Содержание к диссертации
Введение
1 Эффективное действие 18
1.1 Суперсимметричные теории 18
1.2 Л/- = 2 суперсимметричные теории и теория Зайберга - Виттена 21
1.3 Нарушенная JV = 2 теория 22
1.4 "Пертурбативное" вычисление суперпотенциала для ЛГ = 1 теории . 24
2 Многоразрезные решения матричной модели 25
2.1 Матричные интегралы и резольвенты 25
2.2 Решение в роде ноль 28
2.3 Матричная модель в представлении собственных значений 32
2.4 Система Зайберга-Виттена-Уизема 36
2.5 Свободная энергия как препотенциал системы ЗВУ 41
2.6 Вторые производные свободной энергии 47
3 Уравнение ВДВВ 59
3.1 Формула вычетов 60
3.2 Доказательство условий ВДВВ 63
3.3 Уравнения ВДВВ и пертурбативное разложение FQ 66
4 Вычисление непланарных вкладов 69
4.1 Решение петлевых уравнений в старших родах 69
4.2 Вычисления в роде один 77
4.3 Свободная энергия в роде один и детерминантное представление . 79
4.4 Связь с топологической В-моделью 83
- Нарушенная JV = 2 теория
- Матричная модель в представлении собственных значений
- Доказательство условий ВДВВ
- Свободная энергия в роде один и детерминантное представление
Введение к работе
0.1 Общая характеристика работы
Актуальность темы
Диссертация посвящена изучению многоразрезных решений матричной модели и их приложению к изучению низкоэнергетических эффективных действий для суперсимметричной калибровочной теории.
Матричные модели [1] в приложении к изучению физических явлений появились в работах Е. Вигнера и Ф. Дайсона. В этих работах изучалась связь между распределением ядерных уровней и собственных значений случайных матриц. В течение последней четверти двадцатого века матричные модели были применены во многих физических и математических задачах, включая распределение энергетических уровней в сложных системах, квантовый эффект Холла, проблемы лапласовского роста, квантовую гравитацию, теорию струн, интегрируемые системы, теорию чисел, комбинаторику графов на поверхностях, инварианты Громова-Виттена и многое другое.
Ключевой задачей квантовой хромодинамики является вопрос получения низкоэнергетического действия из действия калибровочной теории. В последние десять лет был достигнут большой прогресс в решении этого вопроса для суперсимметричных теорий. В 1994 Э. Виттен и Н. Зайберг нашли низкоэнергетическое действие для N = 2 суперсимметричной теории, используя тонкий анализ имевшихся результатов о
структуре низкоэнергетического действия [2, 3]. Позднее этот результат был подтвержден инстантонными вычислениями в работах Н. Некрасова [4, 5, 6]. Диссертация посвящена изучению различных свойств низкоэнергетического действия Л/* = 1 суперсимметричной теории с материей в присоединенном представлении. Ее затравочное действие выглядит следующим образом:
S = —ImTr
+
( f d2edAxWaWa+ 2 f сі2в(і2в(і4хФ^е-2ф)
+ /МВД + к (0.1)
Здесь введен комплексный параметр т = 9/2-ir + 4m/д2, векторное суперполе V, связанное с ним киральное суперполе: Wa = ^D2e2VDae~2V и киральное суперполе Ф.
В 2001 году в работах Ф. Качазо, К. Вафы, К. Интрилигатора [7, 8], а затем в работах К. Вафы и Р. Диджкграафа [9, 10, 11] было показано, что для Л/" = 1 суперсимметричной калибровочной теории с материей в присоединенном представлении низкоэнергетическое эффективное действие, записанное в терминах кирального суперполя глюбола
S = з^2?>Ж*У\Л (0.2)
дается планарным пределом многоразрезных решений [12, 13, 14, 15, 16, 17] эрмитовой матричной модели:
We// = (ъЩ+а5>) (-3)
Этот факт является обобщением известного результата Г. Венециано и С. Янкеловича [18], получивших в 1982 году ответ для JV* = 1 суперсимметричной калибровочной теории без материи.
