Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Циклотронный резонанс в слабых магнитных полях - эффект запаздывания. Теория фонового сигнала 19
I. Вводные замечания. Плотность тока 19
2. Поверхностный импеданс 32
3. Влияние анизотропии поверхности Ферми и электрон-фононного взаимодействия 40
4. Теория фонового сигнала 49
Глава II. Импеданс металла в сильных магнитных полях. Адиабатические эффекты в поверхностном рассеянии электронов 62
5. Физический анализ особенностей поверхностной релаксации электронов . 62
6. Граничное условие для функции распределения. Плотность тока поверхностных электронов 75
7. Слабые корреляции (L«A) 86
8. Сильные корреляции (А«А) 95
9. Обсуждение результатов 99
Глава III. Аномальное проникновение электромагнитного поля в металл по цепочке электронных траекторий 105
10. Общие сведения об эффекте. Постановка задачи 105
II. АЛ в металл с диффузной границей III
12. АЛ в металл с зеркальной границей ... 124
13. Цепочка электронных траекторий в наклонном магнитном поле 137
Глава ІV. Возбуждение коротких циклотронных волн с по мощью эффектов траєкторного переноса. Резонанс и волны на поверхностных электронах 144
14. Волны в металлах с идеальной поверхностью 144
15. Резонанс и волны на поверхностных электронах 158
16. Циклотронные волны при диффузном отражении электронов 164
Глава V. Нелинейный аномальный скин-эффект и "токовые состояния" в металлах 172
17. Механизм нелинейности 172
18. Концепция неэффективности в нелинейной теории 178
19. Нелинейный аномальный скинэффект 189
20. Теория "токовых состояний" в металлах 207
Заключение . 224
Приложение I 230
Приложение 2. Функция F() в отсутствие магнитного поля 231
Приложение 3. Функция F(?) в магнитных полях (4.4) при диффузном отражении электронов 232
Приложение 4. Асимптотика плотности тока и поверхностный импеданс при зеркальном и почти зеркальном отражении , 234
Приложение 5. Средняя квазиклассическая плотность тока
поверхностных электронов 242
Приложение 6. функция F() в сильном магнитном поле
(5.1), (5.17) при крутом падении электронов (7.12) в отсутствие корреляции (S)s»\co + aV\) 261
Приложение 7. Обоснование нелинейной концепции неэффективности 263
Литература
- Вводные замечания. Плотность тока
- Физический анализ особенностей поверхностной релаксации электронов .
- Общие сведения об эффекте. Постановка задачи
- Волны в металлах с идеальной поверхностью
- Концепция неэффективности в нелинейной теории
Введение к работе
Настоящая диссертационная работа посвящена теории высокочастотных свойств нормальных немагнитных металлов. Речь пойдет в основном о явлениях,наблюдающихся при низких температурах в металлическом образце, помещенном в параллельное его поверхности постоянное магнитное поле.
Интенсивное теоретическое исследование электромагнитных явлений в металлах началось с аномального скин-эффекта [і]. Открытие циклотронного резонанса [2] изменило представление о свойствах металла в магнитном поле.В работе [з] была доказана принципиальная возможность возбуждения в металлах незатухающих электромагнитных волн на частотах, много меньших плазменной. К настоящему времени теоретически предсказано и экспериментально обнаружено существование многих типов вторичных бозевских ветвей в электронном спектре металла - геликонов, спиновых, циклотронных и квантовых волн, допплеронов. Помимо возбуждения собственных колебаний, в металлах была открыта еще одна возможность проникновения электромагнитных волн - аномальное проникновение траєкторного типа, или траекторный перенос. Даже столь беглое перечисление свидетельствует о разнообразии высокочастотных свойств металлов в магнитном поле. Этому вопросу посвящено большое число оригинальных работ, несколько обзоров и монографий (см., например,[4-2l]).
Необходимость изучения электромагнитных явлений в металлах обусловлена несколькими причинами. Во-первых, металлу присущи такие высокочастотные свойства (например, допплероны, аномальное проникновение, циклотронный резонанс, нелинейные явления в условиях аномального скин-эффекта), которые не имеют аналогов ни в газоразрядной плазме, ни в полупроводниках. Типичные же плазменные эффекты в металлах отличаются настолько, что требуют специального рассмотрения.
Своеобразие высокочастотных свойств металлов связано с большой концентрацией носителей электрического тока (плотность N ~
2? 2*3 *3 ~ІСг^+КГ'0 см ) и, как следствие этого, высокой проводимостью.
В металлах плазменная частота электронов 60o ~ 10+10 сек значительно превышает частоту обычно используемого радиоизлучения. Это приводит к скин-эффекту - затуханию электромагнитного поля на небольшой глубине и почти полному отражению падающей энергии от металлической поверхности. Из-за скин-эффекта необходимо даже в простейших случаях рассматривать полуограниченный образец и, в частности, исследовать взаимодействие электронов с поверхностью металла. В математическом отношении это существенно усложняет задачу и в то же время обогащает картину электромагнитных явлений. Специфические требования к изучению высокочастотных свойств металлов составляют вторую причину, по которой эти исследования необходимы.
