Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Метод квазиэнергий . 24
1.1 Проблема секулярных слагаемых во временной теории возмущений. 24
1.2 Варианты теории возмущений, применяемые в методе квазиэнергий . 29
1.3 Операторная форма теории возмущений в методе квазиэнергий. 36
1.4 Адиабатическая теория возмущений в методе квазиэнергий. 41
Глава 2. Метод квазиэнергий в задачах атомной и молекулярной спектроскопии . 45
2.1 Эффекты, обусловленные воздействием резонансной классической монохроматической волны на атомные и молекулярные степени свободы. 45
2.2 Управление эволюцией двухуровневой системы с помощью резонансного классического электромагнитного поля . 55
2.3 Спектр поглощения двухуровневой системы в сильном резонансном двухмодовом поле. 67
2.4 Возбуждение молекулярных колебаний импульсом резонансного инфракрасного излучения. 78
2.5 Тензор восприимчивости молекулы в присутствии сильного резонансного поля. 83
Глава 3. Модель Тависа-Каммингса и ее обобщения . 96
3.1 Области применения и возможности гамильтониана Тависа-Каммингса. 96
3.2 Алгебраические свойства гамильтониана Тависа-Каммингса. 99
3.3 Алгебра гамильтониана ТК с взаимодействием, пропорциональным образующим алгебры su(1,1). 108
3.4 Оператор квазиэнергии модели ТК в полихроматическом классическом поле. 113
Глава 4. Динамика квантованной моды мазера, накачиваемого пакетами ридберговских атомов . 135
4.1 Уравнение Лиувилля для редуцированной матрицы плотности моды мазера на пакетах ридберговских атомов. 135
4.1.1 Базис v - фотонного обобщения гамильтониана ТК с учетом группы перестановок тождественных атомов. 137
4.1.2 Свойства супероператора развития редуцированной матрицы плотности полевой моды в отсутствии релаксации. Диагональная инвариантность . 140
4.1.3 Алгебраические свойства и спектр лиувиллиана свободного развития редуцированной матрицы плотности моды с учетом процессов затухания. 144
4.1.4 Супероператор развития редуцированной матрицы плотности на одном цикле действия микромазера. 146
4.2 Переходные процессы в мазере на N -атомных пакетах. 147
4.2.1 Спектр супероператора развития редуцированной матрицы плотности моды, квазизахваченные состояния и фазы переходного процесса в мазере. 150
4.2.2 Аномальные эффекты генерации мазера, обусловленные наличием квазизахваченных состояний. 158
4.2.3 Генерация сжатых состояний резонаторной моды мазера в переходном процессе. 166
Глава 5. Динамика подансамблей моды одноатомного мазера в присутствии последовательных квантовых косвенных измерений . 173
5.1 Метод периодических траекторий. 173
5.1.1 Стохастическое уравнение динамики одноатомного мазера в присутствии последовательных измерений. 182
5.1.2 Особенности стохастического развития редуцированной матрицы поля при измерении атомных состояний на выходе микромазера. 185
5.1.3 Аппроксимирование участка случайной последовательности отсчетов детекторов с помощью периодической последовательности. Периодические траектории. 192
5.1.4 Применение метода периодических траекторий к результатам компьютерного моделирования случайных последовательностей отсчетов детекторов энергетических состояний атомов. 202
5.2 Субпуассонова статистика подансамблей полевой моды одноатомного мазера. 206
5.2.1 Стохастическое рекуррентное соотношение для условной матрицы плотности для случая идеальных детекторов. 207
5.2.2 Линеаризация уравнений метода периодических траекторий и поиск условной редуцированной матрицы плотности для заданной периодической траектории. 211
5.2.3 Селектирование во времени подансамблей полевой моды для смоделированной случайной траектории с помощью метода периодических траекторий. 214
Глава 6. Динамика квантового скачка в одноатомном мазере . 224
6.1 Численное моделирование процесса квантового скачка. 227
6.2 Динамическая модель идеального квантового скачка. 235
6.3 Оценки вероятностей неидеальных квантовых скачков. 243
Глава 7. Плотность вероятности фазы в подансамблях квантовой моды одноатомного мазера . 246
7.1 Стохастическое рекуррентное соотношение для условной редуцированной матрицы плотности моды в условиях фазочувствительных измерений. 250
7.2 Численное моделирование квантовых траекторий для фазочувствительного метода измерений. 257
7.3 Анализ плотности вероятности фазы в подансамблях моды с помощью метода периодических траекторий. 261
Заключение. 269
Литература. 274
- Варианты теории возмущений, применяемые в методе квазиэнергий
- Управление эволюцией двухуровневой системы с помощью резонансного классического электромагнитного поля
- Алгебра гамильтониана ТК с взаимодействием, пропорциональным образующим алгебры su(1,1).
- Свойства супероператора развития редуцированной матрицы плотности полевой моды в отсутствии релаксации. Диагональная инвариантность
Введение к работе
В аппарате квантовой механики эволюционные (динамические) и спектральные задачи занимают особое место. Как правило, они наиболее приближены к приложениям, эксперименту. Математическая физика совершенствует квантовомеханический аппарат - функциональный анализ, теорию операторов, формулирует новые математические направления, такие, как различные методы теории возмущений, диаграммные методы, метод квантовых деформированных алгебр, квантовомеханический метод обратной задачи и множество других подходов. Математический аппарат может развиваться в отрыве от эксперимента, как правило, опережает его. Хорошо решенная квантовомеханическая задача, предсказывающая новый физический эффект, стимулирует деятельность экспериментатора. Явление, найденное экспериментально, дает название прикладному методу и является предпосылкой развитию новых технологий. Каждый прорыв в экспериментальных технологиях рождает новый класс задач динамики микросистем. Отметим некоторые моменты, характерные для оптики, молекулярной и атомной спектроскопии, подтверждающие вышесказанное и наиболее близкие к целям диссертации. В начале шестидесятых оптика и спектроскопия получили принципиально новые источники электромагнитного излучения - лазеры на рубине [370], газовые на He-Ne [371], полупроводниковые [372], обладающие большой интенсивностью, монохроматичностью, когерентностью. С появлением лазеров формируется новое направление в оптике, называемое нелинейной оптикой [88], в котором исследуются вопросы взаимовлияния и самодействия мод оптического излучения в нелинейных средах. Начинается активное изучение квантовостатистических свойств световых полей. Для анализа новых явлений Глаубером была развита квантовая теория когерентности [373], и на ее основе усовершенствована классическая теория фотодетектирования
7 Манделя [374]. Глауберовские когерентные состояния, Р и Q квазираспределения, ложатся в основу квантовой теории лазера, развитой в работах Скалли и Лэмба [375]. Техника фотоотсчетов используется для измерения корреляциоЕшых функций интенсивности слабых световых сигналов, получаемых, например, в спектроскопии рассеяния [376].
