Введение к работе
Актуальность проблемы. Изучение динамики магнитного потока в критическом состоянии в жестких сверхпроводниках второго рода и дискретных сверхпроводниках становится все более актуальным, поскольку эта задача тесно связана с проблемой создания новых сверхпроводящих материалов, способных нести токи большой величины (сильноточные материалы). Так, создаваемые в настоящее время сверхпроводящие провода второго поколения из иттриевой керамики (YBCO), являющейся дискретным сверхпроводником, при охлаждении жидким азотом могут нести ток, примерно в 150 раз больший, чем медные провода тех же размеров. В перспективе новые провода могут использоваться для передачи электроэнергии, питания электромоторов, в регуляторах мощности и ограничителях тока короткого замыкания, в силовых кабелях поездов на магнитной подвеске и т. п.
Однако, как известно, движение магнитного потока, проникающего в сверхпроводник, уменьшает его токонесущую способность. Таким образом, подробное изучение вихревой динамики в дискретных сверхпроводниках представляется интересным не только с теоретической точки зрения, но также важно с точки зрения практического применения новых сверхпроводящих материалов.
Наиболее интересным результатом экспериментальных исследований в этой области является наблюдение лавинообразной динамики магнитного потока в критическом состоянии в жестких сверхпроводниках второго рода, а также дискретных сверхпроводниках. Это означает, что при равномерном изменении внешнего магнитного поля магнитный поток в образцах изменялся скачкообразно, причем скачки эти были случайны во времени и имели различную величину. При этом функция распределения изменений магнитного потока в образце демонстрировала степенное распределение.
На основе полученных результатов было выдвинуто предполо-
жение о реализации в жестких сверхпроводниках второго рода и дискретных сверхпроводниках явления самоорганизованной критичности (СОК), то есть возникновения такого критического состояния, которое представляет собой по структуре набор мета-стабильных критических состояний, переходящих друг в друга посредством "лавин". Лавины могут быть как малыми, так и охватывающими всю систему, и те и другие вызываются одинаково малыми внешними возмущениями.
Однако это предположение до сих пор не было ни подтверждено, ни опровергнуто в связи с отсутствием теоретической модели, адекватно описывающей лавинообразное поведение магнитного потока в изучаемых системах и учитывающей все особенности этого явления. Таким образом, построение такой теоретической модели является весьма актуальной задачей, решение которой позволило бы существенно продвинуться в понимании критических явлений, наблюдаемых в таких промышленно важных материалах, как жесткие сверхпроводники второго рода и дискретные сверхпроводники.
Современное состояние исследований. Основные эксперименты. Впервые наиболее показательные работы по экспериментальному изучению лавин магнитного потока были сделаны С. Филдом (S. Field, J. Witt, F. Nori, X. Ling, "Superconducting Vortex Avalanches", Phys. Rev. Lett. 74, 1206-1209 (1995)) с соавторами. В этих экспериментах полый цилиндр из сплава NbTi помещался во внешнее магнитное поле, приложенное вдоль его оси, на внутренней поверхности цилиндра была помещена измерительная катушка. Эксперимент проводился для трех различных интервалов изменения внешнего поля. Во всех случаях наблюдались лавины магнитного потока, размеры которых демонстрировали степенное распределение (рисунок 1).
Непосредственное измерение размера лавины с учетом каждого вовлеченного в нее вихря было сделано в экспериментах с применением датчиков Холла (Е. Altshuler, Т.Н. Johansen, Y. Paltiel,
уі
О ?:'
WO Н№ 1DKH
s = Number of Vortices In Avalorcha
Рисунок 1: Функция распределения размеров лавин, полученная в работе S. Field, J. Witt, F. Nori, X. Ling, "Superconducting Vortex Avalanches", Phys. Rev. Lett. 74, 1206-1209, (1995). Три графика соответствуют трем различным интервалам изменения внешнего магнитного поля. Видно, что размеры лавин демонстрируют степенное распределение, что может свидетельствовать о реализации в системе самоорганизованного критического состояния. На врезке изображена схема экспериментальной установки.
P. Jin, О. Ramos, K.E. Bassler, G. Reiter, E. Zeldov, C.W. Chu, "Vortex avalanches with robust statistics observed in superconducting niobium", Phys. Rev. В 70, 140505 (2004)). В этих экспериментах были зарегистрированы лавины очень малых размеров, и также было показано, что размеры лавин демонстрируют степенное распределение.
