Содержание к диссертации
Введение
1 Перенормировки в эффективном действии для классической струны [96,97] 19
Вводные замечания 19
1.1 Краткое введение в линеаризованную теорию поля 20
1.2 Эффективное действие для классической струны 25
1.3 Сверхпроводящие струны 30
1.3.1 Модель Виттена 30
1.3.2 Киральный предел 36
1.4 Струна в дилатонной и аксионно-дилатонной теориях гравитации 39
Выводы 45
2 Топологическое самодействие стационарного источника в конических пространствах 1115, 116, 117 47
Вводные замечания 47
2.1 Примеры конических пространств 49
2.2 Фундаментальное решение оператора Лапласа-Бельтрами на двумерной римановой поверхности 54
2.3 Топологическое самодействие точечного источника с произвольной мультипольной структурой в 2 +1-мерной эйнштейновской теории гравитации 58
2.4 Топологическое самодействие линейного источника в эйнштей новской теории гравитации. Точно решаемая модель . 65
2.4.1 Пространство бесконечно тонкой струны 68
2.4.2 Пространство струны конечной толщины 70
2.5 Эффективное действие для струны Намбу-Гото на коническом пространстве 71
Выводы 75
3 Поляризация вакуума в окрестности топологических дефектов в модели Рэндалл-Сундрума [ 127, 128] 77
Вводные замечания 77
3.1 Линеаризованная гравитация в И52-модели размерности р+ 1 + 1 78
3.2 Топологические дефекты в модели Рэндалл-Сундрума с одной браной
3.2.1 Космическая струна в И52-модели 82
3.2.2 Глобальный монополь в К52-модели 85
3.3 Евклидова функция Грина на бране 88
3.4 Вычисление вакуумного среднего (7Jf)Jl 91
Выводы 98
Заключение 100
Приложения 103
- Эффективное действие для классической струны
- Струна в дилатонной и аксионно-дилатонной теориях гравитации
- Фундаментальное решение оператора Лапласа-Бельтрами на двумерной римановой поверхности
- Топологические дефекты в модели Рэндалл-Сундрума с одной браной
Введение к работе
Созданная в начале прошлого века общая теория относительности [1,2] позволила по-новому подойти к вопросам о свойствах мира, рассматриваемого в космических масштабах. К особенно впечатляющим результатам она привела при изучении эволюции Вселенной в целом. Построенная на её основе стандартная модель горячей Вселенной была убедительно подтверждена открытием реликтового излучения.
Важную роль в процессе эволюции Вселенной играют также и другие фундаментальные взаимодействия. Среди идей, на которых традиционно базируются современные теории фундаментальных взаимодействий, особо выделим идею спонтанного нарушения симметрии между взаимодействиями. На основании этой идеи удалось построить сначала единую теорию электромагнитного и слабого взаимодействий [3, 4], а потом и единые калибровочные теории электрослабого и сильного взаимодействий, так называемые теории Великого Объединения. Исследование свойств вещества, описываемого в рамках теорий со спонтанными нарушениями симметрии, показывает, что при достаточно высокой температуре среды Тс в ней происходит фазовый переход (или серия фазовых переходов), в результате которого нарушенные симметрии между взаимодействиями восстанавливаются [5]. Лабораторное исследование этих фазовых переходов, в силу огромных значений необходимых для этого температур, в настоящее время не представляется возможным, однако, соответствующие экстремальные условия могли существовать на самых ранних этапах эволюции Вселенной.
Действительно, согласно стандартному варианту эволюции горячей Вселенной, она должна была расширяться, постепенно остывая, из состояния, когда её температура могла достигать Т ~ 1019 ГэВ. Это означает, что в ранние моменты эволюции Вселенной симметрия между сильными, слабыми и электромагнитными взаимодействиями была восстановлена. В процессе её остывания произошёл ряд фазовых переходов, в результате чего симметрия между взаимодействиями была нарушена. Необходимость объединить гравитационное взаимодействие со всеми остальными заставляет перейти при рассмотрении эволюции Вселенной от общей теории относительности и теории Великого Объединения к более сложным теориям, таким как теория струн [6] или М-теория. Тем не менее, общая картина эволюции, по крайней мере при достаточно низких температурах, остаётся в рамках этих теориях неизменной. Космологические фазовые переходы и сопутствующие им процессы во многом определили нынешнее состояние Вселенной. Одним из многочисленных следствий космологических фазовых переходов является образование топологических дефектов, которые могли сыграть важную роль в эволюции Вселенной [7,8,9, 10, 11 ].
