Введение к работе
Актуальность проблемы. Модель Изинга принадлежит к проблеме многих тел, которая является одной из наиболее фундаментальных задач современной физики. Актуальность изучения моделей взаимодействующих цепочек Изинга обусловлена необходимостью качественного понимания и количественного описания кооперативных явлений в самых разнообразных по своей природе объектах — от магнетиков и сегнетоэлектриков до биологических макромолекул.
Особую ценность в исследовании имеют точные аналитические решения. Помимо конкретных приложений они привлекают дополнительное внимание своей непосредственной доступностью и связанным с этим удобством в работе. Кроме того, такие решения часто выступают в роли эвристических примеров при проверке и обосновании тех или иных гипотез, служат хорошими тестами при отлаживании сложных вычислительных схем. Вместе с тем в настоящее время в условиях нарастающей компьютеризации все большее значение начинают приобретать и точные численные расчеты, требующие в большинстве случаев предварительных аналитических преобразований, резко сокращающих необходимый объем оперативной памяти ЭВМ и время счета. Как результат такие комбинированные аналитико-численные подходы, использующие с максимальной эффективностью все ресурсы существующих на сегодняшний день компьютеров, позволяют делать доступными для исследования системы со все большим и большим числом степеней свободы. Именно этот круг вопросов — точные аналитические, численные и аналитико-численные решения для цепочечных систем Изинга — находится в центре внимания настоящей диссертационной работы. В свою очередь, полученные точные решения служат основой при использовании кластерных вариантов теории среднего поля и составляют сердцевину (в вычислительном плане) метода феноменологической ренормгруппы. Такие подходы делают возможным высококачественное описание свойств реальных трехмерных систем как вдали от точки фазового перехода, так и в непосредственной ее окрестности.
Суммируя вышесказанное, можно заключить, что актуальность тематики диссертационной работы определяется необходимостью проведения
исследований кооперативных свойств и количественное описание экспериментальных данных различных систем. При современном широком интересе к коллективным явлениям данная работа представляется весьма актуальной.
В основу диссертации положены результаты выполненных автором исследований. Там, где это было необходимо для полного и законченного описания затрагиваемых вопросов, приводятся и анализируются результаты других авторов с указанием соответствующих источников.
Целью диссертационной работы является поиск, изучение и систематизация точных решений цепочечных моделей Изинга, применение таких решений для описания свойств реальных систем, а также использование решаемых конечноцепочечных моделей Изинга как кластеров в рамках теории среднего поля и метода феноменологической ренормгруппы. Проблема Изинга формулируется на языке матрицы перехода, и основная задача сводится к задаче на собственные значения такой матрицы. Анализ интересующих систем осуществляется методами теории групп, что позволяет заранее — еще до фактического проведения решения — определять, к каким упрощениям для матрицы перехода или ее секулярного уравнения приведет учет явных и скрытых симметрии модели.
Научная новизна работы определяется использованными подходами и полученными оригинальными результатами.
Новизна заключается в систематическом и последовательном применении аппарата теории групп к проблеме связанных цепочек Изинга. Взамен непредсказуемой "удачи" или "счастливой находки", такой подход позволил вскрыть причины успеха всех найденных ранее решений, систематизировать их и, что наиболее существенное, получить целый ряд аналитических решений, которые до этого не были описаны.
Сочетание методов теории представлений групп и теории Галуа дало возможность найти новые и также аналитические решения для моделей со скрытой алгебраической симметрией секулярных уравнений матриц перехода или их субблоков.
Комбинированное использование теории групп и существующих численных методов позволило исследовать системы Изинга, исходные матри-
цы перехода которых имеют размеры вплоть до 65 536 х 65 536. Это дало автору возможность одному из первых начать применять метод феноменологической ренормгруппы в трех измерениях, успешно использовавшийся ранее для описания фазовых переходов двумерных систем.
Научная и практическая ценность работы. В научном плане выполненные автором исследования позволили расширить диапазон моделей статистической механики с известными аналитическими решениями. Это создало базу для применения ряда найденных решений для нужд экспериментальной физики, а также для более детального описания фазовых переходов анизотропных трехмерных систем.
