Содержание к диссертации
Введение
2 Некоммутативные теории поля в формализме первичного квантования 7
2.1 Некоммутативные теории поля и теории поля с нарушением лорепцевой симметрии 7
2.2 Введение в теорию некоммутативных полей 10
2.2.1 Вторичное квантование некоммутативных полей. UV/IR смешивание 13
2.2.2 Классические объекты в некоммутативных теориях поля 16
2.3 Основные формулы теории первичного квантования 18
2.3.1 Случай скалярного поля 19
2.3.2 Случай некоммутативного скалярного поля 21
2.3.3 Теория первичного квантования для некоммутативных спинорных полей 24
2.4 Нестабильность вакуума и рождение пар в присутствии постоянного электрического поля 26
2.4.1 Случай скалярной электродинамики во внешнем поле 27
2.4.2 Случай некоммутативной скалярной электродинамики вовнешнем поле 28
3 Спинор Киллинга для невырожденного деформированного конифолда 30
3.1 Обзор дуальности (соответствия) между гравитацией и калибровочной тео
рией поля 30
3.1.1 AdS/КТП соответствие 32
3.1.2 Решение Клебанова-Штрасслера 35
3.2 Уравнение Киллинга и наличие суперсимметрии решения уравнений супергравитации 41
3.3 Спинор Киллинга в случае решения Клебанова - Штрасслера 43
3.3.1 Сингулярный конифолд 43
3.3.2 Деформирующий фактор 45
3.3.3 Нсвё-Шварц и Рамон-Рамоновские формы 47
3.4 Невырожденный деформированный конифолд 50
3.4.1 Доказательство отсутствия Кэлеровой структуры на невырожденном деформированном копифолде 56
3.5 Спинор Киллинга на невырожденном деформированным копифолде . 58
3.5.1 Заключение 63
4 О вакууме в эффективной низкоэнергетической суперсимметричной Я =1 калибровочной теории Янга-Миллса 64
4.1 Эффективное действие в N = 2 суперсимметричных калибровочных теориях 64
4.1.1 Введение 64
4.1.2 Решение Зайберга-Виттспа для Я = 2 SU(2) калибровочной теории . бб
4.1.3 Низкоэпергетическое действие для Я = 2 SU(iV) теории 71
4.2 Теория с Я = 1 суперсимметрией и калибровочной группой U(iV) 75
4.2.1 Низкоеэнсргетическое действие для N = 1 теории 75
4.2.2 Дуальное описание Я = 1 U(iV) теории в терминах матричной модели 77
4.2.3 Постановка задачи в эффективной теории 78
4.3 Доказательство соотношения на Я = 1 эффективный препотепциал, выполняющееся в точке экстремума эффективного суперпотенциала 81
4.3.1 Метод петлевого уравнения 81
4.3.2 Доказательство с помощью тождества Римана 83
4.4 Заключение 84
5 Заключения и выводы
- Введение в теорию некоммутативных полей
- Теория первичного квантования для некоммутативных спинорных полей
- Уравнение Киллинга и наличие суперсимметрии решения уравнений супергравитации
- Решение Зайберга-Виттспа для Я = 2 SU(2) калибровочной теории
Введение к работе
Предметом изучения современной теоретической физики и физики высоких энергий является динамика квантовых систем с бесконечным количеством степеней свободы. При этом наибольший интерес представляют так называемые непертурбативные явления в области сильной связи, то есть такие явления, для описания которых необходимо учитывать нетривиальные вклады в функциональный интеграл. Интерес к этим явлениям легко объясним - теория пертурбативных эффектов хорошо разработана и их изучение не представляет какой-либо сложности, по крайней мере, принципиальной.
