Введение к работе
Актуальность проблемы. В последнее время теории поля на некоммутативных пространствах привлекли к себе значительный интерес. Этот интерес обусловлен несколькими причинами. Одной из них является уверенность в том, что на малых расстояниях представление о пространстве-времени должно быть заменено некоторой новой концепцией. На это указывает, в частности, невозможность измерения координат частицы в квантовой гравитации с неопределенностью меньше планковской длины: импульс и энергия, которые необходимо было бы передать частице при измерении с большей точностью привели бы к образованию вокруг нее горизонта событий, что сделало бы невозможным само наблюдение. Пространства с нскоммугирующими координатами, впервые предложенные в 1940-х годах в работах Маркова и Снайдера, предоставляют модель такой модификации понятия пространства-времени.
Другой причиной интереса к некоммутативным теориям поля является то, что они по своей природе нелокальны. Более того, в некоммутативных калибровочных теориях группа калибровочных преобразований содержит некоторые диффеоморфизмы. Ожидается, что и не локальность, и инвариантность по отношению к диффеоморфизмам присущи квантовой гравитации, поэтому можно надеяться приобрести некоторое понимание вопросов, связанных с квантовой гравитацией, используя некоммутативные теории в качестве моделей (упомянем, что некоммутативные теории проще в том смысле, что в них нелокальность присутствует уже на классическом уровне). Эта надежда подкрепляется указанной в работах Конна, Дугласа и Шварца, Дугласа и Халла, Шомеруса, Зайберга и Виттена (1998-99 гг.) связью некоммутативных калибровочных теорий с
теорией струн и М-теорией.
Одним из проявлений упомянутой связи является то, что свойства со-литонов в некоммутативных калибровочных теориях совпадают со свойствами D-бран — объектов теории струн, локализующих на своей мировой поверхности концы открытых струн. В некоммутативных теориях этому соответствует локализация калибровочных полей на солитонах. Более точно: последние несут на своей мировой поверхности калибровочную симметрию Щт). Если эта симметрия не нарушена, заряженные относительно нее поля материи и калибровочные поля строго локализованы на солитоне. Благодаря этому свойству некоммутативные солито-ны представляют интерес с точки зрения построения теорий физики частиц, выходящих за рамки Стандартной модели. Одним из направлений в этой области, получивших заметное развитие в последнее время, являются модели, в которых наблюдаемое четырехмерное пространство-время рассматривается как гиперповерхность (брана), погруженная в объемлющее пространство большей размерности. При этом, поля материи предполагаются локализованными на бране, так что размер дополнительных измерений может быть большим или даже бесконечным. Именно такая локализация возникает в некоммутативных калибровочных теориях при рассмотрении в качестве браны некоммутативного солитона. Заметим, что на данный момент это единственная известная теоретико-полевая модель браны, локализующей на своей мировой поверхности неабелевы калибровочные поля в режиме слабой связи.
С другой стороны, общим свойством многих моделей с большими дополнительными измерениями является не полная локализация, а квазилокализация состояний на бране. Частицы могут быть не прикреплены к
бране навсегда, а иметь конечную, хотя и малую, вероятность уйти в дополнительные измерения. Это явление может происходить даже при низких энергиях при условии, что моды, живущие в объеме, имеют непрерывный спектр, начинающийся с нулевой энергии, и существует смешивание между модами, живущими на бране, и непрерывным спектром. Очевидно, такая возможность представляет интерес как для феноменологии, так и для самой теории бран.