Выполнены исследования нелинейнооптических и спектроскопических явлений, аналоги которых были известны в радиочастотной области и описание которых не может быть построено на низших порядках теории возмущений по взаимодействию атомов или молекул с излучением. Отметим здесь знаменитый триплет в резонансной флуоресценции Моллоу [54] и эксперимент по его наблюдению [377]. Полуклассическая теория этого явления (называемого расщеплением спектра в динамическом эффекте Штарка), использует понятие квазиэнергетического ("одетого") базиса, введенного Зельдовичем в [19]. Множество явлений связано с динамикой заселенностей атомных уровней в монохроматическом поле лазера, их теория строится в приближении оптических уравнений Блоха. Отметим явление насыщения поглощения, лежащее в основе нового направления - нелинейной лазерной спектроскопии [46], адиабатическое инвертирование [378], когерентные нестационарные эффекты - оптическая нутация [379] и фотонное эхо [380]. Эффекты, в которых существенна наведенная в веществе когерентная по объему высокочастотная поляризация, лежат в основе методов когерентной лазерной спектроскопии.
Открыты новые оптические явления, теория которых требует самосогласованного решения уравнения Шредингера и уравнений Максвелла. Это знаменитые эксперименты по распространению световых 2к - импульсов в резонансной среде Мак-Колла и Хана [381], обнаружившие явление самоиндуцированной прозрачности. Большое влияние на исследования когерентных свойств вещества и излучения оказали работы Дике [114], Джейнса и Каммингса [115], Тависа и Каммингса [113]. Здесь для характеристики системы взаимодействующих через поле частиц введено
8 понятие "кооперативность" и предсказано новое явление - кооперативное спонтанное рассеяние (сьерхизлучение) [382], давшее название новому направлению исследований в оптике.
С появлением мощных лазеров инфракрасного диапазона новые возможности открылись для молекулярной спектроскопии. Изучен широкий класс нелинейных явлений в ИК области спектра. Это: сильное изменение в резонансном поле лазера равновесного распределения молекул по колебательно-вращательным уровням, многофотонное селективное возбуждение высоколежащих колебательных уровней, бесстолкновительная изотопически - селективная радиационная диссоциация многоатомных молекул, стимулирование ИК лазерным полем химических реакций, изменение сильным полем спектра поглощения молекул во всех областях частот, создание инверсии населенностей колебательно-вращательных уровней в результате ИК лазерной накачки. Исследования, проведенные в семидесятых годах, имеют важное прикладное значение, так как на их основе созданы эффективные методы лазерного разделения изотопов, возникли новые направления, такие, как лазерная химия. Сведения о них можно найти в обзорах [65] - [67], [383], [384]. Более тонкие эффекты связаны с высокой селективностью действия лазерного (мазерного) излучения на молекулярные степени свободы. В результате возникает такое направление, как спектроскопия внутримолекулярных взаимодействий, основанная на различных методах двойного резонанса. Эта методика позволяет изучить динамику передачи возбуждения между степенями свободы, получить характеристики высоковозбужденных состояний, исследовать закономерности протекания релаксационных процессов [47]. Методы двойных резонансов применимы и для изучения межмолекулярных взаимодействий, так как мощное лазерное излучение влияет на их потенциал. На этом обстоятельстве основан метод лазеро-индуцированных радиационных столкновений [59].
9 В конце семидесятых и в восьмидесятых годах актуальной становится задача удержания (изолирования от внешней среды) отдельной частицы или небольшой группы частиц. Для заряженных частиц эту проблему можно решить, используя соответствующую конфигурацию электрических и магнитных полей (статических и переменных) в ловушках Пеннинга или Пауля. В.С.Летохов показал [385], что нейтральные частицы можно удерживать в лазерном луче, используя эффект лазерного охлаждения трансляционных степеней свободы. Первый эксперимент был выполнен в восемьдесят шестом году [386] и дал основание новому направлению -технологии оптических ловушек для нейтральных атомов.
Существенный вклад в развитие квантовой оптики связан с созданием оптической схемы балансного гомодинного детектора [387]. Квантовая оптика, обладающая техникой счета фотонов, получила так называемую фазочувствительную схему измерений, позволяющую определять дисперсии квадратурных компонент квантованной моды излучения. Как следствие, были выполнены эксперименты по генерации сжатых состояний полевой моды [388] и это открыло направление по поиску новых эффективных механизмов создания этих малошумящих состояний, которые можно использовать в интерферометрах для прецизионных измерений. В семьдесят пятом году Демелт [389] предложил квантовооптический эксперимент принципиально нового типа. Это идея по наблюдению резонансной флуоресценции на сильном переходе Л-схемы, подверженной двойному оптическому резонансу на слабом и сильном переходах. Через десять лет, с появлением атомных ловушек, эксперимент был выполнен на одном (индивидуальном) ионе, захваченном в ловушке Пауля [390]. Эта работа дала толчок дальнейшему развитию теории непрерывных квантовых измерений Неймана - Мандельштама [270], [391], [272], [273], [281], [277], [334], а также совершенствованию новых подходов квантовомеханического компьютерного моделирования, использующих метод Монте-Карло. Это методы квантовых скачков [336], квантовых траекторий [338], квантовой диффузии [392]. Такие
10 эксперименты затрагивают основы квантовой теории. Еще одно фундаментальное следствие квантового формализма - квантовое перепутывание (entanglement) микросистем, известное со времени формулировки ЭПР - парадокса, становится особо актуальным в последнее десятилетие. Актуальность объясняется ролью перепутывания в теории квантовых информационных технологий [161], [257], [244]. Критерий перепутанности сформулирован в [393], прекрасный обзор оптических экспериментов, раскрывающих суть проблемы, а также связанных с перепутанностью понятий, таких, как неравенства Белла, нелокальность, редукция волновой функции, принцип дополнительности и другие даны в обзорах Д.Н.Клышко [256], [289]. Последнее десятилетие открыло перед квантовой оптикой широкие возможности в связи с развитием новых технологий в резонаторной квантовой электродинамике [134], [394]. Созданы микроволновые резонаторы со сверхпроводящими стенками и добротностью до 10", оптические сверхзеркала с коэффициентом отражения 0.999996, что позволило создать ловушки с несколькими атомами в резонаторе, а также уникальные приборы - одЕюатомные мазеры и лазеры, генерирующие неизвестные ранее квантовые состояния резонаторной моды. Успехи эксперимента в квантовой оптике вызвали большой интерес теоретиков к решению квантовых задач нелинейной оптики, а также к динамическим. задачам в рамках моделей Джейнса-Каммингса (ДК) [115] и Тависа-Каммингса (ТК) [113]. Из всего необозримого множества выделим работы СМ. Чумакова, М. Козеровского и А.Б. Климова с соавторами [351], [353], [182], [183], [156], [175], а также работы В.П.Карасева, развившего метод квантовых деформированных алгебр [172] и работу [185], где впервые для решения задач квантовой оптики применен метод квантовой обратной задачи рассеяния.