Роль квазиклассических методов при изучении квантовых систем с бесконечным количеством степеней свободы трудно переоценить, так как они дают интуитивно понятную картину происходящего и, в конечном итоге, позволяют найти приемлемое описание системы. Квантовая природа изучаемого объекта предполагает, что для его корректного описания необходимо просуммировать бесконечное множество вкладов в функциональный интеграл. Наличие бесконечного количества степеней свободы еще сильнее усложняет задачу. При этом описание теряет прозрачность в том смысле, что динамика системы не может быть описана в интуитивно понятных (классических) терминах. Поэтому возможность рассматривать некое классическое решение вместо квантового - большая удача для исследователя и именно это обстоятельство в большом количестве случаев приводит к решению задачи. И наоборот, отсутствие классических объектов часто делает задачу нерешаемой. Так, например, происходит с теорией конфаймента в КХД. Предполагаемые полевые конфигурации, ведущие к коифайменту, не являются классическими седловыми точками действия и потому не поддаются описанию в классических или каких бы то ни было других интуитивно понятных и простых терминах. Как результат эти конфигурации до сих пор не описаны и теория конфаймента далека от завершения.
Следует особо оговорить, что мы будем понимать под квазиклассически-
ми методами. Как уже следует из примера с КХД, классические методы в контексте данной работы это не объекты, возникающие при решении задач классической механики. Под классическими методами мы будем понимать способ свести задачу с бесконечным количеством переменных к задаче с конечным количеством функций от конечного числа переменных. Безусловно, классические - в обычном смысле (то есть неквантовые) - задачи остаются классическими и с точки зрения данного определения. Но некоторые квантовые задачи, как известно, могут быть сведены к квазиклассике. Так, волновая функция гармонического осциллятора может быть найдена квазиклас-сически, в то время как волновая функция вакуума КХД квазиклассической никак не является. Итак, термин "классическое решение" понимается нами как объект, который хорошо определен в терминах конечной математики.
Примеры возникновения квазиклассических решений в современной теоретической физике весьма разнообразны. Фактически они ограничены лишь фантазией исследователя. В данной работе мы остановимся на некоторых из них, более или менее типичных. Самым простым способом сведения квантовой задачи с бесконечным количеством степеней свободы к классическому объекту является квазиклассическое приближение, ВКБ или метод стационарной фазы. Этот метод сводит вычисление функционального интеграла к нахождению решений уравнения движения, то есть, буквально осуществляет переход от "неклассического" объекта к "классическому". Указанный метод является одним из наиболее используемых в арсенале современной теоретической физики. Так, литература только по инстантонным решениям насчитывает более тысячи публикаций. К сожалению, этот метод имеет весьма узкий круг применимости: физическая система либо должна находиться в квазиклассическом режиме, либо обладать достаточным количеством супер-симметрий, чтобы классическое описание было точным. Такая система рассматривается в работе автора [65], где квазиклассическое решение используется не для вычисления функционального интеграла, как обычно, а для нахождения глобальных симметрии (дуальности) квантовой теории.
Еще одним хорошо известным примером возникновения "классического" объекта является невзаимодействующая теория поля. В этом случае применим метод первичного квантования, который сводит многие вычисления к нахождению кратчайших траекторий частиц. Заметим, что невзаимодействующая теория поля не обязательно является тривиальной, поскольку данное определение допускает сколь угодно сложное взаимодействие частиц с классическим фоном. Так, в второй главе мы рассматриваем некоммутативную скалярную электродинамику на фоне постоянных электромагнитных полей. Данная теория является нелокальной в обычном смысле. Тем не менее, мы
показываем, что она может быть описана в терминах частиц и вероятность распада ложного вакуума (в присутствии постоянного электрического поля) дается кратчайшей замкнутой траекторией, то есть седловой точой интеграла по траектории.