Механизм образования дефектов, предложенный Кибблом [12] в 1976 году, выглядит следующим образом. В результате фазовых переходов вакуумные средние квантованных полей в областях пространства, находящихся на расстояниях больших горизонта причинности, могли оказаться различными. Возникшие на границе между этими областями переходные районы с высокой плотностью энергии, характерной для симметричной фазы, устойчивые по топологическим соображениям, и называются топологическими дефектами. Исследование показало [9, 11, 13], что существует четыре типа дефектов: текстуры, монополи, струны и доменные стенки. С точки зрения космологии наибольший интерес представляют одномерные топологические дефекты — космические струны [ 14].
Струнные решения присутствуют уже в простейших полевых моделях с калибровочной группой симметрии U(l). Они образуются в результате процесса спонтанного нарушения симметрии
С/(1) -^ 1 при понижении температуры среды ниже некоторого критического значения
Тс. Изначально космические струны появляются в виде случайной сети прямолинейных движущихся сегментов с характерной длиной, определяемой условием причинности. После возникновения образующие сеть фрагменты претерпевает серию столкновений, пересечений и перезамыканий, могущих приводить к образованию замкнутых петель. В ходе дальнейшей эволюции Вселенной незамкнутые струны выпрямляются в пределах горизонта, конформно растягиваясь на больших масштабах, и поэтому с хорошей точностью могут рассматриваться как бесконечно длинные. Замкнутые же струны исчезают из-за энергетических потерь на гравитационное излучение [ 15]. При этом, для струн образовавшихся при Тс ~ 1016 ГэВ (теория Великого Объединения) минимальный диаметр петли, дожившей до настоящего времени, не превышает 0.3 Мпс [16].
Существует несколько типов космических струн. Струны, возникающие в теориях с нарушенными калибровочными симметриями, называются локальными или калибровочными. Так называемые глобальные струны возникают при определённых нарушениях глобальной симметрии. А для формирования сверхпроводящих струн в простейшем случае требуется два калибровочных поля: одно с нарушенной (оно отвечает за существование струны), а другое с ненарушенной (отвечает за способность нести ток) локальными симметриями. В отличии от других типов струн сверхпроводящие струны могут образовывать стабильные струнные петли, называемые вортона-ми [17], которые могут быть обнаружены экспериментально. Отметим также, что одномерные дефекты обнаруживаются не только в рамках теории поля, но и ещё в нескольких областях физики. Среди них упомянем теорию суперструн, в которой возможно образование так называемых фундаментальных струн в четырёхмерном пространстве [ 18], а также теорию сверхтекучих жидкостей и сверхпроводников, в которой космическим струнам соответствуют вихри [ 19].
Первоначальный интерес к космическим струнам был вызван тем, что они могли послужить одной из причин образования начальных неоднород-ностей плотности материи, которые, в ходе последующей эволюции Вселен- ной, привели к образованию её наблюдаемой крупномасштабной структуры. В дальнейшем, было найдено множество других возможных проявлений космических струн, также относящихся к области астрофизики и космологии. В частности, космические струны являются кандидатами на роль источников гамма-всплесков [20] и космических лучей сверхвысоких энергий [21 ]. Вортоны могут быть составной частью тёмной материи.
Возможность того, что космические струны могли дожить до нашего времени, стимулирует поиск их наблюдаемых проявлений. Основные надежды на экспериментальное обнаружение космических струн связаны с эффектом гравитационного линзирования. Наблюдения по этому эффекту выявили недавно гравитационную линзу, которая с достаточно высокой вероятностью может оказаться космической струной [22]. Вместе с тем, представляется возможным обнаружение и других эффектов, связанных с существованием сети космических струн, в частности, прямое или косвенное детектирование испускаемого этой сетью излучения.
Исследование различных радиационных эффектов в системе космических струн необходимо как для поиска их наблюдаемых проявлений так и для последовательного включения струн в космологический сценарий. С одной стороны, расчеты показывают, что струны являются потенциально наблюдаемыми источниками гравитационных волн [23, 15, 24], легких ак-сионов [25, 26], лёгких [27] дилатонов, а также, в случае сверхпроводящих струн, электромагнитного излучения [28]. С другой, эволюция струнной сети в значительной мере определяется диссипацией энергии струн в излучение [9, 11 ].
Воздействие, оказываемое собственным полем струны на её динамику, носит название эффекта само действия. Исследованию этого эффекта, посвящено большое число работ [ 19,29,30,31,32,33,34,35] (см. также Вводные замечания к Главе 1). Выяснилось, что последовательное рассмотрение эффекта самодействия наталкивается на целый ряд проблем, некоторые из которых не удалось разрешить до сих пор.
