Содержание к диссертации
Введение
1 Самодействие в линейных теориях 20
1.1 Общая линейная теория в плоском пространстве 22
1.2 Регуляризация реакции излучения 23
1.3 Выводы 32
2 Примеры регуляризации в линейных теориях 33
2.1 Регуляризация в случае электрически заряженной браны 33
2.1.1 Массивная частица 36
2.1.2 Безмассовая частица 40
2.1.3 Выводы 47
2.2 Модели бран с магнитным взаимодействием 48
2.2.1 Выводы 52
2.3 Электрически заряженная струна с током 52
2.3.1 Заряженная струна с током 53
2.3.2 Заряженное кольцо 57
2.3.3 Абсолютно несжимаемая струна 63
2.3.4 Выводы 70
2.4 Локализация поля источника 71
2.4.1 Выводы 78
2.5 Сокращение расходимостей 79
2.5.1 Выводы 83
2.6 Реакция излучения мультипольных моментов 84
2.6.1 Уравнения движения и мультиполи 84
2.6.2 Эффективная динамика мультипольных моментов 87
2.6.3 Гидродинамический подход 101
2.6.4 Выводы 106
3 Самодействие в нелинейных теориях 109
3.1 Общая постановка проблемы 109
3.2 Теория возмущений и регуляризация диаграмм 110
3.3 Выводы 120
4 Примеры регуляризации в нелинейных теориях 122
4.1 Гравитирующая брана 122
4.2 Сингулярный ток в модели фп 125
4.3 Массивная электрически заряженная частица 129
4.4 Выводы 133
Заключение
- Регуляризация реакции излучения
- Модели бран с магнитным взаимодействием
- Абсолютно несжимаемая струна
- Теория возмущений и регуляризация диаграмм
Введение к работе
Описание динамики электрически заряженных низкоразмерных структур, таких как частицы, струны, мембраны является традиционным вопросом классической электродинамики. Использование таких моделей обусловлено тем, что они позволяют значительно упростить решение системы интегродифференциальных уравнений Максвелла-Лоренца. Успешное использование низкоразмерных моделей в классической электродинамике стимулировало их использование в других разделах теоретической физики: в гравитации; в теории струн; в теории космических струн; в теории сверхпроводимости, при описании вихрей; в теории дислокаций и т.д. Однако в большинстве случаев исследуется несамосогласованная динамика таких объектов, т.е. обычно считается, что влиянием поля, созданного самим заряженным объектом, можно пренебречь.
Построение уравнений движения с учетом самодействия в рамках классической электродинамики имеет уже столетнюю историю. Для точечной заряженной частицы в четырехмерном пространстве времени эффективные уравнения движения, т.е. уравнения движения с учетом эффектов самодействия, были получены Лоренцом [1] еще в начале прошлого века, а затем обобщены Дираком [2] в 1938 г. на релятивистский случай. Обобщение этих уравнений на произвольный кривой фон было дано ДеВиттом и Бремом [3] в 1960 г. и скорректировано Хоббсом [4] в 1968 г. Обобщения уравнений Лоренца-Дирака на случай заряженной частицы со спином были проведены в работах [5, 6] в 1987-88 гг.
Тем не менее в последние годы снова возрос интерес к получению эффективных уравнений движения в рамках классической теории поля. Это обстоятельство вызвано как ростом экспериментальных возможностей, позволяющих регистрировать влияние эффектов самодействия, так и появлением новых моделей, эффективная динамика которых еще не была исследована. К первым можно отнести изучение эффективной динамики гра-витирующих точечных масс, поскольку есть надежда зарегистрировать таким образом реакцию излучения гравитационных волн (см. [7-Ю] и ссылки в них). Как ни странно, но бурные исследования в этой области начались только в последнее десятилетие. Второй фактор роста интереса к эффективным моделям низкоразмерных источников полей во многом обязан теории струн, где возникли модели с дополнительным числом измерений пространства-времени, а также такие фундаментальные объекты как браны. В этой связи особое значение имеет получение самосогласованных уравнений движения протяженных релятивистских объектов (бран) в рамках классической теории поля, которые можно рассматривать как низкоэнергетический предел соответствующих квантовополевых уравнений, поскольку последовательного квантования моделей с бранами до сих пор еще не построено. На этом направлении были получены обобщения уравнений Лоренца-Дирака на шестимерное плоское пространство-время [11], а также для частиц обладающих, помимо электрического, магнитным зарядом [12, 13]. Кроме того, были найдены ведущие вклады в силу самодействия частиц, струн и бран, взаимодействующих с различным спектром полей [14-20]. Стоит также отметить про непрекращающийся интерес к исследованию динамики сверхпроводящих космологических струн (см. обзор [21]) и струн, приближенно описывающих вихри в сверхпроводниках и плазме [22-28]. Даже в рамках классической
электродинамики продолжаются исследования эффективных моделей. Особенно актуальным в этой области на данный момент является получение релятивистских эффективных моделей для неточечных (расширенных) объектов, т.е. для систем заряженных частиц, исходя из системы уравнений Максвелла-Лоренца [29-32].
Учет самодействия низкоразмерных (сингулярных) источников полей связан с определенными трудностями, как принципиального, так и технического характера. Поэтому анализ силы самодействия обычно ограничивался первыми двумя ведущими вкладами для частиц и одним ведущим вкладом для протяженных объектов (бран). Кроме того, учет самодействия сингулярных источников всегда проводился в рамках линейных (линеаризованных) моделей, т.е. для тех моделей, в которых создаваемые источником поля подчиняются линейным дифференциальным уравнениям.
Исходя из этого были сформулированы цели диссертационной работы:
Развитие методов вывода эффективных уравнений движения, позволяющих находить высшие поправки от самодействия, как в линейных, так и в нелинейных моделях классической теории поля.
Получение самосогласованных уравнений движения сингулярных источников в классической теории поля и исследование их эффективной динамики.
На этом пути были достигнуты следующие основные результаты:
Разработан новый ковариантный метод регуляризации силы самодействия сингулярных источников. Для линейных моделей найдены явные выражения для членов асимптотического ряда, задающего силу самодействия. Доказана лагранжевость его сингулярной части в случае невырожденности метрики, индуцированной на мировом листе сингулярного источника. Для нелинейных моделей разработана пертур-бативная процедура нахождения членов асимптотического ряда силы самодействия. Найдено явное выражение для ведущей расходимости.
Введено понятие классической перенормируемости модели теории поля с сингулярными источниками аналогичное понятию перенормируемости в квантовой теории поля. Доказано, что линейные модели классически перенормируемы. Для нелинейных моделей указан критерий классической перенормируемости, основанный на размерности констант связи, входящих в действие модели. Найден класс перенормируемых нелинейных моделей с сингулярными источниками.
Впервые получены:
(а) Явные выражения для расходимостей и конечной части силы самодействия в модели электрически заряженной браны, распространяющейся на фоне пространства Минковского произвольной размерности, в частности, в моделях массивной и безмассовой заряженных частиц. Полученные эффективные уравнения движения обобщают уравнения Лоренца-Дирака для массивной заряженной частицы в четырехмерном пространстве-времени. Найдены явные выражения для
расходимостей и конечной части силы самодействия в модели браны, взаимодействующей с антисимметричным тензорным полем неминимальным образом на фоне плоского пространства-времени специальной размерности. Получены явные выражения для расходимостей в моделях частиц с так называемым взаимодействием Фолди.
Эффективные уравнения движения релятивистской электрически заряженной струны с током. Показано, что репараметризацнонная инвариантность свободного действия струны накладывает ограничения на возможный вид тока. Получены уравнения на внешние электромагнитные поля, при которых возможны стационарные состояния абсолютно эластичной заряженной струны, имеющей форму кольца (окружности). Найдены решения эффективных уравнений движения абсолютно эластичного заряженного кольца в отсутствии внешних полей, а также во внешнем постоянном однородном магнитном поле. В последнем случае дана оценка частоты, на которой можно наблюдать излучение создаваемое кольцом. Найден класс решений эффективных уравнений движения абсолютно несжимаемой заряженной струны с током.