Существование квазилокализовапных частиц ставит вопрос о применимости эффективного четырехмерного описания в моделях "мира на бране". Действительно, такое описание не может быть полным: исчезновение частиц с браны приводит к несохранению четырехмерной энергии. Возникает вопрос, как последний процесс выглядит с точки зрения четырехмерного наблюдателя. Решение этого вопроса должно учитывать гравитацию, поскольку именно она непосредственно взаимодействует с энергией-импульсом. К сожалению, на сегодня не известно способа объединить некоммутативные калибровочные теории с гравитацией. Поэтому для решения поставленной проблемы приходится прибегнуть к модельной задаче в контексте сценария, предложенного в 1999 г. Рэндалл и Сандрумом. В этой модели происходит локализация гравитации в следующем смысле: гравитационное взаимодействие частиц, живущих на бране, описывается при низких энергиях эффективной четырехмерной теорией. В связи с этим представляет интерес вопрос о том, применимо ли четырехмерное описание к гравитационному полю частицы, уходящей с браны в объем.
В диссертации изучается квазилокализация состояний на солитонах в некоммутативных калибровочных теориях, и на примере гравитаци-
онного поля частицы, уходящей с браны в объем в модели Рэндалл и Сандрума, исследуется применимость эффективной четырехмерной теории для описания явления квазилокализации.
Нелокальность некоммутативных теорий приводит к тому, что их свойства во многом определяются глобальной топологией пространства, на котором они заданы. Наиболее изученным примером некоммутативной теории ноля является теория на некоммутативной плоскости (в более общем случае, на некоммутативном пространстве R^. Для калибровочной теории на некоммутативной плоскости Аганаджичем, Гопакумаром, Минваллой, Стреминджером и параллельно Харви, Краусом и Ларсе-ном в 2000 г. был предложен метод генерации решений, позволяющий получать точные солитонные конфигурации. В этом методе используются операторы частичной изометрии — элементы S алгебры Ар функций на некоммутативной плоскости со следующими свойствами:
SST = 1, STS = 1 - Р ,
где Р — проектор. На формалыю-алгебраическом языке метод генерации решений тесно связан с наличием изоморфизма между свободным модулем над алгеброй Ар и прямой суммой Тр Ф Лр фоковского модуля Тр (который суть не что иное, как гильбертово пространство состояний квантового гармонического осциллятора) и свободного модуля.
Другим хорошо изученным примером некоммутативного пространства является некоммутативный тор. В соответствующей калибровочной теории построить солитон в терминах связности на алгебре Am функций на некоммутативном торе оказывается затруднительно (насколько нам известно, к настоящему времени не построено ни одного явного со-литонного решения). Построить солитон по-прежнему удается, если вое-
принимать его как связность на Тт ф Лт, прямой сумме фоковского и свободного модулей. Этот подход позволяет вычислить спектр малых возмущений вокруг солитона, который согласуется со спектром струн на фоне системы D0-D2 бран, компактифицированной на тор. Однако, вследствие того, что Тт@ Лт и Лт не изоморфны, связность на J~T@ Лт не индуцирует связность на свободном модуле Лт, и метод генерации решений не может быть сформулирован.
Промежуточное положение между плоскостью и тором по топологическим характеристикам занимает цилиндр. В этой связи интересен вопрос о возможности формулировки метода генерации решений в калибровочной теории на некоммутативном цилиндре. Исследованию этого вопроса посвящена одна из частей диссертации.
Гроссом и Некрасовым в 2001 г. было отмечено следующее необычное свойство калибровочной теории на некоммутативной плоскости. Рассмотрим U(N) калибровочную теорию с некоторым N. Тогда, для любого натурального /С в этой теории существует вакуум, такой что теория над этим вакуумом совпадает с ЩК) калибровочной теорией над тривиальным вакуумом. Следует отметить, что различие калибровочных групп теорий над разными вакуумами не может быть интерпретировано как механизм Хиггса: действие в окрестности N-oro вакуума содержит только калибровочные поля U(N) и не содержит дополнительных массивных векторных бозонов или полей Хиггса. В случае некоммутативного тора описанное выше свойство отсутствует.
В диссертации это исследовано, обладает ли этим свойством теория на некоммутативном цилиндре.
