1-56) состоит в следующем. После того как потенциал U\r(q), образно говоря, "сделал своё дело"(поставив стенку для системы), он подобно "венецианскому мавру"должен уйти, причём физические результаты не должны зависеть от конкретного вида Uv{q), но полностью определяться видом Н (Г). В методе квазисредних таким "мавром"обычно является пропорциональное є внешнее поле, которое снимает имеющееся у системы вырождение и обеспечивает отличное от нуля среднее значение вырожденной физической величины в пределе є —0.
В данном случае аналогичную процедуру предлагается провести ещё на уровне динамических величин: давление и сжимаемость становятся отличными от нуля, после того как с помощью потенциала Uy(q) снимается вырождение макросистемы, описываемой исходной функцией Гамильтона #()(Г). Существенно, что во всех случаях величины Pv (Т) и Щ (Г) полностью определяются лишь видом исходной функции Гамильтона Я()(Г). Эти определения следуют основной идее метода квазисредних
Боголюбова [8], согласно которой для снятия имеющегося вырождения «свободной» системы (в данном случае — пространственного) необходимо «виртуально» ввести в функцию Гамильтона соответствующий физический «источник» (в данном случае — потенциал стенок [/(Г; V)), снимающий это вырождение. После проведения требуемого вычисления (в данном случае — производных по V) этот источник следует аннулировать; отличный от нуля результат подобного вычисления означает неаналитичность этого результата по параметру є (или, что то же, неперестановочность операций указанного вычисления и предельного перехода по є).
Определения (1-55) и (1-56) представляются целесообразными в связи с тем, что вычисление производных по V непосредственно от полной функции Гамильтона вида (1-54) из-за наличия сингулярного слагаемого /(Г; V) не является математически корректной операцией и должно быть каким-либо образом «регуляризовано». Математически это соответствует тому, что вычисление производных от сингулярных, или обобщенных функций сводится к вычислению производных от регулярных «носителей» (см., например, [9]), для чего необходимо перейти от самих функций к функционалам для них (в данном случае —к статистической сумме).
По-видимому, именно недооценкой указанных обстоятельств были обусловлены трудности в работах [5-7] (см. также [4]). Авторы этих работ пытались провести необходимую регуляризацию, сперва моделируя «реальный» потенциал стенки, а затем переходя к сингулярному пределу «бесконечно высокой» стенки; в результате, однако, для \P(T;V) расходящиеся выражения (см. выше раздел 1.3).
Как показано впервые в работе Рудого и Суханова [3], избежать подобных трудностей позволяет использование в этой проблеме идей метода квазисредних Боголюбова [8]. Именно этот метод представляет собой физически естественную, математически корректную (и притом универсальную) процедуру подобной регуляризации для широкого класса физических задач с различным характером «вырождения».
Классический релятивистский идеальный газ
Покажем, что в этих случаях указанную трудность можно обойти, используя в качестве барокалорического уравнения состояния первую из формул (3-9). Возможность подобного «обхода» обусловлена существенно более простой зависимостью потенциала Масье—Планка (3-17) от объема V по сравнению с его зависимостью от (3 для идеальной системы с произвольным видом функции Гамильтона Нк(р).
Действительно, подставляя в первую из формул (3-9) соответственно первую из формул (3-18), получаем обобщенную (для произвольного значения к = k/f) теорему о равнораспределении внутренней энергии и теплоемкости системы по ее степеням свободы (см. рис. 2 и 3):Очевидно, что в однородном случае как изохорическая Су, так и изобарическая Ср = Су + (N/NA)R = Су + iV/гв = Су(1 + l/к) теплоемкости постоянны, причем коэффициент Пуассона (показатель адиабаты) 7 = Ср/Су = 1 + {IIк) 1.
В частном случае однородной степенной функции вида (2-28) можно убедиться в справедливости выражений (3-23) и непосредственно, поскольку в этом случае «малая» статистическая сумма легко вычисляется с использованием интегрального преобразования Меллина (см., например, [12]): где Г[1/к] — гамма-функция положительного аргумента [1/к], а численные множители Af определены выше после формулы (3-16), а ак — в формуле (2-28). Как и следовало ожидать, найденные с помощью (3-24) согласно определениям (3-21) и (3-22) величины Я(/5) и Су((3) совпадают с полученными выше в (3-20) более простым способом; напомним, что физически интересным случаям нерелятивистского и ультрарелятивистского пределов в (3-23) и (3-24) соответствуют к = 2 и к = 1.