Условия на константы связи в модели (п — 1)-браны на фоне іі-мерного пространства Минковского, взаимодействующей с мультиплетом полей: антисимметричным тензорным полем, скалярным полем и линеаризованной гравитацией, - обеспечивающие сокращение двух ведущих расходимостей. Показано, что асимптотический ряд силы самодействия сингулярного источника содержит [(d — п — 4)/2] расходящихся слагаемых.
Пуанкаре-инвариантное описание эффективной динамики локализованной системы заряженных частиц в классической электродинамике при помощи ее собственных мультипольных моментов. Дано релятивистски-инвариантное определение собственных мультипольных моментов, как для точечных систем, так и для систем, приближенно описываемых протяженными релятивистскими объектами (бранами). Предложен новый общековариантный функционал действия для релятивистской идеальной жидкости. В случае релятивистской заряженной пыли доказана эквивалентность описания проблемы реакции излучения мультипольных моментов в модели частиц и гидродинамической модели. Получена эффективная модель для нейтральной системы заряженных частиц, обладающей собственным дипольним моментом, и описана ее свободная динамика.
Условия применимости теории возмущений и соответствующих линеаризованных уравнений в моделях: гравитирующей браны; браны, взаимодействующей с безмассовым скалярным полем с вершиной фп; браны, взаимодействующей с антисимметричным тензорным полем и эйнштейновской гравитацией. Установлена неперенормируемостъ гравитационного самодействия браны коразмерности к > 2. Доказана перенормируемость моделей частицы, взаимодействующей со скалярными полями с вершинами ф3 и ф4. Для модели частицы, взаимодействующей со скалярным полем с вершиной фп, найдено явное выражения
для первой нелинейной поправки в силу самодействия. Получено явное выражение для суммы всех одновершинных вкладов в силу самодействия частицы, взаимодействующей со скалярным полем с вершиной ^4ехр(—(Зф2), (3 > 0, и установлена конечность этого выражения в пределе снятия регуляризации.
Достоверность результатов контролируется их внутренней согласованностью и совпадением в ряде частных случаев с известными опубликованными работами.
Краткое содержание диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, четырех приложений и списка цитируемой литературы. Материал изложен на 157 страницах, включает 7 рисунков и список литературы из 145 наименований. Текст диссертации набран в издательской системе Ш^Х.
В 1 поставлена проблема реакции излучения (самодействия) в линейных моделях с сингулярными источниками и дано ее решение для сингулярных источников, распространяющихся на фоне плоского пространства-времени. Результаты этого раздела частично опубликованы в работах [33-36].
В начале раздела дается определение линейной модели общего вида и выявляется общая структура силы самодействия в таких моделях. Оказывается, что сила самодействия не является, вообще говоря, лагранжевой, т.е. не может быть получена варьированием некоторого эффективного функционала действия. Причиной этого является вклад в силу самодействия от антисимметричной части запаздывающей функции Грина рассматриваемой линейной модели.
В 1.1 дается определение сингулярного источника и вводятся основные обозначения. Кроме того, здесь выписывается общий вид запаздывающей функции Грина для локальной пуапкаре-иивариантной линейной модели теории поля, а также ее симметричной и антисимметричной частей.
В 1.2 дается общая пуанкаре-инвариантная процедура регуляризации самодействия в произвольной линейной модели с сингулярным источником. Приведены явные выражения для членов асимптотического ряда по параметру регуляризации для силы самодействия. При этом существенным образом используются морсовские координаты на мировом листе источника (бране), т.е. такие координаты, в которых квадрат интервала между двумя точками браны в объемлющем пространстве-времени совпадает с квадратом интервала между этими точками на бране. Существование таких координат обеспечивается невырожденностью метрики, индуцированной на мировом листе браны. Приведены явные формулы, связывающие морсовские координаты с произвольной системой координат.
Введено понятие производящей функции расходимостей, разложение которой в асимптотический ряд дает все потенциально возможные расходимости в рассматриваемой линейной модели. Доказана лагранжевость сингулярной части асимптотического ряда для
силы самодействия в предположении невырожденности метрики, индуцированной на мировом листе источника. Отметим, что сингулярная часть асимптотического ряда силы самодействия линейной модели содержит конечное число слагаемых, в том числе и в случае вырожденной метрики.
Также в этом подразделе дана интерпретация получающимся асимптотическим рядам и исследована их зависимость от выбора схемы регуляризации. Оказалось, что в классе однопараметрических регуляризации, определяемых квадратом интервала (объемлющего) пространства-времени, конечная часть инвариантна относительно выбора регуляризации "по модулю" добавления к ней слагаемых, пропорциональных вкладам, содержащимся в расходящейся части, с коэффициентами пропорциональности не зависящими от отображения вложения браны х(т). Весь асимптотический ряд определятся однозначно, с точностью до умножения членов ряда при различных, отличных от нуля степенях параметра регуляризации на некоторые числа и добавления членов, стоящих при низших степенях параметра регуляризации. Указан класс эквивалентности, которому будут принадлежать асимптотические ряды силы самодействия, полученные в рамках различных однопараметрических схем регуляризации, сохраняющих ковариантность модели.
В 2 рассматриваются различные примеры линейных моделей, для которых строятся эффективные уравнения движения, т.е. уравнения движения с учетом самодействия, а в некоторых случаях проводится также исследование получающихся эффективных моделей. Результаты этого раздела частично опубликованы в [33-40].
В 2.1 найдены явные выражения для первых двух членов производящей функции расходимостей в случае электрически заряженной браны. Высшие члены асимптотического разложения более громоздки, вследствие чего не приведены. Оказалось, что ведущий вклад от самодействия поглощается перенормировкой массы (натяжения браны). Первая нетривиальная поправка от самодействия описывает жесткость частицы (браны). Также было найдено, что в модели электрически заряженной браны самодействие приводит к [(d - п)/2] расходящимся слагаемым. Поэтому указанные два члена производящей функции расходимостей исчерпывают все расходимости в эффективной модели электрически заряженной браны, коразмерность которой не превосходит пяти.
Более детально рассмотрены модели массивной частицы на фоне пространства-времени произвольной размерности и безмассовой частицы в d = 4.
В первом случае приведены явные формулы для производящей функции расходимостей эффективного действия (первые шесть членов) и силы самодействия (первые четыре члена), т.е., фактически, для потенциала и напряженности электромагнитного поля, взятых в малой окрестности точечного источника. Выписанных членов производящих функций оказалось достаточно, чтобы получить явные выражения для расходимостей эффективной модели массивной заряженной частицы в размерностях d = 3,4,5,0,7,8 и силы самодействия в d = 3,4,5,0. Отметим, что в нечетномерном пространстве-времени конечная часть силы самодействия нелокальна и задается довольно обширным выражением.
При рассмотрении самодействия безмассовой частицы в d = 4 мы ограничились клас-
сом невырожденных изотропных траекторий, т.е. траекторий, для которых х2 < 0. Вырожденные траектории образуют намного более узкий класс и, практически, исчерпываются изотропными траекториями с прямыми участками. Сформулированы необходимые и достаточные условия на внешние поля, при которых траектория безмассовой частицы будет вырожденной.
Поскольку индуцированная на мировой линии безмассовой частицы метрика вырождена (равна нулю), то при построении эффективной модели было обобщено понятие морсов-ских координат и заново выведены формулы, связывающие эти координаты с натуральной параметризацией. Именно в этом и состоит особенность вывода эффективных уравнений движения в модели безмассовой частицы. Затем, применив общую процедуру регуляризации, изложенную в 1.2, мы получаем выражение для силы самодействия безмассовой заряженной частицы. Оказалось, что в эффективной модели возникают три расходимости, одна из которых нелагранжева. Эту расходимость естественно отождествить с мощностью излучения безмассовой заряженной частицы. Для лагранжианов оставшихся двух расхо-димостей приведены явные выражения. Кроме того, с точностью до несущественных в рассматриваемой модели членов, найдено явное выражение для одной из двух лагран-жевых расходимостей, которые, дополнительно к трем только что указанным расходимо-стям, возникают в силе самодействия безмассовой заряженной частицы в шестимерном пространстве-времени.
