Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Квантовые состояния систем с дискретными переменными . 12
1.1. Геометрические свойства чистых и смешанных состояний 12
1.2. Общая схема построения томографических отображений 19
1.3. Новые результаты в спиновой томографии 29
1.4. Схемы квантования с внутренней симметрией 60
1.5. Меры различия и статистическое сравнение квантовых состояний 65
1.6. Квантовое поведение томографических вероятностей 76
1.7. Составные спиновые системы 78
Глава 2. Квантовые состояния систем с непрерывными переменными 86
2.1. Томографические отображения состояний электромагнитного поля 86
2.2. Оптическая томография суперпозиций фоковских состояний 92
2.3. Точность и операционное использование оптических томограмм 95
2.4. Упорядоченные моменты операторов рождения и уничтожения фотонов и измерение квантовых состояний СВЧ-излучения 109
2.5. Двухмодовые состояния электромагнитного поля и сцепленность 123
Глава 3. Динамика квантовых систем 129
3.1. Эволюция составных спиновых систем в томографическом представлении 129
3.2. Эволюция упорядоченных моментов операторов рождения и уничтожения фотонов 134
3.3. Динамика сцепленности 138
Заключение 154
Список литературы
- Общая схема построения томографических отображений
- Квантовое поведение томографических вероятностей
- Точность и операционное использование оптических томограмм
- Эволюция упорядоченных моментов операторов рождения и уничтожения фотонов
Введение к работе
Актуальность работы. Экспериментальная физика и теоретическая физика неразрывно связаны друг с другом общей целью — всесторонним изучением явлений природы, свойств материи и её динамики. В квантовой физике эта связь проявляется особенно ярко: опытные факты привели к разработке постулатов квантовой механики, сформулированных на математическом языке и позволивших объяснить известные и установить новые зависимости между физическими величинами, характеризующими то или иное квантовое явление. Область практического применения квантовой механики постоянно расширяется, вовлекая в себя такие актуальные направления как квантовые вычисления и квантовая теория информации.
Значительный прогресс в технике и методах экспериментальной физики позволяет в настоящее время не только наблюдать за квантовыми свойствами одиночных объектов (атомов, электронов, фотонов) и их ансамблей, но даёт принципиальную возможность контролируемым образом воздействовать на такие объекты, манипулировать ими, а также создавать и управлять исску-ственными атомами. Такими возможностями обладают современные квантовая оптика, атомная физика, квантовая электродинамика резонаторов и электрических цепей, наноэлектроника и другие смежные направления. На первый план в этих экспериментах выходит понятие «состояния» квантового объекта: оно описывает все свойства объекта, эволюционирует в соответствии с прикладываемыми внешними воздействиями (в картине Шредингера) и подлежит экспериментальному наблюдению. Последнему обстоятельству долгое время не уделялось должного внимания ввиду сложности самого понятия квантового состояния — волновой функции ifj(x) = (х\ф) для изолированной системы или оператора плотности р для общего случая открытой системы или ансамбля частиц. Данные объекты не наблюдаются непосредственно в эксперименте. Наблюдению подлежат распределения вероятностей, например, |^(ж)|2 и (х\р\х), связанные с измерением некоторой физической величины (координаты х). Такие распределения не содержат информации о фазе волновой функции и недиагональных элементах матрицы плотности, поэтому каждое из подобных измерений в отдельности не определяет квантовое состояние. Задача квантовой томографии, впервые сформулированная Паули, состоит в нахождении некоторого числа измерений, позволяющих точно определить квантовое состояние, а также в нахождении самого соотношения, связывающего \ф) или р с измеряемыми распределениями вероятностей. Такие распределения вероятностей называют томографическими, а их совокупность — квантовой томограммой.
Актуальность квантовой томографии заключается в том, что она совершенно необходима для полного анализа воздействия окружения на динами-
ку системы, контроля за качеством управления квантовыми состояниями, а также в квантовых вычислениях для считывания конечного результата вычисления. Так как томограмма содержит полную информацию о квантовом объекте и доступна экспериментальному наблюдению, естественно рассматривать квантовые явления на языке измеряемых характеристик, т.е. в представлении томографической вероятности. Актуальная задача теории состоит тогда в установлении зависимостей между томограммой и физическими характеристиками состояния (такими как энергия, параметр чистоты Tip2, запутанность), а также в нахождении уравнений динамики для томограмм.
Для анализа состояний спиновых систем в 1997 г. была разработана спиновая томография, однако до настоящего времени не было найдено физического представления операторов, используемых для восстановления оператора плотности, не рассматривались вопросы минимизации избыточной информации, вычисления в явном виде некоторых характеристик состояния и интегральных ядер, уменьшения ошибок восстановленного состояния, сравнения квантовых состояний по экспериментально наблюдаемым распределениям вероятностей. Требовали рассмотрения также общая схема построения томографических отображений, процедура восстановления состояний на основе измерений симметричного набора физических величин, а также построение томограмм составных спиновых систем и установление связи между спиновой томограммой и измеряемыми величинами в мюонных экспериментах.