Дуальность между суперсимметричными теориями поля и классической гравитацией в AdS^ (так называемая AdS$/CFT) порождает класс примеров, в которых вычисление в квантовой теории поля Я = 4 SYM может быть переформулировано в рамках классической 10d гравитации. Это соответствие допускает обобщение на Я = 1 теории с конфайментом. Одна их таких теорий рассмотрена в главе 3. В этой главе наличие "классической" задачи (существование спинора Киллинга на многообразии) является доказательством наличия суперсимметрии. Кроме того, данный метод позволяет исследовать Кэллерову структуру многообразия компактификации.
Наконец, глава 4 посвящена изучению такого "классического" объекта как потенциал матричной модели в точке перевала. Оказывается, корреляторы киральных операторов в Я = 1 SYM совпадают с корреляторами матричной модели и это дает возможность вывести элегантное тождество, имеющее смысл ренорм-группового уравнения.
Безусловно, данная работа не охватывает все примеры успешного сведения задачи с бесконечным количеством переменных к простым квазиклассическим решениям. В рамках данной работы собраны лишь несколько нестандартных примеров того, как задача квантовой теории поля может быть переформулирована и решена в терминах конечной математики. Данные примеры объединены общей идеей использования квазиклассических решений для описания квантовых задач. Надеемся, предложенный подход окажется продуктивным в долгосрочной перспективе.
Введение в теорию некоммутативных полей
Некоммутативными теориями поля называются теоретико-полевые модели с бесконечным количеством степеней свободы реализующими представление ассоциативной некоммутативной алгебры. Наиболее простым примером является теория одного скалярного поля ф(х) с действием где лагранжиан L (более точно, его интеграл по некоммутативному пространству) есть некоторый функционал, который строится по "обычному" лагранжиану Ь(дф,ф) слеудующим образом: все знаки умножения в L заменены на операцию некоммутативного ассоциативного умножения " ". Так, теория свободного поля превращается в
Операция некоммутативного умножения " ", также называемая "звездочка", определяется (в пространствах четной размерности d = 2А:) следующим образом
В этом выражении производная д действует на хп, a в " — невырожденная антисимметричная матрица. Операция "умножения", определенная в (2.9), очевидно, задает некоммутативную бинарную операцию. Чтобы убедиться в некоммутативности данной операции мы можем разложить (2.9) в ряд по в где {,} есть скобки Пуассона, задаваемые бивектором в и. В силу антисимметричности скобок Пуассона, некоммутативный коммутатор двух произвольных полей не равен нулю Для того, чтобы доказать ассоциативность "звездочки" удобно использовать соответствие между операторами, действующими в гильбертовом пространстве функций d/2 переменных и пространстве функций, заданных на фазовом пространстве (так называемое, соответствие Вейля). Для простоты мы ограничимся случаем d = 2 и введем обозначение Xі1 = {q,p}- В двумерном случае матрица в всегда может быть выбрана в виде
В таком случае любая функция / (#, р) может быть отображена в пространство операторов, действующих на пространство L2 функций вида f(q) следующим образом: Здесь мы использовали стандартные обозначения Q для оператора умноже-ния на q и Р для —ihjk. Как легко убедиться, функция ф является вейлевским (симметрично упорядоченным) символом оператора ф. Удобно также записывать оператор в гильбертовом пространстве ф в виде его интегрального ядра Не трудно построить обратное отображение ф — ф(р, q) Используя преобразование (2.13) и обратное преобразование (2.15), можно доказать следующее чрезвычайно важное тождество которое, по сути, означает, что умножение "звездочка" двух функций, "живущих" на фазовом пространстве, есть представление операции умножения двух линейных операторов в пространстве их вейлевских символов.
Заметим, что формализм вейлевских символов удобен при переходе к (ква-зи)классическому описанию квантовой механики. Действительно, классический предел квантовой механике соответствует пределу h — 0. В таком случае старшими членами в (2.9) можно пренебречь, оставляя первый нетривиальный
То есть "некоммутативный" коммутатор превращается в классические скобки Пуассона гН{ф\,ф2} на каноническом фазовом пространстве, как и должно быть в классическом пределе.