К окончанию девяностых квантовая оптика и атомная физика обладает достаточным арсеналом средств, чтобы в "железе" воплотить идеи. Р.Фейнмана [395], [396] по созданию принципиально новых вычислительных
11 устройств - квантовых компьютеров. Работы по квантовым информационным технологиям в настоящее время являются передовым краем квантовой науки. Приведем перечень основных требований, сформулированных в книге [40], необходимых для создания такого устройства: "1. Необходимы технологии по выделению и фиксированию в пространстве контролируемых двухуровневых частиц - кубитов, на которые можно было бы в ходе вычислений избирательно воздействовать и таким образом организовывать их совместную квантовую эволюцию, соответствующую выполняемому алгоритму. 2. Необходимо обеспечить помехоустойчивость вычислительных процессов и максимальное подавление эффектов декогерентизации квантовых состояний, обусловленных взаимодействием системы кубитов с окружающей средой. 3. Поскольку любая унитарная квантовая операция может быть выполнена с помощью определенной совокупности только однокубитовых и двухкубитовых операций, то при выборе физической системы существенно, чтобы между управляемыми кубитами имели место определенные нелинейные взаимодействия, обеспечивающие выполнение двухкубитных операций. Управляющие операциями импульсы должны контролироваться с высокой точностью. 4. Необходимо обеспечить с достаточно высокой надежностью измерение состояния квантовой системы на выходе. Проблема измерения конечного квантового состояния является одной из основных проблем в любых вариантах квантовых компьютеров". В этом кратком историческом введении перечислены основные актуальные проблемы квантовой оптики в настоящее время.
Целью диссертации является развитие метода квазиэнергий и на этой основе решение динамических задач, демонстрирующих возможности управления динамикой заселенностей состояний атомов и молекул, как при прямом воздействии, так и через взаимодействие степеней свободы в непрерывном и импульсном режимах действия электромагнитного излучения. Изучение возможностей управления внешними классическими
12 полями динамикой степеней свободы захваченных в ловушке двухуровневых атомов в рамках модели ТК. Изучение закономерностей динамики микросистем, подверженных серии последовательных косвенных квантовых измерений, в рамках описания квантового измерения с помощью, проекционного постулата Неймана и изучение возможностей компьютерного моделирования случайных результатов измерений. Применение теории последовательных измерений для описания динамики моды одноатомного мазера в процессе совершения последовательных косвенных измерений (в том числе фазочувствительных) состояний атомов, покидающих резонатор. Развитие аналитических методов решений стохастических разностных уравнений, описывающих процесс последовательных измерений. Вопросы управления внешними полями динамикой квантовых систем, а также закономерности динамики систем в присутствии квантовых измерений актуальны в настоящее время в связи с проблемами квантовых информационных технологий.
В первой главе диссертации дано введение в метод квазиэнергий. Разделы 1.1 и 1.2 обзорные. Здесь (раздел 1.1) приводятся некоторые сведения о квантовомеханической временной теории возмущений, изложенной в обзоре Лангхоффа, Эпштейна, Карплюса [12], где основное внимание уделено секулярным и обеспечивающим правильную нормировку слагаемым в рядах теории возмущений, выстраиваемых методом неопределенных коэффициентов Дирака. Такие слагаемые ухудшают сходимость рядов и укорачивают интервал времени, на котором ряды теории применимы. Учитывать такие слагаемые, как показано в обзоре, можно с помощью специального экспоненциального анзаца. Для периодического по времени возмущения (раздел 1.2) ряды теории возмущений необходимо искать с помощью метода квазиэнергий, введенного в [19] и развитого в [21] - [23]. В разделе 1.3, где изложены результаты работ [30] - [33], развита операторная теория возмущений для метода квазиэнергий. Название отражает тот факт, что в ряды теории возмущений раскладывается периодический оператор
13 развития и оператор квазиэнергии задачи, а не волновые функции. Здесь показано, что в каждом порядке теории возмущений для оператора гармоники периодического оператора возникает стандартное стационарное матричное уравнение (1.40), которое легко решается в квазиэнергетическом базисе нулевого приближения. Результаты раздела 1.3 использованы в главах 2 и 3. В разделе 1.4 представлены оригинальные результаты по адиабатической теории возмущений, полученные в работах [32], [34], [35]. Здесь следует обратить внимание на формулу (1.50), показывающую, что адиабатическая теория возмущений в методе квазиэнергий строится аналогично обычной адиабатической теории. Но добавляется оператор неадиабатичности (учитывающий изменение периодического оператора из-за медленной зависимости от времени параметров), а также роль медленно зависящего от времени гамильтониана теперь играет медленно зависящий от времени оператор квазиэнергии.
Во второй главе в разделе 2.1 представлен обзор работ, которые демонстрируют возможности резонансного лазерного излучения но контролю и управлению динамикой атомных и молекулярных степеней свободы. Особое внимание уделено приложению метода квазиэнергий к расчетам эффектов в спектроскопии двойного резонанса, к описанию резонансной флюоресценции, к нелинейной лазерной спектроскопии. Рассмотрены модели возбуждения колебательных и вращательных степеней свободы молекул, влияния резонансного поля на динамические и статические поляризуемости атомов и молекул. В разделе 2.2 операторная теория возмущений для етода квазиэнергий применяется для изучения динамики невырожденной (в отсутствии излучения) двухуровневой системы -квантового бита. Основной материал этого раздела взят из работы [100]. Дана классификация квазиуровней двухуровневой системы с помощью операций ее симметрии. Наличие точек пересечения и антипересечения квазиуровней объясняется их симметрией. Обсуждаются правила выбора нулевого оператора квазиэнергии в условиях, когда в системе возможен внутренний
14 резонанс, то есть в случае, когда нерезонансные с внешним полем квазиуровни с изменением напряженности внешнего поля вновь могут войти в резонанс. С помощью адиабатической теории возмущений получены приближенные решения задачи на квазиэнергии, работающие при больших напряженностях периодического возмущения. Основной вывод раздела 2.2 состоит в том, что кубитом можно эффективно управлять, применяя очень сильное поле, что повышает его помехоустойчивость к шумам, идущим от внешней среды. В разделе 2.3 изучен еще один способ управления кубитом -с помощью воздействия на него двумя модами близких к резонансу мощных классических полей [106]. Такой способ действия вводит еще один контролируемый параметр - разность частот действующих мод, который, как показано в разделе 2.3, а также в главе 3, можно эффективно использовать для целей управления. Конкретно, в разделе 2.3 с помощью операторной теории возмущений рассчитана важная для спектроскопии насыщения характеристика - коэффициент поглощения газа на частоте одной моды, показывающая, что за счет нелинейного интерференционного эффекта в однородно уширенном контуре поглощения можно получить острую структуру. Расчет демонстрирует согласие с экспериментом. В разделе 2.4,. где использованы материалы работ [34], [109], изучена возможность эффективного воздействия импульсным резонансным полем на колебательные степени свободы молекул. Конкретно развита модель возбуждения слабоангармоничной вырожденной деформационной моды линейных трехатомных молекул импульсом с плавным фронтом. В разделе 2.5 метод квазиэнергий применен для расчета отклика квантовой системы на пробное поле в присутствии мощной резонансной волны [35], [94], [87], [95]. Здесь изучено спектроскопическое проявление эффекта ориентации оси молекулы, которая возникает при действии на колебательный переход молекулы резонансным монохроматическим классическим излучением.
