Самосогласованные решения в гибридных киральных моделях трехфазовых кварковых мешков в 1 + 1 и 3 + 1 D Малахов Илья Юрьевич

Содержание к диссертации

1 Введение 5

1. Основные модели описания сильных взаимодействий 5

2. Эффективные низкоэнергетические модели в физике адронов 5

3. Модель Скирма 6

4. Модели кварковых мешков 6

5. Модель MIT 6

6. Восстановление киральной симметрии в гибридных моделях мешков 7

3. Цепи работы 10

4. Основные положения, выносимые на защиту 11

5. Структура работы 11

2 Топологические и нетопологические решения в модели кирального
мешка с составляющими кварками 13

1. Лагранжиан и уравнения движения 13

2. Решения с единичным топологическим зарядом 15

3. Полная энергия мешка для ненулевого топологического заряда .... 21

4. Мешки с нулевым топологическим зарядом 30

3 Эффекты взаимодействия в системе двух трехфазовых киральных
мешков 38

5. Самосогласованное решение для системы двух топологических мешков 38

6. Деформированный мешок и его дискретные характеристики 40

7. Полная энергия конфигурации двух мешков 49

8. О разнице в статусе различных типов мешков 58

4 Трехфазовая гибридная киральная йи(2)-модель кваркового меш
ка в 3 + 1 D 65

9. Структура трехфазового мешка вЗ + lD 65

10. Самосогласованные решения уравнений движения 67

11. Уравнения движения пионного поля 67

12. Уравнения движения фермионов 70

13. Уравнение компенсации 73

3. Вычисление вклада пионного поля в полную энергию мешка 77

4. Определение оптимальных значений исходных параметров модели . . 80

1. Выбор единиц измерения 80

2. Определение затравочных параметров в модели без вакуумного давления 81

4.4.3 Определение затравочных параметров в модели с вакуумным

давлением 83

5 Заключение 85

3. Обсуждение 85

4. Основные результаты 88

Список иллюстраций

5. Поведение киральных фермионных масс для симметричного и антисимметричного случаев 19

6. Конфигурация бозонного поля для изолированного мешка с ненулевым топологическим зарядом 21

7. Поведение киральных фермнонных масс для дибарионнои конфигурации 26

8. Профиль бозонного поля для "дибариона" 26

9. Зависимость энергии топологического мешка от его размера 30

10. Профиль точного решения для бозонного поля в нетопологическом случае 33

11. Профиль поверхности ^(a, fi) в нетопологическом случае 35

12. Профиль двумерной поверхности ь_ад{о., /?) в нетопологическом случае 36

13. Профиль двумерной поверхности j_a?(a,^) в нетопологическом случае в увеличенном масштабе 37

14. Профиль интерполирующего бозонного поля для конфигурации двух взаимодействующих мешков 38

15. Поведение бозонного поля внутри деформированного мешка 41

16. Поведение киральных масс для мешка типа А. _г . , 42

17. Поведение киральных масс внутри мешка типа В 43

18. Поведение киральных масс для несимметричного типа С. 44

19. Поведение киральных масс для несимметричного типа D 44

20. Внутренняя структура мешка С, являющегося зеркальным двойником типа С 45

21. Конфигурация АА в терминах внутренних размеров мешков и знаков киральных масс 52

22. Энергетическая поверхность а {о, #i) для конфигурации Л А 52

23. Часть поверхности л{а,Х\) для конфигурации АА в увеличенном масштабе , 53

24. Конфигурация СС в терминах внутренних размеров мешков и знаков киральных масс 54

25. Поверхность с [a, #i) для конфигурации СС 54

26. Конфигурация С С в терминах внутренних размеров мешков и знаков киральных масс 55

27. Поверхность с(я,Хі) для конфигурации СС 55

15. Профиль бозонного поля для системы "мешок-антимешок" 56

16. Мешок типа А со стенками конечной высоты Мо, помещенный в ящик 59

4.1 Поведение решения для карального угла без скачка производной в

точке г = R .69

2. Поведение типичного решения для кирапьного угла с правильной асимптотикой при г -4 сю 70