Кроме описанных экспериментов, исследования лавинообразной динамики магнитного потока в сверхпроводниках были проведены также с помощью магнито-оптических методов. С использованием этой техники в работах С. Аегертера с соавторами было изучено поведение магнитного потока в тонких пленках YBaCuO (СМ. Aegerter, M.S. Welling, R.J. Wijngaarden, "Self-organized crit-icality in Bean State in УВа2Сиз07_х thin films" Europhys. Lett. 65 753-759 (2004)). В результате, была получена четкая картина лавинообразного изменения потока в образце. После каждого изменения поля магнитный поток менялся скачкообразно, величины возникающих скачков были различны.
Лавины магнитного потока также наблюдались в искусственно созданных решетках джозефсоновских контактов (СМ. Ишикаев, Э.В. Матизен, В.В. Рязанов, В.А. Обознов, А.В. Веретенников, Письма в ЖЭТФ, "Магнитные свойства двумерных джозефсоновских сеток. Самоорганизованная критичность в динамике магнитного потока", 72, 39-43 (2000)).
Теоретические исследования. Несколько раньше, чем начали проводиться интенсивные исследования лавин в сверхпроводниках, в 1987 году возникла и начала развиваться концепция самоорганизации критического состояния и был построен ряд математических моделей, демонстрирующих самоорганизованное поведение (P. Вак, С. Tang, К. Wiesenfeld, "Self-organized critical-ity: An Explanation of 1// Noise", Phys. Rev. Lett., 59, 381-384 (1987)). Реализация самоорганизованного критического состояния в системе означает, что она под влиянием малых внешних возбуждений приходит в критическое состояние, которое в про-
цессе дальнейшей эволюции является самоподдерживающимся. По структуре оно представляет собой набор метастабильных состояний, переходящих друг в друга посредством лавин, инициируемых малыми внешними возбуждениями. Размеры возникающих лавин демонстрируют степенное распределение.
Наиболее популярными математическими моделями, иллюстрирующими концепцию самоорганизации, являются модели типа "кучи песка", описываемые клеточными автоматами (D. Dhar, "Self-organized critical state of Sandpile Automaton Models", Phys. Rev. Lett., 64, 1613-1616 (1990)). Название этого класса моделей возникло из-за того, что первым физическим объектом, на котором было продемонстрировано самоорганизованное поведение, была реальная куча песка. Однако необходимо отметить, что, несмотря на бурное теоретическое развитие концепции самоорганизации, ее практическое применение для объяснения конкретных физических явлений до сих пор весьма ограничено.
Привлечение концепции самоорганизованной критичности к объяснению лавинообразной динамики потока в жестких сверхпроводниках второго рода привело к созданию математической модели движения вихрей в такой системе (К.Е. Bassler, М. Paczuski, "Simple Model of Superconducting Vortex Avalanches", Phys. Rev. Lett., 81, 3761-3764 (1998); K.E. Bassler, M. Paczuski, E. Altshuler, "Simple model for plastic dynamics of a disordered flux-line lattice", Phys. Rev. B. 64, 224517 (2001)). Однако, как указывают сами авторы данной модели, она является феноменологической, учитывающей лишь основные особенности вихревой динамики, не рассматривая всех деталей явления в целом. Это связано со сложностью точного математического описания процессов, происходящих в жестких сверхпроводниках второго рода.
В то же время, с момента открытия высокотемпературной сверхпроводимости активно изучаются магнитные свойства таких систем, как дискретные сверхпроводники: системы,представляющие собой так называемую джозефсоновскую среду (J.R.Clem,
"Granular and Superconducting Glass properties of the high-temperature superconductors", Physica С 153—155, 50-55 (1988)) - отдельные сверхпроводящие гранулы, соединенные джозефсоновскими переходами. Будучи помещенной в магнитное поле, величина которого меньше первого критического поля гранул, такая дискретная система ведет себя как жесткий сверхпроводник второго рода (S.L. Ginzburg, V.P. Khavronin, G.Yu. Logvinova, I.D. Lusyanin et al., "Low-field electrodynamics of high-Tc superconductors - theory and experiment", Physica С 174, 109-116 (1991)). В работах (D.-X. Chen, J.J. Moreno, A. Hernando, "Evolution from the vortex state to the critical state in a square-columnar Josephson-junction array", Phys. Rev. В 53, 6579-6584 (1996); A. Manjhofer, line-breake T. Wolf, W. Dieterich, "Irreversible magnetization effect in a network of resistively shunted tunnel junctions", Phys. Rev. В 44, 9634-9638 (1991)) это утверждение было проверено методом компьютерного моделирования для таких моделей дискретных сверхпроводников, как решетки джозефсоновских контактов (многоконтактные СКВИДы).