В большинстве работ эффект самодействия рассматривается в прибли- жении нулевой толщины струны. Такое приближение, применимое в тех случаях, когда радиус кривизны струн много больше их поперечных размеров, существенно упрощает расчёты и позволяет абстрагироваться от внутреннего строения струны, определяемого конкретной полевой моделью, в рамках которой получено струнное решение. В приближении бесконечно тонкой струны для описания динамики локальных космических струн используется действие Намбу-Гото [36], а динамики сверхпроводящих струн — действие Виттена [37] или одно из его обобщений [38]. Глобальные струны могут быть описаны как струны Намбу-Гото, взаимодействующие с голдстоуновскими полями [39].
Одной из проблем, возникающих при использовании приближения бесконечно тонкой струны, является то, что в этом приближении собственные поля струны в окрестности её мировой поверхности, а следовательно и соответствующие силы самодействия, в общем случае расходятся. Поэтому необходимо выработать правила обращения с этими расходимостя-ми. Подобная проблема хорошо известна в классической электродинамике точечных частиц. Сила электромагнитного самодействия точечной частицы расходится, однако, как показал Дирак [40], эта расходимость может быть устранена классической перенормировкой массы частицы с помощью контрчлена вида: тгеп = ш<5 + — , (1) где тгеп — перенормированная физическая масса, т$ обозначает расходящуюся затравочную массу, а 5 — радиус обрезания для электрона, S —» 0. Получаемые в результате перенормировки уравнения Дирака-Лоренца конечны и, при определённых условиях, дают результаты, хорошо согласующиеся с экспериментом.
Для широкого класса струнных моделей расходимость в самодействии также может быть устранена перенормировкой параметров струнного действия. В этом случае использование приближения бесконечно тонкой струны при исследовании эффектов самодействия вполне оправдано. В то же время для многих струнных моделей расходимость в самодействии не мо- жет быть устранена перенормировкой. При исследовании самодействия в таких моделях необходимо учитывать наличие у струны конечной толщины. Заметим, однако, что регуляризованное выражение для силы самодействия, вычисленной в приближении бесконечно тонкой струны, при определённом подборе параметров регуляризации [41 ], может в этих моделях использоваться для грубой оценки истинной силы самодействия [42].
Видно, что вопросы классической перенормируемости играют важную роль при изучении эффектов самодействия космических струн. Исследованию этих вопросов и посвящена первая глава диссертационной работы.
Сделаем ещё несколько замечаний, касающихся эффекта самодействия. Прежде всего, отметим, что, выделив тем или иным образом расходящуюся часть самодействия, можно затем получить выражение и для конечной части. Тем не менее, соответствующее выражение, представляющее собой несобственный интеграл по мировой поверхности струны, является чрезвычайно громоздким. Это заставляет прибегнуть к приближённым методам вычислений [30,31, 35].
Также следует отметить, что внешние поля, как было установлено на примере точечных частиц [43], создают дополнительный вклад в эффект самодействия. В первой главе мы особо обратим внимание на то, как наличие нетривиального фона приводит к изменению расходящейся части самодействия. Во второй — сосредоточим наше внимание на вычислении конечной части самодействия статической сверхпроводящей струны во внешнем гравитационном поле специального вида. В качестве такого поля нами будет выбрано гравитационное поле прямолинейной струны Намбу-Гото, которое обладает целым рядом интересных особенностей.
Прямолинейная струна является достаточно разумным приближением до тех пор, пока нас интересуют расстояния много меньшие её среднего радиуса кривизны. Ограничимся сначала рассмотрением гравитационного поля струны в рамках общей теории относительности. В случае прямолинейной бесконечно тонкой струны Намбу-Гото соответствующая метрика была найдена в линейном приближении в работе [44]. Оказалось, что простран- ство-время струны представляет собой прямое произведение М2 х Сг, где М2 — двумерное пространство Минковского, а С2 — двумерный конус, дефицит угла которого пропорционален линейной плотности энергии струны. Полученное в [44] решение применимо при малых значениях дефицита угла, однако, оно может быть обобщено и на случай его произвольных значений [45, 46,47, 48, 49].
Пространство-время бесконечно тонкой прямолинейной космической струны представляет собой один из примеров локально-плоских конических пространств. На таких пространствах тензор кривизны равен нулю почти всюду за исключением отдельных времениподобных поверхностей (линий), где он имеет ^-образные особенности. Таким образом, по отношению к этим пространствам можно говорить о гравитации без локальной кривизны.
Первоначально интерес к коническим пространствам не был связан с космологическими проблемами [50, 51, 52]. Действительно, такие пространства интересны и сами по себе. Они предоставляют уникальную возможность для изучения влияния глобальной структуры многообразия на ход классических и квантовых процессов, поскольку локальная плоскостность позволяет в чистом виде выделить нелокальное приливное влияние кривизны.
