Содержание к диссертации
Введение
1 Фотонные кристаллы: свойства и применение 11
1.1 Электродинамика сплошных сред: основные понятия . 11
1.2 Оптические свойства фотонных кристаллов 17
1.3 Использование фотонных кристаллов в оптоэлектронике . 37
1.3.1 Антиотражающие покрытия 37
1.3.2 Оптические химические сенсоры 41
1.3.3 Источники света 44
1.4 Результаты главы 47
2 Численные методы для расчета оптических свойств металло-диэлектрического фотонного кристалла 49
2.1 Метод разложения по плоским волнам 49
2.2 Расчет плотности фотонных состояний в методе плоских волн. 63
2.3 Слоевой метод Корринга-Кона-Ростокера 65
2.4 Метод конечных разностей для уравнений Максвелла во временной форме 71
2.5 Результаты главы 81
3 Расчет зонной структуры металлических фотонных кристаллов: модифицированный метод разложения по плоским волнам 83
3.1 Метод разложения по плоским волнам. Формула Друде-Лоренца 83
3.2 Метод решения уравнения на собственные значения 87
3.3 Результаты расчетов 90
3.4 Результаты главы 91
4 Формирование спектра поглощения металло диэлектрических трехмерных фотонных кристаллов 95
4.1 Исследуемая структура 96
4.2 Результаты и анализ численных расчетов 97
4.3 Результаты главы 109
5 Оптический аналог эффекта Бормана в фотонных кристаллах 111
5.1 Эффект Бормана в рентгеноскопии 111
5.2 Эффект Бормана в фотонном кристалле 114
5.3 Результаты главы 128
Заключение 130
Основные результаты и выводы работы 130
Достоверность результатов 131
Литература 133
- Оптические свойства фотонных кристаллов
- Оптические химические сенсоры
- Слоевой метод Корринга-Кона-Ростокера
- Эффект Бормана в фотонном кристалле
Введение к работе
Диссертация посвящена исследованию свойств двумерных и трехмерных металло-диэлектрических фотонных кристаллов с помощью численного моделирования. Развит модифицированный метод разложения по плоским волнам для двумерных периодических оптических систем, учитывающий частотную дисперсию в металле. Исследованы спектры поглощения трехмерных фотонных кристаллов. Рассмотрен новый эффект, связанный с резкой перестройкой электромагнитного поля в трехмерном фотонном кристалле с поглощающими элементами.
Актуальность работы. Фотонные кристаллы представляют собой структуры, как правило, искусственные, с периодической модуляцией диэлектрической проницаемости на масштабах, сопоставимых с длиной электромагнитной волны в видимом и ближнем инфракрасном (ИК) диапазонах [1]. Распространение излучения внутри фотонного кристалла благодаря периодичности среды становится похожим на движение электрона внутри обычного кристалла под действием периодического потенциала. Поэтому электромагнитные волны в фотонных кристаллах имеют зонный спектр и координатную зависимость, аналогичную блоховским волнам электронов в обычных кристаллах. В частности, указанная периодичность обуславливает возникновение фотонной запрещенной зоны - спектральной области, зависящей от геометрических параметров фотонного кристалла и от свойств материала, внутри которой распространение света в фотонном кристалле подавлено во всех или в некоторых выделенных направлениях (соответственно, полная фотонная запрещенная зона или стоп-зона) [2].
Фотонные кристаллы интересны как с фундаментальной точки зрения (например, для управления квантово-электродинамическими процессами), так и для многочисленных приложений. Они широко исследуются в современных экспериментальных и теоретических работах. На основе фотонных кристаллов создаются и разрабатываются оптические фильтры, волноводы [3], устройства, позволяющие осуществлять управление тепловым излучением [4], антиотражающие покрытия [5, 6], на основе фотонных кристаллов были предложены конструкции лазеров с пониженным порогом накачки. Также в последние годы стали активно разрабатываться различные конструкции сенсоров, основанных на фотонных кристаллах [7-9].