Кроме того, в этих работах было теоретически показано, что магнитные свойства дискретных сверхпроводников полностью зависят от основного параметра системы V ~ jca3/Фо, (jc — плотность критического тока контактов, Фо — квант потока магнитного поля, а — характерный размер гранул). В частности, было продемонстрировано, что при V ^> 1 каждая ячейка дискретной системы способна пиннинговать магнитный поток, и в ней реализуется явление квантования магнитного потока. В работе (С.Л. Гинзбург, "Самоорганизация критического состояния в гранулированных сверхпроводниках и решетках джозефсоновских контактов", ЖЭТФ, 106, 607-626 (1994)) было показано, что при V ^> 1, именно благодаря наличию в системе квантования магнитного потока, систему дифференциальных уравнений, описывающих дискретный сверхпроводник, можно свести к алгоритмам, подобным тем, что описывают модели кучи песка.
Таким образом, мы видим, что многие факты указывают на возможность реализации самоорганизованного критического состояния в дискретных сверхпроводниках, которые, при определенных условиях, хорошо воспроизводят все магнитные свойства жестких сверхпроводников второго рода. Однако, несмотря на это, до сих пор не было проведено систематического теоретического исследования магнитной динамики дискретных сверхпроводников с точки зрения реализации в них явления самоорганизованной критичности.
Цели и задачи работы. Основной задачей настоящей работы было теоретическое и численное изучение критического состояния в модели дискретного сверхпроводника (многоконтактного СКВИДа), помещенного во внешнее магнитное поле. Главная цель данного исследования — теоретически показать, что динамика магнитного потока в критическом состоянии дискретного сверхпроводника носит лавинообразный характер, и это объясняется реализацией в системе явления самоорганизованной критичности. Это означает, что критическое состояние представляет собой набор метастабильных состояний, переходящих друг в друга посредством лавин. Лавины характеризуется изменениями магнитного потока в системе, и эти изменения демонстрируют степенное распределение.
Основываясь на предположении об универсальности критического поведения для жестких сверхпроводников второго рода и дискретных сверхпроводников, мы надеемся, что результаты, полученные нами для дискретной системы, могут быть также применены для объяснения и описания критической лавинообразной динамики вихрей, которая наблюдалась в экспериментах, не только в искусственно созданных решетках джозефсоновских контактов и гранулированных сверхпроводниках, но и в случае жестких сверхпроводников второго рода.
Исходя из основной цели исследований, мы решали следующие частные задачи:
-
Построение модели дискретного сверхпроводника, учитывающей все особенности строения и магнитной динамики системы. В частности, модель должна учитывать нерегулярную пространственную структуру дискретных сверхпроводников (внутреннюю пространственную стохастичность).
-
Исследование с помощью построенной модели критического состояния дискретного сверхпроводника, помещенного во внешнее магнитное поле, при различных значениях параметра V. Исследование включает в себя изучение статистики изменений магнитного потока в дискретном сверхпроводнике, анализ структуры лавин и процесса их развития, а также природы возникновения лавинообразных процессов в системе.
-
Изучение роли внутренней пространственной стохастично-сти в возникновении в дискретном сверхпроводнике лавин магнитного потока и самоорганизации критического состояния в системе.
-
Исследование влияния способа изменения внешнего магнитного поля на размеры возникающих в дискретном сверхпроводнике лавин магнитного потока.
-
В случае V ^> 1 построение упрощенной модели дискретного сверхпроводника с внутренней пространственной сто-хастичностью, которая является новой моделью типа "кучи песка", а также подробное изучение ее свойств.
В процессе решения каждой из перечисленных задач возникали более частные вопросы, которые также решались.
Научная новизна. Представленная работа является первым систематическим теоретическим исследованием критического состояния дискретных сверхпроводников на предмет реализации в них явления самоорганизации критического состояния.