3. Энергия мешка, как функция его радиуса 82

4. Энергия мешка, как функция его радиуса при оптимальных а и В. . 84

Введение к работе

1.1 Основные модели описания сильных взаимодействий

Квантовая хромодинамика (КХД) является в настоящее время единственным реальным кандидатом на роль теории, описывающей сильные взаимодействия [1, 2, 3, 4]. Это перенормируемая калибровочная квантовая теория попя с разработанным вычислительным аппаратом, основанная на надежно установленных экспериментальных фактах и хорошо подтвержденная при исследовании процессов, происходящих при высоких энергиях, когда бегущая константа связи as мала, и возможно проведение расчетов по теории возмущений [5, 6, 7]. Следует особо отметить, что в пертурбативной области КХД доказано такое важное свойство сильных взаимодействий, как асимптотическая свобода [8, 9]. В делом, многочисленные успехи КХД не оставляют сомнений в том, что на данный момент именно эта теория наиболее близка к правильной теории адронов.

Однако, поскольку в области достаточно низких энергий или, что эквивалентно, на больших расстояниях (порядка 1 Фм) константа связи as растет, теория возмущений теряет смысл, в результате чего исследование таких явлений, как спонтанное нарушение киральной симметрии (10, 11, 12] и конфайнмент [13], играющих важную роль при изучении адрона как связанного состояния, требует выхода за рамки теории возмущений. Для работы в этой области предложены различные подходы, не связанные непосредственно с разложением в ряд по константе связи, такие как КХД на решетке [14], метод правил сумм [15] и 1/ЛГ_с-разложение, и в их рамках получены важные результаты (в частности, удалось показать, что явление конфайнмента на решетке получается автоматически). К сожалению, на данном этапе развития эти подходы еще не свободны от недостатков и нерешенных проблем, в связи с чем в настоящее время представляется необходимым разрабатывать различные модели описания адронов в области низких энергий, краткому обзору которых посвящен следующий раздел.

1.2 Эффективные низкоэнергетические модели в физике адронов

Для описания структуры адрона как связанного состояния составляющих кварков используются эффективные теории, которые, в принципе, должны были бы выводиться из лагранжиана КХД в соответствующем (низкоэнергетическом) пределе. Но, поскольку способы такого вывода в настоящее время неизвестны, эти подходы в основном разрабатываются на самостоятельной основе. В этом разделе рассматриваются наиболее распространенные из их числа, подходящие для изучения адронов, составленных из легких кварков.

1.2.1 Модель Скирма

В этой эффективной низкоэнергетической модели лагранжиан записывается в терминах мезонных долей [16, 17]. Основой для такого варианта эффективной теории послужил известный результат Е. Виттена [18], который показал, что при условии существования предела N_c -* оо, где N_c — число цветов, КХД будет эквивалентна некоторой эффективной мезонной теории с локальными взаимодействиями, имеющими порядок N~^l, и массами барионов порядка N_c. В этом пределе, все необходимые квантовые числа бариона можно поставить в соответствие квантовым числам скирмиона [17,19, 20] — топологического солитонного решения нелинейных уравнений движения. Использование модели Скирма для описания спектра адронов привело к сравнительно хорошему качественному согласию с экспериментальными данными [16]. Одним из наиболее принципиальных с теоретической точки зрения недостатков модели Скирма является то, что в ней в принципе не участвуют цвет-вые степени свободы (число цветов N_c отсутствует в уравнениях, задающих форму и размер барионов), а также никак не учитывается наличие фазы асимптотической свободы.

1.2.2 Модели кварковых мешков

Появление моделей данного типа было стимулировано прежде всего гипотезой Гелл-Манна, Нееманаи Цвейга [21] о существовании кварков, а также стремлением описать структуру адрона как составной частицы с использованием традиционных квантов о-полевых методов.

Одной из первых явилась модель адрона с валентными кварками [22, 23], которая послужила в дальнейшем основой для создания модели с нерелятивистскими кварками [24], а также MIT модели мешка с релятивистскими кварками [25, 26].