В заключение данного раздела поясним использованную выше (между формулами (3-16) и (3-17)) терминологию. Задача о нахождении статистической функции распределения, а также термодинамических величин классического газа с учетом установленной Эйнштейном в 1905 году релятивистской связи между энергией и импульсом частицы была впервые поставлена Планком и частично решена Юттнером [13] в 1911 году. В этой работе дан общий вид функции распределения Гиббса для такого газа (ее вид приведен, например, в [11, 38, задача 2], а также в [12, 8, задача 38]), а также проведен анализ его статистической суммы, средней энергии и теплоемкости при низких температурах. Для этих величин учтен вклад низших поправок по динамическому параметру ср/Ео «1 (соответственно, по термодинамическому параметру Т/То « 1) для «обычного» газа, статистическая механика которого была построена Максвеллом еще в 1859 году. Значительно позднее (в 1928 году) Юттнер [14] выписал общие выражения для термодинамических величин квантового релятивистского идеального газа (как для статистики Бозе—Эйнштейна, так и Ферми-Дирака), которые в 1935 году проанализировал Глазер [15] для газа в вырожденном режиме как в области малых, так и больших значений параметра ср/Ец.
Интересно, что термодинамика газа для частиц, вообще не имеющих массы покоя (например, фотонов с 2 = 0, Го = 0), для которых статистическая механика Максвелла очевидным образом непригодна даже в качестве исходного приближения, была фактически построена на 15 лет раньше, чем Юттнером была решена задача Планка. Соответствующая теория носила в то время название термодинамики равновесного теплового излучения; ее статистические основы были заложены Вином в 1896 году, дополнены Рэлеем в 1898 году и завершены Планком в 1900 году4.
При этом как Вин, так и Релей опирались (правда, каждый из них — на различные аспекты) одной из наиболее успешных в то время физических теорий, а именно статистической механики газов Максвелла, которая, в свою очередь, является лишь частным случаем статистической механики Гиббса, построенной лишь почти полвека спустя в 1902 году. Следуя Максвеллу, Вин ввел экспоненциальную функцию распределения для интенсивности излучения по длинам волн (при данной температуре), по существу опираясь на корпускулярную теорию излучения —в отличие от Рэлея, использовавшего для излучения волновую теорию; Планку удалось объединить (в то время, правда, несколько формально) оба подхода.
Полную физическую интерпретацию теория Вина—Рэлея—Планка получила в 1905 году после введения Эйнштейном понятия квантов излучения (которые по предложению Льюиса стали называться «фотонами» только в 1929 году). В частности, функция распределения Вина, содержащая множитель ехр(—а/ХТ), где а = hc/кв, оказалась по существу функцией распределения Гиббса ехр(—Е/к Т) для частиц с линейной по импульсу р зависимостью энергии Е = ср, поскольку для фотонов импульс связан с длиной волны соотношением Эйнштейна р = hfX.Содержательное обсуждение всех аспектов развития теории теплового излучения можно найти в книге [16].
Дальнейшее развитие физики привело к необходимости изучения статистической механики газов частиц с EQ ф О, То Ф О в области высоких температур (при То/Т « 1); формально начало этому положила впоследствии отвергнутая гипотеза де Бройля о «тяжелом свете», инициировавшая работу [15]. Заметим в заключение, что наиболее полное изложение статистической механики классического релятивистского идеального газа как в нерелятивистском, так и в ультрарелятивистском пределах дано (для случая / = 3) в учебнике [12, 8], а для квантового случая подробное рассмотрение дано в [17, гл. 5]; ультрарелятивистский вырожденный электронный газ рассмотрен также в [И, 61].
