Введение к работе
Актуальность исследования. Как известно, оа последние десятилетия сфера применения теоретико-групповых методов в квантовой теорпп значительно расширилась. Принципиальным моментом в этом направлении было появление концепции групп динамической симметрии и основанного на ней метода когерентпых состояний. Дальнейшее развитие спмметрийного подхода связано с недавно открытыми q-дефор-мпрованнымп (пли квантовыми) группами, возможные приложения которых интенсивно исследуются.
Одной но физически важных и в то же время точно решаемых модельных систем, на которых апробируются новые математические методы, является атом подорода (или кеплерова оадача). Классический пример - это исследование его "скрытой" и динамической симметрии. Широкое распространение получило описание атома водорода п терминах 4-мерпого гармонического осциллятора, при котором "скрытая" симметрия выражается в явном виде.Такой подход был использован, а частности, для построения когерентных волновых пакетов, описывающих высоковозбуждепные состояния атома водорода и q-аналогов его энергетического спектра.
Однако существенным "недостатком" атома водорода как модельной системы является его топологическая трипнальность. Поэтому в последпее время все больше внимания уделяется исследованию гипотетических топологически нетривиальных аналогов атома водорода — атома дпогепа и М1С-ксплеровой задачи. Прп этом гамильтониан атома дногена содержит векторный потенциал, описывающий поле магнитного оаряда (магнитного монополя), которым наряду с электрическим обладает его ядро, а в гамильтоюіал МІС-кеплеровой оадачн входпт еще и дополнительный центробежный член, восстанавливающий тс же группы внутренней и динамической симметрия, что и в случае водоро-доподобного атома.
Обе эти модельные оадачп имеют и значительный физический интерес, поскольку, например, поучение атома дпогена даёт богатую информацию о взаимодействии медленного магнитного монополя с атомными системами, а центробежный член естественно вооншеает в суперсимметричной задаче со спином 1/2.
Наиболее адекватным математическим аппаратом для описання абе-левого статического магнитного заряда является расслоеппе Хопфа SU{2) » 55 —» S2 или его расширение - расслоение Кустаанхеймо-Штифеля
(РКШ) ІГ — Я3, которое вооппкает при рассмотрении поля магнитного монополя как калибровочного поля на языке теории связностей в расслоенных пространствах.
При описании 3-мерпой квантовой системы с магнитным оарядом в РКШ переходят к 4-мерному уравнению Шрёдингера с дополнительным условием па волновую функцию, Хф = дф, где X - линейный оператор сдвига вдоль слоя РКШ, g - магнитный оаряд. Эта схема включает в себя и топологически тривиальный случай g=0 (несмотря на топологическую нетривиальность РКШ), в частности, атом водорода. Однако в последнем случае описапие квантовой системы в РКШ не является калибровочным.
Переход к 4-мерному уравнению Шрёдингера в ряде случаев упрощает исследование спмметрийньгх аспектов исходной 3-мерной задачи, а также позволяет применить некоторые приближённые методы (что бывает невозможным сделать в 3-мерпн), как, например, алгебраический интерполяционный метод или упомянутое выше построение когерентных волновых пакетов для атома водорода.
Кроме того, квантовые системы в РКШ допускают анализ методами геометрического квантования, а также с точки орения гамильтонова (лагранжева) формализма с однозначным функционалом действия.
Отметим ещё использование РКШ в формализме интегрирования по путям и для описания задачи рассеяния зараженной частпцы но монополе, в частности, для построения соответствующей функции Грина.
В качестве существующих обобщений укажем на суперсимметрич-ное РКШ и суперсимметричный потенциал Дирака. Примеры супер-симметричпых квантовых систем с магптным зарядом дают М1С-кеп-лерова задача со сшшом 1/2 и система элсктроп-монополь.
Таким образом, введение в рассмотрение магнитного заряда существенно обогащает физику исходной проблемы и создает новые возможности для применения теоретико-групповых, алгебраических и геометро-топологических методов.
Целью диссертационной работы является исследование квантовых систем с магнитным оарядом (в том числе q-деформированных) на основе теории групп динамической симметрии, метода когерентных состояний п развитого в работе ковариантного кватернпонного варианта РКШ. Ковариантность понимается в смысле использования целого семейства расслоений.