Для использования фотонных кристаллов в прикладных задачах требуется оптимизация геометрии их структурных элементов, подбор типа и периода решетки, а также выбор материала, обладающего подходящими оптическими свойствами. Как показывают экспериментальные
и теоретические исследования, оптические спектры фотонных кристаллов очень чувствительны ко всем перечисленным параметрам. Именно этим определяется особая роль моделирования и компьютерного конструирования свойств фотонных кристаллов [9-11].
Помимо изменения спектров отражения, прохождения и поглощения металло-диэлектрические фотонные кристаллы обладают специфической плотностью фотонных состояний [12]. Как оптические спектры, так и плотность состояний сильно модифицируется в фотонном кристалле по сравнению с однородной средой. Измененная плотность состояний может существенным образом влиять на время жизни возбужденного состояния атома или молекулы, помещенных внутрь фотонного кристалла, и, следовательно, менять характер люминесценции [2, 3]. Например, если частота перехода в молекуле-индикаторе, находящейся в фотонном кристалле, попадет в запрещенную зону, то люминесценция на этой частоте будет подавлена. Наличие в фотонных кристаллах трансляционной симметрии приводит к тому, что нормальными модами электромагнитного поля, существующими в кристалле, являются блоховские функции. Распределение интенсивности локального электромагнитного поля внутри элементарной ячейки фотонного кристалла существенно неоднородна. Это влияет на поглощение центрами люминесценции внешнего излучения, падающего на фотонный кристалл, и на скорость их перехода в возбужденное состояние, и как следствие, изменяет интенсивность люминесценции. Подобные эффекты могут быть использованы, например, в оптических химических сенсорах и других устройствах, связанных с подавлением или усилением люминесценции [9].
Перераспределение плотности фотонных состояний приводит к изменению спектра излучения нагретого фотонно-кристаллического образца. Внутри запрещенных зон фотонного кристалла плотность фотонных состояний равна нулю, и излучение электромагнитных волн подавлено. Вне запрещенных зон интенсивность излучения непосредственно связана с плотностью состояний и может сильно варьироваться на разных частотах. На основании этого явления в литературе было высказано предложение о возможности использования металло-диэлектрических фотонных кристаллов в качестве высокоэффективных источников видимого света, излучение которых может быть подавлено в ИК диапазоне, что позволит добиться существенно больших КПД таких источников света по сравнению с обычными лампами накаливания [4,11].
Цель работы состоит в:
1) модификации существующего численного метода разложения
по плоским волнам для расчета зонной структуры двумерного металло-диэлектрического фотонного кристалла с диэлектрической проницаемостью металла в форме Друде-Лоренца;
апробации разработанного модифицированного метода для расчета зонной структуры двумерного фотонного кристалла, содержащего цилиндры из вольфрама при температуре Т = ЗООК7 и сравнении результатов расчета с оптическими спектрами такого фотонного кристалла, полученными независимым численным методом;
исследовании пиков в спектре поглощения трехмерного фотонного кристалла, содержащего поглощающие металлические сферы;
исследовании распределения плотности энергии электромагнитного поля внутри элементарной ячейки металло-диэлектрического фотонного кристалла, имеющего геометрию опала с разной формой рассеивающих центров фотонного кристалла, в случае нормального падения излучения на структуру;
обнаружении области резкого изменения коэффициента поглощения света в фотонном кристалле, содержащем поглощающие металлические сферы, при небольшом изменении угла падения и длины волны излучения;
анализе связи резкого изменения коэффициента поглощения с перераспределением плотности энергии электромагнитного поля в элементарной ячейке металло-диэлектрического фотонного кристалла при изменении угла падения электромагнитного излучения на структуру.
Научная новизна работы. Обобщен метод разложения по плоским волнам для расчета зонной структуры двумерного металло-диэлектрического фотонного кристалла на более реалистическое описание диэлектрической функции в видимом и ближнем ИК диапазонах с помощью формулы Друде-Лоренца, учитывающей межзонные переходы в металле.
Модифицированный метод разложения по плоским волнам апробирован при расчете зонной структуры двумерного фотонного кристалла, содержащего цилиндры из вольфрама при температуре Т = 300К] проведено сравнение расчитанной зонной структуры бесконечного двумерного фотонного кристалла с рассчитанными спектрами прохождения, отражения и поглощения для конечного (6-ти слойного) образца фотонного кристалла.