В заключение рассмотрена модификация дираковской процедуры [2] вывода эффективных уравнений движения заряженных частиц применительно к безмассовому случаю (формализм тензора энергии-импульса). Здесь также показано, что дираковская схема регуляризации дает другой результат для высших членов асимптотического ряда, нежели используемая в диссертации ковариантная регуляризация функции Грина. Тем не менее получаемые в рамках зтігх двух схем регуляризации асимптотические ряды принадлежат одному классу эквивалентности, определенному в заключении 1.2. Приведено уравнение трубки, окружающей мировую линию частицы, через которую необходимо считать поток тензора энергии-импульса, чтобы воспроизвести результат, полученный в рамках используемой в диссертации схемы регуляризации.
В 2.2 получены явные выражения для расходимостей в эффективной модели (п — 1)-браны, распространяющейся на фоне (2п + 1)-мерного пространства Минковского и взаимодействующей с полем п-формы.
В случае четиомериой браны найден явный вид лагранжиана эффективного действия (производящего действия расходимостей). Все расходимости рассматриваемой модели получаются варьированием производящего действия расходимостей. Чтобы получить конечную часть силы самодействия необходимо вычесть расходимости из регуляризованного выражения для силы самодействия и взять предел снятия регуляризации. В результате получится нелокальное выражение. Однако, если "отключить" минимальное взаимодействие, то сила реакции излучения локализуется и, более того, становится лагранжевой. Выражение для лагранжиана силы самодействия в этом случае также выписано. В обоих случаях в эффективной модели возникает (п + 2)/2 расходимости, функциональный
вид которых такой же, как для первых (п + 2)/2 расходимостей в эффективной модели электрически заряженной браны.
Для нечетномерной браны мы сразу ограничились случаем, когда сила самодействия локализуется и, как результат, становится лагранжевой. Однако, несмотря на то что сила самодействия локализовалась, лагранжиан для нее задается нелокальным выражением. Явные выражения для лагранжиана и силы самодействия нами выписаны. Оказалось, что в эффективной модели возникает (n+ 1)/2 расходимостей, наиболее сингулярное из которых может включено в натяжение браны. В качестве примера рассмотрен случай частицы в d = 3. Найдено явное выражение для силы самодействия такой частицы. Единственная возникающая в этом случае расходимость поглощается перенормировкой массы.
В 2.3 рассмотрена эффективная динамика электрически заряженной струны с током с учетом первой поправки от самодействия. Показано, что учет самодействия в струнных моделях приводит к уравнениям Лондонов [41] для тока в сверхпроводнике, при условии, что свободное действие струны инвариантно относительно подгруппы группы диффеоморфизмов струны, генерируемой векторными полями, дуальными к векторному полю плотности тока на струне, в частности, для репараметризационно-инвариантного действия. Полученные уравнения обобщают известное ранее условие сверхпроводимости в струнных моделях [42-44]. Также мы нашли общее решение этих уравнений при отсутствии внешних электромагнитных полей.
Для моделей струн, обладающих вышеуказанной симметрией, найден интеграл движения, который в полуклассическом подходе (например, при квантовании по Бору-Зоммер-фельду) должен принимать дискретные значения. Если пренебречь самодействием струны, то квантование этого интеграла движения приводит к хорошо известному квантованию магнитного потока через поверхность, натянутую на замкнутую струну.
Далее рассмотрена эффективная модель абсолютно эластичной заряженной струны в форме кольца. Такая модель описывает сильноточный пучок заряженных частиц, движущихся по окружности. Найдены уравнения на внешние электромагнитные поля, при выполнении которых струна будет сохранять свою конфигурацию. Оказалось, что при одинаковых внешних полях, заряде и радиусе кольца существуют два стационарных положения кольца, имеющего различные угловые скорости (два стационарных режима). Такая ситуация возможна только в полях определенной конфигурации, которые нами указаны. Также найдены решения эффективных уравнений движения абсолютно эластичного заряженного кольца в отсутствии внешних полей и во внешнем однородном магнитном поле. Дана оценка частоты колебаний такого кольца около положения равновесия. Квантование интеграла движения, о котором упоминалось выше, приводит к квантованию положений равновесия кольца и, соответственно, к квантованию частот колебаний.
Затем рассматривается эффективная динамика абсолютно несжимаемой струны с током. Сформулировано понятие релятивистской несжимаемости и найдены соответствующие эффективные уравнения движения. Кроме того, найдены стационарные положения такой струны при отсутствии внешнего поля, а также нерелятивистский предел эффективных уравнений движения в случае заряженного диэлектрика и незаряженного про-
водника. Для эффективных уравнений движения равномерно заряженного диэлектрика и проводника с током указан класс точных решений, описывающих текущую вдоль себя струну.
В заключение подраздела дана гидродинамическая интерпретация модели несжимаемой струны. Оказалось, что эта модель эквивалентна модели (1 + 1)-гидродшіамики идеальной несжимаемой жидкости, вложенной в пространство Минковского. Такая ковари-антная формулировка модели абсолютно несжимаемой струны позволила легко найти ее релятивистские интегралы движения.
В 2.4 указан класс моделей со специальным типом взаимодействия, приводящим к локализации поля на носителе источника. Взаимодействия такого типа были впервые исследованы Фолди [45-47] в рамках епшюрной электродинамики и применяются в феноменологических моделях при описании внутреннего распределения зарядов нуклонов. Следуя терминологии Фолди константы связи, возникающие в такого типа взаимодействии, будем называть аномальными зарядами.
В качестве примера мы рассмотрели точечную электрически заряженную частицу с аномальным зарядом в рамках классической электродинамики. Было найдено явное выражение для силы самодействия такой частицы. Оказалось, что в силе самодействия возникают такие же структуры, что и в силе самодействия электрически заряженной точечной частицы, но с другими коэффициентами, зависящими от параметра регуляризации. В частности, в данной эффективной модели появляется три лагранжевых расходимости (вместо одной для электрически заряженной частицы), наиболее сингулярная из которых пропорциональна свободным уравнениям движения частицы.
Для первой нетривиальной поправки от самодействия возникает два конкурирующих слагаемых: сила Лоренца-Дирака; и лагранжевое слагаемое с высшими производными, связанное с самодействием аномальной составляющей тока. Указаны значения параметров эффективной модели, при которых будет доминировать либо первый, либо второй вклад. Исходя из физической интерпретации аномальных зарядов, как некоторых форм-факторов внутреннего распределения заряда, естественно предположить, что аномальный ток создает некоторое малое электромагнитное поле, пропорциональное параметру регуляризации, вне мировой линии частицы. В этом случае аномальные заряды ведут себя также как и электрические: одноименные заряды отталкиваются, а разноименные - притягиваются. При этом сила взаимодействия аномальных зарядов зависит от расстояния между частицами как г-8. Аномальные заряды также взаимодействуют с электрически заряженными частицами с силой пропорциональной г-6, причем можно так определить знак аномальных зарядов, чтобы заряды (аномальный и электрический) одного знака отталкивались, а разных знаков - притягивались.
В заключение была сформулирована квантовая модель скалярных частиц с взаимодействием Фолди. К сожалению, не удалось найти каких-либо нетривиальных решений самосогласованной системы уравнений движения скалярных и электромагнитных полей. В сферически симметричном стационарном случае система самосогласованных уравнений сводится к гамильтоновой системе четырех нелинейных обыкновенных дифференци-
альных уравнений. Доказать наличие или отсутствие локализованных решений у этих уравнений не удалось. Безусловно, такие частице-подобные решения представляют определенный физический интерес. Тем более, что получившиеся уравнения накладывают серьезные ограничения на возможный выбор свободных параметров модели и, в частности, в связывают аномальный заряд с полной энергией локализованного решения.