Далее, другие операции над квантовомеханическими операторами также можно записать в представлении Вейля. Так, операция взятия следа Tr ji эквивалентна интегрированию по всему фазовому пространству как следует из (2.15). Таким образом, в силу циклической симметрии следа,
Оказывается интеграл от некоммутативного произведения двух функций (2.19) равен интегралу от их обычного произведения а все члены с Я в левой части (2.20) равны нулю. В качестве примера того, как это происходит, мы рассмотрим линейное по Я слагаемое
Данный результат показывает, что теория свободного некоммутативного поля / х (дф дф + т2ф ф) (2.22) по сути некоммутативной не является. Тем не менее, теория невзаимодействующего поля на фоне нетривиального классического фона Ац{х) не может быть сведена к свободной теории. К рассмотрению данного примера мы вернемся несколько позже, а в следующем разделе мы обсудим метод вторичного квантования и некоторые результаты теории перенормировок в контексте моделей некоммутативных теорий полей.
Вторичное квантование некоммутативных полей. UV/IR смешивание Как уже было замечено ранее, квадратичная по полям теория ничем не отличается от обычной свободной теории скалярного поля. Таким образом, вторичное квантование некоммутативных теорий не представляет никакого труда. Это касается постороения фоковского пространства состояний и вычисления причинной функции Грина, которя в данном случае буквально совпадает с фейнмановским пропагатором скалярного поля (в импульсном представлении) и так далее. Вершинная функция (2.26) не симметрична относительно перестановки пары соседних индексов (например р\ - рг)» что отражает некоммутативность операции умножения (сравните с (2.11)). В связи с этим диаграммы Фейнмана для некоммутативной теории несут в себе информацию об ориентации и делятся на планарные и непланарные [8,9]. Удобнее всего для этих целей использовать "толстые" (ленточные) графы. При этом планарные диаграммы ничем не отличаются от соовтетствующих диаграмм коммутативной теории, а непланарные диаграммы имеют дополнительный фазовый фактор вида
Матрица пересечений Сц содержит информацию о том, сколько раз линия г пересекает линию j с учетом ориентации. Таким образом, совокупность диаграмм Фейнмана переходит в диаграммы некоммутативной теории согласно следующему правилу: планарные диаграммы не претерпевают каких-либо изменений в силу Qj = 0, а непланарные диаграммы приобретают фазовый фактор. Данное правило наводит на мысль, что результат вычисления диаграмм в некоммутативной теории будет каким-то простым образом связан с аналогичным вычислением в обычной теории. Однако это далеко не так уже на уровне однопетлевых диаграмм.
Теория первичного квантования для некоммутативных спинорных полей
Для того, что бы обобщить данный результат на некоммутативный случай, нам потребуется следующая формула справедливая для любого а Є [0.. 1]. Поскольку эта формула является центральной для нашего рассмотрения, мы остановимся на ней более подробно. В разделе (2.2) мы уже обсудили некоторые математические аспекты некоммутативного пространства d = 2к измерений. Нашим основным примером являлась некоммутативная плоскость к = 1 с некоммутативными координатами р, q. Мы видели, что некоммутативные переменные не коммутируют. В частности, функция / i(p,g) = р и функция / 2(р,#) = Я. имеют ненулевой коммутатор
Мы опять вернулись к обозначениям б 1" = ве по причине, которую объясним ниже. Данное выражение (2.67) очень напоминает сопутствующее кван-товомеханическое соотношение. В разделе (2.2) мы показали, что функции на некоммутативной плоскости ф(р, q) могут пониматься как вейлевские символы квантово-механических операторов, действующих на пространстве функций одной переменной f(q) (или f(p) в импульсном представлении). В частности, функция 02 (р,я) = Q есть вейлевский символ оператора Q умноже А ния на q, а функция (f)i(p,q) = р есть вейлевский символ опертора Р = —iOjj:- Более того, операция умножения "звездочка" есть представление обычной операции умножения операторов в пространстве вейлевских символов (2.16). В этом случае некоммутативная плоскость является фазовым пространством, координата q параметризует конфигурационное пространство, а параметр некоммутативности в играет роль константы Планка рассматриваемой "квантово-механической системы". Очень важно отметить, что обсуждаемая здесь дуальность между некоммутативной плоскостью и фазовым пространством некой "квантово-механической системы" есть изящное математическое наблюдение, но никак не физическая интерпретация некоммутативных пространств. Более того, в рамках теории некоммутативных полей или же, говоря другими словами, полей на некоммутативных пространствах, само некоммутативное пространство размерности d = 2k является конфигурационным, а не фазовым пространством рассматриваемой физической системы. В связи с этим мы не стали обозначать в (2.67) в через Н, как это было сделано в разделе (2.2), так как h начиная с этого момента будет обозначать реальную физическую постоянную Планка. Аналогично, впредь мы будем обозначать координаты на фазовом пространстве как хй вместо (p,q). Соответствующие координаты на 2d = Ак фазовом пространстве будут обозначаться как Xі1,Рц.