В-третьих, электромагнитные эффекты в металлах превратились в метод изучения фундаментальных свойств проводящих твердых тел. Их теоретическое и экспериментальное исследование помогает выяснять физическую природу взаимодействия электронов с электромагнитным полем. При помощи волновых процессов измеряются характеристики поверхности Ферми, температурная зависимость длины свободного пробега, ее анизотропия и т.д. В последнее время высокочастотные свойства металлов применяются для изучения взаимодействия электронов с границей образца.
Наконец, четвертым стимулом является постоянное развитие эксперимента и технологии получения сверхчистых металлов с идеальной поверхностью. Это заставляет проводить теоретические расчеты в ранее не освоенных областях изменения параметров, учитывать дополнительные факторы, находить новые особенности и закономер- ности в известных эффектах и объяснять вновь обнаруженные явления.
6 диссертации представлена в полном виде теория циклотронного резонанса, проанализирована зависимость поверхностного импеданса металла X от магнитного поля Н в широком интервале изменения Н . Выявлены новые особенности в зависимости S,(vO как в осциллирующей части импеданса, так и в его плавной части. Построена теория эффекта запаздывания, теория плавного фонового сигнала, теория адиабатического рассеяния электронов на неодно-родностях границы. В диссертации содержится также теория аномального проникновения по цепочке электронных траекторий при диффузном и зеркальном отражениях электронов. Решена задача о возбуждении коротких циклотронных волн с помощью эффектов аномального проникновения. Предсказан своеобразный резонанс и новый тип волны на поверхностных электронах.
Необходимо подчеркнуть, что в этих работах (наряду с некоторыми работами других авторов) впервые было предпринято изучение вопроса о влиянии поверхностного рассеяния электронов на высокочастотные свойства металлов. Было показано, что данный вопрос имеет принципиальное значение, поскольку объем и качество извлекаемой из эксперимента информации связаны с состоянием границы образца. Под влиянием этих работ в физике твердого тела возникло новое направление - физика поверхностных электродинамических явлений в металлах, т.е. явлений, обусловленных взаимодействием электронов с поверхностью образца.
В последние годы появились и продолжают появляться работы,посвященные различным нелинейным электромагнитным свойствам чистых металлов при низких температурах (см., например, [22,23]). Было доказано, что металлу присущи плазменные нелинейные эффекты. Большинство же найденных нелинейностей обладает свойствами,кото- рых нет в таких явно нелинейных объектах, как полупроводники и газоразрядная плазма. Однако, как отмечено в обзоре [23], " на сегодняшний день в области изучения нелинейных свойств металлов, пожалуй, поставлено больше вопросов, чем дано ответов".
В электромагнитных волнах в качестве источника нелинейности обычно выступает сила, действующая на заряженные частицы со стороны электрического поля волны. Большая проводимость металла экранирует образец настолько, что в нем оказывается невозможным создать достаточно сильное электрическое поле. Иными словами,из--за большой величины энергии Ферми в металлах нельзя сильно исказить равновесную функцию распределения электронов. Поэтому электрический ток в металле обычно линеен по электрическому полю волны. Специфика металлической нелинейности заключается в определяющей роли магнитной компоненты электромагнитного поля, которая, будучи много больше электрической, в условиях скин-эффекта может существенным образом изменить траекторию электрона. Таким образом, металл при низких температурах представляет собой наилучший объект для изучения нелинейностей, связанных с силой Лоренца от магнитного поля волны.
Одно из центральных мест в настоящей диссертации занимает теоретическое исследование нелинейных электромагнитных явлений в металлах в условиях аномального скин-эффекта. Это направление является новым в электронной теории твердого тела.
Случай*.аномального скин-эффекта представляет особый интерес, поскольку в нем участвуют не все, а лишь так называемые "эффективные" электроны, попадающие в скин-слой и взаимодействующие с электромагнитной волной. Движение таких электронов формируется переменным и неоднородным магнитным полем волны. Из-за их малочисленности сильная нелинейность при аномальном скин-эффекте достигается уже при относительно небольших значениях амплитуды .
Для типичных металлов эти значения имеют порядок 0,1*- 10 эрстед.
В диссертации решена задача о нелинейном аномальном скин-эффекте, проанализирована зависимость поверхностного импеданса от амплитуды внешней волны. Здесь содержится теория "токовых состояний" в металлах - своеобразного гистерезисного эффекта выпрямления высокочастотного тока и возбуждения магнитного момента образца.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и семи приложений. Остановимся на кратком содержании отдельных глав диссертации.
В первой главе получено асимптотически точное решение задачи о поверхностном импедансе металла в слабых магнитных полях и в условиях аномального скин-эффекта, когда характерная длина дуги электронной траектории в скин-слое много больше эффективной длины свободного пробега. Проведен детальный анализ зависимости импеданса от магнитного поля и особенностей циклотронного резонанса (ЦР) при различных соотношениях между частотой столкновений ^) и частотой электромагнитной волны оо . Построена теория эффекта запаздывания и исследовано его влияние на форму линии ЦР во всем интервале магнитных полей. Показано, что амплитуда циклотронных осцилляции резко возрастает вблизи 05 = ^ при переходе в низкочастотную область оо < V . Это возрастание обусловлено тем, что при ч> > Oi эффект запаздывания не проявляется в зависимости импеданса от магнитного поля. Впервые найдена равномерная по параметру запаздывания асимптотика плотности тока при диффузном отражении электронов от поверхности металла. Исследовано влияние анизотропии поверхности Ферми на циклотронный резонанс в условиях эффекта запаздывания. Изучено также влияние электрон-фононного взаимодействия в случае "острого" резонанса.