В весьма тонких экспериментах по гомодинному детектированию квантовых состояний электромагнитного излучения, позволяющих экспериментально определить оптическую томограмму, ввиду статистической природы исходов квантовых измерений до сих пор не была решена проблема оценки ошибок и операционного использования данных. С другой стороны, говорить об измерениях имеет смысл только тогда, когда известна их точность. Кроме того, активное изучение сверхпроводниковых квантовых битов (искусственных атомов) вызвало необходимость исследования квантовых состояний электромагнитного поля микроволнового диапазона длин волн (сверхвысокой частоты), где паразитные (тепловые) шумы выходят на первый план. Влияние шумов на измеряемые характеристики и их эволюцию, а также извлечение полезного сигнала из зашумлённого являются важными шагами для дальнейшего развития методов детектирования квантовых состояний.
В течение нескольких последних десятилетий было разработано и экспериментально продемонстрировано много приложений, в основе которых лежит явление квантовой запутанности — уникального физического ресурса, находящего применение в квантовой теории информации (секретное распределение ключа, сверхплотное кодирование, квантовая телепортация и другие). Подобные квантово-информационные протоколы работают эффективно только при условии, что подсистемы запутанны друг с другом (в этом
случае состояние всей системы не определяется состояниями подсистем). Однако, каждая из подсистем неизбежно взаимодействует с окружением, которое превносит шум. В результате этого воздействия в эксперименте имеют дело с зашумлённым состоянием, запутанность которого может существенно отличаться от первоначальной. При достаточно большом уровне шума может возникнуть такая ситуация, когда любое состояние составной системы будет становиться незапутанным. В таком случае применение любого квантового протокола, основанного на запутанности, станет невозможным. Это приводит к задаче поиска предельно допустимого уровня шума для различных физических воздействий со стороны окружения.
Необходимость решения этих вопросов, имеющих большую важность для науки и практики, определяет актуальность проведённого исследования.
Цель диссертационной работы состоит в усовершенствовании методов квантовой томографии спиновых систем и электромагнитного поля с учётом особенностей эксперимента, установлении математических соотношений между физическими характеристиками состояний и экспериментальными данными, нахождении уравнений динамики таких систем в терминах измеряемых величин.
Для достижения поставленной цели были поставлены и решены следующие задачи:
1) нахождение общей схемы построения томографических отображений,
включая отображения с внутренней симметрией, и их классификация;
выражение операторов деквантования и квантования в спиновой томографии через физический оператор (J п) проекции углового момента на направление п и получение в явном виде параметра чистоты и интегрального ядра спин-томографических символов;
построение томографии с конечным числом направлений {щ}^=1 и нахождение оптимальных направлений, приводящих к малым ошибкам в воста-новленном операторе плотности;
4) сравнение квантовых состояний по статистике исходов наблюдений и
вывод формул для мер различия квантовых состояний (следовой метрики,
степени совпадения и других) через доступные экспериментальному наблю
дению томограммы;
установление связи между спиновой томограммой и измеряемыми угловыми распределениями распадных частиц в экспериментах с мюонами, исследование унитарной эволюции и запутанности двухспиновой системы «мюон-элек-трон» в мюонии;
решение проблемы обработки экспериментальных данных гомодинного детектирования: нахождение оптимального шага для гистограмм гомодинных квадратур, разработка метода оценки ошибок, выражение параметра чистоты и его ошибки через экспериментальные томограммы, — а также проверка
фундаментальных квантовых соотношений неопределённостей в экспериментах по гомодинному детектированию;
разработка теории измерения квантовых состояний излучения СВЧ-диа-пазона с учётом влияния шума линейных усилителей, используемых для их детектирования;
извлечение упорядоченных моментов операторов рождения и уничтожения фотонов, полностью характеризующих квантовые состояния СВЧ-излу-чения, при детектировании с помощью синфазного квадратурного смесителя, нахождение уравнений динамики таких моментов;
9) исследование возможности детектирования запутанности двухмодовых
состояний электромагнитного поля по томограмме счёта фотонов;
10) нахождение предельно допустимого уровня шума, действующего со сто
роны окружения на систему из двух квантовых битов, при котором их за
путанность сохраняется (для различных квантовых каналов, моделирующих
шум).
Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:
1) впервые проведена полная классификация томографических отображе
ний для систем с дискретными переменными, каждой томографической схе
ме (переполненной, минимальной, самодуальной) поставлена в соответствие
матрица деквантования (прямоугольная, квадратная, изометрическая или
унитарная);
развивая ранее известную спиновую томографию, впервые получено ортогональное разложение деквантайзеров и квантайзеров, слагаемыми в котором являются специальные функции дискретной переменной и оператора (J-n), а также найдено новое выражение для параметра чистоты спинового состояния в терминах спиновой томограммы и открыто реккурентное соотношение для интегральных ядер спин-томографических символов;
введено новое понятие спин-s портрета, представляющего собой огрубление результатов измерения проекции спина на выделенное направление и используемого для построения обратного отображения и исследования его оптимальности в спиновой томографии с конечным числом направлений {щ}^;
впервые рассмотрена задача безошибочного сравнения квантовых состояний по статистике исходов наблюдений, что выгодно отличает данную постановку от известных ранее, поскольку позволяет сравнивать не только чистые состояния, но и смешанные; введены новые количественные характеристики универсальности и качества сравнения, а также найдены новые выражения для мер различия квантовых состояний на языке томограмм;
5) впервые рассмотрена связь между спиновой томограммой мюона и уг
ловым распределением заряженных частиц, испускаемых при его распаде,
на основе чего было развито томографическое описание мюония (составной
системы «мюон+электрон») и введена новая мера запутанности, выражаемая
лишь через двухспиновую томограмму;
теоретически предсказанная симметрия оптической томограммы по отношению к сдвигу фазы локального осциллятора в гомодинном детектировании впервые использована для оценки ошибок экспериментальных данных, включающих в себя как случайную, так и статистическую составляющую;
впервые получено новое интегральное неравенство, которому должна удовлетворять оптическая томограмма любого состояния; это и другие известные ранее фундаментальные соотношения впервые проверены для когерентного состояния с добавленным фотоном;
получено новое соотношение, связывающее экспериментально измеряемые квадратурные распределения усиленного (зашумлённого) микроволнового квантового состояния с томограммой самого квантового состояния, и впервые найдено обратное преобразование;
уравнения динамики электромагнитного поля (с диссипацией) впервые сформулированы в терминах упорядоченных моментов операторов рождения и уничтожения фотонов;
введено новое понятие двухкубитного портрета томограммы счёта фотонов двухмодового электромагнитного поля, в результате чего удалось свести задачу детектирования запутанности двух мод излучения к хорошо известной задаче запутанности двух кубитов;
впервые рассмотрена задача эволюции запутанности двухкубитных состояний в случае воздействия на них локальных шумов самого общего вида; для решения задачи введено понятие локальных двухкубитных каналов, аннигилирующих сцепленность, отличающееся от известного ранее понятия канала, разрушающего сцеленность.
Практическая значимость. Часть результатов, изложенных в диссертации, уже нашла практическое применение: экспериментальная группа квантвой оптики из Национального института оптики (г. Флореция, Италия) под руководством М. Bellini использует разработанный автором метод оценки ошибок оптической томографии для повышения точности своих данных (постселекция результатов с малой систематической ошибкой), а также применяет операционный способ вычисления параметра чистоты состояний. Другие результаты также могут найти практическое применение в ближайшем будущем. Оптимальные направления {щ} в спиновой томограмме с конечным числом измерений и явное выражение для параметра чистоты спинового состояния в терминах экспериментально наблюдаемых томографических распределений вероятности полезны в различных модификациях эксперимента Штерна-Герлаха для минимизации ошибок восстановления оператора плотности и прямого подсчёта интересующих величин. Разработанный алгоритм сравнения квантовых состояний по статистике исходов специально организованного измерения позволяет калибровать источники квантовых состояний.
Найденные уравнения движения редуцированной томограммы мюонной подсистемы в мюонии полезны для определения вида гамильтониана взаимодействия мюона с электроном в присутствии магнитных полей (например, коэффициента анизоторопии). Динамика упорядоченных моментов операторов рождения и уничтожения фотонов может использоваться для мониторинга и прогнозирования эволюции микроволновых квантовых состояний. Решение задачи аннигиляции запутанности при воздействии на систему из двух ку-битов локальных шумов позволяет рассчитать предельно допустимую длину квантовых линий связи.
Апробация работы. Основные результаты работы прошли апробацию на следующих всероссийских и международных конференциях: 54-й научной конференции МФТИ «Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе» (г. Долгопрудный, 10-30 ноября 2011 г.); 8th Canadian Student Conference on Quantum Information (г. Жуванс, Квебек, Канада, 16-17 июня 2011 г.); 8th Central European Quantum Information Processing Workshop (г. Зноймо, Чехия, 2-5 июня 2011 г.); 7-м семинаре, посвященном памяти Д.Н. Клышко (МГУ им. М.В. Ломоносова, г. Москва, 25-27 мая 2011 г.); 1-й международной научной школе для молодёжи и преподавателей «Прикладные математика и физика: от фундаментальных исследований к инновациям» (г. Долгопрудный, 1-13 июля 2010 г.); 51-й, 52-й и 53-й научных конференциях МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (г. Долгопрудный, г. Троицк, 2008-2010 гг.); International Conference on Quantum Information and Computation (г. Стокгольм, Швеция, 4-8 октября 2010 г.); 17th Central European Workshop on Quantum Optics (г. Сэнт-Эндрюс, Великобритания, 6-11 июня 2010 г.); 11th International Conference on Squeezed States and Uncertainty Relations (г. Оломоуц, Чехия, 22-26 июня 2009 г.); 16th Central European Workshop on Quantum Optics (г. Турку, Финляндия, 23-27 мая 2009 г.).