Впоследствии выяснилось, что пространства с коническими особенностями возникают в самых разных физических приложениях. Кроме как в теории космических струн, конические пространства используются при описании некоторых типов возмущений сверхтекучей жидкости [53] и линейных дефектов в кристаллах [54]. Другим примером конических пространств является пространство-время точечной частицы в 2 + 1-мерной Эйнштейновской теории гравитации [55]. Конические особенности возникают также при вычислениях вблизи горизонта при Т"1 ^ 8kGM в Евклидовом секторе пространства Шварцшильда [56, 57, 58,59] и в космологии [60].
Коническая топология струнных пространств приводит к целому ряду нетривиальных эффектов. В рамках классической теории, прежде всего, следует отметить уже упоминавшийся нами эффект линзы [11, 46, 61], вследствие которого струны могут давать двойные (а в более сложных случаях и кратные) изображения светящихся объектов, расположенных позади них. Другим интересным эффектом является тормозное излучение свободно движущихся частиц [62, 63] и пробных космических струн [63, 64] в пространстве прямолинейной бесконечно тонкой струны Намбу-Гото. Показано также, что существует принципиальная возможность обнаружения струн по их влиянию на динамику двойной системы [65,66].
На квантовом уровне коническая структура пространства приводит к поляризации вакуума квантованных полей в этом пространстве. Рассматривалась поляризация вакуума для полей спинов 0,1/2,1,2 [67, 68, 69, 70, 71, 72], а также для скрученного скалярного поля [73]. Было показано [74], что по абсолютной величине плотность энергии поляризации вакуума имеет наибольшее значение для гравитационного поля: в 48 раз большее, чем для скалярного, в 8 раз — чем для спинорного и в 4 раза — чем для электромагнитного. Рассматривалась также поляризация вакуума в пространстве космической струны при конечной температуре [75, 76].
Отсутствие трансляционной инвариантности в коническом пространстве ведёт к тому, что ряд квантовых эффектов, запрещённых в пространстве Минковского, имеет место вблизи космической струны. Так, в работах [77, 78] на квантовом уровне производился расчёт эффективного сечения тормозного излучения электрического заряда. В статье [79] рассматривалось рождение электрон-позитронных пар 7-квантом в гравитационном поле космической струны.
В работе [68] была учтена энергия поляризации вакуума космической струной, как источник при решении уравнений Эйнштейна. Показано, что квантовые поправки к метрике приводят к тому, что пространство уже не является локально-плоским, а представляет собой прямое произведение двумерного пространства Минковского на гиперболоид, асимптотический приближающийся к конусу на больших расстояниях от струны.
Видно, что изучение классических и квантовых эффектов в конических пространствах не только имеет большое общетеоретическое значение, но и важно как для поиска наблюдательных проявлений космических струн, так и для решения целого ряда космологических и астрофизических проблем.
Особо отметим эффекты самодействия в конических пространствах. Так как они определяются структурой пространства в целом, а не локальными геометрическими величинам, их называют топологическими. Характерным примером топологического самодействия является отталкивание пробного статического заряда от прямолинейной космической струны [80]. Аналогичный эффект был обнаружен для точечного гравитирующего тела [74]. В обоих случаях сила пропорциональна квадрату заряда (массы), но если в первом случае это сила отталкивания, то во втором — притяжения. Возникновение силы отталкивания (притяжения) обусловлено деформацией собственного кулоновского (ньютоновского) поля частицы и может интерпретироваться как своеобразное проявление приливного воздействия гравитационного поля космической струны. Топологическое самодействие сверхпроводящей струны рассматривалось в работах [81,82,83,84]. Вторая глава диссертационной работы продолжает начатое в работах [83, 84] исследование эффектов топологического самодействия на примере моделей, допускающих точное решение (см. также Вводные замечания к Главе 2). Будет исследована задача о топологическом самодействии заряда со сложной внутренней структурой в 2 + 1-мерном коническом пространстве и струны со сложной внутренней структурой в 3 + 1-мерном.
До сих пор нами рассматривался случай, когда гравитационное поле струны описывается уравнениями общей теории относительности. Однако в настоящий момент широко признаётся, что теория гравитации Эйнштейна является низкоэнергетическим приближением некоторой фундаментальной теории, например теории струн или М-теории. Поэтому возникает естественный интерес к прямо или косвенно вытекающим из этих теорий обобщениям теории Эйнштейна.
Одним из примеров таких обобщений являются скалярно-тензорные теории гравитации, подобные теории Бранса-Дикке, естественным образом возникающие в низкоэнергетическом приближении теории струн [6]. В этих теориях к метрическому тензору g^v добавляется дополнительное скалярное поле ф (например дилатонное). Дальнейшим обобщением является ак-сионно-дилатонная теория гравитации, которая кроме дилатона включает псевдоскалярное аксионное поле.