Еще в первых экспериментах по наблюдению ЦР на кривой зависи-
9 мости импеданса от магнитного поля был хорошо виден плавный широкий максимум (или минимум), который предшествовал осцилляциям циклотронного резонанса - так называемый "фоновый сигнал".В четвертом параграфе первой главы проанализирована плавная немонотонная зависимость импеданса от магнитного поля и на основе этого анализа построена теория фонового сигнала.
Во второй главе диссертации исследуются высокочастотные свойства металлов в сильных магнитных полях, когда характерный путь электрона в скин-слое много меньше эффективной длины свободного пробега. С помощью физически наглядного анализа, основанного на концепции неэффективности, показано, что в условиях аномального скин-эффекта так называемые скользящие электроны могут определять электродинамику металла, поскольку они все время движутся в скин-слое и, следовательно, наиболее эффективно взаимодействуют с электромагнитной волной. В сильных магнитных полях бесстолк-новительный механизм затухания Ландау не работает, и электромагнитное поглощение металла обусловлено столкновениями скользящих электронов как в объеме, так и на поверхности образца. При этом существует достаточно широкая область значений параметров, в которой поверхностное рассеяние электронов доминирует над объемным, несмотря на свою относительную слабость (отражение электронов от границы должно быть близким к зеркальному). В связи с этим во второй главе исследовано влияние поверхностного рассеяния на высокочастотные свойства металла. На основе теории дифракции получен новый интеграл столкновений электронов с неидеальной границей, учитывающий сохранение адиабатического инварианта в системе с периодическим движением по одной из координат. С его помощью вычислены частота поверхностной релаксации S> s и импеданс металла с неровной границей в параллельном магнитном поле. Определена и проанализирована зависимость поверхностного импеданса и часто-
10 ты Vs от статистических характеристик шероховатой границы, величины магнитного поля, толщины скин-слоя, частоты и поляризации внешней электромагнитной волны. Установлено, что плавная (нерезонансная) часть импеданса является немонотонной функцией магнитного поля, если существует область магнитных полей, где поверхностное рассеяние превосходит объемное (^ CH)>V).
В данной главе подробно изучены эффекты корреляции последовательных отражений скользящего электрона от неидеальной границы. Построена теория адиабатического поверхностного рассеяния. Рассмотрены случаи слабой и сильной корреляции. Показано, что случай сильных корреляций сводится к задаче о транспортном сечении рассеяния в системе с дискретно-непрерывным спектром с двумерным случайным адиабатическим потенциалом возмущения. В отличие от временных адиабатических возмущений, одномерных по определению, двумерное адиабатическое возмущение приводит к ненулевому транспортному сечению рассеяния без изменения номера состояния (адиабатического инварианта).
В третьей главе содержится теория аномального проникновения (АЛ) электромагнитной волны в полуограниченный металлический образец по цепочке электронных траекторий. Необходимость такого исследования обусловлена тем, что во всех выполненных ранее работах по АЛ использовалось приближение безграничного металла (см., например, [б]). Такая модель не может быть полностью адекватной, поскольку не учитывает, что исходный скин-слой О0 , который генерирует последующие всплески электромагнитного поля, создается электронами, движущимися вблизи поверхности металла и взаимодействующими с ней. Модель полуограниченного образца является более реалистичной, так как в ней автоматически содержится граница раздела металл-вакуум. Задача решена как для случая параллельного поверхности магнитного поля, так и в геометрии, ког- да поле направлено под углом к границе образца. Результаты сформулированы при диффузном и зеркальном отражениях электронов.
Показано, что степень зеркальности поверхности в существенной мере влияет на характер АП. Из-за лучшей экранировки в металле с зеркальной границей амплитуда всплесков меньше, а форма линии более плавная, чем при диффузном отражении. В то время, как основной скин-слой 0о создается электронами у поверхности металла, система вторичных скин-слоев (всплесков поля) формируется "глубинными" электронами, которые существуют и в безграничном образце. Установлено, что такое "разделение труда" приводит к эффекту перенормировки скин-слоя во всплесках по отношению к исходному скин-слою: масштаб изменения поля во всплесках Sv не совпадает с глубиной основного скин-слоя 00 . Наиболее значителен эффект перенормировки в зеркальном случае, когда исходный скин-слой создается скользящими, а всплески - объемными электронами (oo«0v).