В главе 3 в разделе 3.1 дан обзор работ из различных разделов квантовой физики, где гамильтонианы ТК (ДК) и их обобщения, связанные с
15 включением нелинейности и внешних классических полей, широко используются, и, как следствие, их анализ представляет весьма актуальную в настоящее время задачу. В разделе 3.2 дан обзор работ и представлены результаты работ [168] - [170], где развит и применен метод квантовых деформированных алгебр для выяснения алгебраической структуры, элементом которой является гамильтониан ТК. Было найдено, что дэешый оператор принадлежит полиномиально деформированной su(2) алгебре (обозначение supd(2)) третьего порядка и на этой основе дана классификация неприводимых представлений этой алгебры, определены квантовые числа состояний гамильтониана, разработаны и применены приближенные методы решения спектральной и эволюционных задач. Такие же исследования проделаны в разделе 3.3 для нелинейного обобщения гамильтониана ТК, в котором оператор взаимодействия пропорционален образующим su(l,l) алгебры. В этом случае анализ неприводимых представлений выполняется с помощью supd(2) алгебры четвертого порядка. Данный гамильтониан исследован в работе [186] с помощью методов квантовой обратной задачи рассеяния. В разделе 3.4, где использованы материалы работ [30] - [33], с помощью операторной теории возмущений найден оператор квазиэнергии и периодический оператор для гамильтониана ТК, в который для его обобщения включено квазимонохроматическое резонансное классическое поле. Более подробно изучен случай бигармонического классического поля. Такая задача имеет ряд приложений. С помощью этой модели можно изучить закономерности параметрического взаимодействия мод через общий атом, такая интерпретация подробно обсуждается. В частности, найдены зоны параметрического резонанса на плоскости параметров взаимодействия классических мод и квантовой моды с атомом. Если полагать, что квантовая мода моделирует колебательную степень свободы центра тяжести атома, захваченного в ловушку, то, как следует из полученных результатов, движением атома можно эффективно управлять, изменяя параметры двух приложенных классических мод. В частности, возможна дополнительная локализация атома в ловушке. Возможность локализации исследована в режиме медленного включения бигармонического поля. В этой связи результаты раздела 3.4 следует рассматривать, как теорию ловушки нового типа. В остальных главах (4, 5, 6, 7) изучаются различные аспекты динамики мазера на ридберговских атомах. Теория этого замечательного прибора вобрала в себя элементы теорий почти всех современных квантовооптических направлений, кратко отмеченных выше.
В главе 4 обсуждается теория и результаты моделирования динамики мазера на пакетах из N ридберговских атомов. В этой главе изучаются свойства редуцированной матрицы плотности (ее главной диагонали) полного ансамбля, без дополнительной его детализации с помощью квантовых измерений. Особое внимание здесь уделяется динамике установления распределения статистики чисел фотонов - переходному процессу. Цель раздела 4.1, написанного по результатам работы [217], состоит в получении выражения для супероператора развития редуцированной матрицы плотности квантованной моды для одного цикла действия мазера на атомных пакетах и изучение свойств его симметрии. В подразделе 4.1.1 дано описание v - фотонного обобщения гамильтониана ТК, введены обозначения квантовых чисел - кооперативного числа, числа возбуждений, v - четности, числа, различающего эквивалентные по группе перестановок представления. Показана связь собственных векторов гамильтониана ТК с симметризованным базисом Дике. В подразделе 4.1.2 использовано супероператорное представление и в нем исследован супероператор развития уравнения Лиувилля для атомно-полевой матрицы плотности без учета релаксации. На основе материала подраздела 4.1.1 построены супероператоры сохраняющихся величин, коммутирующие с супероператором развития. Введена редуцированная матрица плотности моды, дано определение супероператора развития полевой редуцированной матрицы и найдено условие на начальную атомную матрицу плотности, когда редуцированный супероператор развития коммутирует с
17 супероператором nf~, собственные числа которого равны номеру диагонали полевой матрицы в базисе Фока. Это свойство сохранения названо диагональной инвариантностью гамильтониана и активно использовано в численных расчетах. Формулы, по которым производились расчеты, приведены в конце подраздела 4.1.2. В подразделе 4.1.3 изучены алгебраические свойства лиувиллиана свободного развития резонаторной моды с учетом релаксационных процессов на стенках резонатора, решена спектральная задача для лиувиллиана и построен его супероператор развития. В подразделе 4.1.4 обсуждается супероператор развития редуцированной матрицы на одном цикле действия мазера на атомных пакетах. В разделе 4.2, на основе результатов работ [217], [238], [239] исследован переходный процесс в мазере на атомных пакетах. Здесь введено понятие квазизахваченного состояния и представлены результаты численного моделирования различных эффектов, в которых эти состояния проявляются в переходном процессе. Одним из таких эффектов есть явление сжатия квадратур мазерной моды. В подразделе 4.2.1 выделены быстрая и медленная фазы переходного процесса развития генерации в мазере на атомных пакетах. Наличие этих фаз объясняется свойствами спектра супероператора развития редуцированной матрицы плотности моды. Быстрая фаза связана с собственными векторами супероператора, собственные числа которых близки к нулю. Медленная фаза контролируется квазизахваченными состояниями, которые имеют смысл собственных векторов, собственные числа которых близки к единице. Исследована устойчивость квазистационарных состояний в зависимости от увеличения скорости релаксации моды и от величины разброса числа атомов в пакете. В подразделе 4.2.2 осуждаются различные проявления квазизахваченных состояний в динамике набора (потери) энергии полевой модой в переходном процессе при накачке резонатора возбужденными (невозбужденными) ридберговскими атомами. В подразделе 4.2.3 изучен процесс генерации мазером сжатых состояний в переходном процессе из начального
18 когерентного (чистого) состояния поля. Сжатие появляется на быстрой фазе переходного процесса и объясняется разными скоростями релаксации главной и боковых диагоналей редуцированной матрицы. Степень сжатия зависит от числа атомов в пакете. Как показал расчет, при достаточном числе атомов в пакете, возможно быстрое формирование сжатого состояния поля, даже при существенных константах затухания в реальных условиях эксперимента.