Возникает вопрос, насколько появление дополнительного скалярного поля изменяет гравитационные свойства струны. В работе [85] была получена метрика пространства прямолинейной бесконечно тонкой струны в рамках скалярно-тензорных теорий гравитации [85]. Показано, что заметные отличия от конического пространства возникают лишь на космологических расстояниях от струны. Чтобы исследовать влияние, оказываемое изменившейся структурой пространства на физические поля, в работе [86] была рассмотрена поляризация вакуума в окрестности космической струны в скалярно-тензорной теории гравитации. Оказалось, что в окрестности струны дополнительный вклад в поляризацию вакуума пренебрежимо мал.
В дальнейшем нас будет интересовать другой класс возможных обобщений теории Эйнштейна. Почти все варианты фундаментальных теорий естественно формулируются в пространстве-времени с числом измерений больше четырёх. Предположение о существовании дополнительных измерений, в свою очередь, вызывает неослабевающее внимание к феноменологическим теориям гравитации, сформулированным в пространствах с более чем четырьмя измерениями [87]. До недавнего времени среди таких теорий гравитации наибольший интерес вызывали теории Калуца-Клейна с малым радиусом дополнительных измерений. В последние годы, однако, всё более и более становятся популярными модели «мира на бране», среди которых наиболее известны модели Рэндалл-Сундрума с одной и двумя брана-ми [88, 89]. В этих моделях наша физическая Вселенная рассматривается как 3-брана, на которой локализовано обычное вещество, в то время, как гравитация и, возможно, некие гипотетические частицы, очень слабо взаимодействующие с веществом, остаются не локализованными. В моделях мира на бране дополнительные измерения могут иметь большой и даже бесконечно большой размер, что может приводить к экспериментально наблю- даемым эффектам.
В частности, влияние дополнительных измерений на гравитационное поле прямолинейной бесконечно тонкой космической струны в модели Рэн-далл-Сундрума с одной браной было исследовано в работе [90]. С использованием формализма, выработанного в работе [91 ], было показано, что линеаризованное гравитационное поле струны на бране в её непосредственной окрестности сильно отличается от полученного в рамках общей теории относительности. Представляется интересным исследовать влияние, оказываемое таким изменением гравитационного поля на классические и квантовые процессы в окрестности струны. В работе [90] был рассмотрен эффект линзы для космической струны в модели Рэндалл-Сундрума. В свою очередь, третья глава диссертационной работы посвящена исследованию поляризации вакуума в окрестности космической струны в этой модели. Основная цель данной главы заключается в том, чтобы ещё раз продемонстрировать, что существуют нетривиальные эффекты, связанные с наличием дополнительных измерений.
В третьей главе также будет рассмотрена ещё одна разновидность топологических дефектов — глобальный монополь [92]. Простейшие глобальные монополи образуются при спонтанных нарушениях глобальной симметрии SO{3) — 1 .
Они, как и струны, могли послужить одной из причин образования начальных неоднородностей плотности материи. Поляризация вакуума в гравитационном поле глобального монополя, вычисленном в рамках общей теории относительности [92], исследовалась в работе [93]. В третьей главе, как и для струны Намбу-Гото, эти исследования будут распространены на случай глобального монополя в модели Рэндалл-Сундрума с одной браной.
Скажем теперь несколько слов о непосредственном содержании работы.
Эффективное действие для классической струны
Рассмотрим взаимодействие поля рг с бесконечно тонкой космической струной, в общем случае описываемой действием вида Sstr = J А(фк, дафк, р )(12С, (1.18) где С,а, а = О,1 — координаты на мировом листе струны, Л — действительная функция от материальных полей фк, заданных на струне, и их производных, а также от внешнего поля ірг. Поскольку мировая поверхность струны вложена в четырёхмерное пространство-время, в набор полей фк должны входить координаты струны х 1((): фк = {Vі, фп]. В рамках линеаризованной теории поля действие (1.18) может быть представлено в виде Зді и ] = &,r№V0] + МФк] Ф1. (1.19) Очевидно, что совокупность уравнений, полученных в результате применения принципа наименьшего действия к действию (1.19), уравнение (1.2), а также соответствующие граничные условия полностью определяют движение струны.
Отметим, что если система является замкнутой — фгтеап = 0, взаимодействие струны с собственным полем может быть описано в терминах прямого действия на расстоянии [104, 107], чем и объясняется последнее обозначение.
Эффективные действия вида (1.20) удобно использовать при исследовании взаимодействия и самодействия как точечных частиц, так и струн [40, 104,107,101]. Для нас особенно важной является показанная в работе [101] возможность с помощью действия (1.20) исследовать проблему устранения расходимостей (классической перенормировки) для различных моделей космических струн, взаимодействующих с собственными полями. В оставшейся части раздела сформулирована общая схема такого исследования, а в следующих двух это исследование проводится для конкретных моделей.