В работе построена новая модель дискретного сверхпроводника с внутренней пространственной стохастичностью, учитывающая особенности строения реальных дискретных сверхпроводников. С ее помощью показано, что обнаруженная экспериментально в дискретных сверхпроводниках (гранулированных сверхпроводниках, решетках джозефсоновских контактов) лавинообразная динамика магнитного потока объясняется реализацией в этих системах явления самоорганизованного критического состояния. Это означает, что критическое состояние таких систем представляет собой набор метастабильных состояний, переходящих друг в друга посредством лавин. Лавина характеризуется вхождением в систему магнитного потока. Размеры возникающих лавин, то есть величины изменений магнитного потока за время лавины, демонстрируют степенное распределение. Также показано, что решающую роль в возникновении в дискретных сверхпроводниках самоорганизованного критического состояния играет именно внутренняя пространственная стохастичность (разупорядоченность) системы.
Впервые теоретически исследована магнитная динамика в критическом состоянии дискретного сверхпроводника при различных значениях основного параметра системы V и показано, что самоорганизованное критическое состояние реализуется в системе при переходном и малом значении основного параметра V, то есть лавинообразная динамика магнитного потока и степенное распределение лавин сохраняются и в этих случаях.
Впервые исследовано влияние способа изменения внешнего магнитного поля на возникновение самоорганизованного критического состояния в дискретных сверхпроводниках. При этом показано, что размер возникающей лавины и величина вызвавшего его изменения внешнего магнитного поля являются статистически независимыми величинами. Это означает, что лавина любого размера может быть вызвана как малым, так и большим изменением внешнего магнитного поля.
На основе модели дискретного сверхпроводника построена упрощенная модель системы, которая является новой моделью типа "кучи песка" с внутренней пространственной стохастичностью. С помощью одномерной модели кучи песка с внутренней пространственной стохастичностью показано, что механизм возникновения самоорганизованного критического состояния в дискретных сверхпроводниках точно такой же, как в ранее изученных классических моделях кучи песка.
Путем обобщения модели кучи песка с внутренней пространственной стохастичностью построен целый класс моделей систем с внутренней пространственной стохастичностью, который разделяется на два подкласса: потенциальные и непотенциальные системы. Показано, что в них реализуется самоорганизованное критическое состояние. При этом в непотенциальных моделях самоорганизация возникает при гораздо меньшей степени стоха-стичности системы, чем в потенциальных.
Изучение критического состояния в модели дискретного сверхпроводника позволило получить новые сведения о явлении самоорганизации критического состояния. Впервые был получен наиболее общий вид системы дифференциальных уравнений, с помощью которой можно моделировать явление СОК. Также был рассмотрен вопрос о возможности сосуществования явления самоорганизованной критичности и такого распространенного в природе и технике явления, как 1//-шум, в результате была обнаружена лишь одна система, в которой данные явления сосуществуют.
Научная и практическая значимость работы. В работе, исходя из первых принципов, построены одномерная и двумерная модели дискретного сверхпроводника с внутренней пространственной стохастичностью, учитывающие особенности строения реальных сверхпроводящих систем. Новые модели адекватно описывают все особенности критического поведения дискретных сверхпроводников и просты для анализа, что позволяет использовать их для дальнейшего изучения магнитных свойств дискретных
сверхпроводников.
Объясняя уже существующие эксперименты, наша работа открывает путь для новых, направленных исследований, которые будут способствовать описанию сложной картины поведения жестких сверхпроводников второго рода в критическом состоянии, что очень важно, например, для создания новых материалов, способных нести большие сверхпроводящие токи (сильноточные материалы) .
Кроме того, наша работа открывает новую страницу и в исследовании явления самоорганизованной критичности.
Во-первых, она описывает объект, доступный для экспериментальных исследований, который проявляет свойство самоорганизации. Мы надеемся, что с помощью направленных исследований на дискретных сверхпроводниках можно будет обнаружить новые закономерности поведения самоорганизованных систем.
Во-вторых, мы вводим новую для теории самоорганизации, более физическую, характеристику для лавин в критическом состоянии (изменение магнитного потока за время лавины). Данная величина может быть исследована экспериментально. Таким образом, мы расширяем определение самоорганизованного критического состояния, что весьма актуально в свете происходящего в настоящее время пересмотра этого понятия, а также включению его в более общее понятие "complexity", которым характеризуется поведение сложных динамических систем, состоящих из большого числа взаимодействующих элементов. Понятие "complexity" в настоящее время широко обсуждается научной общественностью и включает в себя определение общих черт поведения таких разнообразных систем, как Интернет, нейронные сети, эволюционные процессы и многое другое.