Низкотемпературное представление. Точные формулы
Весьма интересным представляется обсуждение результатов глав 3 и 4 в контексте т.н. закона о равнораспределении энергии Е по числу / ее степеней свободы (см., например, [И, 44]), согласно которому как энергия, так и теплоемкость прямо пропорциональны /. Этот закон справедлив для идеального газа в классическом режиме, т.е. при температурах Т, значительно превышающих температуру квантового вырождения; именно этот режим обычно имеет место по отношению к трансляционному движению свободных частиц.
Согласно закону о равнораспределении энергии, для средней кинетической энергии ЕК(Т) = Е(Т) — EQ И теплоемкости Су(Т) (в которую, как и в давление Р(Т), энергия покоя EQ не дает аддитивного вклада) имеют место следующие соотношения (их получение см. в разделе 3.2, формула (3-23)):
Входящее в отношение к наряду с / число к — показатель однородности (в смысле Эйлера), характеризующий степенную зависимость функции Гамильтона системы от импульса частицы (2-28); как и число /, число к обычно является натуральным (целым положительным) и связывает динамику системы с ее термодинамикой. Термодинамический смысл величины 1/к очевиден: это доля характерной «тепловой энергии» квТ, приходящаяся на каждую из / степеней свободы идеального газа.
Как правило, в учебниках по статистической физике рассматривается нерелятивистский газ Максвелла, соответствующий функции Гамильтона (2-26) с к = 2, несколько реже — ультрарелятивистский (фотонный) газ Вина—Эйнштейна (см. обсуждение в конце раздела 3.2.2), соответствующий функции Гамильтона (2-27) с к = 1, но практически нигде не обсуждается ситуация с «промежуточными» значениями к, что связано, конечно, с отсутствием однородности (в смысле Эйлера) у релятивистской функции Гамильтона общего вида (2-25).
Тем не менее, использование переменного (зависящего от импульса) значения к(р) вида (2-29) оказывается полезным уже в динамике —например, при получении динамического уравнения состояния (2-21), связывающего давление с кинетической энергией (см. анализ в разделе 2.3). Такая процедура дает единый способ учета релятивистских поправок к газу Максвелла или, напротив, учета поправок на конечное значение энергии покоя к газу Вина (подробно рассматриваемых, например, в [12, 8]). В термодинамике аналогичный учет приводит к своеобразному температурному «кроссоверу» показателя однородности к(Т), а именно его монотонному убыванию (с ростом температуры и энергии) от значения 2 до значения 1 (см. рис. 4). Как видно из (4-22), это приводит к температурной зависимости теплоемкости, а именно монотонному возрастанию (при условии фиксированного /) от значения \ до 1 величины
Заметим, что описанный способ учета релятивистских поправок в термодинамике идеального классического газа вполне аналогичен часто используемому способу учета квантовых поправок. Последние обусловлены температурным «размораживанием» внутренних (нетрансляционных) степеней свободы частиц идеального газа вращательного, колебательного и электронного движений (см., например, [11, 48-50]. Каждое из этих внутренних движений обладает энергией, для которой имеется квантованный энергетический спектр, характеризуемый наинизшим (основным) состоянием с энергией EQ И соответствующей температурой Го = Ео/кв. Тогда при фиксированном значении к (как правило, используется значение к 9 = 2) теплоемкость становится монотонно возрастающей функцией температуры кСу(Т)/кв « /(Г), где функция /(Г) описывает своеобразный температурный «кроссовер» числа степеней свободы. Как правило, /(Т) моделируется сглаженной ступенчатой функцией, имеющей скачки на величину, примерно равную 1 или 2 при каждом из значений То- Во всех случаях при Т » Т0 функция /(Т) обнаруживает достаточно быстрый выход на насыщение, соответствующее ее максимальному («классическому») значению, а при Т « То экспоненциально быстро убывает до нуля; именно такое поведение Су(Т) оправдывает ее «ступенчатую» аппроксимацию.