Научная новиоиа. В работе предложен новый коварпантный подход к оппсапшо квантовых систем с магнитным оарядом, основанный на иснольоованпп целого семейства изоморфных РКШ, что, с одной стороны, значительно упрощает исследование квантовых систем с магнитным оарядом, а с другой позволяет использовать появляющийся пропз-вол в виде дополнительного вектора, параметризующего это семейство.
В качестве приложений такого коварпантного подхода получены общие коварпантпые выражения для оператора пространственной инверсии па расслоении, сечений РКШ, функции калибровочного преобразования, "калибровочной" координаты вдоль слоя РКШ, дана новая интерпретация потенциала Дпра^а как сечения расслоения Хопфа (потенциала поля дпопа как неподвижной точки расслоения сечений РКШ), потенциал Дирака получен по аналогия с подходом Беррп при помощи варьирования дополнительного вектора, параметризующего РКШ.
Применение теоретико-групповых методов "на фоне" РКШ позволило решить ряд задач для систем с монополем, в частности, построить когерентные волновые пакеты и q-дсформпроваппый энергетический спектр для MIC-кеплеровой задачи. Впервые дамо описание атома дпо-гепа в терминах 4-мерного пзотроппого сппгуляриого осциллятора со связью.
Для бессшшового релятивистского атома дпогепа построена функция Грина в базисе обобщённых (по Переломозу) когерентных состояний.
Исследовал вопрос о q-обобщспип РКШ нсходя яз коварпантной кватернионпой формулировки классического РКШ. Построеп q-апалог РКШ.
Практическая значимость. Предложенный в диссертации новый ковариантный подход к описанию потепцяала Дирака как калибровочного поля на расслоении, оспсвашгый на введении целого семейства изоморфных расслоеппй, может быть распространён на исследование других калибровочных полей, симметричных относительно некоторой подгруппы группы пространственно-временной симметрии с точностью до калибровочного преобразования и описываемых в терминах расслоённых пространств.
Когерептные волновые пакеты, построенные для МІС-кеплеровой задачи, могут быть использованы для исследования аффектов, связанных с взаимодействием вьісоковозбунідешіого атома с магнитный монополем.
Квантовый аналог РКШ может оказаться полезным для дальнейшего исследования q-деформированных спектров, процедуры редукции в условиях q-деформащш и q-деформированного потенциала Дирака.
На оащиту выносятся следующие основные положения;
-
Предложен новый коварналтный подход к описанию квантовых систем с магнитным оарядом, основанный на использовании семейства изоморфных РКШ.
-
На основе хватерыионного варианта векторной параметризации группы вращений дана новая интерпрпетапдя потенциала Дирака как сечения расслоения Хопфа.
-
Показало, что геометрическая фаза, возникающая при циклической эволюции векторного параметра, характеризующего семейство изоморфных РКШ, выражается через потенциал Дирака.
-
Построены когерентные волновые пакеты, приближённо описывающие ридберговекпе, т.е. высоковозбужденные состояния квантовой М1С-кеплеровой задачи, и установлена связь с классическим случаем.
-
Построена функция Грина в базисе когерентных состояний для уравнения Клейна-Фока в поле диона, и при помощи её найден энергетический спектр.
-
Дано описание атома диогена как 4-мерного изотропного сингулярного осциллятора со связью.
-
Получены различные варианты q-деформированного спектра MIC-хеплеровой задачи.
-
Построен q-аналог РКШ.
Апробация работы. Основные результаты, содержащиеся в диссертации, докладывалась на многочисленных семинарах в ИФ АНБ (1990-1993), Всесоюзной конференции по фундаментальным взаимодействиям элементарных частиц ОЯФ АН СССР (Москва, 1990), Всесоюзном совещанпи по гравитации и электромагнетиому (Минск, 1991), XII рабочей школе по геометрическим методам в физике (Веловежа (Польша), 1993), XVI семинаре по физике высоких энергий и теории поля (Протвино, 1993).
Публикации. Результаты выполненных исследований опубликованы в 10 работах.
Объём и структура работы. Диссертационная работа содержит 126 страппц машинописного текста и состоит па Введения, трёх глав, в каждой по которых по три параграфа, Заключения и списка литературы, пключающего 110 наименований источников.