На основе решения уравнения Максвелла, которое в полуограниченном образце представляет собой довольно сложное интегральное уравнение, получено и детально проанализировано распределение электромагнитного поля в металле. Обнаружено, что кроме всплес-ковой компоненты, резко меняющейся на расстояниях oY , распределение поля в металле содержит плавное квазигармоническое слагаемое, изменяющееся на ларморовском радиусе R . Всплески локализованы на глубинах, кратных экстремальному диаметру орбиты электрона aR . При этом величина последующего всплеска много меньше величины предыдущего. Квазигармоническое слагаемое проникает в глубь металла, оставаясь практически неизменным по амплитуде. В параллельном магнитном поле квазигармоническая компонента конкурирует со всплесковой. При диффузном отражении она сравнивается со всплесковым членом в области существования четвертого всплеска. В зеркальном случае квазигармоническое распределе-
12 ниє поля начинает превалировать уже в области третьего всплеска. Наклон магнитного поля приводит к увеличению числа всплесков.Даже при относительно небольших значениях угла наклона число всплесков поля становится неограниченным, и не удается выделить квазигармоническую компоненту волны.
Основные закономерности траєкторного переноса, выявленные при теоретическом исследовании, подтверждены экспериментально.
В четвертой главе диссертации впервые поставлена и асимптотически точно решена задача о возбуждении коротких циклотронных волн. Отметим важность обсуждаемой проблемы. В главе показано, что для адекватного изучения дисперсионных свойств собственных колебаний электронной плазмы металла необходима строгая теория возбуждения этих колебаний, учитывающая граничные условия для электронов и конечность длины их свободного пробега.
Задача о генерации циклотронных волн (ЦВ) внешней электромагнитной волной в точной постановке сводится к нахождению распределения электромагнитного поля внутри ограниченного образца. При этом, как показано в предыдущих главах, важную роль играет взаимодействие электронов с поверхностью металла. Наиболее ярко влияние поверхности проявляется при зеркальном отражении, когда основной вклад в ток дают скользящие электроны. Существование ЦВ обусловлено объемными электронами. Поэтому при зеркальном отражении в исходном скин-слое (у поверхности образца) короткие циклотронные волны не возбуждаются. В четвертой главе показано, что в этой ситуации источником возбуждения слабозатухающих ЦВ служит система вторичных скин-слоев, образованных в глубине металла, благодаря эффекту АЛ траєкторного типа.
В металлах с невыпуклой или многосвязной поверхностью Ферми предсказан своеобразный резонанс на поверхностных электронах. Благодаря зеркальному отражению в таких металлах выделяется груп- па поверхностных электронов, которые периодически попадакуг во всплеск АЛ. Их взаимодействие с полем всплеска имеет резонансный характер. Резонанс происходит тогда, когда частота внешней волны кратна частоте периодического движения поверхностных электронов. Показано, что в окрестности таких резонансов должны существовать слабозатухающие волны типа циклотронных. Указаны условия наблюдения, найдены форма резонансной линии в распределении поля и спектр волн.
Возбуждение циклотронных волн в диффузном случае имеет ряд специфических особенностей по сравнению с зеркальным отражением. Здесь анизотропия поверхности Ферми не оказывает принципиального влияния на характер генерации ЦВ. Центрами возбуждения ЦВ являются как всплески поля АЛ, так и основной скин-слой, поскольку при диффузном рассеянии исходный скин-слой также создается объемными электронами. В зависимости от конкретных экспериментальных условий (в частности от соотношения между длиной затухания волны и циклотронным радиусом электронов) главную роль может играть тот или иной центр возбуждения.
В пятой главе диссертации излагаются основы последовательной теории нелинейных электромагнитных явлений в металлах в условиях аномального скин-эффекта. В первую очередь отмечены известные особенности в процессе отражения и поглощения металлом электромагнитной энергии, указаны источник и механизм нелинейности,введен параметр, характеризующий степень нелинейности.
Построена теория нелинейного аномального скин-эффекта. Для этого проанализирована динамика электронов в неоднородном квазистатическом магнитном поле волны. На основе сделанного анализа записаны точные выражения для ядер оператора нелинейной проводимости. Получены асимптотически точные значения поверхностного импеданса в режимах слабой и сильной нелинейности. Показано,что
14 при слабой нелинейности поведение реальной и мнимой частей импеданса при изменении амплитуды волны существенно различно. В области сильной нелинейности аномальный скин-эффект определяется группой "захваченных'1 (или "вьющихся") электронов, локализованных в окрестности плоскости перемены знака магнитной компоненты электромагнитной волны. Изучена зависимость импеданса от амплитуды внешнего сигнала, его частоты и длины свободного пробега электронов. Предсказаны плавные немонотонные изменения в импедансе металла при переходе из области слабой в область сильной нелинейности. Обнаружены интересные особенности при генерации различных гармоник падающей радиоволны.