Заметам, что в случае если рассматривается проблема гравитационного самодействия, в предыдущих трёх выражениях, а также во всех последующих формулах этого раздела, метрику пространства-времени д необходимо заменить её фоновым значением д 0.
Перейдём непосредственно к выделению расходимости из эффективного действия. Рассмотрим, сначала, составляющую эффективного действия $шап (1.24). Несложно убедиться, что действие Sj%ian конечно.
Подробнее об этих геиметрігіеских величинах смотри (43 \, 1105] Отметим, что разложение (1.17) справедливо только в том случае, когда точки х и а/ находятся достаточно близко друг от друга, и изотропная геодезическая между ними определена однозначно. Однако, первое слагаемое в этом выражении сохраняет свою форму и тогда, когда точки х и х находятся на большом удалении друг от друга и их соединяет несколько геодезических (иными словами а является многозначной функцией). В этом случае соответствующее выражение следует понимать как сумму по всем изотропным геодезическим, проходящим через точки X и Xі.
Приведённые в этом разделе результаты будут применены в следующем разделе при выделении расходимостей из эффективного действия, описывающего взаимодействие бесконечно тонкой классической струны с собственными полями. Также, они понадобятся нам и в других разделах диссертационной работы.
Струна в дилатонной и аксионно-дилатонной теориях гравитации
Одним из возможных обобщений ОТО является аксионно-дилатонная теория гравитации. Рассмотрим струну, взаимодействующую с аксионным полем, в аксионно-дилатонной гравитации. Для дальнейших расчетов удобнее переписать действие в терминах так называемой «Эйнштейновской» метрики В этом случае действие для поля принимает форму Sf = Tike J { W -2VW- е-АфН,ирН , (1.66) в то время как действие для струны имеет вид Sstr = -[(РСу/=7 {а+1)ф - \ J ?С,у/ В11иеаЬдах»дъх1 е2аф , (1.67) где величины без крышечек так же зависят от д у как величины с крышечками от дц„. Приступим к исследованию самодействия струны, описываемой действием (1.67). В рамках линеаризованной теории поля представим собственное дилатонное поле струны как малое возмущение дилатонного фона ф — фо+ф,а собственное гравитационное поле как малое возмущение Д/а/ фонового гравитационного поля: д и = д + h ,. (Аксионное поле Bfll/ очевидно линейно.) Наша задача заключается в том, чтобы построить эффективное действие для струны, взаимодействующей с этими полями, после чего, с использованием результатов раздела 1.2, выделить из него расходящуюся часть.
Чтобы применить формализм, разработанный в разделе 1.2, нам необходимо найти поверхностные плотности источников поля для всех трёх рассматриваемых полей. Используя действие (1.67), легко получить следующие выражения для поверхностных плотностей ф и 31$ источников соответственно дилатонного ф и аксионного В полей: = 2(a + l)/ze2(a+W, (1.68) Jg = e2a daX dbX" . ( 1.69) Аналогично, нетрудно установить, что поверхностная плотность тензора энергии-импульса имеет вид:
В этих выражениях все величины вычислены в пределе дц„ — д ио. В дальнейшем в этом разделе используется только фоновая метрика gIW0, поэтому для упрощения обозначений индекс 0 будет опускаться. Запишем эффективное действие для струны в аксионно-дилатонной гравитации.
Используя формулу (1.32), выделим потенциально расходящуюся часть эффективного действия (1.71) для каждого из взаимодействий по отдельности. Выражение (1.78) обобщает ранее полученные данные [114, 101] на случай искривлённого пространства-времени и ненулевого дилатонного фона. Видно, что эффективное действие для струны, взаимодействующей с собственным дилатонным полем (1.71), не перенормируемо, когда дилатонное фоновое поле отлично от нуля, поскольку в затравочном действии (1.72) отсутствует член с4 "1"1 . Таким образом, когда фо ф 0, при изучении дилатонного самодействия струны в аксионно-дилатонной гравитации необходимо учитывать наличие у неё конечной толщины. Исследуем теперь потенциально расходящийся вклад гравитационного самодействия в эффективное действие. Для этого воспользуемся выражением (1.54) для SgJiv. Подставив в него выражение (1.70), легко показать, что часть эффективного действия, описывающая гравитационное самодействие струны в аксионно-дилатонной гравитации, конечна.