В главе 5, написанной по материалам работ [326] - [328], впервые вводится и развивается альтернативный метод (метод периодических траекторий) определения статистических характеристик поля микромазера по результатам статистической обработки отсчетов детектора атомных состояний. Здесь же приводится обзор работ по существующим методам. В подразделе 5.1.1 определяется оператор развития главной диагонали условной редуцированной матрицы моды. Оператор зависит от двух случайных переменных: интервала времени между соседними атомами накачки, и трихотомической случайной переменной, фиксирующей результаты измерения состояния вылетающего из резонатора атома. Приводится разностное стохастическое уравнение (5.13), описывающее развитие условной матрицы во времени в процессе совершения над индивидуальной мазерной модой последовательных косвенных квантовых измерений. В подразделе 5.1.2 обсуждаются результаты моделирования, выполненного с помощью метода Монте-Карло, случайной последовательности отсчетов селективных детекторов. Выбран набор рабочих параметров одноатомного мазера, соответствующий одному главному минимуму потенциала Филиповича (4.44). Основной вывод подраздела 5.1.2 состоит в том, что два способа моделирования - с использованием случайного времени ожидания и с введением усреднения по пуассоновскому распределению времени ожидания - дают близкие по статистике последовательности относительных частот обнаружения состояний вылетающих атомов. Поэтому имеет смысл при моделировании
19 случайных траекторий использовать усредненный оператор развития на. этапе релаксации моды (при пустом, без атома, резонаторе). В подразделе 5.1.3 сформулирован метод периодических траекторий. Идея метода состоит в том, что на отрезке времени, когда установилась средняя относительная частота отсчетов (мазер пребывает в одном из конкурирующих минимумов потенциала (4.44)), отрезок случайной траектории может быть заменен отрезком периодической траектории и стохастическое разностное уравнение заменяется на динамическое (5.26). Как показано в подразделе, для поиска условной редуцированной матрицы рй подансамбля, определяемого установившейся относительной частотой отсчетов, достаточно найти собственный вектор оператора развития на период траектории для максимального собственного числа. Это собственное число имеет смысл условной вероятности отрезка траектории, длиной в период. Поиск (приближенных) собственных векторов предлагается выполнить с помощью метода линеаризации, выполнив с - числовой сдвиг операторов рождения и уничтожения и выделив из оператора периода линейную и квадратичную по операторам рождения (уничтожения) форму. Как здесь показано, условие обращения в ноль линейной формы дает значения параметров сдвига, с помощью которых можно найти местоположение максимума распределения чисел фотонов pst - центр зоны захвата (5.45). В подразделе 5.1.4 предсказательная способность метода периодических траекторий проверена численно с помощью сравнения выводов с результатами компьютерного моделирования. В разделе 5.2 продолжается изучение особенностей динамики условной редуцированной матрицы плотности поля микромазера в присутствии последовательных косвенных квантовых измерений в предположении о стопроцентной эффективности селективного атомного детектора. Используются материалы работы [328]. В подразделе 5.2.1 получено стохастическое разностное уравнение (5.60) для условной редуцированной матрицы плотности моды (для главной диагонали), содержащее дихотомическую случайную переменную, отмечающую
20 результаты измерений селективным детектором, обладающим сто процентной эффективностью. Определен оператор периода и получено динамическое разностное уравнение метода периодических траекторий (5.63). В подразделе 5.2.2 с помощью метода линеаризации получена квадратичная форма (5.72) по операторам рождения (уничтожения) для оператора периода траектории. Квадратичная форма диагонализована и в результате получено аналитическое выражение для pst, найдены формулы для Q-параметра Манделя и среднего числа фотонов моды, пребывающей в состоянии ps(. В подразделе 5.2.3 произведено сравнение аналитических формул с численным расчетом и констатируется удовлетворительное согласие результатов. Для использованного набора рабочих параметров расчет с матрицей плотности полного ансамбля дает суперпуассонову статистику моды (рис. 33). Важный вывод подраздела состоит в том, что косвенные квантовые измерения позволяют обнаружить, в каком из подансамблей пребывает мода на данном интервале времени. Каждый подансамбль связан с определенным минимумом потенциала Филиповича (4.44), и как показывает анализ, статистика моды в каждом подансамбле субпуассонова. Суперпуассоновость моды возможна только в моменты квантовых скачков, либо в моменты редких флуктуации (не полные квантовые скачки). Во все остальные моменты мода субпуассонова с Q -параметром Манделя, примерно равным -0.92 - -0.93. Эти особенности динамики моды необходимо учитывать при расчете различных средних характеристик.
В главе 6 обращается внимание на моменты времени, четко видные на экспериментальном графике рис. 24, когда квазистационарные состояния одноатомного мазера сменяются в процессе квантового скачка, длительность которого в эксперименте неопределима. Развитый в главе 5 метод численного моделирования позволяет генерировать последовательности отсчетов (это продемонстрировано на рис. 25, 26, 29, 30, 31), обладающие качественно похожими свойствами. Это обстоятельство позволяет надеяться на то, что с
21 помощью данного метода возможно правильное генерирование квантового скачка, и, как следствие, изучение его динамических свойств. По этой методике свойства квантового скачка впервые изучены в работе [340]. В разделе 6.1 приводятся смоделированные графики (рис. 34 - 37) изменения среднего числа фотонов в подансамблях, обнаруженных в процессе последовательных измерений, и скорости этого изменения (в расчете на один пролетевший атом) на отрезках траектории квантовых скачков "вверх" и "вниз". Это редкие события и происходят они вследствие другого редкого события - критической флуктуации. В течение такой флуктуации обнаруживаются серии атомов в одном состоянии, как правило, прерываемые редкими вылетами атомов в противоположном состоянии. Отмечен эффект "сверхнакачки", когда в процессе квантового скачка "вверх" возможно увеличение среднего числа фотонов в подансамбле более чем на две единицы на один пролетевший атом (рис. 37), что можно объяснить эффективным перераспределением фотонов атомами между подансамблями в течение квантового скачка. Введено понятие идеального квантового скачка, когда подряд, без прерываний, происходит обнаружение атомов в одном состоянии. В разделе 6.2 развита динамическая модель идеального квантового скачка и получены приближенные формулы, описывающие динамику идеальной модели. Совпадение графиков (рис. 38 - 41), построенных с помощью динамической модели скачка (формулы (6.5), (6.6)) и с помощью приближенных формул (6.14) - (6.17) достаточно хорошее. В разделе 6.3 дана оценка вероятности квантового скачка с учетом некоторого числа прерываний (неидеальность). Расчет выполнен по методу Бернулли, учет неидеальности повышает вероятность скачка на несколько порядков. Согласие с численной оценкой удовлетворительное, но в формулах для вероятности скачка присутствуют параметры (собственные числа, интегралы перекрывания), для которых использованы оценки, полученные численным расчетом. Это снижает качество полученных аналитических формул (6.19),
22 (6.20), но для аналитической оценки использованных параметров необходимо решение спектральной задачи для операторов S(0) и S(l) (6.2).
В главе 7 на основе материала работы [369], метод периодических траекторий обобщен и применен для анализа состояний фазы моды одноатомного мазера. Фазочувствительными квантовые измерения, выполненные с помощью детектора (ионизатора) над вылетающими из резонатора атомами, становятся тогда, когда измеряемый атомный базис будет представлять собой квантовую суперпозицию атомных энергетических состояний. Для этой цели перед детектированием на вылетающие атомы действует классическое поле, поворачивающее атомный базис на требуемый угол (здесь это л/4). Значимая информация, извлекаемая из серии последовательных косвенных квантовых фазочувствительных измерений над вылетающими из резонатора атомами - последовательность относительных частот обнаружения линейных комбинаций атомных векторов, позволяет детализировать картину развития мазерной моды в стационарном состоянии. В подразделе 7.1 использована положительная операторозначная мера Сасскинда-Глоговера для получения формулы для плотности вероятности фазы (7.7). Для генерации последовательности условЕїьіх редуцированных матриц плотности моды в процессе фазочувствительных измерений найдено стохастическое разностное уравнение (7.24), (7.25). Как показано в разделе 5.2, статистика числа фотонов в подансамблях одноатомного мазера субпуассонова (при выбранных параметрах, надпороговый режим). График главной диагонали (рис. 32) имеет вид узкого пика, центрированного в пространстве Фока вблизи среднего значения числа фотонов. Это свойство использовано для получения приближенного разностного стохастического уравнения (7.26), (7.27). В разделе 7.2 на рис. 42, 43 представлены сгенерированные с помощью метода Монте-Карло последовательности относительных частот обнаружения атомов в одном из состояний измеряемого базиса. Характерная особенность этих случайных реализаций
23 состоит в том, что существуют отрезки времени (длительностью в несколько секунд работы мазера), когда средняя относительная частота успевает установиться. Значение этой установившейся частоты, согласно методу периодических траекторий, можно использовать для определения средней (квазистационарной) условной редуцированной матрицы плотности моды. В разделе 7.3 приближенно решена спектральная задача для оператора периода траектории для разностного соотношения (7.26), (7.27), как того требует метод периодических траекторий, и приводится условная матрица плотности для подансамбля (формулы (7.33), (7.48)). С помощью найденных выражений построены графики плотности вероятности фазы (рис. 44, 45), где, для сравнения, приводятся графики плотностей, полученные численно. Отмечено хорошее согласие. Во введении сделан краткий обзор направлений работ в современной квантовой оптике и даны ссылки, в основном, на экспериментальные работы, в которых впервые наблюдался тот или иной эффект, а также на обзоры. Более подробно обзор существующей литературы приводится в начале каждой главы диссертации.