В данной главе диссертации содержится также теория "токовых состояний" в металлах - своеобразного гистерезисного эффекта выпрямления тока и возбуждения собственного магнитного момента образца. На основе асимптотически точного анализа получены формулы для индуцированного постоянного магнитного поля в металле в случаях слабой и сильной нелинейности, доказан пороговый характер эффекта возбуждения токовых состояний. Замечательно, что в пределе сильной нелинейности петля гистерезиса магнитного момента оказалась универсальной кривой, которая не зависит от электродинамики металла и полностью определяется амплитудой падающей волны. Асимптотически точная теория дополнена относительно простой и физически наглядной качественной моделью токовых состояний, справедливой во всей области изменения параметра нелинейности. В рамках этой модели получено и проанализировано уравнение для индуцированного магнитного момента образца. С его помощью продемонстрировано зарождение гистерезисных петель и изучена динамика изменения их формы с ростом амплитуды внешней волны. Выводы теории находятся в хорошем согласии с результатами экспериментов В.Т.Долгополова, в которых токовые состояния впер- вые были обнаружены и исследованы [23].
При построении теории нелинейных электромагнитных явлений из--за дополнительных и часто непреодолимых аналитических трудностей, возникающих на пути точного решения задачи, значительно возрастает роль полуколичественного анализа, основанного на концепции неэффективности. Поскольку проводимость металла является функцией времени, применение указанной модели в нелинейной теории не является заранее очевидным и нуждается в обосновании и обобщении. В последней главе диссертации создана новая конструкция для концепции неэффективности, справедливая как в линейном, так и в нелинейном приближениях.
В заключении диссертации кратко сформулированы основные результаты работы и следующие из них выводы.
В первом, втором, третьем и шестом приложениях содержатся точные и приближенные значения констант, фигурирующих в формулах основного текста. Здесь также приведены решения различных интегральных уравнений, к которым сводятся уравнения Максвелла в обсуждаемых в диссертации задачах. Четвертое приложение посвящено асимптотически точному решению задачи о влиянии поверхностного рассеяния электронов на аномальный скин-эффект и циклотронный резонанс. В нем подтверждается правильность полуколичественного физического анализа, проведенного в пятом параграфе второй главы. В приложении пять методом суммирования фейнмановских диаграмм вычислена квазиклассическая плотность тока поверхностных электронов и выведено граничное условие (6.1) для функции распределения частиц, совершающих периодическое движение в направлении рассеивающей поверхности. Наконец, седьмое приложение посвящено обоснованию нелинейной концепции неэффективности.
Сформулируем основные положения и выводы диссертации, которые выносятся на защиту.
Показано, что в слабых магнитных полях на высоких частотах электромагнитные свойства металла определяются эффектом запаздывания. Влияние его на циклотронный резонанс проявляется в значительном уменьшении амплитуды и изменении формы линии высоких гармоник ЦР.
Построена теория фонового сигнала - плавных немонотонных изменений поверхностного импеданса при переходе из области слабых в область сильных магнитных полей.
Установлено, что в области сильных магнитных полей импеданс металла определяется частотами объемной >) и поверхностной -9s релаксации скользящих электронов, если отражение их от границы близко к зеркальному. Несмотря на свою относительную слабость, поверхностное рассеяние конкурирует с объемным. Нерезонансная часть импеданса является немонотонной функцией магнитного поля Н из-за смены механизмов поглощения, а также немонотонной зависимости
Развита теория адиабатического поверхностного рассеяния . Получен новый интеграл столкновений электронов с поверхностью, учитывающий адиабатические эффекты в процессе многократного рассеяния. Эти эффекты устанавливают дополнительную связь между тангенциальными импульсами до и после столкновения, которая обусловлена тем, что адиабатический инвариант при рассеянии изменяется на целое число квантов действия &"її h, .
Показано, что распределение электромагнитного поля в металле зависит от состояния его поверхности. Поверхностное рассеяние электронов определяет толщину основного скин-слоя, закон убывания поля в глубину образца, форму и амплитуду всплесков. Имеет место эффект перенормировки: масштаб изменения поля во всплесках не совпадает с толщиной исходного скин-слоя. Кроме всплесков, распределение поля в металле содержит плавное квази- гармоническое слагаемое. В параллельном магнитном поле квазигармоническая компонента конкурирует со всплесками, что приводит к их конечному числу. Наклон магнитного поля ликвидирует эту конкуренцию и увеличивает число всплесков.
Решена задача о возбуждении коротких циклотронных волн (ЦВ). Установлено, что взаимодействие электронов с поверхностью влияет на дисперсию и условия возбуждения ЦВ. При диффузном отражении центрами генерации ЦВ являются как исходный скин-слой, так и всплески поля. При зеркальном отражении источником возбуждения служит только система вторичных скин-слоев.
Предсказаны резонанс и волны на поверхностных электронах, которые периодически попадают в один из вторичных скин-слоев. Эти эффекты должны наблюдаться в металлах с идеальной границей и с невыпуклой или многосвязной поверхностью Ферми.
Построена теория нелинейного аномального скин-эффекта. Вычислена зависимость импеданса металла от амплитуды внешней волны при различной степени нелинейности. Установлено, что поверхностный импеданс должен испытывать заметные немонотонные изменения при переходе из области слабой в область сильной нелинейности. В режиме сильной нелинейности происходит смена механизмов электромагнитного поглощения: затухание Ландау исчезает и поглощение приобретает столкновительный характер. Особенностью нелинейного скин-эффекта является то, что в электромагнитном поле отсутствуют четные гармоники падающей волны. В частности, в этой ситуации не индуцируется постоянное магнитное поле.