Результаты докладывались также на научных семинарах кафедры теоретической физики МФТИ (г. Долгопрудный, 2009-2012 гг.), семинарах Исследовательского центра по квантовой информатике Института физики Словацкой академии наук (г. Братислава, Словакия, 2009-2011 гг.), семинаре «Квантовая вероятность, статистика, информация» Математического института им. В.А. Стеклова РАН (г. Москва, 2011-2012 гг.), семинаре по оптике Института физики Университета Росток (г. Росток, Германия, 2012 г.).
Результаты работ, являющихся частями настоящей диссертации, были удостоены наград в конкурсах научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в рамках 52-й, 53-й и 54-й научных конференций МФТИ, конкурсе «Лучшие аспиранты РАН», проводимого Региональным общественным Фондом содействия отечественной науке (2010 г.), конкурсе физиков-теоретиков
в рамках программы поддержки аспирантов и молодых ученых без степени фонда «Династия» (2011 г.), а также удостоены стипендии Президента Российской Федерации (2011-2012 гг.).
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 29 работах, из них 18 статей в рецензируемых журналах из перечня ведущих периодических изданий ВАК [1-18], 9 тезисов докладов в сборниках трудов конференций [19-27], 2 препринта статей, отправленных в редакции научных журналов [28, 29].
Личный вклад автора. Все теоретические результаты, представленные в диссертации, получены автором самостоятельно. Эксперимент по го-модинному детектированию когерентных состояний с добавленным фотоном выполнен М. Bellini, A.S. Coelho и A. Zavatta. Обработка экспериментальных данных и их интерпретация выполнена автором. Постановка большей части задач выполнена научным руководителем. Часть задач поставил М. Ziman. Обсуждение результатов исследований проводилось совместно с соавторами.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Общий объем диссертации 172 страницы, из них 155 страниц текста, включая 37 рисунков и 2 таблицы. Библиография включает 246 наименований на 13 страницах.
Общая схема построения томографических отображений
Благодарности. В первую очередь мне хотелось бы выразить свою глубокую признательность моему научному руководителю В.И. Манько, ставшему мне учителем и наставником в науке и посвятившему много времени нашим многочисленным беседам и обсуждениями, в ходе которых он с недюжинным терпением и превосходным педагогическим мастерством помогал мне постигать удивительный мир квантовой теории. Я благодарен В.И. Манько за его внимательное отношение и всестороннюю поддержку и в не меньшей мере за его жизнерадостность и увлечённость работой, которые вкупе с подлинным профессионализмом лучше всего характеризуют Владимира Ивановича и служат для меня примером. Также я очень благодарен М.А. Манько за постоянное внимание ко мне.
Данная диссертация обязана своим появлением моей Alma Mater, воспитавшей меня духовно. По прошествии без малого девяти лет мне хотелось бы искренне поблагодарить всех своих Учителей, в особенности, М.И. Шабунина и Г.Р. Локшина, взрастивших во мне любовь к математике и физике, В.П. Быкова, познакомившему меня с квантовой оптикой, своих преподавателей по теоретической физике: лекторов О.И. Толстихина, А.Л. Бараба-нова, Ю.В. Михайлову и руководителей семинаров Л.А. Мельниковского, С.А. Вагнера, А.А. Пухова, каждый из которых по-своему показал мне красоту науки, определившей специальность данной диссертации. Особой благодарности заслуживает руководитель моей магистерской диссертации В.В. Вьюрков, который познакомил меня с квантовыми вычислениями и наноэлектроникой и проявил отеческую заботу к моему пути в науке.
Я благодарен своим зарубежным коллегам М. Зиману, Т. Рыбару, Т. Хейносаари, Я. Шперлингу за содержательные дискуссии и поддержку. Мне приятно поблагодарить В. Бужека и В. Фогеля за приглашения посетить их группы и за радушный приём.
За ценные советы и помощь я благодарен всем сотрудникам кафедры теоретической физики МФТИ, где мне посчастливилось работать, и особенно Ю.М. Белоусову, который оказал мне всестороннее содействие. Также я признателен всем участникам семинара под руководством А.С. Холево в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН.
Наконец, мои самые тёплые слова благодарности адресованы тем людям, без поддержки которых эта диссертация никогда не увидела бы свет, — моим родителям, сестре и друзьям. Спасибо вам за то, что всегда верили в меня и были рядом. Глава 1 Квантовые состояния систем с дискретными переменными
К квантовым состояниям с дискретными переменными относятся спиновые состояния [31] отдельных частиц и составных систем, поляризационные состояния фотонов [14, 24, 112], а также состояния других многоуровневых систем, эффективно описываемых в рамках гильбертова пространства конечной размерности. В качестве таких систем могут выступать ионы и атомы в электромагнитных ловушках, полупроводниковые квантовые точки с электронными пространственными состояниями, сверхпроводниковые квантовые интерференционные приборы, с достаточной степенью точности описываемые двухуров-невыми моделями. Двухуровневые квантовые системы привлекательны с точки зрения квантовой теории информации, где они выступают в качестве квантовых битов (кубитов) и могут использоваться для организации квантовых вычислений и квантовой коммуникации [8, 16, 30]. Трёхуровневые квантовые системы по аналогии будем называть кутритами, а многоуровневые квантовые системы — кудитами.