Установлена связь спектров поглощения трехмерного металло-диэлектрического фотонного кристалла с резонансами Фабри-Перо в диэлектрической пластинке, а также с зонной структурой и с приведенной плотностью фотонных состояний диэлектрического опала.
Показано, как изменяется плотность энергии локального поля в элементарной ячейке металло-диэлектрического фотонного кристалла при изменении длины волны излучения и угла падения волны на структуру.
Показано, как перераспределение плотности энергии локального поля в элементарной ячейке металло-диэлектрического фотонного кристалла ведет к изменению коэффициента поглощения электромагнитного излучения.
Проанализирована аналогия между перераспределением
электромагнитного поля в металло-диэлектрическом фотонном кристалле и эффектом аномального поглощения (эффектом Бормана) для рентгеновских волн в обычных кристаллах.
Практическая ценность работы. Развитый метод может быть использован для определения положения запрещенных зон в спектре двумерного металло-диэлектрического фотонного кристалла, содержащего металл как при комнатной, так и при высокой температуре (= 3000 К), с использованием экспериментальных значений диэлектрической проницаемости в оптическом и ПК диапазонах длин волн.
Описанный эффект резкой перестройки локального поля в элементарной ячейке фотонного кристалла может быть использован в фотонно-кристаллических оптических сенсорах, основанных на люминесценции молекул [9].
Положения, выносимые на защиту.
Разработан модифицированный метод расчета зонной структуры двумерного металло-диэлектрического фотонного кристалла с учетом более точного описания частотной дисперсии металла (с использованием формулы Друде-Лоренца вместо формулы Друде).
Получены спектры поглощения трехмерного металло-диэлектрического фотонного кристалла, имеющего структуру опала, при наличии и отсутствии полостей, окружающих металлические ядра, для нормально падающей волны. Объяснена причина появления пиков в спектре поглощения металло-диэлектрического фотонного кристалла.
Проанализировано перераспределение плотности энергии электромагнитного поля в элементарной ячейке металло-диэлектрического фотонного кристалла при небольшом изменении
длины волны падающего излучения и взаимосвязь этого перераспределения с величиной коэффициента оптического поглощения.
Получена зависимость спектра поглощения трехмерного металло-диэлектрического фотонного кристалла от угла падения электромагнитной волны. Расчитана зависимость приведенной плотности фотонных состояний трехмерного металло-диэлектрического фотонного кристалла от частоты для наклонного падения излучения на структуру.
Предложен оптический аналог эффекта Бормана в трехмерном металло-диэлектрическом фотонном кристалле.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены на научно-технических конференциях МФТИ (Долгопрудный, 2004 - 2008), Школах молодых ученых ИБРАЭ РАН (г. Москва, 2006, 2008 и 2009), 4-ой Всероссийской Школе-Симпозиуме "Динамика и структура в химии и биологии"(Московская обл., 2006), Международных научно-технических школах-конференциях "Молодые ученые - науке, технологиям и профессиональному образованию" (МИРЭА, Москва, 2006 и 2008), Конференции ТРИНИТИ (Московская обл., г. Троицк, 2007), Конференции по физике конденсированного состояния, сверхпроводимости и материаловедению (г. Москва, Российский научный центр "Курчатовский институт 2007), II Всероссийской конференции ММПСН-2009, Многомасштабное моделирование процессов и структур в нанотехнологиях (г. Москва, 2009), 18th International Laser Physics Workshop, Seminar 8: Nanophotonics (Испания, Barcelona, 2009), Progress In Electromagnetics Research Symposium (Китай, Xi'an, 2010).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 7 работ в реферируемых научных изданиях [6, 9, 11, 13-16] (список в конце автореферата), 1 работа в нереферируемом научных издании [17] и тезисы российских и международных конференций.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения, изложена на 143 страницах, включая 55 рисунков, 2 таблицы и 115 наименований цитируемой литературы.
