Введение к работе
Актуальность темы-
Более ста лет изучаются «разовые переходы, как явления природы. Для ферромагнитных свойств металлов Изинг предложил спиновую систему, основанную на ZCS3 симметрии. Онсагер впервые получил точное решение в двумерной модели Изинга при описании намагниченности и теплоемкости в окрестности критической точки. Он учел роль крупномасштабных флуктуации по мере приближения к критической точке. В 193г году Поттсом было сформулировано обобщенная модель Изинга. основанная на ZCQ3 симметрии. Относительная простота модели наряду с богатыми критическими свойствами сделали ее основой для опробирования различных подходов при изучении фазовых переходов.
Использование решеточных формулировок значительно облегчает описание критических и мультикритических свойств системы. Решеточный подход заключается в замене реальной системы на упрощенную идеализированную модель. Математически это вырожается в задании конкретного вида гамильтониана HCSD.
Первоначально решетки стали использоваться в статистической механики, желая смодулировать кристаллическую структуру твердых тел. Соответственно применялись решетки различных конфигураций и размерностей- При этом гамильтониан HCS5 имеет глобальную симметрию ZCC)„ то есть гамильтоиан не меняется при повороте всех спинов одновременно на решетке, такие модели называются
..: Q'j - симметричные спиновые системы.
В 1УУ4 году Вильсон предложил решеточный подход для описания калибровочных теорий, суть которого в той. что гамильтониан имеет локальную симметрию. Он заключается в топ. что гамильтониан остается инвариантным при изменении локального калибровочного преобразования в любом узле. При этом, если в спиновых системах в качестве независимого параметра порядка используется локальная величі: Л - спонтанная намагниченность, то применять в калибровочных моделях ее аналог - намагниченность калибровочного поля - невозможно- Поэтому в калибровочных теориях на обычных решетках часто используют глобальные параметры порядка, такие как петля Вильсона - произведение :к>л..вых переменных вдопь бесконечно большого замкнутого контура, лпоо петля Попякого - произведение полевых переменных вдоль покои прямой на решетке, замкнутой благодаря переодическим граничным условиям. Вильсоновский коррелятор, хотя он удобен для описания ф?.з теории, является сложный математическим обьектом. Если провести операторное разложение для вильсоновского коррелятора. то первый нетривиальный член разложения будет пропорционален глюонному конденсату ( G ,G N = / S ^ V то есть вакуумному среднему от классического действия поля Янга-Милса. Следует отметить еще одно'обстоятельство. Группы ZCQ5 являются центрами неаеелевых групп SUCQ3. Идея о том. что центр калибровочной группы может играть важную роль в явлении удержания кварков выла высказана т'Хофтом и Макком.
Модели, имеющие разные симметрии, и поэтому разной степени мультикритичности. подчиняются закону d = + 2/СП-15, где d -высшая размерность, начиная с которой все идексы становятся классическими, ті- число независимых критических индексов. В ZCHD модели ЧИСЛО П = 2 и d =4, В 2C3D модели п = з и d = з и т.д.
zca:> симметричная иодель в точке фазоєого перехода второго рода соответствует g
Решения на рошетк<-> Бете становятся существенными, потому что они. во-первых, учитывают взаимодействие ближайших соседей и.во-вторых.можно аналитически точно вычисписть макроскопические Физические величины- А решение бесконечномерной решетке имеет такие же индексы вплоть до размерности а .
Рассматривал модель Изинга со спинол-1 . 5люм. Эмери. Гриффите СБЭГЗ показали методом среднего поля, что в этой модели существует трикритическая точка. Поэтому становится существенным изучение Ъ'дТ - модели на решетке Бете-
В изучении калибровочных полей, как и спиновых систем, очень важную роль играют дуальные и самодуальные системы на решетках- При записи статистической суммы через топологические инварианты с числа Бетти з упрощается доказательство дуальности и самодуальности. В этой записи легко проводить высоко низкотемпературные и і'Q - разложения-
Zr'OO симметричные ^ПИЦмВЫ^ 'И^Т'-МЫ М-ІІ11ЛІ! '."IV' ! :; '.<". !::
ЛИЯ "Пискни--! !НГ! ' Tv-Mr:"p.V''V';!If:-' ->-- і і - !'f-. с ' .г. -" Хї.' . ' .: : :' :. , і анн:.и гриппы.-; ..-in t ііф-;.-ррииагнеі'іікиь. растворов двух изотопов гелия, мультикомпонентных жидкостей, микроимульсий. расширенной модели Хаббарда, полимерных цепей - в которых есть мультикритические точки, zcqj симметричная модель применяется и для описания функциональных особенностей биополимеров, при изучении перехода спираль-клубок.