Наконец, рассмотрим случай аксионного поля. Необходимо отметить, что в этом случае прямо использовать формулу (1.32) невозможно, так как записанное с использованием «Эйнштейновской» метрики уравнение для функции Грина аксионного поля нельзя привести к виду (1.16). Чтобы решить эту проблему, произведём в действиях (1.66) и (1.67) дополнительное конформное преобразование метрики 9ци == є g v. В соответствующих координатах, как нетрудно проверить, условие (1.16) выполняется, и для расходящегося вклада аксионного самодействия в эффективное действие для струны в аксионно-дилатонной гравитации справедливо следующее выражение: где ujlva/3 — первый коэффициент в разложении Девитта-Швингера для симметричной функции Грина аксионного поля GB, а акценты при величинах, входящих в (1.79), означают, что эти величины посчитаны с использованием метрики д .
Выражение (1.84) обобщает результаты работ [114,101], касающиеся аксионного самодействия, на случай искривлённого пространства и ненулевого дилатонного фона. Видно, что наша модель не перенормируема в случае, если фоновое дилатонное поле отлично от нуля, поскольку в действии (1.72) отсутствует член вида е4(«+1) ?У Таким образом, когда фо ф 0, при изучении аксионного самодействия струны в аксионно-дилатонной гравитации необходимо учитывать наличие у неё конечной толщины.
Итак, нами выделены расходящиеся вклады в эффективное действие (1.71) для дилатонного, гравитационного и аксионного самодействий. В общем случае они не могут быть устранены перенормировкой параметров затравочного действия (1.72). Заметим, однако, что для фундаментальных струн [18], константы связи которых удовлетворяют соотношениям а = 0,А = /х, (1.85) расходимости в дилатонной гравитационной и аксионной частях эффективного действия (1.71) компенсируют друг друга. Такое сокращение расходи-мостей в самодействии было предсказано Дабхолкаром и др. [32, 33] в рамках теории суперструн и подтверждено непосредственными вычислениями для случая плоского пространства и нулевого фонового дилатонного поля в работах [114,101].
Фундаментальное решение оператора Лапласа-Бельтрами на двумерной римановой поверхности
Прежде чем перейти непосредственно к рассмотрению эффектов самодействия на конических пространствах, решим вспомогательную задачу. А именно, найдём регуляризованные значения фундаментального решения оператора Лапласа-Бельтрами и его производных в двумерном римановом пространстве (Л т) в пределе совпадающих точек.
Как было отмечено ранее в [82], нахождение фундаментального решения оператора Лапласа-Бельтрами на (. 2,7). а также рассмотрение краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона, в случае двух измерений суще ственно облегчено тем, что риманова поверхность (Л т) локально конформна евклидовой плоскости, т.е. существует координатное отображение / : О. —» Л2, при котором в некоторой открытой области Q. Аналитическая функция, осуществляющая конформное отображение f(Q) на единичный круг, при котором точка с координатой z = z" отображается в центр круга. Функция со является гармонической всюду в Q, непрерывной на Й, и ее явный вид известен для многих часто встречающихся областей. Пусть конформное отображение М.2 — И2 состоит из одной карты, и ее координатная область содержит все точки х є V} со сколь угодно большими х2 = (х1)2 + (х2)2.
Чтобы получить регуляризованные значения фундаментального решения оператора Лапласа-Бельтрами и его производных в пределе совпадающих точек, представим Gre9(x , х") в виде разложения по степеням геодезического интервала а(х ,х") вблизи нуля [105, 122]. Для этого удобно перейти в функции Грина (2.28) от переменных (xaf, ха") к новому набору переменных (аД аа), где х — средняя точка геодезической, соединяющей точки х и х", а аа = 2Vao(x,xf). Представим значения координат х и х" в виде разложений в ряд с центром в точке х по величине 0-(а/, х") и учтём, что аа = y/2ata, где Iа — касательный к геодезической в точке х единичный вектор, направ 1В плоских областях поверхности (ЛІ2,7) ленный к х". Тогда с точностью до членов порядка 0{а2) получим: ха\ = ха ± -аа - - - VaA + -g-V6A ± - -15ab (V A + VcAVdA - VeAVeA) - (VaV,A + VaAV,A) + 0{ст2) , (2.30) где в правой части (2.30) все коэффициенты при степенях т берутся в точке х. При необходимости можно продолжить это разложение до любого наперёд заданного порядка по т. Предложенная замена переменных позволяет вычислить евклидову норму \х — х"\ и найти регуляризованное значение функции Грина с необходимой точностью по а. Если ограничиться членами первого порядка, то получим, что G"\x ,x") = A+ (VaV6A+VaAV6A- VcAVcA) +0(а2). (2.31) Дифференцируя (2.31), такие же разложения можно получить и для кова-риантных производных функции Грина. При этом, следует учитывать, что в (2.31) все величины, заданные в средней точке х, являются неявными функциями х и х".
Отметим, что полученные выражения для регуляризованных значений функции Грина и ее производных в пределе совпадающих точек содержат конформный фактор и, следовательно, не могут быть записаны в терминах только локальной геометрии. Таким образом, они являются объектами, которые локально отражают структуру поверхности в целом.