1.2.3 Модель MIT

Изначально модель мешка MIT была инспирирована образованием пузырька в жидкости [25, 27]. В рамках этой модели адрон представлен как ограниченная область пространства (мешок), внутри которой движутся (квази- )свободные, почти безмассовые кварки. Их удержание внутри мешка обеспечивается специально выбранными граничными условиями, наложенными на кварковые поля на поверхности мешка. По предположению при низких энергиях непертурбативный вакуум внутри сильновзаямодействующей частицы практически полностью разрушен, в результате чего и возникает избыток плотности энергии вакуума.

Считается, что данное изменение свойств вакуума, вне зависимости от конкретного механизма такого изменения, вызвано наличием внутри адронов валентных кварков. Для того чтобы вакуум был стабилен, влияние на него валентных кварков должно быть ограниченным. Поэтому предполагается, что изменение свойств вакуума является основным результатом взаимодействия, а взаимодействие вакуума с валентными кварками мало. Вклад от увеличенной плотности энергии (вакуумного давления) компенсируется кинетическим движением кварков в соответствии с принципом неопределенности. Если обозначить плотность энергии во внутренней области бариона через В, то полная энергия бариона определяется выражением: о 4хД? . ,. ^Е = в + ^-^в d-ч где постоянная а характеризует кинетическую энергию кварков и зависит от их динамических свойств. При положительных значениях а и В выражение (1-1) имеет минимум при некотором R, при котором вакуумное давление снаружи компенсируется давлением валентных кварков изнутри. Эта точка и определяет размер и энергию бариона. Например, для характерных значений - а ~ 4 Фм^-1 и Я¹/⁴ ~ 0.15 ГэВ [25, 28] минимум имеет координаты: R ~ 1Фм, Е ~ 1ГэВ (1.2)

Для описания различных свойств адронов к этой простой схеме были добавлены дополнительные члены, такие как спин-спиновое взаимодействие кварков при обмене одним глюоном. Поскольку соответствующая константа связи a_s при низких энергиях неизвестна, она рассматривалась как параметр эффективного взаимодействия. Несмотря на успех в феноменологии при описании таких статических характеристик адронов, как массы и магнитные моменты [29], модель мешка MIT имела несколько существенных недостатков.

Во-первых, константа спин-спинового взаимодействия оказывалась слишком большой( aj 2), чтобы оправдать применение теории возмущений.

Во-вторых, значения основных параметров, используемых для расчета наблюдаемых, расходятся с их значениями, полученными другими методами. Так, слишком большим оказывался размер мешка (1.2), что плохо согласовывалось с данными ядерной физики [30], феноменологическими потенциалами [31, 32], параметрами фотораспада дейтрона [32, 33] и другой экспериментальной информацией, из которой следовало, что радиус мешка должен быть существенно меньше 1 Фм. Более того, по всей видимости, не находит подтверждения гипотеза о полном разрушении непертурбативного вакуума внутри адрона.

В третьих, что наиболее важно, модель мешка MIT не позволяет описать сохранение киральной симметрии, равно как и явление ее спонтанного нарушения. Это непосредственно следует из лагранжиана MIT модели: міт = (&dsf1> -B)B_v- 2^*г. (1.3)

В (1.3) конфайнмент кварков обеспечивается ступенчатой функцией 9у, равной единице внутри мешка, и нулю снаружи. Второе слагаемое, содержащее поверхностную (5-функцию &v — S(r — R), обеспечивает непрерывность векторного тока на поверхности мешка. В действительности векторный ток на поверхности обращается в нуль, предотвращая утечку барионного заряда. Однако, этот член явно нарушает каральную симметрию, в то время как одним из фундаментальных свойств сильных взаимодействий является ее спонтанное нарушение.