Далее, по-прежнему сохраняется соответствие между функциями ф{х1Х) и операторами над вспомогательным (не физическим) гильбертовым пространством функций h(xa), где индекс а пробегает значения от 1 до к, а координаты ха параметризуют лагранжево подмногообразие размерности к пространства х с пуассоновой структурой в .
Однако, в дополнение к данной структуре, мы имеем гильбертово пространство Li функций, заданных на некоммутативном пространстве ф{х ). Линейные операторы над этим пространством есть операторы квантовой механики некоммутативной частицы (более точно - частицы на некоммутативном пространстве). Легко указать базис таких операторов х? - операторы умножения на х пр - дифференциальные операторы —ih- . Данная структура "ничего не знает" о некоммутативности и является абсолютно стандартным построением для квантово-механических систем.
Далее мы замечаем, что бинарная операция стандартного поточечного умножения "х" двух функций /і(я ) /2(2 ) может пониматься как отображение из пространства функций в пространство линейных операторов над функциями Не трудно видеть, что оператор / может быть построен из функции / следующим образом Как и для любого дгугого линейного ("квантово-механического") оператора, для / существует интегральное ядро, определяемое следующим образом (сравните с (2.14)) Для оператора умножения на функцию вычисление ядра не состовляет труда Kf(x,y) = f(x)5(x-y), (2.73) что может быть проверено путем прямой подстановки в (2.72). Для простоты обозначений, оператор / может также обозначаться как /-, или /, и даже просто /. На следующем шаге мы "вспоминаем" о наличии некоммутативной структуры и, в частности, некоммутативной операции умножения " ", которую можно понимать, аналогично коммутативному умножению " х", как отображение из пространства функций в пространство линейных операторов над функциями
Интегральное ядро данного оператора определяется абсолютно аналогично (2.72) Формула (2.66) дает явное выражение для интегрального ядра (2.77) оператора некоммутативного умножения на функцию / слева / . Краткий анализ этой формулы позволяет понять, почему формула (2.66) справедлива для любого а Є [0..1]. Дело в том, что зависимость от а исчезает после интегрирования по р. Действительно, схематично представляя / в виде степенного ряда f(x) 2пСпХп, мы получаем для конкретного члена разложения из правой части (2.66)
Уравнение Киллинга и наличие суперсимметрии решения уравнений супергравитации
Несмотря на высказанные ранее предположения, вообще говоря, AdS/КТП соответствие, обсуждавшееся в предыдущем разделе, не предполагает, что теория супергравитации типа ИВ рассматривается в квази-классическом режиме. Однако, если мы интересуемся пределом сильной связи в дуальной теории поля, то супергравитация находится в режиме слабой связи и может быть описана исключительно в терминах классических безмассовых полей, таких, как метрика и формы (не)четной размерности. В таком случае кван-товый оператор суперсимметрии Q, действующий на квантовый вакуум системы 0), может быть представлен в виде Я = ФаЯа-Г{Яс.}, (3.54) где фа - некий классический спинор, заданный на десятимерном многообразии, a {Qa,--} обозначают классическую скобку Пуассона с классической зарядовой плотностью Qa. Используя данное упрощение, мы можем свести проверку суперсимметричности выбранного вакуума Q\Q) = 0 к системе диф-фиренциальных уравнений на спинор фа [68]. Эта система в случае постоянного дилатона дф = О и исчезающего Рамон-Рамоновского скаляра CQ = О имеющеет вид
Данное семейство уравнений должно быть понято следующим образом. Для данной полевой конфигурации {д ,, Щ, F3, F$}, являющейся решением уравнений движения теории супергравитации, количество линейно-независимых решений системы линейных дифференциальных уравнений (3.55) является количеством независимых ненарушенных суперсимметрий данного решения (классического вакуума).
