Содержание к диссертации
Введение
1. Инфляция и генерация возмущений в теории гравитации с минимальным нарушением масштабной инвариантности 19
1. Теория гравитации со спонтанно нарушенной симметрией 19
2. Инфляция 27
3. Простейшие обобщения 31
4. Генерация возмущений I 34
5. Генерация возмущений П 44
6. Квантовая теория скалярных возмущений в синхронной системе отсчета 48
7. Стадия малых колебаний 51
2. Рождение частиц в конформно плоских пространствах 56
3. Рождение частиц в переменных электрических полях 65
1. Медленно меняющееся электрическое поле 65
2. Обратное влияние рожденных частиц 73
3. Электрическое поле, рождающее частицыс тепловым спектром 74
Заключение 78
- Инфляция
- Квантовая теория скалярных возмущений в синхронной системе отсчета
- Рождение частиц в переменных электрических полях
- Электрическое поле, рождающее частицыс тепловым спектром
Введение к работе
Теория квантовых эффектов в интенсивных внешних полях становится все более актуальной, что связано с прогрессом в области лазерной техники, созданием ускорителей тяжелых ионов, а также с успехами космологии и астрофизики, подтвердившими существование о природе сильных гравитационных полей.
В последние годы большое значение придается космологическим следствиям теорий великого объединения (&№). Было выяснено, что эти теории могут помочь нам решить многие давно стоящие космологические проблемы, такие как проблема горизонта, плоскостности, изотропии, барионной асимметрии и др. Нескольно лет назад такие вопросы, как отсутствие во Вселенной антивещества, почему она однородная и изотропная, казались почти метафизическими. Типичные ответы были основаны на так называемом антропологическом принципе: утверждалось, что в неоднородной и анизотропной Вселенной не было бы наблюдателя, который мог бы задавать такие вопросы (см., например, [l-2] ). Однако после открытия механизма локальной изотропизации Вселенной за счет рождения частиц L3—4 J и особенно после открытия возможного механизма возникновения барионной асимметрии [5-8 J стало ясно, что последние достижения в физике элементарных частиц могут дать физические ответы на указанные выше вопросы. Особый интерес к рассматриваемым вопросам возник после важной работы Гуса [9 J , который предложил возможное решение проблемы горизонта, плоскостности и монополей за счет экспоненциального расширения Вселенной (инфляции) в переохлажденной симметричной фазе во время фазового перехода в теориях великого объединения. Отметим, что на возможность решения проблемы горизонта за счет промежуточной стадии
_ 4 -экспоненциального расширения указывал советский теоретик Глинер [ю] , а позднее отмечали Глинер и Дымникова [її] и Їуревич[і2] еще задолго до Гуса.
Основные черты сценария іуса заключаются в следующем. В горячей фридмановской Вселенной хиггсовское скалярное поле находится в симметричном состоянии <Р = 0, поэтому есть эффективный космологический член V(O), где V(V) - эффективный потенциал поля if> . При расширении Вселенной температура падает и, когда
Т станет много меньше V(0), происходит переход со степен-
. ИІ
ного расширения на экспоненциальное: масштабный фактор a(t)">e
J/2.
где Н = (2#WQ)J. Во время экспоненциального расширения (деситтеровской стадии) энергия вакуума остается постоянной. Это значит, что температура, которая возникает при нагреве Вселенной после фазового перехода не зависит от длительности де-сит-теровской стадии, как было отмечено советским теоретиком Линде [ 13 ] . ^Единственный эффект стадии экспоненциального расширения состоит в огромном увеличении масштабного фактора cl () в переохлажденной фазе У = О , что делает Вселенную очень плоской после фазового перехода, iyc отметил, что этот эффект может дать естественное объяснение, почему Вселенная в настоящее время почти плоская. Проблема причинной связанности (или горизонта)
решается следующим образом. Область, имеющая первоначально раз-
-1 мер ^ Н , причинно связана. После экспоненциального и последующего фридмановского степенного расширения размер этой области будет больше размера современного горизонта І028 см (видимой в
настоящее время области). Поэтому весь наш видимый мир попадает
-1 в эту причинно связанную область, имевшую когда-то размер ~Н .