Как в случае Л/" = 2, так и в случае Л/" = 1 теории ответ может быть описан в терминах интегрируемых систем. При этом фазовое пространство динамической системы совпадает с пространством модулей, возникающим при описании низкоэнергетического действия. В диссертации показана связь многоразрезных решений матричной модели с иерархией
Уизема [19] (см. также [20, 21, 22, 23, 24, 25, 26]), возникающей в теории солитонов. Можно ожидать, что существует соотношение между статистической суммой в планарном пределе и квазиклассической или уиземовской иерархией хотя бы уже по той причине, что матричные интегралы сами по себе являются тау-функциями иерархий интегрируемых уравнений типа КП/Тоды [27, 28, 29, 30, 31, 32, 33].
Диссертация содержит вывод уравнений Виттена-Диджкграафа-Вер-линде-Верлинде (ВДВВ) для первого члена в разложении свободной энергии матричной модели по 1/N [34]. Уравнения ВДВВ [35, 36, 37] впервые были получены для топологических теорий (то есть теорий, в которых корреляторы не зависят от метрики), и их появление свидетельствует о существовании топологической теории, соответствующей данным решениям матричной модели.
Хотя матричная модель является точно решаемой, явные представления для корреляторов найти довольно сложно. В связи с этим важной задачей является вопрос о вычислении резольвент - производящих функций для корреляторов матричной модели, также имеющих разложение по І/iV. В диссертации показано, что двухточечная резольвента совпадает с ядром бидифференциала Бергмана на кривой [38].
Предполагается [39, 40, 41], что непланарные вклады в свободную энергию матричной модели описывают голоморфные члены, отвечающие за взаимодействие калибровочной теории с гравитацией. В связи с этим представляется важным получить явные представления для данных вкладов. В работе предъявлено новое детерминантное представление для первого непланарного вклада в свободную энергию. Это представление позволяет связать диаграммную технику, возникающую в уравнениях ВДВВ, с вычислением старших членов в разложении свободной энергии матричной модели [38, 42].
Цель работы
Целью диссертации является:
изучение низкоэнергетического поведения суперсимметричных калибровочных теорий;
изучение предела N — оо, д —> 0 в матричных моделях и вычисление старших вкладов в свободную энергию;
связь многоразрезных решений матричной модели с иерархией Уи-зема;
изучение связи матричных моделей с топологическими теориями и вывод уравнения ВДВВ в многоразрезных решениях матричных моделей.
Научная новизна
Основные результаты работы являются новыми. Среди них:
построение системы Уизема, соответствующей многоразрезным решениям эрмитовой матричной модели;
представление двухточечной резольвенты через ядро бидифферен-циала Бергмана;
вывод уравнений ВДВВ на лидирующий вклад в свободную энергию эрмитовой матричной модели;
вывод детерминатного представления для первого непланарного вклада в свободную энергию эрмитовой матричной модели.
Практическая и научная ценность
Получен новый пример описания низкоэнергетического действия суперсимметричных калибровочных теории в терминах иерархии Уизема.
Получены явные представления для производящих функций корреляторов матричной модели.
Показано, что планарный предел свободной энергии матричной модели удовлетворяет уравнениям ВДВВ, что подтверждает связь матричной модели с топологическими теориями.
Изучен вопрос о вычислении старших вкладов в статсумму матричной модели. Получены новые явные формулы для первого непла-нарного вклада.