Важно подчеркнуть, что многообразие, на котором мы рассматриваем данное уравнение, некомпактно. Наивно это может создать сложности в подсчете линейно-независимых решений, так как некоторые из них могут быть хорошо определены везде, кроме отдельных особых точек (основание конифолда t = О, например) и на бесконечности. По аналогии с уравнениями квантовой механики мы могли бы предположить, что данные решения не должны быть включены в рассмотрение. Так, например, если норма \фа\2(х) стремится к бесконечности при t со и решение фа является ненормируемым, наивно это может привести к сложностям при попытке найти физическую интерпретацию данного решения. В случае квантовой механики норма волной функции имела интерпретацию (плотности) вероятности. Бесконечная норма делала такую интерпретацию невозможной. Однако в случае генератора суперсимметрии эта проблема не возникает (по крайней мере в данном случае). Уравнение (3.55) является уравнением в частных производных. Поэтому существование линейно-независимого решения в открытой окрестности является нетривиальным фактом. Возможное наличе особых точек или сингулярности на бесконечности, безусловно, требует отдельной интерпретации. Это может означать, например, что классическое решение является суперсимметричным и стабильным только на классическом уровне, или только в случае некомпактного многообразия компактификации. А на квантовом уровне возможные поправки могут динамически разрушать геометрию, или же дополнительные колибровочне поля, возникающие в силу компактификации пространства, с необходимостью нарушат суперсимметрию. Отличительной чертой решений первого типа является наличие тахиона, также отражающего факт существования нестабильности. Согласно двум возможным сценариям, возникающая конденсация тахиона может как ликвидировать сингулярность путем сглаживания метрики (и соответствующего изменения внешних форм) в небольшой окрестности, так и вести к полному коллапсу геометрии с возможным изменением глобальных свойств, в том числе и глобальной топологии. Однако анализ стабильности должен проводится каждый раз отдельно и в рамках данной работы мы не будем изучать этот вопрос, поскольку из анализа даульной теории поля известно, что рассматриваемая геометрия является стабильной. Таким образом, можно заранее сказать, что в рамках данной работы все полученные решения являются регулярными во всей области определения.
В работе [25] мы изучаем вопрос существования решения системы (3.55) для невырожденного деформированного конифолда [44], то есть для модификации решения Клебанова-Штрасслера. Само решение Клебанова-Штрасслера является J\f = 1 суперсимметричным. То есть существует ровно один спинор, удовлетворяющий системе (3.55). Наша основная задача в данном разделе показать, что и в случае деформации (невырожденного конифолда) такой спинор по-прежнему существует и сконструировать его явно.
