Введение к работе
Актуальность темы исследования.
В настоящее время теория критического поведения является хорошо развитой и формализованной ветвью теоретической физики. Существенный прогресс в этой области был достигнут в результате внедрения идей универсальности и критического скейлинга, а также применения технического аппарата ренормализационной группы (РГ). В рамках этого подхода были разработаны регулярные методы расчета основных характеристик критического поведения - критических индексов (аномальных размерностей) и скейлинговых функций.
Использование размерной регуляризации (4-е разложений) является важным методом при расчете аномальных размерностей. Усилиями различных авторов для основных моделей вычислено довольно много членов 4 — с разложений. Максимальным на данный момент достижением является расчет /3 - функции ф* модели в шестипетлевом приближении (до порядка е5 в критических размерностях, [1]). Столь значительные успехи в расчетах оказались возможными благодаря удобной вычислительной схеме, а именно:
I) РГ - функции вычисляются через константы ренормировки
П) Для вычисления констант ренормировки используется размерная регуляризация и схема минимальных вычитаний (MS схема), в которой константы ренормировки зависят только от констант связи и параметра регуляризации.
Ш) Независимость констант ренормировки от массивных параметров (т для ф модели) позволяет вычислять их непосредственно в безмассовой теории (при т = 0), что существенно упрощает расчет диаграмм.
Получаемые методом РГ ряды для критических индексов оказываются расходящимися. В связи с этим оказывается необходимым некоторым образом переразложить (пересуммировать) полученный по теории возмущений отрезок ряда. Для получения численных значений индексов в реальных размерностях пространства используются разнообразные схемы пересуммирования, такие как методы Бореля-Лероя, Паде-аппроксимант и конформных отображений [2].
Процедура пересуммирования существенно зависит не только от значений
"ІЇЩох
БИБЛИОТЕКА і «9
начальных коэффициентов ряда, вычисленных по теории возмущений, но и от асимптотики высоких порядков исследуемых рядов. Таким образом, исследование высоких порядков теории возмущений является важной задачей при рассмотрении полевых моделей.
В основе такого исследования лежит подход, разработанный в классической работе [3] и называемый инстантонным, состоящий в обобщении для функционального интеграла метода перевала. Результаты [3] были применены в [4] для исследования разложений критических индексов, получаемых методом РГ.
Как иногда утверждается, известная асимптотика высоких порядков дает информацию, позволяющую выбирать параметры, фиксирующие произвол схемы пересуммирования. Поэтому важен вопрос о том, насколько вычисленные к настоящему моменту коэффициенты разложений близки к асимптотическим значениям. Однако амплитуда упомянутой асимптотики для 4 — 6 (MS) разложений не была вычислена до сих пор. Такая ситуация объясняется спецификой MS ренормировки, для которой формальная схема анализа ультрафиолетовых расходимостей (полюсов по с) в высоких порядках теории возмущений не была развита.
В [5] был предложен модифицированный метод исследования ф4 модели, приводящий к принципиально сходящимся рядам теории возмущений (с конечным радиусом сходимости). Разработанный затем в [6], этот метод был приспособлен к 4 - е (MS) схеме. Однако в отличие от традиционного подхода к вычислению критических индексов, где поведение рядов в высоких порядках теории возмущений учитывается посредством различных методов пересуммирования, соответствующие асимптотики для сходящихся рядов были не известны, и способ их учета для улучшения сходимости не предлагался.
Кроме критических индексов в теории критического поведения рассматриваются универсальные отношения и скейлинговые (универсальные) функции [1, 2], высокие порядки разложений которых не были изучены. Несмотря на это, попытка пересуммирования соответствующих рядов предпринималась. Поэтому проведенное в диссертации вычисление асимптотик старших порядков е - разложения скейлинговой функции парного коррелятора ф (Оп)
модели также следует признать актуальным. Цель работы:
Построение самосогласованного формализма вычисления высоких порядков теории возмущений (липатовских асимптотик) для констант ренормировки, критических индексов и скейлинговых функций О(п) - симметричной модели ф* в размерной регуляризации и схеме минимальных вычитаний, а также исследование точности, с которой полученные асимптотики описывают вычисленные к настоящему моменту петлевые разложения.