Топологические дефекты в модели Рэндалл-Сундрума с одной браной
Рассмотрим прямолинейную бесконечно тонкую космическую струну, локализованную на 3-бране в пятимерной К52-модели. Действие для струны имеет вид (1.34) matter = /W d2C\/ » (3.17) где крышечка при % показывает, что мировая поверхность струны вложена в мировую поверхность браны. Гравитационное поле струны на бране определяется тензором энергии-импульса tfju,, получающимся варьированием действия (3.17) по индуцированной метрике gltv. Предположим, что струна покоится и вытянута вдоль оси Z.
В теории Эйнштейна пространство-время, соответствующее тензору энергии-импульса (3.18), является локально-плоским всюду за исключением мировой поверхности струны, где тензор Римана имеет J-образные особенности. Переход к Рч52-модели приводит к существенному изменению гравитационного поля струны уже в линейном приближении по Єф. (В настоящий момент точное решение пятимерных уравнений Эйнштейна для гравитационного поля прямолинейной космической струны, локализованной на 3-бране, не известно.)
Несложно показать [90], что брана, на которой локализована струна, не является локально-плоской. Кроме того, гравитационное поле космической струны на бране в Рч52-модели имеет отличный от нуля гравитационный потенциал ф —1/р2 на больших расстояниях от струны. Такое изменение гравитационного поля струны должно оказать существенное влияние на классические и квантовые эффекты в её окрестности. Далее это будет продемонстрировано на примере эффекта поляризации вакуума безмассового скалярного поля Ф в окрестности струны. Как уже говорилось, в процессе вычисления вакуумных средних нами будет использоваться метод размерной регуляризации. Поэтому обобщим рассматриваемую модель на случай произвольной размерности. Таким обобщением является р +1 +1-мерная модель Рэндалл-Сундрума с одной браной, на которой локализована плоская бесконечно тонкая р—2-брана (объект с ко-размерностью два), получающаяся, очевидно, добавлением к мировой поверхности космической струны р — 3 дополнительных измерений. Оставшаяся часть подраздела будет посвящена исследованию этой модели.
Итак, пусть на р-бране локализована плоская бесконечно тонкая брана размерности р — 2. Выберем координаты х 1 на бране таким образом, чтобы мировая поверхность р—2-браны задавалась условием х1 = 0,х2 = 0.
Переход к И52-модели приводит к существенному изменению гравитационного поля глобального монополя уже в линейном приближении ПО Gtff. В частности, используя формулы раздела 3.1, можно показать, что, в отличие от случая общей теории относительности, его гравитационный потенциал не равен нулю — ф —1/г2 на больших расстояниях от ядра монополя. В данной главе исследуется, как такое изменение гравитационного поля влияет на явление поляризации вакуума безмассового скалярного поля Ф в окрестности глобального монополя. Поскольку в процессе вычисления вакуумных средних будет использован метод размерной регуляризации, нам необходимо обобщить рассматриваемую модель на случай произвольной размерности. Таким обобщением является р 4-1 + 1-мерная модель Рэндалл-Сундрума с одной браной, на которой локализован р — 3-мерный плоский глобальный дефект (дефект с ко-размерностью три). Оставшаяся часть подраздела посвящена исследованию этой модели.
Существуют несколько способов нахождения вакуумного среднего оператора (3.40), среди которых в данном случае наиболее удобен метод [122, 105], основанный на использовании евклидовой функции Грина поля Ф, вычислению которой и посвящен этот раздел. При этом, поскольку точные выражения для гравитационных полей рассматриваемых топологических дефектов на бране нам не известны, мы ограничимся вычислением лишь первой поправки к фундаментальному решению уравнения Лапласа в п-мерном евклидовом пространстве.
Сделаем замечание, касающееся случая, когда на бране локализована космическая струна. Как было показано в предыдущем разделе, (смотри (3.27)) скалярная кривизна гравитационного поля струны на бране — R имеет -образную особенность на мировом листе струны. Уравнение (3.41) плохо определено для такого потенциала. Одним из путей решения этой проблемы является сглаживание сингулярности [120, 132, 133]. Полученная таким образом функция Грина определена в пределе бесконечно тонкой струны, и в выражение для неё входит только в комбинации с регулярной составляющей скалярной кривизны RRG. Поскольку в нашем случае RRG равна нулю, из V можно убрать член, содержащий f. Итак, нами получено выражение для первой поправки к евклидовой функции Грина скалярного поля, появляющейся под действием линеаризованного гравитационного поля на бране. Это позволяет перейти к вычислению вакуумного среднего оператора тензора энергии-импульса поля Ф в окрестности космической струны в модели RS2.