Построена теория "токовых состояний" в металлах. Показано, что при слабой нелинейности индуцированный магнитный момент является однозначной функцией внешнего постоянного магнитного поля 1г0 , и гистерезис отсутствует. В режиме развитой нелинейности петля гистерезиса асимптотически приближается к предельной универсальной кривой, которая заключена в интервале не зависит от электродинамики металла и полностью определяется амплитудой падающей волны . Максимальное значение индуцированного магнитного поля в образце равно ± AltЫ при h,o=0. Доказан пороговый характер эффекта возбуждения токовых состояний.
10. Предложен новый вариант концепции неэффективности, применимый в нелинейном приближении, на основе которого получено уравнение для индуцированного магнитного момента образца. С его помощью продемонстрировано зарождение гистерезисных петель и изучена динамика изменения их формы с ростом амплитуды внешней волны.
Настоящая диссертация написана по материалам работ [24-48J.
Основные результаты диссертации докладывались на Второй всесоюзной конференции по теории твердого тела (Москва, 1969) [49], на Всесоюзных совещаниях по физике низких температур (Киев, 1974 [50]; Минск, 1976 [5l] ; Москва, 1979 [30,42,52-54]; Харьков,1980 [З2,55,5б] ), на Всесоюзной школе-семинаре "Электронные свойства металлов" (Минск, 1980). Кроме того, автор делал обзорные доклады по проблемам, решенным в диссертации, на Уральской зимней школе-симпозиуме физиков-теоретиков "Коуровка-Іб" (Камышлов,1977) [4і] и на трех Всесоюзных семинарах по низкотемпературной физике металлов (Красный Лиман, 1979, 1981 [Зб] и 1983 ).
Вводные замечания. Плотность тока
I. Благодаря аномальному скин-эффекту, характер взаимодействия электронов с полем скин-слоя, а следовательно, и особенности циклотронного резонанса (ЦР) определяются соотношением между временем свободного пробега ) , временем пролета электрона t = (&RSV7TJ через скин-слой о и полупериодом высокочастотного поля ТТ/СО . Здесь R - радиус электронной орбиты в магнитном поле Н » ТГ - фермиевская скорость. Обычно циклотронный резонанс наблюдается в области микроволновых частот и сравнительно сильных магнитных полей, когда время пролета через скин-слой много меньше полупериода электромагнитной волны, который в свою очередь мал по сравнению со временем свободного пробега, т.е.
Эти неравенства означают, что резонансные электроны движутся внутри скин-слоя без столкновений в статическом поле волны. Условия (I.I) являются наиболее благоприятными для наблюдения ЦР. Ситуация "обычного" циклотронного резонанса подробно исследуется во второй главе, где приведены соответствующие ссылки.
По мере повышения частоты или уменьшения магнитного поля (с увеличением номера резонанса п. ) нарушается соотношение между временем пролета XQ и полупериодом волны. При этом левое неравенство в (I.I) заменяется на обратное, тг/со « C&RB) /OJ (1.2) т.е. за время Т0 на электрон действует быстро меняющееся во времени поле электромагнитной волны, и они эффективно поглощают энергию волны лишь в течение небольшой части всего времени пребывания в скин-слое. Иначе говоря, электроны "опаздываюти выйти из скин-слоя к моменту существенного изменения поля во времени. В этом случае говорят об "эффекте запаздывания" (retardatioa еЦесі ). Впервые на существенную роль соотношения между t0 и 1GO+4VI было указано в работе [57J, где найдена плавно зависящая от Н часть поверхностного импеданса в виде разложения по обратным степеням параметра I со + гУ 1zo . Изменением характера взаимодействия электронов с высокочастотным полем в скин-слое при 60Т0 і Кох и Кип, а затем Смит (см.[58]) объясняли наблюдаемый широкий максимум на кривой зависимости производной поверхностного импеданса по магнитному полю, который предшествует осцилляци-ям ЦР. Впоследствии Камгар, Хеннингсен и Кох [59J обнаружили и исследовали ЦР в галлии в субмиллиметровом диапазоне длин волн в условиях сильного эффекта запаздывания (1.2). В этом случае амплитуда ЦР падает вследствие уменьшения эффективности взаимодействия электронов с высокочастотным полем. Несколько ранее Дрю [б0] опубликовал качественную теорию эффекта запаздывания. В работе [24j была построена последовательная асимптотическая теория эффекта запаздывания, учитывающая реальное распределение электромагнитного поля в металле и, в частности, его зависимость от характера рассеяния электронов поверхностью образца. Однако в [24J резонанс предполагался достаточно "острым", V«l ( Q. -- циклотронная частота), и была исследована лишь непосредственная окрестность резонансов (cO-nQ.l V , п. - номер резонанса). Это приближение соответствует тому, что плотность тока представляется в виде суммы двух членов: первый из них отвечает току в отсутствие магнитного поля, второй - резонансному току.