Оптические свойства фотонных кристаллов
Фотонные кристаллы (ФК) представляют собой структуры, характеризующиеся периодическим изменением диэлектрической проницаемости в пространстве. Оптические свойства ФК сильно отличаются от оптических v свойств сплошных сред. Распространение излучения внутри ФК благодаря периодичности диэлектрической проницаемости становится похожим на движение электронов внутри обычного кристалла под действием периодического потенциала. В результате электромагнитные волны в ФК имеют зонный спектр и координатную зависимость, аналогичную блоховским волнам электронов в обычном кристалле. При определенных условиях в зонной структуре ФК образуются щели, аналогично запрещенным электронным зонам в естественных кристаллах. В зависимости от конкретных свойств (материала элементов, их размера и периода решетки) в спектре ФК могут образовываться как полностью запрещенные но частоте зоны, для которых распространение излучения невозможно независимо от его поляризации и направления, так и частично запрещенные (стоп-зоны), в которых распространение возможно лишь в выделенных направлениях. ФК делятся на три типа: одномерные, двумерные и трехмерные (Рис. 1.3). Одномерными являются ФК с чередующимися слоями, сделанными из разных материалов (Рис. 1.4). По сути, это слоистые среды, оптические свойства которых подробно изучались давольно давно [22-25] в связи, в частности, с многочисленными применениями: дифракционные решетки, голограммы, лазеры на свободных электронах, лазеры с распределенным брэгговским отражением.
Двумерные ФК могут иметь более разнообразные геометрии. К ним, например, можно отнести массивы бесконечных по длине цилиндров (их поперечный размер много меньше продольного) или периодические системы цилиндрических отверстий (Рис. 1.5). Структуры трехмерных ФК весьма разнообразны. Наиболее распространенными в этой категории являются искусственные опалы - упорядоченные системы сферических рассеивателей. Различают два основных типа опалов: прямые и обратные (или инверсные, от англ. "inverse") опалы [26]. Переход от прямого опала к обратному опалу осуществляется заменой всех сферических элементов полостями (как правило, воздушными), в то время как пространство между этими полостями заполняется каким-либо материалом. На Рис 1.6 представлена поверхность ФК, представляющего собой прямой опал с кубической решеткой на основе самоорганизованных сферических микрочастиц полистирола. Структура, изображенная на Рис. 1.7, представляет собой инверсный опал, синтезированный в результате многостадийного химического процесса: самосборки полимерных сферических частиц, пропитки пустот полученного материала веществом и удалением полимерной матрицы путем химического травления. Еще одним типом трехмерных ФК являются структуры типа "поленница" (англ. - logpiles), образованные скрещенными, как правило, под прямым углом прямоугольными параллелепипедами (Рис. 1.8). Применение ФК на практике существенно ограничивается отсутствием универсальных и простых методов их изготовления. В наше время реализовано несколько подходов к созданию ФК. Ниже описаны два основных подхода. Первым из них является так называемый метод самоорганизации или самосборки. При самосборке фотонного кристалла используются коллоидные частицы (самыми распространенными являются монодисиерсные кремниевые или полистироловые частицы [27-29]), которые находятся в жидкости и по мере испарения жидкости осаждаются в объеме.