В 2.5 рассмотрена эффективная модель браны, взаимодействующей с мультиплетом полей: скалярным полем, антисимметричным тензорным полем и эйнштейновской гравитацией. При анализе расходимостей мы ограничились линейным приближением по константам связи. Оказалось, что константы связи могут быть выбраны таким образом, что две ведущие расходимости обращаются в нуль. Условие, обеспечивающее сокращение расходимостей, выписано. В результате такого сокращения в эффективной модели остается [(d — п — 4)/2] расходимостей. Другим словами, если константы взаимодействия связаны вышеуказанным соотношением, то эффективная динамика браны, с коразмерностью не превышающей пяти, свободна от расходимостей в линейном приближении.
В случае четырехмерного пространства Минковского условия, обеспечивающие сокращение ведущей расходимости, были известны для массивной частицы, взаимодействующей с мультиплетами скалярных и векторных полей [17], и для струны на фоне антисимметричного тензорного поля, скалярного поля и поля линеаризованной гравитации [18]. Проведенный нами анализ обобщает эти результаты на случай браны, вложенной в пространство-время произвольной размерности. Более того, нами найдены условия сокращения двух ведущих расходимостей.
Конечно, проведенный здесь, а также вышеупомянутых работах, анализ не является полным. Для того чтобы утверждать, что эффективная модель свободна от расходимостей, необходимо также исследовать нелинейные вклады в самодействие.
В 2.6 предложен метод описания эффективной динамики локализованных систем заряженный частиц, либо локализованных заряженных жидкостей, в терминах их собственных мультипольных моментов. Дано релятивистское определение собственных мультипо-лей, совпадающее в нерелятивистском пределе со стандартным определением. Исходя из этого определения получены мультипольные разложения потенциалов Льснара-Вихерта и полного тока системы с точностью до мультиполей второго порядка включительно.
Далее, при наложении определенных ограничений на характерные масштабы системы, построена эффективная модель для заряженной системы частиц, описывающая ее состояние посредством задания траектории центра масс и собственного дипольного момента. Как и следовало ожидать, в пределе точечной системы уравнения движения центра масс переходят в уравнения Лоренца-Дирака. Также получены эволюционные уравнения для мультиполей второго порядка. В том случае, когда система заряженных частиц состоит из частиц одного сорта, т.е. с одинаковыми удельными зарядами, уравнения эволюции мультиполей второго порядка несколько упрощаются в силу того, что для таких систем собственный дипольный момент равен нулю. Для этого случая уравнения движения центра масс и уравнения, задающие эволюцию вторых мультипольных моментов, также предъ-
явлены. В частности, при отсутствии внешних электромагнитных полей и постоянном квадрупольном моменте системы, уравнения, описывающие эволюцию магнитного момента, переходят в хорошо известные уравнения Баргманна-Мишеля-Телегди [48-52], правда, с дополнительными связями на эволюцию магнитного момента. Из общей теории, изложенной в 1.2, следует, что члены асимптотического ряда для силы самодействия при полуцелых степенях параметра регуляризации лагранжевы. Лагранжиан для вышеупомянутых вкладов в силу самодействия системы заряженных частиц в также приведен.
Затем мы рассмотрели эффективную динамику нейтральной точечной системы частиц, обладающей собственным дипольным моментом. Оказалось, что уравнения движения центра масс точечного диполя и собственного дипольного момента отличаются от аналогичных уравнений точечной частицы с магнитным моментом [48-57] и, по-видимому, впервые получены в нашей работе. В нерелятивистском пределе уравнения движения центра масс без учета самодействия совпадают с известными ранее уравнениями (см., например, [58-60]) и, в то же время, отличаются от релятивистских уравнений, предложенных в работе [61].
Также, после вычисления полной мощности излучения точечного диполя, которая совпала (с точностью до некоторых опечаток) с известной ранее мощностью излучения точечного магнитного момента [62-64], мы нашли так называемый связанный импульс точечного диполя. Выражение для связанного импульса, как и следовало ожидать из сформулированного общего утверждения (см. стр. 99), является локальной величиной. Таким образом, был проведен анализ эффективной модели точечного диполя, аналогичный тей-тельбомовскому анализу модели точечной заряженной частицы [65, 66]. Заключительным этапом исследования эффективной динамики точечного диполя стало решение его эффективных уравнений движения в отсутствии внешних полей. Нами найдено общее решение этих уравнений, которое описывает свободный, медленно вращающийся, излучающий диполь.
В заключение этого подраздела мы рассмотрели эффективную динамику локализованной заряженной идеальной жидкости. Предложено новое ковариантное действие для идеальной жидкости. Оказалось, что при выполнении дополнительного условия параллельности векторов плотности тока массы и электрического заряда, эффективная модель релятивистской заряженной пыли совпадает с ранее рассмотренной нами эффективной моделью для системы заряженных частиц. В конце этого подраздела дано обобщение понятия мультипольных моментов для систем, приближенно описываемых протяженными релятивистскими объектами (бранами). Другими словами, дано пуаикаре-инвариантиое определение линейной плотности дипольного момента для струн, поверхностной плотности магнитного момента для мембран и т.п.
В 3 проводится пертурбативное изучение самодействия в нелинейных моделях с сингулярными источниками. Результаты этого раздела частично опубликованы в [36].
В 3.1 дается общая постановка проблемы самодействия в нелинейных моделях с сингулярными источниками.
В 3.2 предложена общая лоренц-ипвариантная процедура регуляризации самодействия в нелинейных моделях с сингулярными источниками в рамках теории возмущений. Указан способ вычисления порядка ведущего вклада диаграммы по ее составляющим и метод нахождения функционального вида такого вклада. В частности, для модели сингулярного источника скалярных полей ф с вершиной фп ведущий вклад от самодействия может быть включен в натяжение браны (массу, в случае частицы). В случае одной вершины приведено явное выражения для ведущего вклада диаграммы, в том числе и численного коэффициента (подробно см. на примере 4.2). Отметим, что изложенная процедура пер-турбативного нахождения членов асимптотического ряда с принципиальной точки зрения позволяет найти вклад любого порядка по степеням констант связи и параметров регуляризации.
Конечно, предложенная процедура регуляризации не является единственно возможно лоренц-инвариантной процедурой регуляризации. Исходя из физических соображений среди всех процедур регуляризации мы выделили два типа: А) процедура регуляризации применяется только к внешним линиям; Б) процедура регуляризация применяется ко всем функциям Грина, при этом функции Грина, отвечающие одному типу полей, деформируются одним и тем же параметром регуляризации. С физической точки зрения первый способ состоит в том, что мы "размазываем" сингулярные источники, а параметр регуляризации характеризует степень "размазывания". Второй способ можно интерпретировать как усреднение по всем мелкомасштабным флуктуациям полей вплоть до некоторого масштаба, характеризуемого параметром регуляризации и своего для каждого поля.
Также мы проведем общий анализ регуляризованных вкладов теории возмущений и сформулируем понятие классически перенормируемой модели: грубо говоря, модель называется классически перенормируемой, если в ней возникает конечное число расходимо-стей. Более строго, мы требуем от классически перенормируемой модели применимости теории возмущений в пределе снятия регуляризации. Эти две формулировки практически всегда дают одинаковый результат, за исключением "пограничных" моделей, для которых вклады ряда теории возмущений с различным числом источников разлагаются по степеням параметра регуляризации, начиная с одной и той же его степени (см., например, модель частицы, взаимодействующей со скалярным полем с вершиной ф4 в 4.2). Отметим, что согласно такому определению перенормируемости линейные модели с сингулярными источниками классически перенормируемы.
В заключение подраздела сформулирован критерий перенормируемости для нелинейной модели с сингулярными источниками, аналогичный критерию перенормируемости в квантовой теории поля, основанный на размерности констант связи.
В 4 рассматриваются примеры регуляризации силы самодействия в нелинейных моделях с сингулярными источниками.