Только за счет фридмановской стадии этого добиться нельзя.
В сценарии іуса при фазовом переходе происходит туннелиро-
- 5 -вание и образование пузырей новой фазы, которые затем расширяются. Энергия этих пузырей запасена в стенках, и нагрев Вселенной возникает только после соударений стенок пузырей. Как было отмечено еще самим іусом, а также другими авторами, изучавшими эту проблему позже [9,14] , такой сценарий приводит к чрезвычайно большой неоднородности и анизотропии Вселенной после фазового перехода.
Через год после работы іуса [9] советским теоретиком Линде был предложен новый инфляционный сценарий, в котором вся наблюдаемая в настоящее время часть Вселенной оказывается внутри одного пузыря [іб] (см.также [16-17] ). В новом сценарии эффективный потенциал имеет очень малую кривизну в начале координат и малый потенциальный барьер. После туннелирования через этот барьер, поле долго "скатывается" в минимум потенциала. Во время этого "скатывания" Вселенная экспоненциально расширяется.
Предлагались также модели, в которых квазиде-ситтеровская стадия возникает за счет квантово-гравитационных поправок. Такая модель была предложена советским ученым Старобинским [l8J на год раньше модели Гуса. В последнее время появились интересные работы [63-71 ] , в которых делается попытка исследовать рождение замкнутой раздувающейся Вселенной из "ничего".
Существование фазового перехода во Вселенной, в результате которого кончается инфляционная стадия, проливает свет на другую важную проблему - происхождение начальных возмущений (НВ) в однородной Вселенной, которые затем приводят к образованию галактик. Квантовые флуктуации скалярного поля приводят к неодновременности конца фазового перехода в разных точках пространства. Поэтому в разных точках пространства Вселенная будет расширяться различное время, что ведет к неоднородностям. Однако про-
стейшие модели, рассмотренные в работах [19-22 ] , дают чрезвычайно большие неоднородности, заведомо противоречащие наблюдениям по изотропии реликтового излучения. Поэтому проблема начальных возмущений занимает особое место среди космологических проблем, которые решает инфляционный сценарий, и мы остановимся на этой проблеме подробнее.
Современные данные по наблюдению анизотропии реликтового излучения свидетельствуют о высокой однородности и изотропии Вселенной в больших масштабах. Однако полной однородности нет, так как Вселенная обладает сложной структурой в виде галактик и их скоплений. Для образования галактик необходимо, чтобы в ранней Вселенной были первичные возмущения на однородном фоне. Такие возмущения нарастают из-за гравитационной неустойчивости и затем приводят к образованию галактик [23 ] .
Какова амплитуда начальных возмущений и их спектр? Долгое время в теориях образования галактик амплитуда и вид спектра возмущений подбирались с таким расчетом, чтобы удовлетворить имеющимся наблюдательным данным о параметрах галактик [24] . Но в последнее время более естественной и привлекательной представляется возможность получения амплитуды и спектра из фундаментальных принципов. То есть начальные условия берутся из самой теории. В качестве начальнух возмущений выбираются квантовые флуктуации метрики или скалярного поля.