По мере их "осаждения" друг на друга, они формируют трехмерный ФК и упорядочиваются, в зависимости от условий, в кубическую гранецентрированную или гексагональную кристаллическую решетку. Этот метод достаточно медленный, формирование ФК может занять несколько недель. Также к его недостаткам можно отнести плохо контролируемый процент появления дефектов в процессе осаждения. Одной из разновидностей метода самосборки является так называемый сотовый метод [27, 28, 30]. Этот метод предусматривает фильтрование жидкости, в которой находятся частицы, через малые поры, и позволяет формировать ФК со скоростью, определяемой скоростью течения жидкости через эти поры. По сравнению с обычным методом осаждения указанный способ является гораздо более быстрым, однако и процент появления дефектов при его использовании является более высоким. К достоинствам описанных методов можно отнести тот факт, что они позволяют формировать образцы ФК больших размеров (площадью до нескольких квадратных сантиметров). Вторым наиболее популярным методом изготовления ФК является метод травления. Различные методы травления, как правило, применяются для изготовления двумерных ФК. Эти методы основаны на применении маски из фоторезиста (которая задает, например, массив полусфер), сформированной на поверхности диэлектрика или металла и задающей геометрию области травления. Эта маска может быть получена с помощью стандартного метода фотолитографии, за которым непосредственно следует химическое травление поверхности образца с фоторезистом. При этом, соответственно, в областях нахождения фоторезиста, происходит травление поверхности фоторезиста, а в областях без фоторезиста -травление диэлектрика или металла. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнута нужная глубина травления, после чего фоторезист смывается. Недостатком указанного метода является использование процесса фотолитографии, наилучшее пространственное разрешение которой определяется критерием Рэлея. Поэтому этот метод подходит для создания
Оптические химические сенсоры
Оптические химические сенсоры - устройства для детектирования различных химических, в том числе летучих, веществ (аналитов). Принцип работы хемосенсора заключается в изменении люминесценции молекул красителя (сдвиг полос излучения или изменения их интенсивности), входящих в состав рецепторных центров, при взаимодействии их с аналитом. Имея набор из специально подобранных рецепторных центров, по изменению окраски или яркости сенсора можно определить, какое вещество находится в воздухе. Чем сильнее изменяется спектр люминесценции, тем больше чувствительность сенсора [10]. Задача создания и оптимизации работы химических оптических сенсоров включает в себя целый ряд физико-химических проблем. Сенсорный слой рассматриваемого оптического химического сенсора представляет собой упорядоченную систему наноразмерных частиц (диаметр от 200 им до 2 мкм), содержащих в себе рецеиторные супрамолекулярные центры (молекулы красителя). Упорядоченные ансамбли формируются из тонких пленок или микрокапель раствора путем самосборки наночастиц [68]. Технологии самосборки основываются на процессе самоорганизации наночастиц в ансамбль наноструктур в дпесииативной системе. Размер наночастиц, входящих в состав сенсорного слоя, лежит в диапазоне длины волны видимого света или ближнего ИК. При самоорганизации таких частиц может образоваться многослойная плотноупакованная структура, имеющая вид гранецентрированной кубической решетки с периодом порядка размера входящих в нее наночастиц. Если при этом частицы имеют достаточно правильную форму и одинаковый размер, то такая система будет работать как фотонный кристалл для электромагнитного излучения с длиной волны порядка периода решетки в структуре. Поэтому эффекты, связанные с наличием фотонного кристалла, необходимо учитывать при разработке геометрии и подборе параметров оптического хемосенсора. Плотность фотонных состояний внутри фотонного кристалла сильно модифицируется по сравнению однородной средой. С точки зрения фотоники сенсорный слой представляет собой связанную систему дипольных излучателей (молекул красителя) и среды со сложной (модифицированной фотонным кристаллом) дисперсией фотонных состояний. Измененная плотность состояний существенным образом влияет на время жизни возбужденного состояния молекулы красителя, и, следовательно, меняет спектр люминесценции [2,7,69].