В 4-1 рассмотрена нелинейная эффективная модель гравитирующей браны. Найдено условие применимости теории возмущений над плоским фоном. Оказалось, что эффективная модель гравитирующей (п0 — 1)-браны классически перенормируема, если, и только
если, d — щ < 2. Более того, при выполнении этого условия в эффективная модели гра-витирующей браны вообще отсутствуют расходимости. При d — щ > 2 (например, для гравитирующей частицы на фоне четырехмерного пространства-времени) каждая диаграмма теории возмущений расходится в пределе снятия регуляризации, причем степень расходимости диаграммы нарастает с увеличением числа источников.
В заключение была проанализирована принципиальная возможность экспериментальной проверки выполнения, или не выполнения, вышеуказанного условия применимости теории возмущений. Оказалось, что если величина параметра регуляризации может быть зафиксирована из каких-либо физических соображений, то такая проверка возможна, поскольку в этом случае можно экспериментально определить все параметры эффективной модели (в том числе и затравочную массу). Отметим, что для самосогласованных уравнений движения гравитирующих тел не выполнен, так называемый, слабый принцип эквивалентности, говорящий о том, что все тела в однородном гравитационном поле падают с одинаковым ускорением. В то же время поправка, нарушающая этот принцип, порядка отношения радиуса Шварцшильда рассматриваемого объекта к его характерным размерам. Требование малости этой величины возникает как необходимое условие применимости теории возмущений, в рамках которой и получено выражение для этой поправки.
В 4-2 рассмотрена эффективная модель (по — 1)-браны, взаимодействующей со скалярным безмассовым полем с вершиной фп. Найдено условие применимости теории возмущений над нулевым фоном ф = 0. Показано, что при {п — 1)/(п — 2) > [d — п0)/2 эффективная модель является классически перенормируемой. В пограничном случае, когда (п — 1)1 (п — 2) = (d — щ)/2, каждая диаграмма теории возмущений расходится как е-г/{п-2)^ є __> q Однако, как мы знаем, ведущая расходимость может быть поглощена перенормировкой натяжения (массы) браны. После этого "пограничные" модели при п > 4 становятся конечными, при п — 3 в модели остается бесконечное число расходящихся слагаемых при е-1/2 и In є, а при п = 4 остаются только логарифмические расходимости. Модели, удовлетворяющие условию (п — 1)/(п — 2) = (d — щ)/2, являются конформно-инвариантными, поэтому от всех расходимостей можно избавиться другим способом - переопределив константы связи, или другими словами, выбрав в качестве масштаба длины в такой модели величину параметра регуляризации.
В случае частицы на фоне четырехмерного пространства Минковского эффективная модель является классически перенормируемой, если, и только если, п < 4, что совпадает с известным условием перепормируемости в квантовой теории поля. В частности, при п — 3 эффективная модель в пределе снятия регуляризации становится линейной, т.е. нелинейные поправки будут давать исчезающе малый вклад.
Далее мы находим явное выражение для ведущего вклада первой нелинейной поправки от самодействия в модели частицы, взаимодействующей со скалярным полем с вершиной фп на фоне плоского пространства-времени произвольной размерности. Проанализирована зависимость результата от выбора схемы регуляризации типа А или Б, где для простоты изложения мы ограничились случаем четномерного пространства-времени. В этом случае найдены явные выражения для наиболее существенного вклада по степеням параметра
регуляризации в первую нелинейную поправку в рамках регуляризации типа Б. Также дана асимптотическая оценка при больших п отношения ведущих вкладов, возникающих при регуляризациях типа А и Б. Оказалось, что в четырехмерном пространстве-времени в достаточно большом интервале чисел п обе схемы регуляризации дают практически один и тот же результат.
Всегда можно расширить класс полученных перенормируемых моделей, добавив к ним такие модели, которые при больших значениях полей, создаваемых сингулярным источником, эффективно сводятся к известным перенормируемым. В таких моделях необходимо ввести такое же конечное число новых параметров, поглощающих все расходимости, как и в той перенормируемой модели, к которой она сводится при больших значениях полей.
В качестве примера перенормируемой модели, полученной в результате такого расширения, была рассмотрена модель браны, взаимодействующей с безмассовым скалярным полем с вершиной фісхр(—0ф2), Р > 0. Эта модель становится линейной и безмассовой при больших значениях полей (асимптотически свободна) и инвариантна относительно замены ф —> -ф. В случае частицы на фоне четномерного пространства Минковского был найден ведущий вклад в самодействие от всех одновершинных диаграмм данной модели в рамках регуляризации типа А. Оказалось, что этот вклад конечен в пределе снятия регуляризации. Явная формула для получающегося конечного выражения приведена. В силу того что ведущий вклад конечен, можно ожидать, что высшие поправки к нему по степеням параметра регуляризации обращаются в нуль. Такого же эффекта, по-видимому, следует ожидать и для сумм всех двухвершинных, трехвершинных и т.д. диаграмм, т.е. они будут давать конечные вклады в силу самодействия.
В 4-3 рассмотрена модель электрически заряженной частицы, взаимодействующей, помимо электромагнитных полей, с эйнштейновской гравитацией, т.е., фактически, рассмотрена система уравнений Эйнштейна-Максвелла с сингулярным источником. Найдено условие применимости теории возмущений над фоном gtw = rj^v, А^ = 0 для описания эффективной динамики такой модели. Поскольку мы используем регуляризацию типа А, в эффективной модели возникает два параметра регуляризации - каждый для своего типа источников. Кроме того, мы не фиксируем размерность пространства-времени и размерность сингулярного источника, поэтому вышеупомянутое условие применимости теории возмущений также можно использовать при анализе модели (щ — 1)-браны, взаимодействующей с калибровочным полем no-форм на фоне эйнштейновской гравитации. Как и следовало ожидать, при d-щ > 2 при стремлении параметров (или даже одного параметра) регуляризации к нулю, высшие члены ряда теории возмущений дают большие вклады чем низшие, и для их перенормировки требуется вводить в эффективную модель бесконечное число новых параметров, т.е. модель не является классически перенормируемой. В частности, модель заряженной частицы на фоне эйнштейновской гравитации в d = 4 не является перенормируемой.
В заключение для гравитирующей электрически заряженной частицы в четырехмерном пространстве-времени выписаны необходимые условия применимости для описания ее эффективной динамики уравнений, получающихся в рамках соответствующих линей-
ных моделей: уравнений Лоренца-Дирака; и уравнений, учитывающих реакцию излучения линеаризованной гравитации. Если найденные условия не выполнены, то эти "линейные" вклады будут перекрываться нелинейными поправками.
В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.
Апробация работы и публикации
Основные результаты диссертационной работы докладывались на Международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики (Петровские чтения, г. Казань, 2001-06 гг.); Международной школе-семинаре "Quantum Fields and Strings" (п. Домбай, 2003 г.); XLII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (г. Новосибирск, 2004 г.); VII Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука и образование" (г. Томск, 2003 г.); а также на научных семинарах кафедр теоретической физики и квантовой теории поля Томского госз'дарствешюго университета, кафедры высшей математики и математической физики Томского политехнического университета.
Результаты диссертации частично опубликованы в 8 работах [33-40].
Защищаемые положения
Теоретические исследования, результаты которых изложены в диссертации, выполнены автором в Томском государственном университете на кафедре квантовой теории поля в 2001-06 гг. Все результаты получены лично автором, либо при непосредственном его участии. На защиту выносятся:
Ковариантный метод регуляризации силы самодействия сингулярных источников в линейных и нелинейных моделях классической теории поля. Доказательство лагран-жевости сингулярной части силы самодействия в линейной модели с сингулярными источниками в случае невырожденности метрики, индуцированной на мировом листе сингулярного источника. Доказательство классической перенормируемости линейных моделей с сингулярными источниками и критерий классической перенормируемости для нелинейных моделей.
Явные выражения для расходимостей и конечной части силы самодействия в модели электрически заряженной браны, распространяющейся на фоне пространства Минковского произвольной размерности, в частности, в моделях массивной и безмассовой заряженных частиц. Явные выражения для расходимостей и конечной части силы самодействия в модели браны, взаимодействующей с антисимметричным тензорным полем неминимальным образом на фоне плоского пространства-времени специальной размерности. Явные выражения для расходимостей в моделях частиц с взаимодействием Фолди.