Интерпретация описанного свойства, данная Гроссом и Некрасовым
для случая теории Янга - Миллса на плоскости состоит в том, что число цветов N является параметром суперотбора, нумерующим различные сектора в квантовом гильбертовом пространстве некоммутативной калибровочной теории. Возникает вопрос о том, существуют ли теории, в которых вакуумы с различными калибровочными группами определяют разные фазы одной и той же теории. В этом случае должны существовать конфигурации типа доменных стенок, разделяющих разные вакуумы. Исследование таких теорий и, в частности, доменных стенок представляет значительный интерес. Можно надеяться, что оно прольет новый свет на динамику обычных калибровочных теорий, возникающих из различных фаз в коммутативном пределе.
Задачей диссертации является изучение некоммутативных калибровочных теорий, в которых существуют доменные стенки, разделяющих вакуумы с различными калибровочными группами, исследование свойств этих доменных стенок, а также выяснение связи таких теорий с матричной моделью М-теории.
Цель работы состоит в исследовании явления квазилокализации состояний на некоммутативных калибровочных солитонах, в выяснении следствий квазилокализации для сценария "мира на бране", в исследовании классических решений в теории Янга - Миллса на некоммутативном цилиндре, а также в изучении свойств доменных стенок, интерполирующих между вакуумами с разными калибровочными группами в некоммутативных калибровочных теориях.
Научная новизна и практическая ценность. В диссертации впервые исследовано явление квазилокализации состояний на некоммутативных солитонах. Разработан общий формализм для анализа этого явления. Та-
кой подход позволил сделать предсказания относительно общего характера квазилокализации калибровочной теории на бране в фазе Хиггса в моделях "мира на бране", основанных на теории струн.
Впервые вычислено гравитационное поле частицы, уходящей с браны в модели Рэндалл и Сандрума. Результаты этого вычисления позволяют сделать вывод о неполноте эффективного четырехмерного описания даже при низких энергиях в моделях "мира на бране" с квазилокализо-ванными полями.
Новым является построение полного набора проекторов й операторов частичной изометрии в алгебре функций на некоммутативном цилиндре. С их помощью сформулирован метод генерации решений в калибровочной теории на некоммутативном цилиндре. Впервые указано на изоморфизм калибровочных теорий с унитарными группами различного ранга на некоммутативном цилиндре.
Впервые предложены некоммутативные калибровочные теории, в которых существуют стабильные решения в виде доменных стенок, интерполирующих между вакуумами с разными калибровочными группами. Продемонстрировано, что такие теории возникают из матричной модели М-теории в широком классе внешних полей.
Из существования доменных стенок, разделяющих области с разными калибровочными вакуумами, следует, что некоммутативные калибровочные теории с различными группами могут быть фазами одной и той же теории. В частности, ранг калибровочной группы может динамически изменяться в пространстве и времени. Исследование свойств доменных стенок показало, что взаимодействие между областями по разные стороны стенки не исчезает даже при низких энергиях — в коммутативном
пределе. Конфигурации такого типа являются новыми и могут быть использованы для исследования динамики калибровочных теорий.
Апробация диссертации. Основные результаты, полученные в диссертации, были доложены на научных семинарах ИЯ И РАН, МИАН, ИТЭФ, DESY, CERN, Института теоретической физики в Лозанне и Мюнхенского университета, на Международном семинаре "Кварки-2002" (Новгород, 2002г.), Международной конференции "Современные тенденции в гравитации, космологии и физике частиц" (Тбилиси, Грузия, 2002г.), Международной школе "Частицы и космология" (Приэльбрусье, 2003г.) и Международной школе по физике частиц и космологии (Каржез, Франция, 2003г.).
Публикации. По результатам диссертации опубликовано 6 работ.
Объем работы. Диссертация состоит из Введения, четырех глав основного текста и Заключения, содержит 147 страниц машинописного текста, в том числе 9 рисунков и список литературы из 115 наименований.