Однако, такая программа встретилась с большими трудностями. Для того, чтобы теория не противоречила наблюдательным данным по анизотропии реликтового излучения требуется, чтобы возмущение плотности ^f/p в масштабах современного горизонта (в принципе видимой части Вселенной) R ~ I02 см было меньше, чем 10 [25,98-99] . С другой стороны, теории образования галактик тре-
- 7 -буют, чтобы %f/f в масштабах ~ I0""3 R было больше, чем ЗЛО [25] . Как правило, амплитуда возмущения растет с увеличением длины волны. Поэтому имеет место сильное ограничение на возмущения плотности в масштабах горизонта R : 3-1o's < ty/p < 4сГ* Теоретические ограничения основаны на рассмотрении джинсов-
ской неустойчивости. Существуют два противоборствующих фактора -тяготение и давление. Тяготение стремится собрать вещество в отдельные сгустки, то есть, усилить неоднородности. Давление стремится выравнять неоднородности. На больших длинах волн с Я> ct - размер горизонта) преобладает тяготение. На меньших длинах волн (с l Как показано в работе [2б] (см.также [27-28] ), если эволюция Вселенной от сингулярности и вплоть до настоящего времени определялась обычным гидродинамическим веществом с уравнением со- стояния Р = Р(), где(Р+)~ , Р> О , >0, то ty/j> < 10 . Квантовые флуктуации метрики недостаточны для образования галактик. В моделях с промежуточной де-ситтеровской стадией квантовые флуктуации растут при распаде этой стадии и оказываются достаточными для образования галактик [29-31,19-22] , но при естественных значениях параметров они слишком велики. Предлагались и другие варианты теорий [32-33,35-36,38-41]. В этих моделях для нахождения амплитуды и спектра возмущений нужно исследовать динамику некоторого однокомпонентного скаляр-ного поля с самодействием Я у> или Я К
Результаты, полученные в [19-22] , стимулировали поиск теорий, в которых потенциал очень плоский при малых Ц> Простейшая возможность, рассмотренная в [32-33 ] , связана с суперсимметричными моделями. В этих теориях эффективная константа связи Я (
.1/2. *
по сравнению с планковской массой: AL ~ ( ^V Alpg,-) , где l^w- масса \Х/ -бозона и амплитуда возмущений ^М^/Мр^^Ю, что, конечно, не годится для объяснения малых величин ~10 . Для получения нужных возмущений требуется ввести в теорию очень малые константы порядка 10 , что представляется неестественным.
В работах [38-39] константа связи есть квадрат некоторой другой изначально вводимой безразмерной константы Я. ^10 ,
- 9 -которая также еще чрезвычайно мала.
В моделях, основанных наЛ/=1 супергравитации, взаимодействующей с материей [40-411 , константы взаимодействия Я и Я. 00 (j^/Mpt)» где/*- - некоторая константа размерности массы. Малость констант взаимодействия Я и Я есть следствие малости у-*-, по сравнению с планковской массой Мр^. Однако, физический смысл у- не ясен и непонятно, какое значение К* является естественным.
Отметим, что в работах f32-33"] все-таки делалась попытка получить малость амплитуды возмущений из независимых от астрономических наблюдений соображений: как следствие малости Мс/Мр#. В работах [38-4l] было всего лишь переобозначение констант связи.
В I первой главы диссертации мы покажем, что численная малость констант взаимодействия приводит к важным качественным следствиям, поэтому представляется очень актуальным построить такую теорию, в которой нужная малость амплитуды НВ возникает из внутренних свойств теории.
Предлагаемая в диссертации модель основана на том, что в теориях великого объединения имеет место интересный результат. Калибровочные константы сильного, слабого и электромагнитного взаимодействия становятся равными на энергии W , много меньшей планковской. Таким образом в теориях великого объединения возникает естественный малый параметр - отношение массы сверхтяжелого калибровочного бозона к планковской массе МХ/МР» которое для минимальной SC(5) порядка 10~4. В моделях работ [15-22,32-33, 38-41] амплитуда возмущений практически не зависит от 1ЛХ . В предложенной нами модели ненулевое среднее скалярного поля, вызывающего инфляцию, дает также планковскую массу, то есть, вместо эйнштейновского члена в лагранжиане стоит - (-$) К ^ Подоб-
-іонне теории рассматривались, например, в работах [42-53 ] Нужная малость амплитуды возмущений обусловлена исключительно малостью МЛ/А1р,и не требуется введение дополнительных малых параметров. Поэтому малость амплитуды возмущений естественно следует в предлагаемой модели из теоретико-полевых соображений, а не из подгонки под астрономические наблюдения.
Мы рассмотрим теорию, которая масштабно инвариантна на древесном уровне. Как и в модели Колемана-Вайнберга, масштабная инвариантность нарушается только за счет радиационных поправок, то есть, минимальным образом. Таким образом, предлагаемая теория - обобщение модели Колемана-Вайнберга на теорию гравитации.