Эффективные уравнения движения релятивистской электрически заряженной струны с током. Уравнения на внешние электромагнитные поля, при которых возможны
стационарные состояния абсолютно эластичной заряженной струны, имеющей форму кольца (окружности). Решения эффективных уравнений движения абсолютно эластичного заряженного кольца в отсутствии внешних полей, а также во внешнем постоянном однородном магнитном поле. Оценка частоты, на которой можно наблюдать излучение создаваемое кольцом. Класс решений эффективных уравнений движения абсолютно несжимаемой заряженной струны с током.
Условия на константы связи в модели р-браны на фоне пространства Минковско-го произвольной размерности, взаимодействующей с мультиплетом полей: антисимметричным тензорным полем, скалярным полем и линеаризованной гравитацией, -обеспечивающие сокращение двух ведущих расходимостей.
Пуанкаре-инвариантное описание эффективной динамики локализованной системы заряженных частиц в классической электродинамике при помощи ее собственных мультииольных моментов. Релятивистски-инвариантное определение мультипольных моментов, как для точечных систем, так и для систем, приближенно описываемых протяженными релятивистскими объектами (бранами). Новый общековариантный функционал действия для релятивистской идеальной жидкости. Эффективная модель для нейтральной системы заряженных частиц, обладающей собственным ди-польным моментом и общее решение ее свободных уравнений движения.
Условия применимости теории возмущений и соответствующих линеаризованных уравнений в моделях: гравитирующей браны; браны, взаимодействующей с безмассовым скалярным полем с вершиной фп; браны, взаимодействующей с антисимметричным тензорным полем и эйнштейновской гравитацией. Доказательство классической неперенормируемости гравитационного самодействия браны коразмерности к > 2. Доказательство классической перенормируемости моделей частицы, взаимодействующей со скалярными полями с вершинами ф3 и ф4. Явное выражения для первой нелинейной поправки в силу самодействия для модели частицы, взаимодействующей со скалярным полем с вершиной фп. Явное выражение для суммы всех одновершинных вкладов в силу самодействия частицы, взаимодействующей со скалярным полем с вершиной ^4схр(—/Зф2), (5 > 0, в пределе снятия регуляризации.
Благодарности
Я выражаю глубокую признательность своим научным руководителям доктору физ.-мат. наук, профессору С.Л. Ляховичу и кандидату физ.-мат. наук, доценту А.А. Шарапову за неоценимую помощь в создании этой работы. Хочу также поблагодарить профессора В.Г. Багрова за постоянных интерес к ходу выполнения диссертации, плодотворное обсуждение некоторых ее разделов и, собственно, за создание условий для ее выполнения. Особо благодарен доценту И.В. Горбунову за конструктивную критику многих разделов этой диссертационной работы. Я благодарен аспирантам ИОА СО РАН А. Булыгину, кафедры ВММФ ТПУ Ф. Литвинцу и кафедры КТП ТГУ А. Пупасову за многочисленные дискуссии, давшие не только понимание некоторых частных аспектов диссертации, но и
во многом сформировавшие мои представления относительно предмета исследования в целом. Также я благодарен всем сотрудникам кафедр квантовой теории поля и теоретической физики ТГУ за создание благоприятных условий для выполнения работы. Особо хочу поблагодарить за предоставленный доступ к электронным информационным ресурсам, без которого проведение этой исследовательской работы было бы затруднено, а то и вовсе невозможно.
Регуляризация реакции излучения
Введено понятие производящей функции расходимостей, разложение которой в асимптотический ряд дает все потенциально возможные расходимости в рассматриваемой линейной модели. Доказана лагранжевость сингулярной части асимптотического ряда для силы самодействия в предположении невырожденности метрики, индуцированной на мировом листе источника. Отметим, что сингулярная часть асимптотического ряда силы самодействия линейной модели содержит конечное число слагаемых, в том числе и в случае вырожденной метрики.
Также в этом подразделе дана интерпретация получающимся асимптотическим рядам и исследована их зависимость от выбора схемы регуляризации. Оказалось, что в классе однопараметрических регуляризации, определяемых квадратом интервала (объемлющего) пространства-времени, конечная часть инвариантна относительно выбора регуляризации "по модулю" добавления к ней слагаемых, пропорциональных вкладам, содержащимся в расходящейся части, с коэффициентами пропорциональности не зависящими от отображения вложения браны х(т). Весь асимптотический ряд определятся однозначно, с точностью до умножения членов ряда при различных, отличных от нуля степенях параметра регуляризации на некоторые числа и добавления членов, стоящих при низших степенях параметра регуляризации. Указан класс эквивалентности, которому будут принадлежать асимптотические ряды силы самодействия, полученные в рамках различных однопараметрических схем регуляризации, сохраняющих ковариантность модели.
Рассматриваются различные примеры линейных моделей, для которых строятся эффективные уравнения движения, т.е. уравнения движения с учетом самодействия, а в некоторых случаях проводится также исследование получающихся эффективных моделей. Результаты этого раздела частично опубликованы в [33-40].
Найдены явные выражения для первых двух членов производящей функции расходимостей в случае электрически заряженной браны. Высшие члены асимптотического разложения более громоздки, вследствие чего не приведены. Оказалось, что ведущий вклад от самодействия поглощается перенормировкой массы (натяжения браны). Первая нетривиальная поправка от самодействия описывает жесткость частицы (браны). Также было найдено, что в модели электрически заряженной браны самодействие приводит к [(d - п)/2] расходящимся слагаемым. Поэтому указанные два члена производящей функции расходимостей исчерпывают все расходимости в эффективной модели электрически заряженной браны, коразмерность которой не превосходит пяти.
Более детально рассмотрены модели массивной частицы на фоне пространства-времени произвольной размерности и безмассовой частицы в d = 4.
В первом случае приведены явные формулы для производящей функции расходимостей эффективного действия (первые шесть членов) и силы самодействия (первые четыре члена), т.е., фактически, для потенциала и напряженности электромагнитного поля, взятых в малой окрестности точечного источника. Выписанных членов производящих функций оказалось достаточно, чтобы получить явные выражения для расходимостей эффективной модели массивной заряженной частицы в размерностях d = 3,4,5,0,7,8 и силы самодействия в d = 3,4,5,0. Отметим, что в нечетномерном пространстве-времени конечная часть силы самодействия нелокальна и задается довольно обширным выражением.
При рассмотрении самодействия безмассовой частицы в d = 4 мы ограничились клас сом невырожденных изотропных траекторий, т.е. траекторий, для которых х2 0. Вырожденные траектории образуют намного более узкий класс и, практически, исчерпываются изотропными траекториями с прямыми участками. Сформулированы необходимые и достаточные условия на внешние поля, при которых траектория безмассовой частицы будет вырожденной.
Поскольку индуцированная на мировой линии безмассовой частицы метрика вырождена (равна нулю), то при построении эффективной модели было обобщено понятие морсов-ских координат и заново выведены формулы, связывающие эти координаты с натуральной параметризацией. Именно в этом и состоит особенность вывода эффективных уравнений движения в модели безмассовой частицы. Затем, применив общую процедуру регуляризации, изложенную в 1.2, мы получаем выражение для силы самодействия безмассовой заряженной частицы. Оказалось, что в эффективной модели возникают три расходимости, одна из которых нелагранжева. Эту расходимость естественно отождествить с мощностью излучения безмассовой заряженной частицы. Для лагранжианов оставшихся двух расхо-димостей приведены явные выражения. Кроме того, с точностью до несущественных в рассматриваемой модели членов, найдено явное выражение для одной из двух лагран-жевых расходимостей, которые, дополнительно к трем только что указанным расходимо-стям, возникают в силе самодействия безмассовой заряженной частицы в шестимерном пространстве-времени.