Перед тем, как приступать к анализу невырожденного деформированно го конифолда, мы детально разберем, как устроено решение для обыкновенного деформированного конифолда. Система уравнений (3.55) фактически являетя системой 2 х 32 = 64 линейных уравнений, поскольку спинор фа имеет 32 компоненты. Такое количество уравнений делает задачу нере-шаемой в общем случае. Поэтому для решения уравнения Киллинга в каждом конкретном случае необходимо находить различного рода вспомогательные соотношения (как правило, следующие из симметрии задачи), помогающие сократить количество неизвестных функций. Подобные соотношения были найдены в [67] для решения Клебанова-Штрасслера и мы используем похожие соотношения в случае невырожденного деформированного конифолда, который лишь инфинитоземально отличается от решения Клебанова-Штрасслера. Это, в конечном итоге, и позволит нам получить явное решение для фа. Но прежде чем мы займемся рассмотрением решений с нетривиальными формами #3) F, F5 И параметром h(t), мы рассмотрим более простые решения с #з = 0, Ft3) = 0,F5 = 0 и h = 1. Затем, постепенно "включая" формы и параметр h, мы проследим, как меняется фа.
Три-формы F и #з по-прежнему равны нулю. Заметим, что вид пяти-формы (3.79) диктуется уравнением Эйнштейна, то есть уравнениями движения супергравитации. Таким образом, (3.79) описывает наиболее общий случай с зануляющимися три-формами. Необходимо отметить, что не любая функция h (и форма F$ вида (3.79)) соответствует решению полного набора уравнений движения супергравитации. Таким образом, (3.79) есть следствие, но не эквивалентность уравнений движения. Ниже мы покажем, что (3.79) достаточно, чтобы найти спинор Киллинга для произвольного h вез каких-либо дополнительных предположений.
Решение Зайберга-Виттспа для Я = 2 SU(2) калибровочной теории
Безусловно, система уравнений (3.55) имеет не единственное решение, и, таким образом, невозможно найти решение уравнений супергравитации лишь анализируя (3.55). Но данная система может выделить единственное решение в рамках какого-то узкого класса, например SU(2) х SU(2) инвариантных решений. Однако этого ограничения оказывается не вполне достаточно. Авторы [59] наложили дополнительные ограничения на предполагаемое решение в виде некоторого специфического анзаца, который был, по сути, угадан. Далее, после нахождения решений соответсвующих уравнений и фиксирования неопределенных констант интегрирования необходимо показать, что найденая геометрия (и формы) действительно удовлетворяют уравнениям движения теории супергравитации. Работа [59], безусловно, является яркой иллюстрацией действенности используемого метода SU(3) структуры, однако данный подход не позволяет доказать единственность найденного решения или найти количество суперсимметрий.
Настоящая работа опирается на противоположную логику. Мы стартуем с супергравитациониого решения, невырожденного деформированного ко-нифолда, найденного в [44], математические свойства которого неизвестны, и находим соответствующий спинор Киллинга, удовлетворяющий системе (3.55). Попутно мы доказываем единственность данного решения и некэл-леровость изучаемого многообразия компактификации.
Невырожденный деформированный конифолд совпадает с ограничением семейства решений из [59], ограниченного на окрестность КШ. Таким образом, мы имеем возможность частично проверить наши результаты, сравнивая их с аналогичными построениями из [59]. В частности, полученое нами решение для спинора Киллинга полностью совпадает с соответствующим результатом [59].