1.2.4 Восстановление киральной симметрии в гибридных моделях мешков

Восстановление киральной симметрии обычно выпопняется путем введения ки-рального поля, кирально-инэариантным образом взаимодействующего с кварками на поверхности мешка. Обычно применяется нелинейное представление карального поля, в которой унитарная матрица из группы SU(2) параметризована изовек-торным пионным полем tp (т - тройка изотопических ст-матриц):

Щх) = ^'IW- (1.4) где f„ есть постоянная пионного распада, определяющая масштаб энергий. Из данных о слабом распаде 7г-мезона /* = 93МэВ. После добавления кинетической энергии 7Г-МЄЗОНОВ лагранжиан примет вид:

С = (фід^ф -B)e_v- -фе^№)М"ф&у - -f*Ti [c^UU+c^UU+j e_v (1.5)

В таком виде модель кирального мешка и была предложена впервые в работах [34, 35]. Второе слагаемое в (1.5) является кирально-инвариантным обобщением члена фф. Третье слагаемое представляет собой лагранжиан нелинейной <т-модели для 7г-мезонов, однозначно заданный до производных второго порядка требованиями релятивистской инвариантности и кирапьной симметрии [36]. Поле тг-мезонов исключается из внутренней области мешка с помощью 0-функции 0р = 1 — ву-

Исторически модель кирального мешка рассматривалась двумя различными способами. В одном из подходов нелинейные эффекты в самодействии пионного поля и кварк-пионном взаимодействии считаются малыми, и решения находятся методами теории возмущений в окрестности соответствующего решения для MIT модели [28, 37, 38]. Взаимодействие кварков с ?г-мезонами при этом учитывается до первого, максимум второго порядка, поэтому большая часть вычислений может быть выполнена аналитически. В зависимости от того, разрешается ли мезонам присутствовать во внутренней области мешка, принято говорить либо о модели мешка с пнонным облаком (cloudy bag model) [28], либо просто о модели кирального мешка [37].

В обоих случаях предсказания таких свойств нуклонов, как зарядовый радиус и магнитный момент, удается существенно улучшить по сравнению с первоначальной моделью М1Т. Однако значение для размера мешка продолжает оставаться нефизически большим.

Другой подход состоит в полном учете нелинейных эффектов в мезонном поле и кварк-мезонном взаимодействии квазиклассическим методом [39, 40, 41, 42, 43]. Кварк-пионное взаимодействие на границе играет специальную роль, связывая динамику кварков во внутренней области мешка и мезонов во внешней области. В частности, динамика мезонов во внешней области оказывает влияние на поляризацию фермионного вакуума в кварковом секторе модели. Механизм подобной передачи взаимодействия непосредственно связан с топологической структурой, лежащей в основе модели, в результате чего такой вариант модели кирального мешка получил название топологического кирального мешка [28, 37]. В отличие от первого подхода, в топологической модели существенную роль играет ее гибридная природа по отношению к модели мешка MIT и модели Скирма.

Как уже было сказано выше, граничные условия между фазами соответствуют "кирапьному конфайнменту" [44]. В 1 +1 D эти условия совпадают с уравнениями бозонизации, на основании чего была выдвинута гипотеза, что фермионная теория внутри и мезонная вне мешка в действительности эквивалентны, а физические свойства такого мешка не должны зависеть от выбора граничной поверхности, что представляет из себя суть принципа Чеширского Кота (ПЧК) [22, 44]. Данные модели приобрели популярность в исследованиях нестранных адронов, состоящих из легких (w, d) кварков, для которых киральная SU(2) х SU(2) симметрия лагранжиана КХД является достаточно хорошей, а в пренебрежении массами кварков — точной. Поскольку киральная симметрия спонтанно нарушена вакуумным состоянием до SU(2), идея пионов как голдстоуновских бозонов, взаимодействующих с кварками, приобретает важное значение для описания низкоэнергетической физики адронов.

Простейшая модель данного типа может быть реализована в случае 1 4- ID, когда "мешок" представляет собой отрезок прямой, а его граница состоит из двух точек. Известный результат, полученный Коулменом, устанавливает эквивалентность двумерной теории синус-Гордона (СГ) и массивной модели Тирринга (МТ) [45], В свою очередь, это позволяет отождествить граничные условия для такого "мешка" с условиями бозонизации д_мф = фгф-у^-ф . (1.6)