В заключение рассмотрена модификация дираковской процедуры [2] вывода эффективных уравнений движения заряженных частиц применительно к безмассовому случаю (формализм тензора энергии-импульса). Здесь также показано, что дираковская схема регуляризации дает другой результат для высших членов асимптотического ряда, нежели используемая в диссертации ковариантная регуляризация функции Грина. Тем не менее получаемые в рамках зтігх двух схем регуляризации асимптотические ряды принадлежат одному классу эквивалентности, определенному в заключении 1.2. Приведено уравнение трубки, окружающей мировую линию частицы, через которую необходимо считать поток тензора энергии-импульса, чтобы воспроизвести результат, полученный в рамках используемой в диссертации схемы регуляризации.
Модели бран с магнитным взаимодействием
В этом разделе мы найдем выражение для силы реакции излучения (п — 1)-браны, распространяющейся в (2п 4- 1)-мерном пространстве Минковского и взаимодействующей с полями гс-форм.
На линейном пространстве flnR2n 1 существуют естественные линейные операторы, отображающие это пространство в себя. Легко проверить, что алгебра всех таких операторов порождается двумя операторами г = d и d5. Из требований линейности, калиб ровочной инвариантности и отсутствия в теории высших производных, можно найти, что самая общая модель взаимодействия (п — 1)-браны с калибровочным полем n-формы Н описывается функционалом действия
Четномерная брана. Введем "эффективную" функцию Грина, определенную формулой (1.14), тогда для четномерной браны где мы учли, что В РВ действует на бездивергентный ток. Итак, функция #() задается формулой (2.1.8) для нечетного d. Сумма по г в формуле (1.26) для модельной функции Грина состоит из одного слагаемого, при этом ki = п — 1, /i = _1/27r 1_rf 2/2, а форма J(T) ДЛЯ Imod{x,Q определяется формулой (2.1.2). Подставляя эти выражения в формулу (1.42), получим, что лагранжиан, отвечающий эффективному действию (производящему действию для расходимостей), запишется как о
Сопоставляя последнее выражение с (2.1.9) заключаем, что в данном случае возникают те же расходящиеся структуры, что и для электрически заряженной браиы (2.1.3) на фоне (2n + 3)-мерного пространства Минковского, но, быть может, с другими общими коэффициентами. Если при этом "отключить" минимальное взаимодействие, т.е. положить / = О, то, как видно из формулы (2.2.5), сила реакции излучения окажется локальной, а антисимметричная часть запаздывающей функции Грина (2.1.8) вообще не будет вносить вклада в самодействие. Последнее замечание означает лагранжевость самодействия. Формула для лагранжиана (2.2.7) перепишется как
Подставляя сюда асимптотическое разложение (1.31), можно видеть, что конечная часть силы реакции излучения равна нулю, а расходящаяся часть дается первыми (n + 2)/2 членами асимптотического ряда.
Нечетномерная брана. Обратимся к случаю нечетномерной браны. Для уменьшения объема выкладок будем считать, что коэффициенты ац,а2,Рі И / связаны соотношением ai/?i = 0 /. При выполнении последнего условия обобщенная сила Лоренца обращается в нуль на решениях свободных уравнений движения для поля Я, что приводит к локализации напряженности поля, создаваемого каждой точкой браны, в инфинитезималыюй окрестности этой точки и, как следствие, к локализации силы самодействия. Эффективная функция Грина принимает вид
Второе слагаемое дает те же расходящиеся структуры, что имелись в случае четномерпой браны с / = 0, а расходимости от первого слагаемого могут быть легко найдены, если известны расходимости для напряженности поля (2.1.13) в модели (2.1.3) при d = 2п + 1. В рассматриваемом случае сила самодействия оказывается лагранжевой и имеет неис-чезающую при — 0 конечную часть. Более того, несмотря на то, что выражение для лагранжиана (2.2.12) нелокально, сила самодействия локальна. Действительно, из формулы (2.2.11) следует, что dB PBImod(x,0 (2.2.13) Тогда сила реакции излучения запишется как raw -) =х о 0 (2.2.14) или окончательно + raw -) = TJ 2 +4T){ „+,.OT,..,„+1 [v cr o + / [ С.л+1(Ф),0]н} (2.2.15)
Подставив сюда асимптотическое разложение (1.30), можно видеть, что оба слагаемых в фигурных скобках вносят ненулевой вклад в конечную часть. При этом первый член (2.2.15) дает (п+1)/2 не исчезающих при 0 слагаемых, (п-1)/2 из которых расходятся, а второй - (п+3)/2, включая наиболее расходящийся вклад, пропорциональный свободным уравнениям движения браны.
Точечная частица. В качестве примера, иллюстрирующего описанную выше ситуацию с появлением конечных лагранжевых вкладов, рассмотрим массивную частицу в R2,1. Для этого достаточно воспользоваться полученными в 2.1.1 разложениями для Imoij и Istr, т.е. формулами (2.1.23) и (2.1.24). Из этих формул следует, что неисчезающие при 0 члены асимптотического ряда для силы реакции излучения (2.2.15) в натуральной параметризации имеют вид
Выше нами было показано, что сила самодействия (2.2.16) лагранжева. Действительно, второе слагаемое в квадратных скобках и расходящееся слагаемое получаются варьированием лагранжианов вида (2.1.25) для d = 6. Используя критерий Гельмгольца несложно убедиться, что и первое слагаемое в квадратных скобках является лаграпжевым. Однако это слагаемое нельзя воспроизвести варьируя какой-либо функционал действия с лагранжианом, зависящим от конечного числа производных полей х(т). Нелокальный лагранжиан, который дает это слагаемое, выписан в первой строке формулы (2.2.12).
В этом подразделе были найдены явные выражения для расходимостей в эффективной модели (п — 1)-браны распространяющейся на фоне (2n + 1)-мерного пространства Мин-ковского и взаимодействующей с полем п-формы.
В случае четномерной браны лагранжиан производящего действия расходимостей задается формулой (2.2.7). Конечная часть силы самодействия получается вычитанием расходимостей из регуляризованного выражения для силы самодействия и взятия предела снятия регуляризации. Конечно, в результате получится нелокальное выражение. Однако, если "отключить" минимальное взаимодействие, то сила реакции излучения локализуется и, более того, становится лагранжевой. Выражение для лагранжиана силы самодействия в этом случае выписано в формуле (2.2.8). В обоих случаях в эффективной модели возникает (n + 2)/2 расходимости, функциональный вид которых такой же, как для первых (n + 2)/2 расходимостей в эффективной модели электрически заряженной браны.
Для нечетномерной браны мы сразу ограничились случаем, когда сила самодействия локализуется и, как результат, становится лагранжевой. Однако, несмотря на то что сила самодействия локализовалась, лагранжиан для нее задается нелокальным выражением (2.2.12). Выражение для силы самодействия выписано в формуле (2.2.15). Оказалось, что в эффективной модели возникает (п+1)/2 расходимостей, наиболее сингулярное из которых может включено в натяжение браны. В качестве примера был рассмотрен случай п = 1, т.е. частица в d = 3. Явное выражения для силы самодействия такой частицы дается формулой (2.2.16). Единственная возникающая в этом случае расходимость поглощается перенормировкой массы.
Абсолютно несжимаемая струна
Гидродинамическая интерпретация. В заключение вернемся к релятивистской модели несжимаемой струны и проясним ее связь с гидродинамикой несжимаемой жидкости7. Кроме того, мы установим некоторые неочевидные на первый взгляд свойства модели (2.3.50).
Функционал действия идеальной релятивистски-несжимаемой жидкости, текущей по бране N, вложенной в пространство-время при помощи отображения х{т), имеет вид аналогичный (2.6.67) где h - детерминант индуцированной метрики; рг(т) описывает поток внутренней энергии; а е - некоторая положительная константа, характеризующая плотность энергии несжимаемой жидкости.
Отличие этого функционала действия от (2.6.67) состоит лишь в том, что мы теперь его минимизируем также и относительно поля р(т). В результате чего действие (2.3.66) обладает "частичной" репараметризационной инвариантностью, т.е. оно инвариантно относительно диффеоморфизмов, генерируемых векторными полями пропорциональными (р2) хІ2ргді. Действительно, единственным объектом в функционале действия (2.3.66) не инвариантным относительно таких преобразований является поле р{т), но оно входит в действие как лагранжев множитель. Поэтому, на уравнениях движения функционал действия несжимаемой жидкости остается неизменным.