Физический анализ особенностей поверхностной релаксации электронов
В настоящей главе рассматривается область сильных магнитных полей (4.2), в которой "параметр запаздывания" мал по абсолютной величине (см.(1.3),(2.4)). Вместе с условиями аномальности скин-эффекта (1.4),(1.16) эту область можно определить с помощью следующих неравенств:
В сильных магнитных полях электромагнитные свойства металлов и, в частности, характер циклотронного резонанса в существенной мере определяются отражением электронов от поверхности образца. Как известно [2J, резонанс обусловлен "объемными" электронами, которые не сталкиваются с границей металла и при каждом обороте в магнитном поле Н вновь возвращаются в скин-слой. В формировании скин-слоя наряду с объемными важную роль могут играть "скользящие" электроны. Они сталкиваются с поверхностью, и их траектории целиком помещаются внутри скин-слоя. Такие электроны как бы скользят вдоль границы, благодаря многократным столкновениям с ней (рис.5). Степень зеркальности поверхности определяет относительную роль объемных и скользящих электронов в скин-эффекте и тем самым влияет на характер ЦР. Следовательно, объем и качество извлекаемой из эксперимента информации оказываются связанными с состоянием границы образца.
Первоначально теория ЦР строилась для диффузного отражения электронов [2,57]. В этом случае проводимость металла, а с нею и скин-слой, формируются резонансными электронами, в то время как вклад нерезонансных электронов пренебрежимо мал. Впоследствии эксперименты показали заметные расхождения с теорией [2] . Циклотронные осцилляции &(VO составляют малую часть среднего значения импеданса. Чемберс в работе [73] предпринял попытку устранить возникшие противоречия и получил результаты, находящиеся в значительно лучшем соответствии с экспериментом. Его феноменологические расчеты основаны на предположении о том, что скин-слой формируется, в основном, электронами, не принимающими участия в резонансе. Другими словами, нерезонансные электроны дают в проводимость значительно больший вклад, чем резонансные. Свое допущение Чемберс связывал с недостаточно малой величиной )/! (не слишком острый резонанс). Предположение Чемберса нашло свое естественное микроскопическое обоснование в работах [61,28,62,74, 29,75,30-37,76], в которых построена теория циклотронного резонанса при зеркальном и почти зеркальном отражениях электронов от поверхности металла. В этих случаях главный член асимптотического разложения для плотности тока не имеет резонансных особенностей, поскольку он обусловлен вкладом скользящих электронов. Циклотронный резонанс возникает лишь в следующих членах асимптотического разложения плотности тока.
Общие сведения об эффекте. Постановка задачи
І. В современной физике металлов важное место занимает исследование механизмов аномального проникновения (АП) электромагнитного поля в образец. Благодаря АП металл, помещенный в постоянное и однородное магнитное поле Н , может оказаться прозрачным для электромагнитного излучения. В настоящей главе исследуется аномальное проникновение траєкторного типа - АП, обусловленное индивидуальным движением электронов (траєкторний перенос).Природа этого явления заключается в следующем.
Без учета эффекта АП внешнее электромагнитное поле, проникая в металл, локализуется у его поверхности в скин-слое толщины 0о . Распространение волны в глубину образца связано со специфическим характером движения электронов в магнитном поле Н . Поскольку в плоскости, перпендикулярной Н , их движение финитно и периодично, электроны переносят энергию волны, полученную ими в основном скин-слое о0 , вглубь образца на расстояние, равное диаметру лар-моровской орбиты &R и образуют там вторичную токовую плоскость - всплеск электромагнитного поля. Новый токовый лист является исходным "скин-слоем" для электронов, траектории которых смещены на величину &R вглубь металла. Эти электроны, в свою очередь, создают следующий всплеск на расстоянии 4R от поверхности образца и т.д. В результате возникает своеобразная цепочка траекторий, по которой волна проникает в металл на большую глубину (рис.8).
Траекторий перенос имеет место в условиях аномального скин-эффекта и обеспечивается электронами с экстремальными диаметрами на поверхности Ферми. Ширина всплесков гораздо меньше расстояния между ними, в промежутках между токовыми листами поле во много раз слабее своего значения во всплесках.
Эффект АП был теоретически предсказан в статье [117], где рассмотрено возникновение всплесков вблизи циклотронного резонанса. В работе [П8] показано, что аномальное проникновение существует в широком диапазоне частот и не связано резонансными условиями. Экспериментально цепочка электронных траекторий была обнаружена в олове [119]. С тех пор этому эффекту было посвящено большое число работ, и к настоящему времени имеется обширный экспериментальный материал по наблюдению АП во многих металлах. При помощи эффектов АП измеряются характеристики поверхности Ферми, а также температурная зависимость длины свободного пробега и ее анизотропия. Наиболее существенные теоретические и экспериментальные результаты по исследованию различных механизмов АП содержатся в обзоре [б] (см. также статьи [120,99]).