Эквивалентность этих теорий означает выполнение условий бозонизации не только на границе, но и в каждой точке, следовательно, от положения границы между фазами в действительности ничего не зависит. При этом все наблюдаемые могут быть определены как в терминах бозонных полей теории СГ, так и в терминах фермионных полей МТ, так что, в зависимости от рассматриваемой ситуации можно использовать тот язык, который в данном случае оказывается наиболее удобным для описания адрона [46, 47], Основным следствием, вытекающим из гипотезы Чеширского Кота [46, 47, 48], явилось то, что, хотя "мешок" как физический объект исчезает из теории, можно пользоваться соответствующим формализмом, основанным на граничных условиях. К сожалению, бозонизация такого рода, а следовательно и ПЧК, могут быть строго обоснованы лишь в 1+1 D, когда фермионная теория во внутреннем секторе является массивной МТ, а внешняя бозонная теория — моделью СГ. В этом случае переход от бозонного описания к фермнонному может быть осуществлен в любой точке пространства с помощью подстановки Манделстама-Коулмена [45].

В реалистичном же 3 4- 1 Е> случае под вопросом находится сама возможность постановки такой задачи. Поэтому, в 3 + 1-мерных ГКМ, основанных на ПЧК, существует лишь весьма ограниченный набор характеристик, таких как топологический заряд, действительно не зависящих от радиуса мешка [22, 41, 49]. Более того, вся феноменология сильных взаимодействий однозначно указывает на существование характерного масштаба конфайнмента порядка 0.5 Фм, то есть, вне зависимости от степени обоснованности бозонизации в 3 + 1 D, в реалистических моделях ПЧК неизбежно должен быть сильно нарушен.

Еще одним принципиальным недостатком двухфазовых ГКМ является то, что в их рамках нет места для массивных составляющих кварков, концепция которых нашла хорошее подтверждение в адронной спектроскопии.

Таким образом, все самые успешные эффективные модели адронов не лишены недостатков, и их дальнейшая разработка и модификация представляет собой актуальную проблему низкоэнергетической физики сильных взаимодействий.

1.3 Цели работы

Одной из основных целей данной работы является разработка такой модификации ГКМ, в которой свободные, практически безмассовые токовые кварки переходят сначала в "одетые" в результате кирального кварк-мезонного взаимодействия массивные конституэнтные кварки, несущие те же квантовые числа цвета, аромата и спина, и лишь потом возникает чисто мезонная бесцветная фаза.

Прямое киральное кварк-мезонное взаимодействие вводилось z ранее в ряде других подходов к моделированию низкоэнергетической структуры адронов, в частности, в моделях "мешков с пионяым облаком", в которых оно учитывается лишь как возмущение, из-за чего оказывается невозможным реализовать заложенный в таком взаимодействии нелинейный механизм динамической генерации массы кварков, а также в различных вариантах кирапьных кварк-солитонных моделей, в которых это взаимодействие является основным нелинейным механизмом динамического возникновения конфигурации кваркового мешка во всем пространстве, но не позволяет решить проблемы, связанные с отсутствием полного конфайнмента. В разрабатываемой модели ставится цель реализовать промежуточный вариант, когда вклад прямого кирального кварк-мезонного взаимодействия в характеристики системы является нелинейным, но конфайнмент кварков обеспечивается дополнительным условием запирания.

Помимо этого, при разработке такой модели в 1 + 1 D ставились следующие задачи:

Найти самосогласованные в смысле учета эффектов поляризации фермионно-го вакуума решения, описывающие как изолированные мешки с различными значениями топологического заряда, так и системы, состоящие из двух взаимодействующих мешков.

Для данных конфигураций провести исследование зависимости энергии системы от ее геометрии и дополнительных параметров, характеризующих дискретные свойства мешков в 1 + 1 D.

Исследовать поведение основных физических характеристик системы в наиболее интересных предельных случаях, таких как исчезновение промежуточной фазы мешка (что соответствует формальному переходу к двухфазовой модели), а также при сближении мешков на предельно допустимое минимальное расстояние (когда их промежуточные фазы начинают перекрываться).

Далее, одной из основных цепей настоящей работы являлось обобщение такой трехфазовой ГКМ на 3 + 1 D случай в SU(2)-варианте с легкими и- и d-кварками, что представляет отдельную проблему из-за наличия нулевых фермионных мод. В рамках такой модели в 3 + 1 D ставились следующие задачи:

1. Найти самосогласованные решения уравнений модели с единичным топологическим зарядом (барионным числом).