Целью работы является
-исследование трикритических явлений в БЭГ' модели на решетке Бете, нахождение А - линии фазового перехода второго рода, построение фазовых диаграмм.. вычисление критических
индексов в трикритической точке;
-доказательство эквивалентности БЭГ модели на подпространстве
констант обменного взаимодействия модели Изинга на шестиугольной
t и Бете решетках;
Исследование мультикритических явлений в модели Изинга со спином - 3;^2. нахождение Л' - поверхности фазовых переходов II рода.вычисление мультикритических индексов в трикритических и тетракритических точках.
Исследование двумерной модели Изинга со. спином - 3^2' на гексагональной решетке, нахождение А - линии фазовых переходов II рода на подпространстве констант обменного взаимодействия.
-исследование ZCQ3 калибровочных моделей, когда записывается статистическая сумма через топологические инварианты, нахождение в трехмерных калибровочных моделях при помощи 1/Q - разложения критической температуры перехода, в четырехмерных калибровочных моделях нахождение скрытой теплоты фазового перехода;
Научная новизна '
Впервые построены рекурентные соотношения для БЭГ модели на решетке Бете, ^аналитически найдены А - линия, трикритическая точка. построены фазовые диаграммы. точно вычислены- в трикритической точке все индексы.
Доказано эквивалентность БЭГ модели на решетке Бете, модели Изинга со спином - 1/2 на определенном подпространстве констант ' обменного взаимодействия.
Впервые построены рекурентные соотношения для модели Изинга
'6
со спином - 3/2 на решетке. Бете, аналитически точно найдены: свободная энергия. намагниченность. Л - поверхность, мультикритические точки, точно вычислены критические индексы в трикритических и тетракритнческих точках.
„ Впервые точно решена модель Изинга со спином, - 3/2 на гексагональной решетке на подпространстве констант обменного взаимодействия, найдена X - линия фазовых переходов II рода.
Впервые записана статистическая сумма калибровочной модели через топологические инварианты с числа Беттиі> найдена для четырехмерной ZCQ} симметричной калибровочной модели скрытая теплота фазового перехода в i-'Q - разложении и при помощи Паде апроксимакты найдены более высокие порядки для скрытой теплоты-
Все основные результаты ,диссертации* являются новыми и научно достоверными. Результаты теории согласуются с имеющимися экспериментапьными данными.
Научная и практическая ценность работы
Полученные в диссертации .результаты позволяют утверждать, что на решетке Бете можно аналитически'точно получить фазовые диаграммы для ZCQj симметричных спиновых моделей. Лля БЭГ модели проведено исследование с учетом взаимодействия ближайших соседей и найдена Л - линия, заканчивающаяся трикритической точкой.
Проведенное исследование для 2CQ3 симметричных калибровочных моделей, когда статистическая сумма записывается через топологические инварианты, позволяет найти более высокие порядки скрытой теплоты перехода в і/Q г разложении.
Исследована модель Изинга со спином - 3^2 на решетке Бете с богатыми критическими свойствами. Найдены точные выражения для свободной энергии и других термодинамических величин. Точно решена модель Изинга со спином 3^2 на гексагональной решетке в подпространстве констант обменного взаимодействия.
Полученные в диссертации результаты могут быть использовані при исследовании различных аспектов в статистической механике і квантовой теории поля.
На защиту выносятся следующия основные результаты:
1-Проведено исследование БЭГ модели на решетке Бете. Найдены аналитически точные выражения; свободной энергии. Л -линии фазовых переходов второго рода. заканчивающейся трикритической точкой. Вычисленые в трикритической точке все критические инксы оказались классическими- Приведены фазовые диаграммы при различных значениях дипольного и квадрупольного взаимодейсвий.
2. Показано, что модель Изинга со спином -1/2 эквивалентна БЭГ модели на решетке Бете на определенном подпространстве констант взаимодействия.
3- На решетке Бете исследована модель Изинга со спином -
3/2. Получены аналитические выражения для свободной энергии.
намагниченности и других термодинамических величин. Найдены две
А - поверхности фазовых переходов II рода. ограниченных
I трикритическиии линиями. На каждой трикритической линии найдены
4. Точно решена двумерная модель Изинга со спином
3/2 на гексагональной решетке. Найдена Л - линия фазовых
переходов II рода-
5. Для калибровочных моделей приведена запись
статистической суммы через топологические инварианты С числа
.БеттиЭ. В трехмерной калибровочной моделе Поттса вычислена
критическая температура перехода при помощи і/Q разложения- На
четырехмерной калибровочной модели найдена .скрытая теплота
перехода с помощью 1/Q разложения."
Апробация работы.
Данные. полученные в диссертации. докладывались на теоретических 'семинарах ЕФИ. на советско - американской рабочей встрече СНор-Амберт. 1988. 19913.
Публикации. По результатам диссертации опубликованы 7 работ.
Обьем и структура работы- Диссертация состоит из введения, трех глав. заключения. списка литературы. изложена на 81 странице машинописного текста. Библиография содержит 100 наименований.