Апробация диссертации и публикации
Результаты диссертации докладывались на международных конференциях: Quantum Groups and Integrable Systems, Прага, Чехия, июнь, 2003; Quantum Fields and Strings, Домбай, Россия, август, 2003; 65th Workshop on General Algebra, Потсдам, Германия, март, 2003; Random Matrices, Random Processes and Integrable Systems, Монреаль, Канада, июнь-июль, 2005; научном семинаре Центра Нелинейных Исследований Лос-Аламосской Национальной Лаборатории, США, 2003; физико-математическом семинаре математического факультета университета г. Анжер, Франция, март, 2003. По материалам диссертации опубликовано 4 научные работы.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Список литературы содержит около 100 наименований. Общий объем диссертации составляет 96 страниц.
0.2 Содержание диссертации
Нарушенная JV = 2 теория
Как в случае Л/" = 2, так и в случае Л/" = 1 теории ответ может быть описан в терминах интегрируемых систем. При этом фазовое пространство динамической системы совпадает с пространством модулей, возникающим при описании низкоэнергетического действия. В диссертации показана связь многоразрезных решений матричной модели с иерархией Уизема [19] (см. также [20, 21, 22, 23, 24, 25, 26]), возникающей в теории солитонов. Можно ожидать, что существует соотношение между статистической суммой в планарном пределе и квазиклассической или уиземовской иерархией хотя бы уже по той причине, что матричные интегралы сами по себе являются тау-функциями иерархий интегрируемых уравнений типа КП/Тоды [27, 28, 29, 30, 31, 32, 33].
Диссертация содержит вывод уравнений Виттена-Диджкграафа-Вер-линде-Верлинде (ВДВВ) для первого члена в разложении свободной энергии матричной модели по 1/N [34]. Уравнения ВДВВ [35, 36, 37] впервые были получены для топологических теорий (то есть теорий, в которых корреляторы не зависят от метрики), и их появление свидетельствует о существовании топологической теории, соответствующей данным решениям матричной модели.
Хотя матричная модель является точно решаемой, явные представления для корреляторов найти довольно сложно. В связи с этим важной задачей является вопрос о вычислении резольвент - производящих функций для корреляторов матричной модели, также имеющих разложение по І/iV. В диссертации показано, что двухточечная резольвента совпадает с ядром бидифференциала Бергмана на кривой [38].
Предполагается [39, 40, 41], что непланарные вклады в свободную энергию матричной модели описывают голоморфные члены, отвечающие за взаимодействие калибровочной теории с гравитацией. В связи с этим представляется важным получить явные представления для данных вкладов. В работе предъявлено новое детерминантное представление для первого непланарного вклада в свободную энергию. Это представление позволяет связать диаграммную технику, возникающую в уравнениях ВДВВ, с вычислением старших членов в разложении свободной энергии матричной модели [38, 42]. Цель работы Целью диссертации является: изучение низкоэнергетического поведения суперсимметричных калибровочных теорий; изучение предела N — оо, д — 0 в матричных моделях и вычисление старших вкладов в свободную энергию; связь многоразрезных решений матричной модели с иерархией Уи-зема; изучение связи матричных моделей с топологическими теориями и вывод уравнения ВДВВ в многоразрезных решениях матричных моделей. Научная новизна Основные результаты работы являются новыми. Среди них: построение системы Уизема, соответствующей многоразрезным решениям эрмитовой матричной модели; представление двухточечной резольвенты через ядро бидифферен-циала Бергмана; вывод уравнений ВДВВ на лидирующий вклад в свободную энергию эрмитовой матричной модели; вывод детерминатного представления для первого непланарного вклада в свободную энергию эрмитовой матричной модели. Практическая и научная ценность Получен новый пример описания низкоэнергетического действия суперсимметричных калибровочных теории в терминах иерархии Уизема. Получены явные представления для производящих функций корреляторов матричной модели. Показано, что планарный предел свободной энергии матричной модели удовлетворяет уравнениям ВДВВ, что подтверждает связь матричной модели с топологическими теориями.