1. Для таких решений провести фитирование ее исходных параметров, при которых характеристические размеры мешка и его энергия находятся в соответствии со своими значениями, известными из феноменологии.

1.4 Основные положения, выносимые на защиту На защиту выносятся следующие основные положения:

Построение самосогласованных решений, учитывающих эффекты поляризации фермионного вакуума, для трехфазовой модификации ГКМ, содержащей наряду с фазами асимптотической свободы и адронизации также и промежуточную фазу конституентных кварков.

Исследование для таких решений полной перенормированэой энергии мешка как функции параметров, характеризующих его геометрию, и топологического заряда.

Построение самосогласованных решений и изучение на их основе свойств системы двух взаимодействующих мешков в рамках такой трехфазовой модификации ГКМ в 1 + 1 D.

Разработка трехфазовой модификации SU(2)—гибридного карального мешка с промежуточной фазой конституентных кварков в 3 + 1 D и построение самосогласованных решений с единичным топологическим (барионным) зарядом.

Изучение зависимости основных характеристик трехфазовой модели в 3 + 1 D, таких как масса, размер области асимптотической свободы и радиус мешка, от исходных параметров.

1.5 Структура работы

В начале текущей главы приведен краткий обзор основных моделей описания сильных взаимодействий при низких энергиях. Основное внимание уделяется анализу наиболее актуальных проблем в рамках существующих моделей мешков, которые привели к постановке задачи диссертации.

В главе 2 предложен и подробно изучен один из вариантов трехфазовой гибридной киральной модели в 1 + 1 D, в которой однофлейворное фермионное поле кирально инвариантным образом взаимодействует в промежуточной области с действительным скалярным полем, обладающим во внешней области нелинейным со-литонным решением. С учетом эффектов поляризации фермионного вакуума найдено самосогласованное решение уравнений модели для мешка с единичным топологическим зарядом. В рамках этого решения перенормированная полная энергия мешка исследована как функция параметров, характеризующих геометрию мешка. Отдельно рассмотрена реализация данной программы в случае нетопопогического мешка, где не удается построить точное самосогласованное решение. Для этого используется приближенное решение, построенное по аналогии с топологическим случаем, и проводится оценка его правомерности, путем сравнения с результатами вычислений на решетке.

В главе 3 в рамках разработанной модели рассматривается система двух взаимодействующих мешков с единичными топологическими зарядами. Следуя тем же принципам, что и для случая одного изолированного мешка, строится самосогласованное решение уравнений движения. Анализируются принципиальные отличия этого решения от случая изолированного мешка, обусловленные конечностью расстояния между мешками. Также отмечается существование дополнительных дискретных характеристик мешков, специфических для 1 + ID, которые связаны с возможностью выбирать различные знаки киральных фермионных масс по разные стороны от области асимптотической свободы. В конце главы проводится детальный анализ проблемы наличия бесконечной энергетической щели, разделяющей мешки различных типов.

Похожие диссертации на Самосогласованные решения в гибридных киральных моделях трехфазовых кварковых мешков в 1 + 1 и 3 + 1 D

Классические решения в моделях некоммутативной теории поля Сибиряков Сергей Михайлович

Точные решения и модели природных течений на неровных поверхностяхКарельский, Кирилл Владимирович

Непертурбативные решения в моделях четырехфермионного взаимодействияКоренблит Сергей Эммануилович

Низкоэнергетические эффективные действия и многоразрезные решения матричных моделей Васильев Дмитрий Викторович

Исследование топологических и нестандартных решений некоторых моделей квантовой теории поляКикнадзе, Николоз Арчилович

Решения цепочечных моделей изинга и их приложения к проблеме фазовых переходовЮрищев, Михаил Александрович

Космологические и сферически - симметричные точные решения в многомерных моделях гравитацииСеливанов Алексей Борисович

Точные решения в многомерных моделях гравитации Иващук Владимир Дмитриевич

Новые точные решения в матричных и статистических моделяхШакиров, Шамиль Ринатович

Квазиклассические решения в суперсимметричных и некоммутативных моделях квантовой теории поляДымарский Анатолий Яковлевич