Варианты теории возмущений, применяемые в методе квазиэнергий
Наиболее последовательное описание взаимодействия электромагнитного излучения и вещества требует привлечения методов квантовой электродинамики, согласно которой свет и вещество рассматриваются как единая релятивистская квантовая система [1], [2]. Метод теории возмущений и диаграмм Фейнмана позволяет непротиворечиво (если решены известные проблемы расходимостей поправок и рядов) определить наблюдаемые фундаментальные характеристики вещества - заряды и массы частиц, а также рассчитать вероятности всех элементарных актов с участием фотонов и электронов (атомов) вещества. Многие явления, рассматриваемые в таких разделах физики, как оптика (линейная и нелинейная), квантовая оптика, атомная и молекулярная спектроскопия (стационарная, нестационарная,, поглощения, рассеяния, насыщения) - традиционная и лазерная (нелинейная, когерентная), адекватно описываются в так называемом полуклассическом приближении. Здесь применяются квантовомеханические уравнения эволюции вещества (с использованием экспериментально определенных элементарных характеристик атомов и молекул - феноменологический метод), а электромагнитное излучение описывается классически [3] - [10] . В этом подходе отбрасываются эффекты, связанные с квантовой корреляцией между полем и атомом, не рассматриваются следствия, вызванные квантовой статистикой излучения. В силу этого упрощается аппарат, так как электромагнитное поле входит в уравнения развития как заданная с -числовая функция координат и времени, а обратное действие вещества на поле можно учесть (в среднем) методом полуклассических уравнений Блоха - Максвелла [3] - [5]. Для электрона во внешнем заданном электромагнитном поле и в потенциальном поле с потенциалом V(r) нерелятивистское уравнение Шредингера в полуклассическом приближении имеет вид
Пренебрегая всеми высшими мультиполями во взаимодействии (магнитным дипольным, электрическим квадрупольным и так далее [3] - [6]), оставляя электрическое дипольное взаимодействие в силу малости размеров частиц вещества по сравнению с длиной волны излучения, получаем уравнение Шредингера для частицы в заданном поле в диполыюм приближении Здесь Н„ - гамильтониан частицы, расположенной в точке r0, Hinl(t) гамильтониан взаимодействия с заданным переменным электрическим полем (r0,t), d - дипольный момент частицы. В дальнейшем обозначение координаты г0 в амплитуде (r0,t) = E(i) может отсутствовать, если в нем нет необходимости. Как отмечено в [4], гамильтониан в такой калибровке наиболее естественен для исследования динамики квантовых переходов в электромагнитном поле.
Основной метод решения уравнения (1.2) - теория возмущений, зависящих от времени. Обстоятельное изложение временной теории дано в работе [12]. С ее помощью можно получить приближенные выражения для зависящей от времени волновой функции (или матрицы плотности) квантовой системы,, изучить динамику переходного процесса, вызванного внешним полем, и найти установившееся (равновесное) решение асимптотически по времени. Для целей атомной и молекулярной спектроскопии фундаментальными являются периодические по времени возмущения, моделирующие процесс взаимодействия квантовой системы с резонансной или не резонансной модой когерентного излучения лазера. Известные трудности метода связаны с появлением в рядах временной теории, построенных, например, методом вариации произвольных постоянных Дирака, секулярных слагаемых, неограниченно растущих во времени (для некоторых видов зависимости взаимодействия от времени). Существует проблема так называемой секулярной расходимости рядов адиабатической теории возмущений, где стационарное возмущение включается адиабатически медленно с помощью включающей экспоненты exp(oct), а в окончательных выражениях необходимо взять предел а —»0 [13]. Появление таких слагаемых связано с разложением в ряд общей фазы волновой функции, в которой содержатся сдвиги и расщепления уровней квантовой системы при действии стационарного возмущения. Но смещения уровней возможны и при действии на квантовую систему нестационарного (в частности, периодического) возмущения. Это экспериментально наблюдаемый световой сдвиг или динамический эффект Штарка [14]. Секулярные слагаемые уменьшают интервал времени, где метод временной теории возмущений применим. В работе [12] проанализированы причины появления таких слагаемых. Здесь показано, что выделение в рядах временной теории возмущений секулярных слагаемых совместно со слагаемыми, обеспечивающими правильную нормировку волновой функции, возможно с помощью специального анзаца, то есть записи шредингеровской волновой функции (1.2) в виде произведения
Управление эволюцией двухуровневой системы с помощью резонансного классического электромагнитного поля
Наряду с компонентами, изменяющимися во времени на частотах приложенных полей сок, возникают составляющие на комбинированных частотах pbc (t) [3], [88]. Между некоторыми вновь возникшими волнами в среде, параметры которых удовлетворяют определенным фазовым соотношениям, может иметь место сильная параметрическая связь [89]. Тензор восприимчивости Xba(w) в (2-2) учитывает процессы рассеяния релеевского типа, без изменения частотного состава излучения. Вещественная и мнимая части ХьаС00) определяют показатель преломления и коэффициент поглощения для волны частоты со. В общем случае Хь a (0) зависит от напряженностей всех полей, действующих на среду. Зависимость ХЬа(со) от напряженности поля на частоте со определяет нелинейные эффекты самодействия поля (самофокусировка, просветление и другие). Зависимость Хьа!03) от напряженности других полей определяет некогерентное (не зависящее от разности фаз) влияние этих полей на оптические свойства среды для волны на частоте со [3], [43], [58], [88], [89]. Сильная монохроматическая волна модифицирует линейный по пробному полю отклик квантовой системы. Такая постановка характерна для метода двойного резонанса, широко применимого в нелинейной спектроскопии [43], [47]. Выделяют две основные причины возникновения нелинейной зависимости ХьаО ) от напряженности сильного поля. Первая связана с возникновением нелинейности из-за воздействия мощного поля на внешние параметры системы (изменение функции распределения по ориентациям, электрострикция, нагрев среды и др.). Например, широко используются лембовские провалы в доплеровском контуре поглощения - результат действия сильного поля на функцию распределения по скоростям частиц среды [46]. Вторая причина - действие сильного поля на внутренние степени свободы (электронные, колебательные, вращательные), что приводит к перестройке спектра и состояний квантовой системы [3], [43], [90]. Тензор восприимчивости зависит от типа поляризации сильного поля. Изотропный (после усреднения по ориентациям) тензор Хь,а(ю) в сильном электромагнитном поле в общем случае становится анизотропным, гиротропным, дихроичным. Светоиндуцированная анизотропия рассмотрена в работах [3], [43], [91], [92]. Так, в линейно поляризованном поле тензор Хь а (ш) становится одноосным дихроичным с осью, направленной вдоль вектора поляризации сильной волны. Показатель преломления для пробного поля, поляризованного _1_ и оси тензора различен. Молекулярный газ в сильном линейно поляризованном поле становится двулучепреломляющим (оптический эффект Керра). В сильном циркулярно поляризованном поле тензор Хьа(ш) становится гиротропным с вектором гиротропии, направленным вдоль волнового вектора волны. Плоскость поляризации пробного поля поворачивается на некоторый угол (явление светоиндуцированной оптической активности). Тензор восприимчивости для пробного поля в присутствии мощной резонансной волны приобретает новые свойства, не описываемые теорией возмущений по полю. Обозначим Км (F,F коэффициент поглощения для двухкомпонентного поля на частоте со,. Здесь одна компонента поля имеет частоту Раби F и собственную частоту со, равную частоте