Изучен вопрос о вычислении старших вкладов в статсумму матричной модели. Получены новые явные формулы для первого непла-нарного вклада. Апробация диссертации и публикации
Результаты диссертации докладывались на международных конференциях: Quantum Groups and Integrable Systems, Прага, Чехия, июнь, 2003; Quantum Fields and Strings, Домбай, Россия, август, 2003; 65th Workshop on General Algebra, Потсдам, Германия, март, 2003; Random Matrices, Random Processes and Integrable Systems, Монреаль, Канада, июнь-июль, 2005; научном семинаре Центра Нелинейных Исследований Лос-Аламосской Национальной Лаборатории, США, 2003; физико-математическом семинаре математического факультета университета г. Анжер, Франция, март, 2003. По материалам диссертации опубликовано 4 научные работы.
Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Список литературы содержит около 100 наименований. Общий объем диссертации составляет 96 страниц. является введением в приложение матричных моделей к изучению низкоэнергетических эффективных действий в суперсимметричных квантовых теориях поля.
Возникновение таких решений наиболее естественно в представлении матричной модели через собственные значения. При этом матричная модель выглядит как квантовая механика 2-мерного кулоновского газа (в пределе бесконечной массы), живущего на прямой во внешнем потенциале. В пределе N — со, д — 0 естественно ввести плотность собственных значений и ожидать, что она будет ненулевой только на конечных носителях - в минимумах потенциала. Для фиксации чисел заполнения Si в многораз-резном решении необходимо введение соответствующих им химических потенциалов П
Матричная модель в представлении собственных значений
В дальнейшем выберем в качестве решения петлевых уравнений решение с фиксированными числами заполнения (2.31). Заметим, что если наоборот рассмотреть решение с фиксированными химическими потенциалами (2.44)-(2.47) вместо (2.42), то получится решение с взаимной заменой А-циклов на ІЗ-цикльї на римановой поверхности (2.19). Тем не менее, само выражение FQ не является модулярно инвариантным. При замене базиса гомологии, JF0 преобразуется в соответствии с преобразованиями дуальности, см. [62]. Поправки следующих порядков также оказываются зависящими от базиса гомологии выбирая Si или П в качестве независимых переменных, мы приходим к различным выражениям, например, для поправки рода один к свободной энергии, см. раздел 4.3.
В следующих двух подразделах показывается, что решение петлевого уравнения в планарном приближении с фиксированными числами заполнений отвечает системе Зайберга-Виттена-Уизема.
Система Зайберга-Виттена. Системой ЗВ [З]6 называется следующий набор данных: 1 семейство М. римановых поверхностей (комплексных кривых) С, размерность пространства модулей которого совпадает с родом7; 2 мероморфный дифференциал dS, вариации которого относительно модулей кривых голоморфны (это предполагает существование связности на пространстве модулей, при этом это утверждение приобретает точный смысл, см., например, [22, 64]). Различные свойства таких систем обсуждались в работах [22, 23, 24].