Интенсивность локального электромагнитного ноля внутри элементарной ячейки фотонного кристалла существенно неоднородна. Этот эффект может повлиять на поглощение молекулами красителя поля накачки и на их переход в возбужденное состояние и, как следствие, изменить интенсивность люминесценции. Эти и другие эффекты взаимодействия структурированной среды могут увеличить чувствительность химического оптического сенсора. Во-первых, при небольшой концентрации аналита в среде лишь небольшое количество рецепторных центров смогут провзаимодействовать с ним, однако вероятность возбуждения провзаимодействовавших молекул можно увеличить за счет помещения их в область усиленного поля внутри ФК. Во-вторых, можно увеличить вероятность люминесценции на заданной частоте за счет увеличения локальной плотности фотонных состояний. В-третьих, для детектирования важно, насколько изменится спектр излучения красителя после взаимодействия с аналитом; если пик излучения красителя до взаимодействия с аналитом будет лежать внутри запрещенной зоны ФК, а после взаимодействия сдвинется в область разрешенных частот, то такое изменение спектра станет более эффективным. Основными этапами моделирования работы сенсорного слоя являются: вычисление интенсивности локального поля вблизи молекулы красителя при падении на сенсорный слой плоской волны поля накачки; вычисление локальной плотности фотонных состояний на резонансных частотах излучения молекулы-красителя (свободной или ее комплекса с аналитом); вычисление интенсивности излучения красителей внутри фотонного кристалла как функции координаты и длины волны /(г, А); расчет распространения поля интенсивности /(г, А), излученного молекулами красителя, внутри фотонного кристалла; вычисление распределения по углам интенсивности поля, прошедшего сквозь фотонный кристалл. Спектры поглощения и люминесценции молекул-красителей и их комплексов с аналитом также могут быть получены с помощью численного моделирования [10,70] и взяты непосредственно из эксперимента. В нашей работе [9] был предложен метод для расчета оптических характеристик сенсорного слоя, основанного на фотонном кристалле и проведены численные расчеты для кубического гранецентрированного опала, составленного из кварцевых шариков (n = 1.45) диаметром 242 нм в водной среде (n = 1.33), расстояние между центрами шариков 252 нм. Излучение красителя в методе FDTD (см. 2.4) моделировалось дипольным излучением. На Рис. 1.18 представлено отношение интенсивности излучения диполя, помещенного в фотонный кристалл, к спектру его излучения в сплошной среде (в воде). На этом рисунке хорошо видно подавление люминесценции в фотонной щели с минимумом вблизи 570 нм. Эти результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными для такой же структуры фотонного кристалла, представленными в работе М. Мегенса [71]. При увеличении контраста диэлектрической проницаемости фотонного кристалла (изменении материала наночастиц и среды) и изменении периода решетки, область подавления люминесценции может быть уширена и сдвинута в другую область частот в соответствии со сдвигом запрещенной зоны в дисперсионном законе для фотонного кристалла [1]. Еще одним перспективным направлением современной оптики является управление излучением с помощью фотонных кристаллов.
В частности, в Лаборатории Сандии исследовались ФК типа "поленницы"(log-piles) [72,73] с целью достижения высокой селективности излучения металлических фотонных кристаллов в ближнем инфракрасном диапазоне, одновременно с сильным подавлением излучения в среднем ИК диапазоне ( 20мкм). В этих работах было показано, что для таких ФК излучение в среднем ИК диапазоне сильно подавлено из-за наличия в спектре ФК полной фотонной щели. Однако качество полной фотонной щели падает с ростом температуры из-за увеличения поглощения в вольфраме [21], что приводит к низкой селективности излучения при высоких температурах. Согласно закону Кирхгофа для излучения в тепловом равновесии, излучательная способность серого тела (или поверхности) пропорциональна его поглощательной способности [18]. Поэтому для
Слоевой метод Корринга-Кона-Ростокера
Метод LKKR [55] (от англ. Layered Korringa-Kohn-Rostoker method, слоевой метод Корринга-Кона Ростокера) основан на теории многократного рассеяния электромагнитных волн и предназначен для вычисления спектральных характеристик образцов, имеющих слоистую структуру в одном направлении и периодическую диэлектрическую проницаемость в других двух направлениях в каждом слое (например, фотонных кристаллов или многослойные структуры). Этот метод позволяет вычислять как дисперсионные зависимости для фотонных кристаллов, так и коэффициенты прохождения и отражения для образцов конечной толщины [55,87-91]. Метод работает с трехмерной структурой, имеющей бесконечные размеры в двух направлениях (например, X и Y) и обладающей конечной толщиной в третьем направлении (Z). В Z-направленпи производится разбиение структуры на слои, каждый из которых представляет собой двумерную решетку из сферически-симметричных элементов. Процедура вычисления прошедшего и отраженного полей при рассеянии на слоистой структуре в методе LKKR разбита на несколько этапов: 1. На первом этапе решается задача рассеяния плоской электромагнитной волны на одном сферически-симметричном элементе решетки, при этом производится разложение волны по векторным сферическим функциям с учетом граничных условий на границе сферического слоя. 2. Учитывается двумерная трансляционная симметрия слоя. Полученная матрица (матрица перехода) преобразует электромагнитное поле слева (до) слоя в поле справа (после) слоя. 3. Вышеописанная процедура повторяется для каждого следующего слоя. Результирующая матрица преобразует электромагнитное поле слева (до) структуры в поле справа (после) структуры (дополнительно может быть учтено, что вся структура как целое погружена в диэлектрический слой конечной толщины). 4.