перехода со0 (резонанс). Вторая компонента имеет частоту Раби F її собственную частоту со,. Общая формула, связывающая коэффициент поглощения К(0 (F,F с тензором %Ьа(со) имеет вид [3] Здесь N - число частиц в единице объема, с- скорость света. Обозначим К(„ (F,0) - коэффициент поглощения для пробного поля на частоте со, в Здесь К- коэффициент поглощения пробного поля в центре линии в отсутствии мощной возмущающей компоненты, у - константа релаксации (в приближении сильных столкновений [93]), 8 =((0 -00,)/2, со =со0. Из этого выражения следует, что однородно уширенный контур линии поглощения в присутствии сильного резонансного поля, действующего на том же переходе, что и пробное поле, существенно деформируется. В достаточно интенсивном поле появляются области частот, где пробное поле может усиливаться. Тензор восприимчивости молекулярного газа в присутствии мощной ИК волны во всех областях спектра изучался в [94], [95]. Концепция квазиэнергии хорошо объясняет картину расщепления, как спектра резонансной флуоресценции (2.1), так и контура линии поглощения (2.4). Резонансное поле, действующее на молекулярную систему, изменяет не только динамическую, но и статическую электрическую и магнитную восприимчивости. Этот эффект, как отмечено в [96], может быть использован для оптического детектирования высокочастотного лазерного сигнала в. молекулярном газе, что представляет интерес для целей спектроскопии высокого и сверхвысокого разрешения. С эффектом изменения статической поляризуемости в резонансном поле связано интересное явление -индуцируемый лазерным полем сегнетоэлектрический фазовый переход в газовой молекулярной среде [97], [112] . Явление заключается в спонтанном возникновении постоянной поляризации среды, облучаемой резонансным светом.
Можно отметить явления, возЕїикающие в твердом теле при действии на него резонансной волны, например, образование поляритонов [3], [4], а также возбуждение экситонов и поляронов [3], [4], [98]. Отметим также широкие возможности лазерного излучения при исследовании состояния атмосферы [10], [99]. Невозможно дать ссылки на все множество работ, посвященных эффектам, возникающим в среде при действии на нее мощного резонансного излучения. Основной вывод состоит в том, что классическое электромагнитное резонансное поле можно рассматривать как высокоэффективный инструмент, позволяющий управлять процессами, происходящими внутри квантовой системы и процессами взаимодействия систем, подбирая должным образом параметры и конфигурацию поля.
Алгебра гамильтониана ТК с взаимодействием, пропорциональным образующим алгебры su(1,1).
Это же неравенство одновременно является условием, при выполнении которого существенны неадиабатические переходы между квазитермами (2.22), то есть при выполнении (2.31) система следует по диабатическому базису. Но диабатический базис - это базис матрицы тх, и именно в этом базисе построена теория возмущений для формул (2.21). Формула (2.30) позволяет продвинуться в область, когда параметры F{, F значительно отличаются друг от друга, а также в область больших отстроек. В частном случае равных амплитуд двух мод обе формулы дают практически одинаковые графики квазиэнергий. На рис. 2 показаны графики квазиэнергий Fa n = Qu - п/гсо, полученные по формулам адиабатической теории возмущений (2.30). В области частот, для которых выполнен рис. 2 обе теории дают близкие результаты. На рис.2 пунктиром отмечены границы зон.
Задача о взаимодействии двухуровневой системы с двумя классическими монохроматическими полями ставилась и изучалась в ряде работ [103] -[105]. Как было показано, задача с двумя полями формально аналогична (при справедливости резонансного приближения для каждого из полей) задаче с периодическими коэффициентами. Этой аналогией можно воспользоваться, в частности, для экспериментального изучения двухуровневой системы в условиях неприменимости резонансного приближения. Последнее особенно интересно в оптической области спектра, так как здесь резонансное приближение нарушается в полях, близких по напряженности к внутриатомным [22].
Значительный интерес представляет полученный экспериментально и рассмотренный теоретически в [105] эффект возникновения структуры в спектре поглощения на частоте одного из полей, когда оба поля становятся достаточно интенсивными и способными насыщать однородно уширенный переход. Этот эффект обобщает известный нелинейный интерференционный эффект [43] на случай произвольной амплитуды сканируемого поля. Структура представляет собой последовательность пиков в спектре поглощения (усиления), интенсивность и полуширина которых зависят от номера пика. Начиная с некоторого номера, полуширина пика может оказаться значительно меньше однородной полуширины линии. В [105] указано на возможность использования этого эффекта в целях стабилизации частоты. Развитая в [105] теория решения кинетического уравнения для матрицы плотности двухуровневой системы в двух полях основана на адиабатической теории возмущений. В случае значительно отличающихся по амплитуде полей эта теория дает хорошее согласие с экспериментом. Однако, как отмечено в [105] и показано в работе [106], в случае равных (близких) по амплитуде полей существует широкая область изменения частоты сканируемого поля, в которой адиабатическая теория неприменима, и необходимо учитывать возможные неадиабатические переходы. Тем не менее, этот случай интересен с физической точки зрения, так как именно в этой ситуации, как показано экспериментально [105], структура в поглощении наиболее выражена. Таким образом, случай равных (близких) по амплитуде полей требует специального рассмотрения вне рамок метода работы [105]. Это проделано в работе [106].
Используем одновременное приближение Карплюса-Швингера [93] для записи оператора релаксации. Тогда уравнение для матрицы плотности p(t) двухуровневой системы, взаимодействующей с двумя вращающимися (в одном направлении) полями, напряженности и частоты которых обозначены соответственно Е, ,, со, со,, имеет вид Здесь р0 =(l+rdz)/2 - равновесная матрица плотности (-1 г) 1), й/у -время релаксации матрицы к равновесному значению р0. Гамильтониан H(t) имеет вид В формулах (2.32) - (2.34) F = d E/h, Fx-d-Ejh - частоты Раби полей, d - матричный элемент дипольного момента перехода, d_ =(dx-idy)/2. Согласно экспериментальной постановке частота одного из полей выбрана равной частоте перехода со = со0 [105]. Обозначим pst(t) - установившееся решение уравнения (2.32), то есть частное решение, к которому стремится общее решение на временах, гораздо больших времени включения поля и времени релаксации Экспериментально измеряемой величиной является мощность, диссипируемая одной частицей из поля частоты ш1, связанная с pst (t) (2.35) следующим образом [3] Фигурные скобки в (2.37) означают усреднение по большому интервалу времени (время наблюдения). Коэффициент поглощения на частоте cOj связан с этой величиной соотношением (сравнить с (2.3)) По аналогии с (2.37), (2.38) можно определить величины (F,/ ) и Ww. Перепишем оператор взаимодействия с двумя полями в (2.33) в виде Здесь введены комплексная (в общем случае) амплитуда несущая сос = (со + со,)/2 и разностная (отстройка) є=(со -00,)/2 частоты. Если s«:coc - (околорезонансные поля), то амплитуда Т (t) будет медленной функцией времени. Медленность J7 (t) позволяет ввести оператор квазиэнергии задачи, собственные значения которого будут медленными функциями времени. Адиабатическая теория возмущений для случая медленной зависимости от времени квазиэнергий [37] аналогична обычной адиабатической теории возмущений для случая медленной зависимости от времени энергетического уровня [38]. Зафиксируем медленное время в (2.39) и построим медленно зависящий от времени оператор HR (t) для гамильтониана (2.33) в резонансном приближении (1.24), выполнив унитарное преобразование при помощи оператора (переход во вращающуюся на несущей частоте систему координат).