В качестве модели рассмотрен один из вариантов теории великого объединения, построенной на группе S С/(5) с синглетом относительно этой группы (f . Синглет (f взаимодействует со скалярными и сшшорными полями, причем константы взаимодействия безразмерны, что следует из требования масштабной инвариантное-
ти. Например, взаимодействие с хиггеовским 24-плетом ф имеет
л 2/ 7ь вид \ у±Г.
Основная идея предложенной модели состоит в следущем. Главный вклад в энергию вакуума в рассматриваемой модели дают флук-туации векторных полей: V** fr Ф ~ Мх (cj/jo), где < - калибровочная константа связи, ф - главная компонента 24-х плета
ф , Ф =
(ро станет порядка Мр, . Следовательно, V^ (Mx/Alpt) ^ и естественным образом получена малость константы четвертного
- II -
взаимодействия как следствие малости Мх/М-^Ю , а также малость обезразмеренной амплитуды НВ, которая у нас пропорциональна (/Чх/Д1р) » что можно очень легко показать, пользуясь масштабной инвариантностью теории (см.начало 4 первой главы диссертации).
В диссертации подробно исследована динамика предложенной модели. Сначала рассмотрен случай, когда поле if есть функция только времени, а пространство - изотропное. Эволюция начинается при больших if >> if0 (как и в работах (J58-59J ). На этой стадии Вселенная экспоненциально расширяется до тех пор, пока if не станет порядка (р0 . Затем происходит выход на фридмановскую стадию с малыми осцилляциями (поле совершает колебания вокруг if0 ) , после распада которых Вселенная выходит на радиационно-доминированную стадию.
В диссертационной работе сформулированы ограничения на начальные условия, при которых модель содержит достаточно длительную инфляцию. Показано, что длительность инфляции определяется только начальными условиями и не накладывает ограничений на константы взаимодействия теории (в отличие от ранее предлагавшихся моделей с фазовым переходом [_I5-20 J, в которых возникшие таким образом ограничения оказались неприемлемыми).
Приведено обобщение на неоднородный случай. Отмечено, что происходит конкуренция начальных условий и указано, почему наиболее вероятными являются начальные условия, дающие длительную инфляцию (в духе хаотического сценария Линде [58 ] ).
Рассмотрены простейшие обобщения первоначально предложенной теории, также основанные на теории гравитации со спонтанно нарушенной симметрией, приводящие к длительной инфляции. Построена квантовая теория скалярных возмущений. Получена и исследована
- 12 -инфляционная стадия в таких космологических моделях. Показано, что вблизи сингулярности имеет место степенное решение (скей-линг). Это совершенно естественно, так как при больших полях (р в теории эффективно нет размерного параметра.
Вычислена амплитуда и спектр возмущений, возникающих при развале инфляционной стадии. Показано, что спектр, как и требуется, почти плоский.
Методы, развитые для исследования скалярных возмущений, применимы и для изучения роадения частиц из вакуума внешними полями (гравитационными и электромагнитными).
В работах семидесятых годов изучались невзаимодействующие квантовые поля во внешних гравитационных полях (см., например, [60-62 J ) и основные черты их динамики были, по-видимому, исследованы. Например, как уже отмечалось выше, было показано, что рождение частиц приводит к локальной изотропизации Вселенной.
В начале восьмидесятых годов появились работы [72-77J , в которых рассматриваются взаимодействующие поля. В этих работах . основное внимание уделялось вопросам перенормируемости теории во внешнем поле. Мы же считаем важным исследовать, к каким новым конечным эффектам приводит взаимодействие частиц между собой. Например, долгое время считалось, что частицы, подчиняющиеся конформно инвариантным уравнениям, не рождаются в конформно плоских пространствах. Этот факт был доказан для невзаимодействующих полей [78 J . Однако радиационные поправки могут изменить этот результат, что, как показано в диссертации, и происходит (см.также независимые работы [lOO-IOIJ ). Взаимодействие полей между собой приводит к тому, что есть перенормировка заряда и фактически нарушается конформная инвариантность. В диссертации показано, как это приводит к эффективной зависимости
- ІЗ -
зарядов от координат, (в частности, от времени), что следует учитывать, например, при изучении фазовых переходов в расширяющейся Вселенной. Кроме того, возникает рождение частиц. Вычислена плотность калибровочных бозонов, рожденных в несингулярном конформно плоском пространстве, и локальная скорость рождения. Плотность рожденных частиц имеет смысл вычислять в несингулярном пространстве, так как вблизи сингулярности гравитацию нельзя считать классической, а квантовая теория гравитации пока не построена. Не исключено, что именно вблизи сингулярности в основном и происходит рождение частиц. Поэтому в качестве конкретного примера рассмотрена метрика Одрича-Шаффера
[79-80] : 4 h і ъ
а = а0 + i0 ^ у
где h - конформное время, &0 и ъ0 - константы. Эта метрика при Uoo выходит на радиационнодоминированную стадию, непосредственно имеющую физический смысл.