Геометрические свойства чистых и смешанных состояний
Статистический ансамбль идентичных квантовых систем и открытые квантовые си-стемы описываются матрицами плотности. Понятие матрицы плотности было введено Ландау и фон Нейманом в 1927 году [167, 230]. Надо отметить, что изначально этот термин был введён для систем с непрерывными переменными, однако он легко обобщается на состояния с дискретными переменными [110]. Матрицы плотности содержат полную информацию об исследуемой системе и отвечают наиболее общей форме квантовомеханического описания систем [11, 12, 27], т.е. описывают как чистые состояния, обладающие волновой функцией, так и смешанные состояния. Матрица плотности р есть представление оператора плотности р в некотором ортонормированном базисе в И. Под состоянием системы будем подразумевать её оператор плотности.
Чистому квантовому состоянию \ф) соответсвует оператор плотности р = \ф){ф\, очевидно удовлетворяющий условиям (а)-(в). Множество квантовых состояний имеет выпуклую структуру, т.е. если р\ и f 2 — квантовые состояния, то и любая их выпуклая линейная комбинация pipi + Р2Р2 с весами р\,Р2 0, р\ +рг = 1, также является квантовым состоянием. С точки зрения физики это соответствует смеси соответствующих статистических ансамблей. Хорошо известно (см., например, [45]), что крайние точки множества квантовых состояний S(H) суть чистые состояния, т.е. одномерные проекторы вида \ф){ф\.
Заметим, что не всякая граничная точка множества S(H) является его крайней точкой (рис. 1.1a). В конечномерном пространстве Hd состояние р является граничной точкой множества S(l-Ld), если оно имеет по крайней мере одно собственное значение равное 0. Оператор плотности чистого состояния в свою очередь имеет одно собственное значение 1 и (d — 1) собственных значений 0. Поэтому граничные точки совпадают с крайними только в случае d = 2, а для больших размерностей d граница S(Hd) не ограничиваются крайними точками и содержит выпуклые комбинации некоторых из них.
Количественной мерой чистоты состояния является так называемый параметр чистоты р = tr[p2], который принимает максимальное значение 1 только для чистых состояний. Минимальное значение и = -. достигается в случае максимально смешанного (хаотического) состояния 1.
Квантовое поведение томографических вероятностей
Ввиду вероятностной природы исходов квантовых измерений обычно полагают, что точность квантовых измерений можно повысить посредством увеличения числа отдельных экспериментов (увеличением ансамбля идентично приготовленных состояний). Очевидно, что такой подход приводит к уменьшению статистических ошибок, но вряд ли позволит избавиться от систематических (связанных с самим экспериментом). С другой стороны, квантовая томография может быть количественным методом только тогда, когда можно оценить ошибки экспериментальных данных. Существующие к настоящему времени под-ходы не дают прямого решения этой задачи: в методе реконструкции модельными функциями (pattern-function reconstruction) определяется лишь величина случайной ошибки, а в методе максимального правдоподобия для вычисления ошибок необходимо прибегать к передискретизации (bootstrapping), на результаты которой нельзя полностью полагаться, и которая может оказаться весьма ресурсозатратной [176]. В этом разделе предлагается и применяется на практике метод оценки общей ошибки измерений, включающей как статистическую (случайную), так и систематическую составляющую.
Метод основан на исходных экспериментальных данных и соответствующих гистограммах квадратурных значений. Гистограммы представляют собой не что иное, как оценку квантовой томограммы ги(Х,в). Будучи измеримой характеристикой состояния, полностью описывающей квантовое состояние, томограмма не только является мощным инструментом при восстановлении квазираспределений, но может рассматриваться как одно из определений состояния на равных началах с матрицей плотности или квазираспределениями (вероятностное представление квантовой механики [152, 180], обзор других представлений в книгах [23, 46]). Томографический подход позволяет оценить ошибки гистограмм и, что не менее важно, позволяет напрямую вычислять физические характе Рис. 2.4. Схема эксперимента для генерации и гомодинного детектирования когерентных состояний с добавленным фотоном. Ультрафиолетовая накачка вызывает параметрическое рассеяние (parametric down-conversion, PDC), при этом один из пары фотонов попадает в моду когерентного состояния, которое и стимулирует испускание фотона. Детектирование фотона в холостой моде (single-photon counting module, SPCM) извещает об успешной генерации когерентного состояния с добавленным фотоном и служит триггером для гомодинного детектирования. ристики состояния и их ошибки.
В данном разделе анализируются состояния с добавленным фотоном [50, 106], экспериментальное детектирование [245, 246] которых было недавно продемонстрировано. С помощью передовой техники добавления и вычитания фотонов была также осуществлена прямая проверка коммутационных соотношений для операторов рождения и уничтожения фотонов [244].