Разработка способа построения регулярных поправок к полученным асимптотикам.
Исследование асимптотики высоких порядков сходящихся рядов теории возмущений для модели фі. Определение радиуса сходимости и типа особенности на границе круга сходимости. Разработка способа учета полученной информации при получении численных значений критических индексов. Научная новизна.
В диссертации получены следующие новые результаты:
-
Предложен способ вычисления асимптотик разложения констант ренормировки в высоких порядках теории возмущений для О(п) - симметричной ф* модели в 4 - е (MS) схеме на основе инстантонного анализа ультрафиолетовых расходимостей. Возникающие в данной схеме особенности приводят к отличиям от канонической техники [2] при вычислении амплитуды асимптотики высоких порядков для критических индексов. Обнаружены значительные отклонения точно известных к настоящему моменту членов разложения от главного порядка исследованных асимптотик как для констант ренормировки, так и для критических индексов.
-
Показана применимость инстантонного анализа в модели, представляющей собой модифицированный метод исследования теории ф* и приводящей к сходящимся рядам. Определен радиус сходимости и тип особенности рядов в этой модели, а также продемонстрировно, как поправки к липатовским асимптотикам могут быть использованы при пересуммировании рядов модели ф4.
-
Вычислена асимптотика высоких порядков е - разложения скейлинговой
функции парного коррелятора О(п) - симметричной модели ф (в размерной регуляризации и схеме минимальных вычитаний). Результат демонстрирует существенную неравномерность скейлинговой функции по ее аргументам.
4. Вычислена поправка к асимптотике высоких порядков для константы ренормировки Zg и критического индекса т] в 4 — е (MS) схеме. Полученные поправки существенно улучшают асимптотическое описание результатов петлевых расчетов. Теоретическое и практическое значение.
1. Разработанные в диссертации методы и вычисленные с их помощью
асимптотики привели к новой точке зрения на проблему применимости ме
тодов борелевского пересуммирования при исследовании критического пове
дения в размерной регуляризации и схеме минимальных вычитаний.
-
В диссертации получил дальнейшее развитие инстантонный анализ. Показана важность исследования липатовских асимптотик такого объекта, как частично ренормированная функция Грина, уделено особое внимание проблемам выделения поверхностных ультрафиолетовых расходимостей в высоких порядках теории возмущений.
-
Вычисленная в диссертации первая поправка по 1/N липатовской асимптотики (N - порядок теории возмущений) позволяет адекватно описывать высокие порядки теории возмущений в 4 — є (MS) схеме и может использоваться при вычислении численных значений критических индексов как в формализме расходящихся, так и сходящихся рядов.
4. Разработанный ряд технических приемов может быть без существен
ных изменений использован при исследовании динамических стохастических
проблем, решаемых в рамках квантово - полевого подхода.
Апробация работы.
Материалы диссертации докладывались на следующих конференциях: 5th International Conference Renormalization Group 2002, (10-16 March 2002 High Tatra Mountains, Slovakia); 29th Conference of the Middle European Cooperation in Statistical Physics (29March - 1 April 2004, Bratislava, Slovakia); 18th European Conference for PhD Students in Physics "Physique en Herbe 2001"(June 18th - 22nd 2001, Strasbourg, France); Summer School and Work-
shop Complex Motion in Fluids, (8 - 14 August 2004 Krogerup, Denmark). Публикации.
По теме диссертации опубликовано три работы в реферируемых журналах, список публикаций приведен в конце автореферата. Структура и объем.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, трех приложений и списка цитируемой литературы, включающего 70 наименований. Объем работы 118 страниц. Работа содержит 2 графика и 6 таблиц.