Основные положения, выносимые на защиту
1. Исходя из первых принципов, построена модель дискретного сверхпроводника с внутренней пространственной сто-хастичностью, которая достаточно проста для анализа, учи-
тывает специфику строения реальных сверхпроводящих систем, а также адекватно описывает все особенности критического поведения дискретных сверхпроводников.
-
Обнаруженная экспериментально в дискретных сверхпроводниках (гранулированных сверхпроводниках, решетках джозефсоновских контактов), помещенных в медленно меняющееся внешнее магнитное поле, лавинообразная динамика магнитного потока в критическом состоянии объясняется реализацией в этих системах явления самоорганизованного критического состояния. Это означает, что критическое состояние таких систем представляет собой набор метаста-бильных состояний, переходящих друг в друга посредством лавин. Лавина характеризуется вхождением в систему магнитного потока. Размеры возникающих лавин, то есть величины изменений магнитного потока за время лавины, демонстрируют степенное распределение.
-
Решающую роль в возникновении в дискретных сверхпроводниках, помещенных в возрастающее внешнее магнитное поле, самоорганизованного критического состояния играет внутренняя пространственная стохастичность (разупорядо-ченность) системы.
-
В дискретных сверхпроводниках в самоорганизованном критическом состоянии размер возникающей лавины и величина вызвавшего ее изменения внешнего магнитного поля являются статистически независимыми величинами. Это означает, что лавина любого размера может быть вызвана как малым, так и большим изменением внешнего магнитного поля.
-
Самоорганизованное критическое состояние в одномерном дискретном сверхпроводнике реализуется как при больших значениях основного параметра V, так и при переходном и
малом значении этого параметра, то есть лавинообразная динамика магнитного потока и степенное распределение лавин сохраняются и в этих случаях.
-
Путем упрощения и обобщения построенной модели дискретного сверхпроводника построен новый класс математических моделей типа "кучи песка", демонстрирующих самоорганизованное поведение — модели с внутренней пространственной стохастичностью. Данный класс разделяется на два подкласса: потенциальные (примером является дискретный сверхпроводник) и непотенциальные системы. В обоих подклассах системы демонстрируют самоорганизованное поведение, но в случае непотенциальных систем для этого требуется гораздо меньшая степень стохастичности, чем в случае потенциальных.
-
Получены новые сведения о явлении самоорганизации критического состояния, а) Получен наиболее общий вид системы дифференциальных уравнений, с помощью которой можно моделировать явление самоорганизованной критичности, б) Показано, что сосуществование в одной системе таких явлений, как 1//-шум и самоорганизация, крайне неустойчиво к изменению внешних условий.
Апробация работы. Результаты работы опубликованы в 12 статьях в реферируемых российских и зарубежных журналах. По результатам работы издана монография "Лавины магнитного потока и самоорганизованная критичность в дискретных сверхпроводниках" (изд-во ПИЯФ РАН, 2007). Материалы диссертации неоднократно докладывались на семинарах и Зимних школах ПИЯФ, а также в СПбГУ, ИТФ им. Л.Д. Ландау (Москва), ОИЯИ (г. Дубна), на международных совещаниях и конференциях, в том числе на Первой и Второй международных конференциях по фундаментальным проблемам сверхпроводимости (Звенигород, Москва 2004, 2006 годы), Совещаниях по физике низких
температур (Казань 2000 год, Екатеринбург 2003 год), международных конференциях Renormalization Group (Высокие Татры, Словакия, 2002, Хельсинки, Финляндия, 2005 годы), на LXXVII сессии летней физической школы "Slow relaxation and nonequilib-rium dynamics in condenced matter" (Франция, Лез Уш, 2002 год), NATO advansed workshop on vortex dynamics in Hihg temperature superconductors (VDHT 2002) (Ташкент, 2002 год), на Симпозиуме/Семинаре "Complexity and Criticality" (Копенгаген, Дания, 2003 год), на Школе-Конференции "Fundamental aspects of Complexity" (ICTP, Триест, Италия, 2004 год).
Структура диссертации
Диссертация изложена на 186 страницах и состоит из Введения, восьми глав и Заключения, включает 48 рисунков, библиография включает 81 наименование.