Волны в металлах с идеальной поверхностью
Существование в металлах слабозатухающих циклотронных волн (ЦВ) было предсказано в работах [124,125]. Эти электромагнитные колебания обусловлены коллективным движением электронов с циклотронной частотой 11 , они распространяются перпендикулярно магнитному полю Н .ЦВ возникают в условиях циклотронного резонанса (ЦР) когда частота волны СО сравнима с частотой ЦР и много больше обратного электронного времени релаксации V .Спектры циклотронных волн СО Ск") расположены между двумя соседними частотами ЦР в полосах (а-1лО. СО ІґіСІ . Согласно [і24, 12б] , дисперсионная кривая CORCk начинается в точке к=0 с частоты СОп(0)=аі .С возрастанием к частота поперечных ЦВ уменьшается, достигает минимального значения в области k R , а затем увеличивается, асимптотически приближаясь к начальному значению У\Л2 (см.рис. 12). Коротковолновый участок спектра поперечных волн описывается формулой [l25j:
Выражение (14.2) справедливо для металлов со сферической поверхностью Ферми.
Затухание ЦВ определяется частотой столкновений V . В непосредственной близости KUP(YIQ.-CO«V ) вследствие электронного поглощения величина 9 превосходит дисперсию волны. Однако при выполнении условия относительное затухание циклотронной волны становится малым.
Дисперсионные свойства циклотронных волн изучались разными авторами и к настоящему времени достаточно хорошо проанализированы (см., например, [4,5,14,124-126] ). Так, в работах [13,14, 124] был решен важный вопрос о влиянии ферми-жидкостного взаимодействия на спектр и затухание собственных электромагнитных колебаний в металлах. Вопрос о возбуждении коротких ЦВ впервые был поставлен и теоретически исследован в наших работах [38,43-45] .
Задача о генерации ЦВ внешней электромагнитной волной в точной постановке сводится к нахождению распределения электрического поля Е внутри ограниченного образца. При этом, как показано в предыдущей главе, важную роль играет взаимодействие электронов с поверхностью металла. Наиболее ярко влияние поверхности проявляется при зеркальном рассеянии, когда основной вклад в высокочастотный ток дают скользящие электроны (см.рис.13). Подчеркнем, что существование ЦВ обусловлено объемными электронами,которые не сталкиваются с границей. Поэтому при зеркальном отражении в исходном скин-слое (у поверхности металла) короткие циклотронные волны не возбуждаются. В рассматриваемой ситуации электромагнитные колебания генерируются в глубине образца благодаря эффекту аномального проникновения траєкторного типа (см.главу Ш).
Концепция неэффективности в нелинейной теории
2. Чтобы система уравнений (18.2), (18.3) была полной, нужно знать плотность тока j(x,) . Для этого обычно решают кинетическое уравнение Больцмана, которое линеаризуется по электрическому полю Е С X 51) , но содержит силу Лоренца магнитного поля HCx,"f) . Затем находится асимптотика проводимости, справедливая в условиях аномального скин-эффекта. Такой строгий подход, с помощью которого проводились вычисления в предыдущих главах, даже в линейной теории является довольно сложным и громоздким. Поэтому для плотности тока часто используются качественные выражения, полученные в модели концепции неэффективности.
Эта простая и физически наглядная модель, предложенная в свое время Пиппардом для объяснения природы линейного аномального скин-эффекта, не только помогает прояснить сложную и запутанную картину точного расчета. Она интересна сама по себе, так как исходит из физической сущности явления и раскрывает все характерные особенности того или иного эффекта. В линейной теории она позволяет получать для импеданса металла результаты с точностью до постоянного вещественного множителя порядка единицы. Иными словами, правильно получаются не только все зависимости от параметров задачи, но и фаза импеданса, а точный расчет зачастую сводится к вычислению этого множителя.
Концепция неэффективности с успехом применялась и применяется при исследовании различных высокочастотных свойств металлов: в теории аномального скин-эффекта, в теории циклотронного резонанса и т.д. Выше мы применяли ее для выяснения роли поверхностного рассеяния электронов в электромагнитных явлениях (см. 5). Необходимо подчеркнуть, что использование концепции неэффективности в нелинейной теории в определенном отношении"еще более" оправдано из-за дополнительных математических трудностей, которые возникают при строгом подходе. Более того, в некоторых случаях оказывается вообще невозможным решить задачу асимптотически точно, и результаты удается получить только в рамках концепции неэффективности.
Концепция неэффективности базируется на том факте, что в аномальном скин-эффекте участвуют не все, а лишь небольшая часть электронов, которые дольше всего находятся в скин-слое и, следовательно, наиболее эффективно взаимодействуют с электромагнитной волной. Такие электроны называются эффективными. Их проводимость Q э оценивается с помощью простой и хорошо известной формулы (5.2). Как правило, из-за пространственной дисперсии оказывается, что в эср = оэсрС8) . Поэтому уравнения Максвелла превращаются в уравнение (5.6) для определения о . Зная О , мы с помощью (5.5) находим и поверхностный импеданс.
При точном решении задачи вычисление асимптотики плотности тока фактически означает выделение группы эффективных электронов. С математической точки зрения концепция неэффективности эквивалентна тому, что истинный интегральный оператор проводимости заменяется оператором умножения, имеющим тот же порядок величины.
Проводимость эффективных электронов в нелинейной теории зависит не только от глубины скин-слоя, но и от времени. Это требует новой конструкции для концепции неэффективности. Для простоты ограничимся случаем низких частот