Вычисляется поток энергии отраженного (прошедшего) поля слева (справа) от структуры. Отношение потоков энергии к падающему потоку дает коэффициенты прохождения, отражения и поглощения. Рассмотрим принцип работы метода LKKR подробнее. Зададим двумерную решетку: Векторы обратной решетки для нее имеют вид: Слой фотонного кристалла представляет собой систему сфер с центрами в узлах решетки, бесконечную в направлениях XY. Диэлектрическую и магнитную проницаемости внутри сфер обозначим є3(и), /is(u;), а вне сфер є (си), ц(со). Пусть на слой фотонного кристалла слева падает плоская электромагнитная волна. Волновой вектор падающей волны разложим на составляющие вдоль плоскости XY и вдоль оси Z: где fc лежит в первой зоне Бриллюэна, д - один из векторов обратной решетки. Введем систему векторов, отличаюнціхся от q длиной проекции на плоскость XY на целое число векторов обратной решетки: (+ для волны, падающей слева направо, — для волны, падающей справа налево). И запишем падающую волну в виде: Здесь щ - единичный вектор, направленный вдоль одной из осей, г = ж, у, z. Они могут быть получены из граничных условий для электрического и магнитного полей на поверхности сферы (непрерывность тангенциальной компоненты Е и Ы) [55,92] и выражаются через сферические функции Бесселя ji, диэлектрические и магнитные проницаемости: ss(cv), (J,s(u ), є(ш), /л(ш). Волна, прошедшая через слой фотонного кристалла, складывается из падающей и рассеянной волн. Мы можем записать ее в виде:
В эти выражения входят векторные сферические гармоники Xim(K ), которые могут быть получены из скалярных сферических гармоник Yim(Kg) с помощью уравнения [91]: В выражении для матричных элементов (2.80) коэффициенты b f m являются решением уравнения, связывающего коэффициенты разложения падающей волны по сферическим гармоникам а с коэффициентами разложения для волны, рассеянной плоскостью, состоящей из решетки сфер. Это уравнение имеет вид: Здесь TEmVm, = Tf5ii 5mm!. Матрицы Tf связывают амплитуду падающей волны с амплитудой волны, рассеянной на одиночной сфере: Они могут быть получены из граничных условий для электрического и магнитного полей на поверхности сферы (непрерывность тангенциальной компоненты Е и Н) [55, 92] и выражаются через сферические функции Бесселя ji, диэлектрические и магнитные проницаемости: es(uj), f s(co), Матрицы QPF" = {Qfmvmi} в уравнении (2.83) имеют размерность Imaxilmax + 2) х lmax{lmax + 2). Они зависят от геометрии решетки (2.71),
Эффект Бормана в фотонном кристалле
Метод конечных разностей для решения уравнений Максвелла, зависящих от времени [94, 95] FDTD, представляет собой численную процедуру, в рамках которой производится прямое интегрирование этих уравнений. В уравнениях Максвелла (1.1-1.4) введем М - магнитный аналог плотности электрического тока, который будет использован далее для общности некоторых выражений: использованием центрального разностного отношения для приближения пространственной и временной производных. Для этого сеточные узлы, в которых хранятся компоненты электрического и магнитного полей, смещены по отношению друг к другу на половину сеточного шага по каждой из пространственных переменных (Рис. 2.6). В результате, те узлы, которые соответствуют компонентам нолей Е, расположены таким образом, что каждая компонента Е окружена четырьмя компонентами Я, и наоборот. Таким образом, пространство разбивается на совокупность взаимосвязанных квадратных контуров, в центре каждого из которых — — находится компонента Е (Я), соответствующая направлению нормали к плоскости контура, а в центрах окружающих его сторон находятся компоненты поля Я (Е), направление которых параллельно этим сторонам.