Очевидно, что ситуация с функцией к(Т) в принципе вполне аналогичная, только характеристической энергией является энергия покоя частицы; правда, в отличие от других видов энергий она имеет единственный уровень для данного типа частиц. Эта ситуация редко представляет интерес в обычных физических приложениях, поскольку соответствующая температура То трудно достижима в лабораторных условиях(даже для относительно легких частиц — электронов она составляет около 1010 К). Заметим кстати, что достижение (или даже превышение) характеристической температуры Го является необходимым, но отнюдь не достаточным условием рождения новых частиц из вакуума; обычно для этого необходимы соответствующие дополнительные условия — например, наличие достаточно интенсивного внешнего поля.
Однако такое рассмотрение может быть вполне актуально в астрофизических (и, тем более, в космологических) применениях — например, при анализе космических лучей высоких энергий или в сценариях эволюции горячей ранней Вселенной (см. ниже раздел 4.4). Кроме того, вполне возможно существование таких частиц (например, некоторых видов нейтрино), для которых То может быть порядка 105 -f- 106К (заметим, что для фотонов То = 0, и они всегда являются ультрарелятивистскими с к = 1).
Эффективный показатель однородности и релятивистские поправки к термодинамическим уравнениям состояния
В заключении диссертации сформулированы основные результаты диссертации: 1. На основе общего подхода статистической механики Гиббса и метода квазисредних Боголюбова проведено комплексное исследование динамических и термодинамических свойств классического идеального релятивистского газа и выявлены характерные особенности, отличающие его от нерелятивистского случая. 2. Получены общие выражения для основных термодинамических величин давления и внутренней энергии, а также для равновесных флуктуации этих величин, причем впервые в литературе для флуктуации давления. 3. Впервые получено обобщение уравнения состояния, связывающего термодинамическое давление и внутреннюю энергию, посредством введения зависящего от температуры эффективного показателя однородности. 4. Впервые рассмотрены термодинамические следствия, к которым приводит деформация обычного релятивистского закона дисперсии свободных частиц за счет так называемых не-лоренцевских слагаемых. 5. Впервые получена зависимость всех термодинамических величин классического идеального релятивистского газа от произвольного числа трансляционных степеней свободы частицы. Научная новизна Научная новизна диссертационной работы определяется следующими положениями: 1. Впервые в рамках общего подхода статистической механики Гиббса на основе метода квазисредних Боголюбова и обобщенной теоремы Боголюбова—Зубарева получены и исследованы динамические уравнения состояния, связывающие функцию Гамильтона классического релятивистского идеального газа с его динамическим давлением и динамической сжимаемостью. 2. Показано, что, в отличие от ранее известного случая классического нерелятивистского идеального газа, в общем случае нарушается прямая пропорциональность между давлением и сжимаемостью, с одной стороны, и зависящей от импульсов части функции Гамильтона с другой, что связано с нарушением однородности (в смысле Эйлера) функции Гамильтона в промежуточной области значений импульсов. 3. Показано, что в ультрарелятивистской области указанная однородность и пропорциональность восстанавливаются и введено понятие эффективного (зависящего от импульса) показателя однородности. 4. Получены и исследованы в общем виде точные выражения для термодинамических уравнений состояния, а также получены регулярные разложения в низко- и высокотемпературных областях для основных термодинамических величин, в том числе равновесных флуктуации давления такого газа, которые также впервые найдены в диссертации. 5. Проведен анализ термодинамических следствий деформации обычного релятивистского закона дисперсии за счет так называемых не-лоренцевских слагаемых, обусловленных наличием максимальной, или планковской, энергии. Предсказана принципиальная возможность наблюдения соответствующих явлений при температурах значительно ниже планковской. Научная и практическая ценность
Полученные в диссертации результаты позволяют глубже понять связь функции Гамильтона системы с ее термодинамическими свойствами в рамках статистической механики Гиббса. Приводится новый простой метод по отысканию выражений для флуктуации давления для сингулярного потенциала отталкивания стенок. Большинство существующих работ аппроксимируют этот потенциал с помощью регулярных функций, и в рамках этих аппроксимаций совершаются предельные переходы. В настоящей работе не делаются аппроксимации и результаты достигаются с помощью строгого математического аппарата обобщенных функций.
Полученные результаты могут быть использованы при интерпретации экспериментальных данных в области космических лучей сверхвысоких энергий, космологических сценариев, релятивистской ядерной физики, а также физики массивных нейтрино.