Когерентное (квазиклассическое в формализме функций Глаубера–Сударшана) и когерентное состояние с добавленным фотоном (неклассическое) состояния используются для достижения другой цели: проверки точности, с которой выполняются фундаментальные квантовые соотношения, например соотношение неопределённостей Гейзенберга [139] и его аналог для смешанных состояний [21], а также соотношения неопределённостей для пар состояний [227] и соотношения неопределённостей для энтропий Шеннона и Ре-ньи [76, 142]. В работах [89, 101, 188] было показано теоретически, как выполнить проверку всех этих соотношений посредством оптической гомодинной томографии. В данном разделе приводятся результаты экспериментальной проверки и точность выполнения соотношений. Рис. 2.5. Гистограммы h(X,n) когерентных состояний с добавленным фотоном для различной ширины интервалов: (a) Ъ = 0,025, большие статистические ошибки; (b) Ъ = 0,075; (c) Ъ = 0,15, при большей ширине возникает субдискретизация.
Нетрудно увидеть, что при \а\ 1 формула (2.11) сводится к (2.10), т.е. когерентное состояние с добавленным фотоном ведёт себя как когерентное состояние. При а = 0 когерентное состояние с добавленным фотоном есть просто фоковское однофотонное состояние 1). Переход от чисто квантового поведения при а = 0 к квазиклассическому при \а\ 1 наблюдался экспериментально в работе [245].
Когерентные состояния с добавленным фотоном (SPACS) генерируются «инжекци-ей» когерентного состояния \а) в сигнальную моду оптического параметрического усилителя, при этом когерентное состояние вызывает стимулированное испускание фотона в ту же самую моду. Успешная генерация SPACS имеет место при детектировании фотона в холостой моде усилителя. Гомодинное детектирование с временным разрешением [246] запускается при обнаружении фотона в холостой моде. Схема эксперимента детально описана в обзорах [245] и представлена на рис. 2.4.
Экспериментальные данные записываются цифровым осциллографом в виде последовательности из N = 5321 квадратурных значений X для каждой фазы локального осциллятора. Калибровка значений X выполняется путём измерения вакуумных флуктуаций (сигнальная мода блокируется). В этом случае (X) = 0, а дисперсия охх = ((X — (X))2) = hi2. При проведении эксперимента полагалось h = 2. После того, как значения X откалиброваны, экспериментальные данные представляют собой набор точек {Xj, 9j}, где г = 1,... , N. Фаза 9j регулируется пьезоэлектрическим элементом.
Точность и операционное использование оптических томограмм
Волновая функция некоторого чистого состояния в координатном представлении и волновая функция того же состояния в импульсном представлении связаны преобразованием Фурье. Ввиду этого, чем уже распределение \()\2, тем шире распределение и наоборот. Энтропии не могут принимать малые значения одновременно и удовлетворяют соотношению [76, 142] оснований квантовой механики квантовое состояние определяется истинной функцией распределения вероятностей w(X, в) двух случайных величин (точка в бесконечномерном симплексе), такой что её энтропия с необходимостью должна удовлетворять условию (2.24).
При обработке экспериментальных данных численное вычисление интеграла (2.23) выполняется методом трапеций, т.е. 2 J S(6)— « Ylj=1 (@j+1 @j)[S(@j) + S(@j+1)]. Величина S(9j) в свою очередь вычисляется подстановкой экспериментальной гистограммы h(X, 9j) вместо w(X, в).
Известно, что конечная ширина интервала b влияет на правую часть неравенства (2.22) (см. [209] и приведённые там ссылки). Если положить b = 0,075 и максимальное значение X равным 3, тогда правую часть неравенства (2.22) следует уменьшить на 0,03, т.е. заменить на 1, 42 при h = 12. Действительно, поправка всегда отрицательна и стремится к нулю для больших значений отсечки Хтах, поскольку состояния локализованы близко к центру фазового пространства. Используя квадратуры Х#=о и Х =7Г/2, вычисление левой части неравенства (2.21) даёт 1,43 ± 0,01 для когерентного состояния и 1,65 ± 0,03 для SPACS, где ошибки определены сравнением экспериментальных значений S(9) и S(9-\-7r). Когерентное состояние насыщает границу, как это и предсказано теорией [142].
В выведенном неравенстве (2.24) левая часть равна 1,42 ± 0,01 для когерентного состояния и 1,70 ± 0,03 для SPACS, где представлены общие ошибки, содержащие как ошибку вычисления, так и ошибки исходных экспериментальных гистограмм.