В более общем случае это понятие можно обобщить на кривые с произвольной инволюцией, или же на случаи, когда определенные направления в пространстве модулей оказываются "замороженными" тем или иным образом, см. примеры в [63]. Эти данные позволяют определить препотенциал теории ЗВ [3], связанной с интегрируемыми системами [19, 65, 66, 22, 24]. Для этого сначала введем переменные (число которых совпадает с родом кривой С) где Аг - Л-циклы на С. Поскольку по условию производные Цг голоморфны, из определения (2.49) переменных Si и из очевидного соотношения dSj/dSi = Sji получим, что где duoi - канонически нормированные голоморфные 1-дифференциалыг 4 jf i = i- С2-52) Вводя 5-циклы сопряженные Л-циклам: АІ о Bj = 6ij, получим, что щ$ dS = f & = Та (2-53) представляет собой матрицу периодов кривой С, а потому эта величина симметрична. Это следует из билинейных тождеств Римана для канонических голоморфных дифференциалов (2.51) и именно эта функция называется препотенциалом. Обобщенные системы Уизема. Теперь мы намерены расширить понятие системы ЗВ на квазиклассические системы, или обобщенные системы Уизема [19]. Для этого введем в рассмотрение новые переменные -времена tfc. Наше рассмотрение следует работам [20, 21]8. Для построения системы Уизема необходимо добавить к данным системы ЗВ набор потоков локальных координат в окрестности сингулярных точек типа проколов на поверхности С. В частном случае модели (2.19) с дифференциалом (2.21) эти точки (сингулярности ydX) совпадают с двумя точками Л-бесконечностей, в которых локальный параметр можно выбрать в виде == - Введем теперь набор мероморфных дифференциалов dflk с полюсами только в этих выколотых точках (поскольку гиперэллиптическая кривая (2.19), (2.21) инвариантна относительно инволюции у — —у, мы можем рассматривать теорию в окрестности одной из этих точек бесконечностей, см. [20, 21]). Эти дифференциалы имеют асимптотическое поведение dftk = к (rfe_1 + 0(1)) d, для f 0, к 0 (2.56) Определим также биполярный дифференциал или абелев дифференциал третьего рода, имеющий два простых полюса, расположенные в точках бесконечностей: resoodf2o = — res00_dQo = -1. (2.57) Тогда обобщенная система Уизема задается системой уравнений на эти дифференциалы и на голоморфные дифференциалы duJi . "7ЙГ дц ds = dh os = "ад" ( где предполагается, что частные производные берутся при постоянной гиперэллиптической координате Л.
Эти дополнительные переменные можно вводить в подходе суперсимметричных калибровочных теорий ЗВ даже без априорного обращения к интегрируемым системам, см. работу [67] и ссылки в этой работе. Заметим однако, что мероморфные дифференциалы (2.56), (2.57) определены с точностью до добавления линейных комбинаций голоморфных дифференциалов. Поскольку по условию переменные Si и tk независимы, эту неоднозначность можно фиксировать простым наложением условий [20, 21]
Теперь можно определить препотенциал, зависящий как от переменных Si, так и от переменных tk с помощью прежнего соотношения (2.55) и сходных соотношений
Последний интеграл расходится, а потому необходимо ввести подходящую регуляризацию, которая обсуждается в следующем параграфе. Для того чтобы показать существование такого препотенциала [20, 21], необходимо проверить симметричность вторых производных. Эта
В дальнейшем будем называть бесконечной точкой точку оо+, или А = со на "верхнем" (физическом) листе гиперэллиптической римановой поверхности (2.21), отвечающем положительному знаку квадратичного корня. Вг
Разрезанная риманова поверхность, показанная на рис. 2.3. Интеграл по границе можно разбить на несколько участков (см. формулу (3.3)). В процессе вычисления было использовано то обстоятельство, что граничные значения абелевых интегралов uf на противоположных краях разреза различаются на интеграл от соответствующего дифференциала d/Uj по замкнутому дуальному циклу. Добавлены две точки бесконечности и дополнительный, п-й разрез, разбивающий поверхность на два листа. На рисунке также показан логарифмический разрез между этими двумя точками (вокруг которого нарисован стандартный контур интегрирования С{). Интегралы по малым окружностям вокруг точек ветвления /ia дают вклад только при вычислении третьих производных по каноническим переменным tj. симметричность следует из билинейных тождеств Римана: dvk Здесь дТ,д есть разрезанная редуцированная риманова поверхность (2.21) (см. рис. 2.2), функции Г2 представляют собой значения Qk — / dQk на двух краях соответствующего цикла (они связаны через интеграл по дуальному циклу), и было использовано соотношение (2.72). РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ , для производных по временам tk получим (ср. (2.64)):
JBi Joo 2.5 Свободная энергия как препотенциал системы ЗВУ
Установим теперь связь между системами Зайберга-Виттена-Уизема (ЗВУ) и планарным приближением свободной энергии 1ММ.