Уравнения движения, доставляющие минимум (2.3.66), запишутся как Также будем считать, что выполняется закон сохранения массы, т.е. векторная плотность подчинена условию
Отметим интересный факт, выявленный, по-видимому, впервые в [115, 116] из совершенно других соображений: первое уравнение в системе (2.3.67) напоминает уравнения 73десь и далее мы будем работать в системе единиц, в которой скорость света с = 1. движения действия Намбу-Гото, если рассматривать T j в качестве некоторой метрики (точнее, обратной к метрике) на бране N. Это в точности так, если определитель Ги отличается от определителя /іу на постоянный множитель, т.е. если уравнение состояния соответствует чаплыгинскому газу связность, согласованная с метрикой ТХК Ясно, что уравнения (2.3.71) являются уравнениями эллиптического типа если А 0, и гиперболического типа при А 0.
В том случае когда размерность браны N равна двум, уравнения (2.3.71) линаеризуют-ся в конформных координатах, что приводит к интегрируемости модели (см, например, [102,117]). В общем случае уравнения движения (І-Н)-мерной гидродинамики, вложенной в d-мерное пространство-время, несложно привести к виду здесь rfi - каноническая форма метрики ТгК Было бы интересно проклассифицировать все уравнения состояния и/или конфигурации струны, при которых уравнения (2.3.72) допускают разделение переменных (см. обзор [118]).
Вернемся к несжимаемой струне. Второе уравнение в системе (2.3.67) и требование без-дивергетности векторной плотности рг дают релятивистское обобщение хорошо известного условия несжимаемости идеальной жидкости
При этом, как мы знаем, бездивергентную векторную плотность на струне можно выпрямить не изменяя координаты т. Поэтому выберем на струне N такую систему координат, в которой т.е. воспроизводим условие "релятивистской несжимаемости".
Конечно, модель (2.3.66) описывает массивную несжимаемую струну с линейной плотностью массы Єу/Щ. Однако легко видеть, что действие (2.3.66) имеет хорошо определенный безмассовый предел є — 0, который, просто, приводит к исчезновению первого слагаемого в (2.3.66). В результате такого предельного перехода получается модель эквивалентная (2.3.50). Например, сравнивая уравнения (2.3.51) и (2.3.67), записанные в системе координат (2.3.74), видим, что где в последнем приближенном равенстве был взят нерелятивистский предел8. 8 Напомним, что во всех формулах после (2.3.56) поле x(t,a) было переопределено. Заряженный диэлектрик. Пусть векторная плотность электрического тока с1 пропорциональна векторной плотности потока массы р1
Выше мы называли такую струну заряженным диэлектриком, поскольку в сопутствующей с несжимаемой жидкостью системе отсчета ток отсутствует. Тогда уравнения движения идеальной несжимаемой заряженной жидкости, спроецированные на поверхность браиы, можно записать как где были введены обозначения для эффективной плотности энтальпии w := Єо+Ро + 2\е2, эффективного давления р := р0 + хе2 плотности заряда е := Аео, о и Ро характеризуют собственные плотность энергии и давление несжимаемой жидкости и обозначались выше через є и р. Наконец, W := w и - (п — 1)-форма на бране N, характеризующая поток энтальпии.
Теперь легко видеть, что хЛ в формуле (2.3.59) - это эффективное давление; а величина х(Л + А2) - эффективная энтальпия. Здесь, конечно, А - это линейная плотность заряда. Кроме того, функция 0, возникшая в формуле (2.3.62), приобретает вид
Второе равенство в (2.3.78) напоминает уравнение параллельного переноса формы W относительно абелевой связности dp/w. Для изентропической жидкости, когда давление есть функция только, например, энтальпии, эта связность плоская и второе уравнение системы (2.3.78) приводится к d(We Q) = 0. (2.3.80) Например, в случае несжимаемой жидкости (2.3.80) выражает условие несжимаемости (2.3.73), а соответствующий интеграл движения - длина струны. Первое равенство (2.3.78) в случае струны перепишется как du + Au + -f = 0, (2.3.81) W W т.е. сводится к релятивистскому условию потенциальности течения жидкости (см., например, [119]). Выражение (2.3.81) также можно привести к виду ОН du + Л« + 2Xdv + / = 0. (2.3.82) е е Как и следовало ожидать из критерия сверхпроводимости, существует добавка нарушающая уравнение Лондонов.
Теория возмущений и регуляризация диаграмм
Мы установили, что вне зависимости от типа поля, размерности пространства-времени, а также конкретной структуры сингулярного источника, все локальные линейные модели являются перенормируемыми теориями в том смысле, что учет самодействия источника приводит лишь к конечному числу расходящихся структур. Цель данного раздела - распространить предыдущий анализ на нелинейные модели теории поля и, в частности, установить критерии перенормируемости нелинейных теорий.
Мы будем изучать эффективную динамику полей х, взаимодействующих нелинейным образом с полями ф, с позиции теории возмущений. Поля х будут описывать сингулярный источник полей ф. Вследствие сингулярности источника получаемые в результате применения теории возмущений поправки к свободным уравнениям движения поля х могут расходиться и поэтому нуждаются в процедуре регуляризации.
После применения процедуры регуляризации в модели появляются новые параметры - параметры регуляризации, характеризующие деформацию исходной модели. Как и в случае линейной теории, мы можем разложить самодействие в асимптотический ряд по степеням параметров регуляризации. В итоге величина каждого члена ряда теории возмущений будет зависеть не только от величины произведения соответствующих степеней констант связи, но и от величины некоторой комбинации параметров регуляризации. В разделе 3.2 будет предложен общий метод позволяющий записать условия на параметры регуляризации и константы связи, при выполнении которых можно отбросить высшие члены асимптотического ряда и ряда теории возмущений и получить в результате конечное число слагаемых для самодействия поля х. Также в заключении раздела 3.2 будет сформулирован критерий перенормируемости модели классической теории поля с сингулярным источником в терминах размерностей констант связи.
Общая постановка задачи об учете самодействия поля х в классической теории поля выглядит следующим образом. Пусть дана система дифференциальных уравнений описывающая динамику взаимодействующих полей фпх здесь sup- конденсированные индексы; первое уравнение описывает воздействие поля х на поле ф, а второе описывает воздействие поля ф на х. Параметры е и q задают "силу" этих воздействий. При е = 0 исчезает влияние поля х па поле ф, а при q = 0 исчезает влияние поля ф на поле х, т.е.
В предположении регулярности по параметрам е и q уравнения движения (3.1) перепишутся как
Нашей задачей является отыскание эффективных уравнений движения поля х с учетом его взаимодействия с полем ф, т.е. получение уравнений на поле х, в которые поле ф уже не входит.
Можно заранее сформулировать некоторые требования на эффективные уравнения движения поля х. Предположим, что мы нашли решение первого уравнения системы (3.4) ф = ф[х, е] для произвольной конфигурации поля х, тогда если свободные уравнения движения поля х имеют физический смысл, иными словами существуют условия, при которых поле х подчиняется (быть может приблизительно) свободным уравнениям движения, то при данных условиях
Так, например, в эффективных уравнениях движения массивной заряженной частицы, т.е. в уравнениях Лоренца-Дирака, первая нетривиальная поправка от самодействия частицы (сила Лоренца-Дирака) является очень малой по сравнению со свободными уравнениями движения, и ее при определенных условиях можно пренебречь.
В следующем разделе мы будем искать решение первого уравнения системы (3.4) в виде ряда по константе связи е используя теорию возмущений.
Для простоты изложения мы рассмотрим случай, когда источник jsty,х, е] не зависит от е. Воздействие поля х на поле ф будем учитывать при помощи теории возмущений по формальному параметру е над фоном ф0 удовлетворяющим свободным уравнениям движения поля ф.
Похожие диссертации на Эффективная динамика сингулярных источников в классической теории поля