Решения, полученные в диссертационной работе, применены для количественного описания имеющихся экспериментальных данных по температурной зависимости начальной магнитной восприимчивости дипиридин-дихлоридов кобальта и железа (соответственно [Со(ру)2СІ2І и [Fe(py)2Cl2], где ру = N С5Н5 — пиридин), а также для описания спонтанной подреше-точной намагниченности [Со(ру)гСІ2]. (Оба названных вещества обладают в кристаллическом состоянии ярко выраженными квазиодномерными магнитными системами Изинга.) Полученные в диссертации решения могут быть использованы для интерпретации экспериментальных данных других квазиодномерных магнетиков Изинга.
Рассчитанная зависимость критической температуры квазиодномерной модели Изинга от величины анизотропии решетки позволила дать улучшенные оценки для нормированных межцепочечных взаимодействий в вышеназванных материалах. Эта же зависимость может быть применена для оценок Констант взаимодействия в других квазиодномерных изинговских материалах.
Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы в различных научных, научно-исследовательских и учебных учреждениях, занимающихся проблемами теоретической физики, статистической механикой и физикой критических явлений, в том числе в ИТФ РАН, ИПФ РАН, ИФТТ РАН и др. Теоретико-групповой подход к задаче о взаимодействующих цепочках Изинга может быть применен в других задачах, допускающих трансферматричную формулировку (например, для цепочек Поттса). Некоторые результаты, полученные в диссертации, могут быть
использованы в качестве упражнений для студентов по курсу теории групп и по курсу компьютерных методов в теоретической физике.
На защиту выносятся:
-
Использование теоретико-группового подхода для решения цепочечных моделей Изинга. Это позволило найти новые аналитические решения для двойных цепочек Изинга в отсутствие и с учетом внешнего поля, а также для тройной цепочки Изинга на цилиндре при наличии пересекающихся диагональных взаимодействий.
-
Применение теории Галуа для анализа скрытых алгебраических симметрии секулярных уравнений матриц перехода и их субблоков в квазидиагональной форме. Скрытая симметрия обнаружена и использована (в сочетании с присутствующей явной симметрией) при получении точных аналитических решений для трехцепочечной полоски Изинга в поле, действующем на центральную или боковые составляющие цепочки, для модели на решетке Y хоо, для 2 х 2 х оо-решетки с полностью анизотропной простой кубической ячейкой и для параллелепипеда 2 х 2 х оо с плоскостями симметрии, проходящими через его противоположные ребра.
-
Количественное описание экспериментальных данных по начальной магнитной восприимчивости и температурной зависимости спонтанной намагниченности квазиодномерных магнетиков Изинга.
-
Точные аналитико-численные решения для анизотропных решеток Изинга ЗхЗхоои4х4хоо Это дало возможность в рамках феноменологической ренормгруппы:
улучшить оценки критической температуры в случае квазиодномерного характера взаимодействий в трехмерной системе Изинга;
для полностью анизотропной трехмерной модели Изинга показать независимость критических индексов v и i/v от параметров анизотропии решетки и тем самым подтвердить гипотезу универсальности;
— изучить поведение привман-фишеровских комбинаций критических конечноразмерных амплитуд полностью анизотропной решетки Изин-га.
Личный вклад автора. Из 16 работ, составляющих основу диссертации, только три ([7, 9, 13]) являются совместными и выполнены с коллегами-математиками. Этим гарантируется фактически полный вклад лично автора в проведенные исследования, основные положения которых вынесены на защиту.
Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на XIII Всесоюзной конференции по физике магнитных явлений, на научных семинарах Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского, Научно-исследовательского радиофизического института, Института прикладной физики РАН, Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН (Черноголовка, Московская область).
Публикации. Работы автора опубликованы в научных журналах: Физика низких температур, physica status solidi (b), Journal of Physics: Condensed Matter, Physical Review B, Physical Review E, тезисах докладов. Всего по теме диссертации опубликовано 16 работ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, четырех разделов (глав) и Заключения. Она содержит 140 страниц основного текста, 28 рисунков и список цитируемой литературы, включающий 165 наименований.