Матричный интеграл как система ЗВ. Семейство М. в случае 1ММ представляет собой семейство редуцированных римановых поверхностей рода h = п — 1, задаваемых условиями (2.19) или (2.21). Иными словами, поверхность Л4 не зависит от дополнительного многочлена Mm_n(A), который, тем не менее, содержится в выражении (2.21) для дифференциала dS. Дифференциал ЗВ есть dS = yd\. (2.67) Рассмотрим его вариацию по переменным Si. Вариация по модулям поверхности оставляет инвариантным род редуцированной римановой поверхности, равно как и старшую степень дополнительного многочлена Mm_n(A). Более того, рассматривая времена потенциала V (A) как переменные, не зависящие от параметров Si, придем к равенству 6V /5Si = 0. Ниже будем обозначать через 5 и 5s соответствующие вариации общего вида и вариации только по модулярным параметрам Si. где полиномиальное выражение в числителе имеет максимальную степень т+п — 1 (поскольку старший член многочлена Mm_n фиксирован). С другой стороны, под вариацией 5s, которая оставляет инвариантной потенциал, получим из (2.19), (2.21), что
2Mm.n(A)/(A) v Так как эта вариация представляет собой всего лишь частный случай вариации (2.68), получим, что нули МТО_П(А) в числителе (2.69) должны в точности сокращаться с нулями многочлена 5sPm-i(ty в знаменателе, так что максимальная степень многочлена в знаменателе не превышает п — 2 (поскольку снова старший член многочлена Pm_i(A) оказывается фиксирован асимптотическим условием (2.23) и не изменяется при вариациях 5s). Тем самым мы приходим к ключевому наблюдению, что вариация 5sdS голоморфна на кривой (2.21), как и должно быть в случае дифференциала ЗВ.
Доказательство условий ВДВВ
Пертурбативное разложение свободной энергии (3.22) симметрично относительно преобразования S\ «- —52, ti - - 2- При этом заметим, что так как весь препотенциал, за исключением линейной части, зависит только от Ц, то преобразование 2 действует только на линейную часть.
В суперсимметричных теориях поля такие разложения зависят от дополнительного параметра AQCD, связанного со шкалой квантовой теории поля [7]. Но здесь такой параметр возникает только как регуляризация и, в общем случае матричной модели, может быть исключен. Более того, так как члены, зависящее от AQCD квадратичны по Si и U (они имеют логарифмическую или полиномиальную структуру по AQCD, В последнем случае они пропорциональны V(AQCD)), то они не дают вклада в уравнения ВДВВ. При этом они перенормируют вторые производные препотенциала (или матрицу периодов кривой), играющую роль набора констант связи теории поля при низких энергиях.
В отличие от разложения слабой связи в теории Зайберга - Виттена, когда логарифмические члены сами удовлетворяют уравнениям ВДВВ точно (см. [37])2, возникает техническая трудность в пертурбативной проверке уравнений ВДВВ на препотенциал (3.22), возникающая вследствие различных порядков величин в разных матричных элементах матрицы третьих производных препотенциала (3.2). Например, все элементы матрицы (Ft2)jKi за исключением ( Ft2)t.t имеют порядок 0(1), в то время как остальные - порядок O(Si). (Мы по определению считаем все Si одного порядка величины.)
Следовательно, для того, чтобы определить, в какой порядок в урав 23аметим, что разложение (3.22) по положительным степеням переменных, 5» более схоже не с разложением слабой связи теории Зайберга - Виттена, а с ее разложением сильной связи. В последнем случае уравнения ВДВВ выполняются вследствие дуальности [62]. нениях ВДВВ дает вклад тот или иной член пертурбативного разложения, необходимо проследить за каждым матричным элементом. На практике удобнее перескалировать все Si на масштабный фактор Л. Тогда все нетривиальные матричные элементы какого-либо матричного уравнения ВДВВ (для определенности UK) имеют одинаковый порядок по Л (выбор других IJК в (3.1) меняет порядок). Например, для (/, J, К) = (t2,S\,ti) лидирующий порядок в (3.1): Л7, и он равен нулю. В него дают вклад линейный и логарифмический (по Si) члены (3.22). Кубические члены препотенциала дают вклад порядка Л8, квадратичные - Л9 и так далее. Используя программу MAPLE, мы проверили, что препотенциал (3.22) вплоть до пятого порядка по Si удовлетворяет уравненим ВДВВ (3.1).