Одним из наиболее интересных квантовых эффектов является рождение частиц из вакуума электрическим полем, которое можно наблюла ть, например, в экспериментах по столкновению двух ядер урана. При этом на короткое время образуется квазимолекула с зарядом ~Z. - 184, поле которой порождает два позитрона и приводит к образованию отрицательно заряженного вакуума (см., например, [8і] ). Друтим способом создания интенсивных электромагнитных полей является фокусировка излучения мощных лазеров. Хотя получаемые таким образом поля в настоящее время имеют напряженности существенно ниже Ек = m С /ей , можно надеяться, что с развитием лазерной техники и методов фокусировки максимально достижимые значения напряженностей увеличатся. Большой интерес в связи с этим представляет перспектива создания рентгеновских и
- 14 -гамма-лазеров. В астрофизике известно, что электромагнитные поля пульсаров могут принимать значения, близкие к критическому.
В семидесятые годы проводились вычисления спектральной и полной плотности рожденных частиц для ряда электрических полей, зависящих от времени 82-87] (см.также ссылки в обзорах [81,87-88]) Результаты были найдены как для одиночного импульса поля [82] , так и для периодического поля [83-84] . Очень эффективным оказался метод "мнимого" времени [84-86] . Кроме того, продолжалось исследование квантовых эффектов в постоянных электрических и магнитных полях [87-92] .
В последние годы появились работы [93 J , в которых изучается динамика электрического поля, рождающего частицы и обратное влияние рожденных частиц. Поэтому актуальным является вычисление локальной скорости рождения частиц в медленно меняющемся электрическом поле. До сих пор локальная скорость рождения была найдена только для постоянного поля [94 J .
В работе [95 ] была попытка представить поляризацию, вызванную постоянным электрическим полем в "тепловом" виде с температурой Т= -вс/2Жт, Как известно, в системе отсчета, движущейся с постоянным ускорением, вакуум имеет эффективную температуру Т- CL/2Si * где Ct - ускорение ^96,97] . В постоянном электрическом поле электрон движется с постоянным ускорением CL-^E/m. Отсюда и получается написанная выше формула для температуры. Как показано в диссертации, нет оснований приписывать температуру постоянному электрическому полю. Но найдено, что существует поле, которое действительно рождает частицы с тепловым спектром, если действием поля на уже рожденные частицы можно пренебречь. Это экспоненциально затухающее электрическое поле: Е = Е0 . Температура Т- К /%%, что естественно, так как поле периодично
по мнимому времени с периодом Т"*х.
Таким образом, целью и задачами диссертационной работы являются:
Построение теории поля, которая приводит к нужным амплитуде и спектру начальных возмущений и исследование свойств этой теории.
Изучение рождения безмассовых частиц, взаимодействующих с другими частицами в конформно плоских пространствах.
Вычисление скорости рождения частиц в медленно меняющихся электрических полях и оценка обратного влияния рожденных частиц. Нахождение электрического поля, рождающего частицы с тепловым спектром.
В первой главе исследована динамика теории гравитации со спонтанно нарушенной симметрией.
В I первой главы предложена теория великого объединения, в которой естественным образом получается нужная малость амплитуды начальных возмущений. Показано, как численная малость констант взаимодействия приводит к важным качественным выводам.
В 2 рассмотрена однородная динамика в модели, предложенной в I, и исследована инфляционная стадия. Рассмотрено также обобщение на неоднородный случай.