Энтропия Реньи Для распределения вероятностей р(Х) энтропия Реньи определяется по формуле Rp\p(X)] = (1 — /З)-1 In jpP(X)dX и представляет собой однопараметрическое семейство 108 энтропийных мер [205]. Энтропия Реньи переходит в энтропию Шеннона при — 1. Если 1, то существует сопряжённый параметр , такой что _1 + -1 = 2. Положим = (1 -Тогда аналогом неравенства (2.21) для энтропии Реньи является неравенство . Выраженное через один параметр , это соотношение принимает вид [? ] : в котором могут быть заменены на соответственно. Для простоты рассмотрим левую часть (2.25) для Є (-1,1). Результаты представлены на рис. 2.9. Для когерентного состояния вычисленные из экспериментальных данных значения lZ() лежат на теоретической границе (в пределах ошибок) и симметричны относительно инверсии -, поскольку для когерентного состояния маргинальные распределения по координате и импульсу идентичны. Для SPACS-состояний эти распределения различ-ны, и соответствующая ассимметрия проявляется на рис. 2.9. При — 0 неравенство для энтропии Реньи (2.25) переходит в неравенство для энтропии Шеннона (2.21).
Большой интерес к микроволновым квантовым состояниям связан с развитием технологии изготовления высокодобротных резонаторов. Двухуровневые квантовые системы, помещенные в такой резонатор, взаимодействуют с электромагнитным полем, в результате чего можно добиться генерации желаемого квантового состояния поля [79]. Также микроволновые состояния можно создавать с помощью квантово-электродинамических схем [149]. Первоначально исследования были сосредоточены на измерении состояния поля внутри резонатора. Однако если сделать одно из зеркал резонатора частично прозрачным для излучения, то представляется возможным приготовление микроволновых квантовых состояний, распространяющихся в пространстве. В отличие от стоячих волн внутри резонатора, обычно детектируемых с помощью пропускаемых через резонатор атомов или нанокантилеверов, распространяющиеся волны не так просто зарегистрировать. Ситуация осложняется отсутствием высокочувствительных и надежных однофотонных детекторов для микроволнового излучения, хотя имеются предложения и первые эксперименты [88] по их созданию. Существующие в настоящее время транзисторы с высокой подвижностью электронов (ВПЭ-транзисторы) используются для регистрации излучения в микроволновом диапазоне, однако потери и дополнительный шум снижают результирующую квантовую эффективность вплоть до 2%. Недавно опубликовано сообщение об улучшении квантовой эффективности до 40% путем использования джозефсоновского параметрического усилителя в качестве предусилителя [178] (см. также [73, 85]). Даже в этом случае результирующая эффективность остается значительно ниже, чем для экспериментов в оптическом диапазоне. По этой причине экспериментальная регистрация статистики фотоотсчетов в микроволновом диапазоне представляется трудно реализуемой, заставляя прибегать к другим схемам измерения [108, 178, 193, 194].
Помимо сложности детектирования, микроволновая инженерия существенно отличается от оптической. Так, гибридное (мостовое) соединение или делитель мощности выполняет роль делителя пучка в оптике [203]. Аналогично, в микроволновом диапазоне смеситель играет роль светоделителя, используемого в оптике для SU(2) преобразования сигнальной моды и моды локального осциллятора. Таким образом, на микроволновом уровне возможно создание аналога оптического восьмиканального интерферометра [108, 193, 194]. В нем используются линейные усилители, нечувствительные к фазе, и синфазный квадратурный смеситель (известный как I/Q mixer). Выход такого смесителя представляет собой две случайные величины q и р, которые удобно описать общей огибающей функцией S = (q + гр)/у/2. При проведении многократных измерений одного и того же состояния в непрерывном режиме накапливаются отсчёты (q,p) и строится двумерная гистограмма Q(q,p). По окончании эксперимента гистограмма Q(q,p) представляет собой не что иное, как функцию Хушими усиленного (и вследствие этого зашумленного) микроволнового сигнала. В работе [160] показано, что данная функция есть свертка функции Хушими исходного квантового состояния с функцией Глаубера-Сударшана шумовой моды усилителя. Зачастую шум линейного усилителя (например, ВПЭ-транзистора) хорошо описывается тепловым шумом с эффективной температурой Тед, однако ее точное определение также представляет собой некоторую трудность. Сложного восстановления сигнала методом обращения свертки (деконволюции) можно избежать, если прибегнуть к методу моментов.
Эволюция упорядоченных моментов операторов рождения и уничтожения фотонов
Важное различие между квазираспределением на обычном фазовом пространстве (q,p) и моментами на решётке заключается в том, что эволюция во времени для квазираспределения задаётся уравнением в частных производных (бесконечно большого порядка), которое в общем случае невозможно решить аналитически. Численное же решение такого уравнения потребует введения двумерной прямоугольной сетки на плоскости (q,p), шаг и размер которой должны определяться желаемой точностью (см., например, [168]). Част-ные производные при этом должны заменяться конечными разностями. Чем выше порядок производной, тем больше узлов сетки должно быть вовлечено. Работая с упорядоченными моментами, нет необходимости введения искусственной сетки из-за уже имеющейся в наличии решётки (те, п). В этом случае эволюция во времени даётся точными разностными уравнениями, в отличие от приближённых уравнений конечно-разностной схемы для квазираспределений на (д,р)-плоскости.