Свойства супероператора развития редуцированной матрицы плотности полевой моды в отсутствии релаксации. Диагональная инвариантность
Гамильтониан Тависа-Каммингса (ТК) (3.1) рассмотрен в работе [ПЗ] и является одномодовым квантовым обобщением известного полуклассического гамильтониана Дике [114] и многоатомным обобщением гамильтониана Джейнса-Каммингса (ДК) [П5]. Работа Дике [П4] играет важную роль в объяснении эффекта коллективного спонтанного излучения (сверхизлучения) [116], [117]. Вывод и обоснование оператора ДК, а также возникающие при этом трудности, рассматривались в работах [9], [118] -[121]. В работе [115] гамильтониан ДК диагонализован аналитически, многочисленные обобщения (в том числе многофотонные) рассмотрены в работах [122], [123]. Гамильтониан ТК (ДК) находит применение в разных областях квантовой физики. Так в квантовой оптике он служит для описания резонансного взаимодействия квантованной моды электромагнитного излучения и пакета двухуровневых атомов, удаленных друг от друга на расстояние, гораздо меньшее, чем длина волны излучения. Как можно показать, ему эквивалентен трехлинейный бозонный гамильтониан нелинейной оптики, описывающий взаимодействие трех квантованных мод излучения (рамановское и бриллюэновское рассеяние, параметрическое усиление и преобразование частоты и т.д.) [124]. Гольштсйн и Примаков показали, что эта модель может быть использована для описания спинового взаимодействия в ферромагнетике [125]. Теория бозе-эйнштейновской конденсации может быть сформулирована с помощью таких гамильтонианов [126], [127]. В ядерной физике оболочечная модель ядра формулируется в терминах операторов ТК (ДК) [128]. За последние полтора десятка лет, благодаря развитию и применению новых технологий (нанотехнологии, сверхдобротные резонаторы, качественные оптические волокна, коллимированные атомные пучки, магнитооптические ловушки, мощная вычислительная техника) оптический эксперимент вышел на качественно новый уровень [129] - [133]. Появилась возможность экспериментировать с отдельным атомом, захваченным в ловушку, изучать квантовые свойства отдельной моды резонатора, генерировать и использовать в эксперименте сверхкороткие световые импульсы. Не в малой степени эти успехи связаны с развитием такого фундаментального направления, как резонаторная квантовая электродинамика (cavity QED) [134]. Здесь экспериментально доказана возможность модификации константы спонтанного распада атомного уровня вблизи высокодобротного зеркала. Развиты технологии создания одномодовых высокодобротных резонаторов (с размерами порядка длины волны), работающих в микроволновой и видимой областях спектра. На основе таких экспериментально реализованных резонаторов построены фундаментальные квантовые приборы - микромазеры и микролазеры, генерирующие моды излучения с необычными квантовыми свойствами и работающие на калиброванных, разреженных, охлажденных, специально приготовленных внешним возбуждением атомных пучках [4]. Теория этих приборов основана на гамильтониане ТК (ДК). Ряд квантовых эффектов, предсказанных в приближении модели ТК (ДК), обнаружен экспериментально. Это коллапсы и восстановления (collapses и revivals) атомной инверсии [4], сжатые (squeezed) состояния света [135], шредингеровские cat состояния [136], захваченные (trapping) состояния микромазера [137], фоковские состояния квантовой моды [138] и прочие, подробный обзор можно найти, например, в книге [4]. Об этих уникальных устройствах пойдет речь в последующих главах диссертации. Успехи эксперимента, связанные с развитием технологий атомных и ионных ловушек, следует отметить особо [48], [139] - [145]. В последние годы новое, применение модели ТК обусловлено развитием техники лазерного охлаждения атомных пучков и созданием ионных и атомных магнитооптических ловушек. Так, в работе [142] показано, что в присутствии классической бегущей или стоячей волны возникает эффективное взаимодействие координаты центра масс иона, захваченного параболическим потенциалом ловушки, с его внутренними степенями свободы. Такое взаимодействие при определенных условиях (предел Лемба-Дикс) описывается в приближении гамильтониана ТК или ДК. Здесь роль бозонной переменной играет координата центра масс и поэтому квантовые эффекты, известные ранее для полевой моды, в этой связи приобретают новый смысл. Так, были предсказаны и обнаружены в экспериментах с ловушками такие неклассические состояния движения центра масс иона, как фоковские, шредингеровские cat [146], четные и нечетные когерентные и другие, ссылки можно найти в работах [144], [145], [139], [140]. Как следует из вышесказанного, в настоящее время не теряют своей актуальности методы, изучающие особенности взаимодействия электромагнитного поля с частицами вещества. Этому не в малой степени способствует глобальная идея, объединившая деятельность большого числа теоретиков и экспериментаторов - это идея квантовых вычислений и обработки квантовой информации [39] - [41], [101], [147] - [152]. В последнее время широкое применение модель ТК нашла для теоретического описания функционирования элементной базы квантовых компьютеров [39], [40]. В работах [153] - [159], [49] - [53] предлагается использовать захваченные в ловушку ионы или нейтральные атомы в качестве процессора квантового компьютера. Для этого частицы - кубиты - в ловушке располагаются в виде одномерного кристалла или в узлах наведенной интерферирующими волнами решетки. Кубиты связаны между собой с помощью решеточного потенциала или с помощью внутрирезонаторной квантованной моды (в экспериментах с элементами cavity QED). Для управления процессором к каждому кубиту имеется своя адресация. Для этого каждый кубит взаимодействует дополнительно с отдельным лазерным лучом. Лазерный луч осуществляет унитарное преобразование базиса кубита и, тем самым, совершает над ним определенную логическую операцию (гейт). Отметим также, что модель ТК (ДК) применяется для построения теории бозе-эйнштейновского конденсата на атомах, захваченных в ловушках [160], [162]. А также в таких новых разделах кантовой физики, как квантовая информация и коммуникации для создания квантового кода для целей криптографии [161], объяснения экспериментов по телепортации квантовых состояний [163], создания различных квантовых перепутанных состояний [164] и многое другое. Основной вывод, следующий из этого весьма краткого обзора, состоит в том, что гамильтониан ТК и его обобщения (связанные с включением нелинейности и внешних классических полей) широко используется в различных областях квантовой физики, а его анализ представляет весьма актуальную в настоящее время задачу.