Можно провести проверку для других нетривиальных примеров с потенциалом матричной модели старшей степени. Этот путь ограничен тем, что тогда V(AO становится все более сложной функцией времен U, так как fii - корни полиномиального уравнения более высокой степени. Следовательно теряется принципиальная возможность аналитической работы с V(fii), если степень V(A) - шесть и выше. Единственная возможность работы с такими потенциалами - изучение предела, когда некотрые корни сливаются. Глава 4
Вычисление непланарных вкладов
Решение Wi(p) петлевого уравнения в многоразрезном случае было получено Акеманом в работе [60]. Ему также удалось проинтегрировать полученное решение и найти свободную энергию Т\ в случае двух разрезов. Статистическая сумма в роде один для общего многоразрезного решения была предложена в работах [85, 40], где было обнаружено, что формула Акемана совпадает с коррелятором твистованных полей, вычисленным Ал. Замолодчиковым [86]. Эти поля обеспечивают появление разрезов на комплексной плоскости и задают гиперэллиптическую ри-манову поверхность в соответствии с идеологией работы [71, 72, 73], с точностью до некоторых поправок, обусловленных включением в рассмотрение звездчатых операторов, введенных Г. Муром в работе [87]. В данном разделе описывается (см. также [88]) вычисление поправки рода один на основе прямого интегрирования петлевого уравнения, что обобщает результат Акемана на случай произвольного числа разрезов.
Итерационное решение петлевых уравнений. Определим теперь поправки старших родов. Поправки старших родов можно найти с помощью итераций, если обратить разложение по родам в петлевом уравнении (2.11). Наша стратегия будет состоять в том, чтобы построить интеграль 1 Универсальность критического поведения для соответствующих корреляционных функций было доказано в работе [15]. ный оператор dQ, который был бы обратным к интегральному оператору K-2W0(\).
Действие этого оператора на обе части уравнения (2.11) позволяет получить резольвенту Wb(A) рекуррентно по разложению по родам, подобно тому как все многоточечные резольвенты одного и того же рода могут быть получены из одноточечной резольвенты Wh{X) простым при-менением оператора вставки петли дуг]л
При этом есть некоторая неопределенность: оператор К—2 Wo (А) имеет нулевые моды и сам по себе необратим. Тем самым решение петлевого уравнения оказывается определенным с точностью до произвольной комбинации этих нулевых мод. Ядро оператора А" — 2 Wo (А), таким образом, в точности совпадает с множеством голоморфных 1-дифференциалов на римановой поверхности (2.21).
С тем чтобы зафиксировать эту свободу, предположим, что резольвента Wfc(A) выражается исключительно в терминах производных дуГХ\ и gyAs, что, как показывается в следующем параграфе, позволяет однозначно определить решение петлевого уравнения. Это условие представляет собой естественное обобщение условия нормировки (2.60) на старшие рода, и оно в конечном итоге принимает вид:
Свободная энергия в роде один и детерминантное представление
Обсудим теперь результат, полученный для свободной энергии в роде один. Во-первых, сравним (4.20) с ранее полученными результатами.