Отметим интересное свойство динамики моментов (3.31). Если начальное распределение моментов имело диагональный вид ((aJ)nam)\t=o ос 5пт, то и в последующие моменты времени оно будет иметь диагональный вид (фоковские состояния, тепловое состояние).
Для иллюстрации эффектов декогеренции и термализации рассмотрим эволюцию «недиагонального» состояния, например, четного когерентного состояния +) (2.41). Эволюция во времени абсолютных значений моментов проиллюстрирована на рис. 3.3.
Для рассматриваемого на рис. 3.3 чётного когерентного состояния построена зависимость мер когерентности и термализации от времени (рис. 3.4). Согласно работе [107], в течение короткого временного интервала 0 t 7_1 когерентность системы значительно уменьшается, а ее полное разрушение происходит на временах t (27)_1ln , где Е — начальная энергия. Окончательная термализация происходит по прошествии t (27)_1 In \Е/и2\. В нашем случае эти времена имеют один порядок 7-1.
Динамика сцепленности
Рассмотрение динамики такой характеристики состояния как сцепленность мотивировано многочисленными квантово-информационными приложениями, в основе которых лежит квантовая запутанность: квантовое распределение ключа, сверхплотное кодирование, квантовая телепортация и др. (см. детальный обзор [148]). Поскольку эти квантово-информационные протоколы работают эффективно только при условии, что подсистемы находятся в запутанном состоянии, то чрезвычайно важно исследовать эволюцию сцеп-ленности во времени. Проблема динамики сцепленности двухкубитных состояний иссле-довалась в ряде работ (см., например, [153, 173, 212, 218, 221]), где рассматривалась временная эволюция сцепленности различных физических кубитов (с различными видами начального состояния, вида межкубитного взаимодействия и взаимодействия с окружением). Эволюция запутанности для мюония и мюониеподобных систем в случае унитарной эволюции с гамильтонианами (3.3)-(3.5) исследована диссертантом в работах [69, 70] с по-мощью введённой в разделе 1.7.2 меры запутанности (1.173). Поскольку для гамильтониа-на, не зависящего от времени и обладающего дискретным спектром, эволюция состояния во времени является периодической, то периодической является и эволюция запутанности, что проиллюстрировано в работе [69]. В общем же случае неунитарной эволюции могут иметь место такие эффекты, как «внезапная смерть» (sudden death) и «внезапное рождение» (sudden birth) запутанности (см., например, [242]). В отличие упомянутых выше задач, где динамика сцепленности выводится из эволюции состояния во времени, в работах [100, 163, 226] была предпринята попытка найти прямую связь между запутанностью начального и конечного состояния для произвольной двухкубитной системы при наличии локальных шумов. Найденная связь имеет вид нестрогого неравенства, ограничивающего сверху сцепленность выходного состояния. Тем не менее, данное соотношение не даёт чёткого ответа на вопрос, когда сцепленность исчезает полностью для всех состояний, а когда сцепленность сохраняется хотя бы для некоторых состояний.
При выполнени протоколов квантовой коммуникации разумно предположить, что на каждую из подсистем действует своё окружение. Другими словами, на исходное состояние in действует шум вида Е\ 2, где Si — локальный квантовый канал, описывающий взаимодействие -й подсистемы со своим окружением, = 1, 2. В этом разделе исследуется стойкость начальной запутанности по отношению к локальным шумам, т.е. сцепленность выходного состояния out = (Si S -2)[т]. Физическое воздействие шумов на квантовую систему описывается математически в терминах каналов [in] = out, определяемых следующим образом (см., например, [45]):
Определение 16. Каналом S называется линейное вполне положительное сохраняющее след отображение (преобразование, если физическая природа квантовой системы не меняется). Вполне положительность означает положительность отображения S Х для всех тождественных преобразований Х операторов из В(Hd), = 1,2,....
Первоначально запутанное состояние составной системы и воздействие шумов Si на подсистемы. Конечное состояние сохраняет запутанность при слабом уровне шума (a) и становится сепарабельным при большом уровне шума (b).
Недавно было введено понятие каналов, аннигилирующих сцепленность [195]. В системе, на которую действуют эти каналы, любая квантовую запутанность полностью исчезает.
Определение 17. Локальный двухкубутный канал Є\ -2 называется аннигилирующим сцепленность (entanglement-annihilating, EA), если выходное состояние (\ г)[рт] сепа-рабельно для всех входных состояний р-т.
Ответ на вопрос, является ли канал аннигилирующим сцепленность, по сути даёт решение задачи, является ли уровень шума приемлемым для выполнения приложений, основанных на свойствах сцепленности. Цель данного раздела — исследовать свойства каналов, аннигилирующих сцепленность для двухкубитных систем. Следует особо под-черкнуть различие между квантовыми каналами, аннигилирующими сцепленность, и каналами, разрушающими сцепленность.
Определение 18. Канал (действующий на некоторую систему) называется разрушающим сцепленность (entanglement-breaking, EB), если все расширения вида Хапс уничтожают запутанность между системой и любой вспомогательной системой (ancilla).