Согласно алгоритму Йи соответствующие компонентам Я и Я узлы сдвинуты относительно друг друга по времени на половину временного шага (в качестве примера на Рис. 2.7 это показано для одномерной сетки Йи). Для расчета значений ноля Е на п + 1/2-ом временном шаге используются значения поля Н на n-ом. Аналогичным образом значения поля Н на п + 1-ом шаге рассчитываются с использованием значении ноля — Е на п + 1/2-ом шаге. Эта процедура продолжается до тех пор, пока расчет не будет закончен. Она соответствует явной схеме для решения дифференциальных уравнений на сетке. Введем обозначения, которые ставят в соответствие каждому сеточному узлу три целых числа i,j,k, определяющих положение этого узла в пространстве: где Аж, Ay и Аг суть сеточные шаги по соответствующим направлениям. Произвольная сеточная функция и имеет вид де At - шаг по времени, an- текущая временная итерация. В алгоритме Йи для аппроксимации присутствующих в уравнениях Максвелла производных используется центральное разностное отношение. (2.101) Стоящие в правой части (2.102) переменные берутся на временном шаге п, включая поле Ех. Поскольку для значения Ех в момент времени п данных на сетке нет, нужно использовать какое-то приближение. Таким приближением, например, является усреднение по соседним временным слоям: Мы получили разностное уравнение, соответствующее проекции закона Ампера на ось X, которое вместе с пятью оставшмися аналогичными разностными уравнениями и формируют схему Йи. Можно показать, что в случае непроводящей среды (а = 0) и при отсутствии источников тока J два оставшиеся незадействованными уравнения Максвелла (2.92), (2.93) выполняются автоматически, а именно, дивергенция полей Е и Н всегда равна нулю. При наличии источников тока справедливость двух оставшихся уравнений непосредственно не вытекает из разностной схемы, но с хорошей точностью подтверждается в численном эксперименте [94]. Выбор значений Ах, Ay, Az обуславливается геометрией задачи и спектральным составом излучения. Для достаточной точности на характерный размер объекта (радиус шариков, толщину экрана и т. и.) должно приходится не менее нескольких сеточных шагов, а на характерную длину волны - от десяти и больше. Величина значения At ограничена сверху условием Куранта выполнение которого необходимо для устойчивости разностной схемы.
Выше была рассмотрена схема Йи для случая, когда среда характеризуется не зависящими от частоты скалярными значениями є, /LI, а, а . Численное моделирование анизотропных, дисперсных и нелинейных сред требует модификации этой схемы и применения вспомогательных разностных уравнении [94]. Нужно отметить, что численная схема FDTD не предполагает возможности табличного задания зависимости диэлектрической проницаемости от частоты. Однако в FDTD можно задать эту зависимость в виде произвольного числа членов в форме Друде и Лоренца: Перечислим элементы численного эксперимента FDTD [94,96-98]. Материальные тела, оптические свойства которых исследуются в эксперименте. Если составляющая тело среда изотропна, недисперсна и линейна, то задание материального тела заключается в принятии коэффициентами (2.105), (2.106) соответствуюищх значений в тех узлах сетки, которые лежат внутри тела [98]. Источник электромагнитной волны. Самый простой способ задания источника заключается в задании временной зависимости величины J source в (2.104). Такой тип источника обычно используется при моделировании диполей. Для генерации плоской волны более удобен другой тип источника, реализуемый с помощью метода полного и рассеянного поля (total-field / scattered-field method) [94]. Детекторы, записывающие значения полей на сетке в течение всего численного эксперимента в файл. По окончании расчета на основании этого файла можно восстановить ход численного эксперимента. Детекторы не привязаны к сетке и могут размещаться в произвольном месте вычислительного объема. Значения полей на них получаются путем интерполяции по соседним сеточным узлам. Обычный сценарий численного эксперимента FDTD выглядит так [97]: Внутри вычислительного объема, задаваемого размером используемой сетки, помещаются материальные тела, источник и детекторы. На границе вычислительного объема должны быть заданы граничные условия (периодические или поглощающие). Поглощающие граничные условия, как правило, присутствуют хотя бы но одному направлению. Источник генерирует конечную во времени электромагнитную волну, спектральный состав которой должен покрывать исследуемый