Первая формула, с которой надо провести сравнение, - это вычисление в "старой" матрично-модельной формулировке, проделанное Аке-маном в случае двух разрезов [60]. Легко видеть, что формула (4.20) совпадает с ответом работы [60] с точностью до модулярного преобразования, переставляющего А- и 5-периоды. В этом нет никакой неожиданности, поскольку во всех наших вычислениях в разделе 4.2 Л-периоды (2.31) дифференциала dS (2.67) считались постоянными относительно действия оператора ду,Х\ (2.72). Акеман же напротив требовал выполнения условия нулевых -периодов дифференциала dS, что отвечает равным "уровням" НІ в различных потенциальных ямах потенциала [92, 93]
Полезно сравнить этот ответ с формулой, предложенной в работах [90, 35, 91] для однопетлевой (торической) поправки в топологических теориях: ли же дополнительной минимизации свободной энергии (2.40) в седло-вой точке относительно чисел заполнения (2.42). На самом деле, так как ни сам ответ (4.20), ни промежуточные вычисления не обращаются к явной зависимости от частных значений периодов, можно с тем же успехом положить все В-периоды в подходе Акемана равными произвольным (ненулевым) константам и тем самым получить теорию, аналогичную нашей, с модулярно преобразованными циклами.
При наложении условия постоянных .В-периодов (2.44)-(2.47), как было впервые отмечено в работе [39], матрица 7ij, т.е. А-периоды выражений М, заменяется на матрицу соответствующих .В-периодов. В этом состоит единственное отличие от результата работы [60]. Формула (4.20) определенно воспроизводит ответ работ [85, 40]5 для общего многоразрезного решения.
Отметим, что то обстоятельство, что единственным эффектом перестановки А- и В-периодов оказывается перестановка соответствующих периодов в det (J, предполагает, что величина е 1 представляет собой не функцию, а плотность на пространстве модулей кривых. В самом деле, при перестановке А- и Л-периодов определитель det aij умножается на det Tij - детерминант матрицы периодов. Чтобы сократить эту зависимость, величина е 1 должна преобразовываться при такой замене с дополнительным множителем (det 7) , как следует из (4.20). При этом приходим к следующему результату: перестановка А- и .В-периодов приводит только к изменению соответствующей матрицы Gij в формуле (4.20). Заметим, что такое поведение еТх свидетельствует о том, что оно представляет собой сечение детерминантного расслоения DET5 над пространством модулей, где -оператор должен действовать на сечениях нетривиального расслоения над комплексной кривой матричной модели. Можно найти, что детерминант det dj оператора д (с фиксированным базисом нулевых мод), действующего на голоморфных -дифференциалах, пропорционален deter при j = 0,1, но обычно не содержит deter при других значениях j, хотя сам по себе преобразуется нетривиально при перестановке А- и .В-циклов. В работе [40] было предложено, что для того, чтобы иметь правильное поведение при модулярных преобразова 5В работе [85] детерминантами член deter отсутствовал в ответе. ниях, оператор dj должен действовать на пространстве твистованных бозонов на гиперэллиптических кривых. Тогда выражение е 1 совпадает с его детерминантом. Кроме того, необходимо добавить поправки, создаваемые звездчатыми операторами [40, 87], которые не содержат deter и тем самым не могут быть восстановлены из условия модулярной инвариантности ответа. Эти поправки, тем не менее, необходимы для того, чтобы построить правильный ответ (4.20).
Другое важное отличие нашего ответа от ответа Акемана [60] состоит в том, что автор [60] может легко добавить произвольную константу к ответу (4.20), не нарушая решение петлевого уравнения, в то время как в нашем случае есть произвол в добавлении произвольной функции от чисел заполнения Si так как в отличие от подхода работы [60], не оставляющего свободных параметров, в нашем подходе величины Si считаются произвольными.
Можно частично фиксировать произвол в добавлении функций к свободной энергии, если наложить требование гладкого поведения Т\ при вырождениях поверхности. Для этого стянем один из разрезов, например, устремим / 2 к /її. Полагая /І2 — fJ-i = є —+ 0, можно легко убедиться, что в этом пределе