Перед тем, как мы непосредственно приступим к обсуждению уравнения (3.55), дадим краткое описание решения [44]. Фактически, данное решение лишь незначительно отличается от КШ метрикой и НШ-НШ формой Яз. Деформация метрики (3.57) имеет следующий вид
Соответствующее многообразие уже не является многообразием типа Калаби-Яу, то есть риччи-плоским и называется невырожденным (относительно действия Z i) деформированным конифолдом. Рамон-рамоновские формы и ди-латон ф = О остаются такими же, как и в случае ДК, а новая НШ-НШ форма такова, что комплексная форма N продолжает удовлетворять уравнению самодуальности, так как данное решение тоже является решением с постоянным дилатоном N = F3 = 6Я3. (3.147)
В этом уравнении звездочка ходжа б определена с учетом поправок (3.145). В терминах ПТ анзаца (3.34) [60] данное изменение соответствует "включению" х, в то время, как остальные функции (hi,h,2, b) остаются неизменными. Легко видеть, что добавочные компоненты метрики и #з снимают вырождение по Z2- Действительно, дідз+д2Я4 меняет знак при замене индекса г = 1 на і = 2. Аналогично этому {е\/\Є2-е\/\е2) из (3.34) не меняет знак при перемене индексов местами, однако, в целом, данная компонента Щ меняет знак в силу преобразования симметрии — I из SZ/2(Z). Таким образом, эффективно х оказвается нечетно заряжена относительно Z2, меняющего местами бар ионы Ли В. Более просто эту ситуацию можно описать, приписывая нечетный заряд возмущению т, которое фигурирует и в возмущении метрики (3.145), и в возмущении три-форм #3 через х (3.34). На этом мы заканчиваем обсуждение общих свойств решения, найденного в [44] и переходим к доказательству некэлеровости исследуемого решения и нахождению соответствующего ему спинора Киллинга.
Отедльно стоит заметить, что четырехмерная часть рассматриваемого супергравитационного решения по-прежнему тривиальна. В связи с этим будет тривиальна и четырехмерная часть уравнений (3.55). Таким образом, мы по-прежнему будем пользоваться шестимерными спинорами, подразумевая, что их надо умножить на киральный четырехменый спинор . Но прежде чем мы перейдем к обсуждению уравнения Киллинга, мы покажем, что многообразие (3.145) не является Калаби-Яу. Таким образом, это один из немногих известных явных примеров решения уравнений супергравитации с не риччи-плоским многообразием компактификации.
Уравнение ковариантного постоянства спинора, которое совпадает с уравнением киллинга в случае отсутствие форм является важным инструментом для изучения геометрической структуры многообразия5. Так, если существует ковариантно постоянный спинор, решающий уравнение (3.148), то многообразие, на котором мы определяем это уравнение, является кэллеровым. Мы можем доказать это явно, построив кэллерову форму Кцу Как следует из построения, данная два-форма является замкнутой. Действительно, внешняя производная зануляется в силу Кроме того, данная форма является формой типа (1,1) в смысле почти-комплексной структуры
Несложно показать, что почти-комплексная струкура (??) интегрируема. Для этого достаточно выразить тензор Нейхенейса через 1 и D\Ij}. Так как, в силу (3.148), D\If} зануляется аналогично (3.150), исследуемое многообразие является комплексным. Таким образом, мы показали, что К есть замкнутая форма типа (1,1), то есть кэллерова форма.
Несложно доказать и обратное: в случае существования кэллервой стру-кутры на невырожденном деформированном конифолде уравнение (3.148) обязано иметь хотя бы одно решение. Напомним, что невырожденный деформированный конифолд есть обычный деформированный конифолд в смысле топологии и комплексной структуры, и отличается лишь метрикой. Далее, деформированный конифолд имеет тривиальный первый класс Черна. Таким образом, наличие кэллеровой формы влечет зануление тензора Риччи метрики и является необходимым и достаточным условием того, что изучаемое многообразие является многообразием типа Калаби-Яу. Последнее, в свою очередь, является многообразием специальной голономии с ковариантно-постоянным спинором на нем, удовлетворяющим (3.148).
Как следует из предыдущего параграфа, в случае деформированного конифолда такой киральный спинор существует (3.60) и единственен. Последнее вытекает из того факта, что голономия деформированного конифолда в точности совпадает с SU(3) и не может быть вложена в меньшую группу. Однако деформация (3.145) не сохраняет это свойство, что легко показать непосредственно анализируя уравнение (3.148) в окрестности КШ, раскладываясь до первого порядка по отклонению.