В 3 получены обобщения простейшей модели, изложенной в I, на случай более общего потенциала, также приводящие к длительной инфляции. Изучена инфляционная стадия.
В 4 первой главы дано упрощенное рассмотрение развития возмущений на фоне однородных решений, полученных в 2-3, чтобы наглядно выявить наиболее существенные моменты динамики этих возмущений. Практически без вычислений получено, что ам-
плитуда возмущений метрики в модели I пропорциональна (М /М 1 при этом использована приближенная (из-за логарифмических поправок) масштабная инвариантность лагранжиана. Отмечены основные черты спектра возмущений метрики. Показано, что спектр почти плоский и это есть общее свойство моделей с квазиде-ситте-ровской стадией, в том числе и в теории гравитации со спонтанно нарушенной симметрией. Указаны отличия в динамике возмущений от случая фазового перехода из состояния скалярного поля с нулевым средним, который рассматривался в работах [l9-22J .
Уравнение для возмущений скалярного поля (f решено в двух областях. В области I физический импульс K.-lt/cb^^Hlf/ifl) (ct- масштабный фактор) и можно пренебречь наличием фонового поля
В 5 первой главы дано полное рассмотрение динамики возмущений скалярного поля и скалярных возмущений метрики на фоне однородных решений, аналогичное проведенному в работе Лиф-шица для Вселенной, заполненной идеальной жидкостью ^23 J . Исследована система трех уравнений для возмущений как скалярного поля, так и скалярных возмущений метрики. Одно из этих уравнений
- 17 -второго порядка и два первого. Порядок системы понижается на два, так как система имеет два частных интеграла, соответствующих фиктивным изменениям метрики, которые могут быть исключены преобразованием системы отсчета. Решая полученное уравнение второго порядка, убеждаемся в справедливости всех результатов, полученных в 4 при упрощенном рассмотрении. Показано, что возмущения метрики возникают только в результате развала инфляционной стадии, в "чистой" де-ситтеровской Вселенной эти возмущения не образуются.
В 6 построена квантовая теория скалярных возмущений в теории гравитации со спонтанно нарушенной симметрией. Подробно изучен вопрос о нормировке высокочастотных скалярных флуктуации в синхронной системе отсчета. Для большей надежности нормировка выполнена по тензору энергии - импульса, при которой энергия каждой моды нормируется на ю/ , где ^о _ частота моды.
В 7 получена стадия нелинейных колебаний, на которую выходит система после развала инфляционной стадии. Такая стадия, так же как и дальнейшая эволюция Вселенной, не является специфической для теории гравитации со спонтанно нарушенной симметрией. Она аналогично возникает и в теории скалярного поля с минимальной связью с гравитацией и с обычным эйнштейновским членом в действии. Поэтому соответствующие вопросы рассмотрены кратко.
Во второй главе рассмотрена динамика взаимодействующих квантовых полей в конформно-плоском пространстве и изучены отличия от случая невзаимодействующих конформно инвариантных полей. Показано, что возникает эффективная зависимость зарядов от координат и рождение частиц. Вычислена плотность рожденных частиц, а также локальная скорость рождения.
В третьей главе рассмотрено рождение частиц в меняющихся по времени электрических ПОЛЯХ.
В I вычислена спектральная плотность скалярных и спи-норных частиц, рожденных в слабо переменном электрическом поле, а также локальная скорость рождения. Найден критерий того, когда поле можно считать постоянным.
В 2 полученные в I результаты применяются для исследования динамики электрического поля, рождающего частицы, в задаче , рассмотренной в работе [ 93 J . Показано, что при вычислении локальной скорости рождения частиц для учета обратного влияния рожденных частиц электрическое поле можно считать постоянным.
В 3 вычислена спектральная плотность частиц, рожденных электрическим полем, имеющим экспоненциально затухающий "хвост": Е- с -в . Показано, что если пренебречь влиянием электрического поля на уже рожденные частицы, спектр этих частиц тепловой.
Основные результаты диссертации докладывались на пятой и шестой Всесоюзных конференциях по теории относительности и гравитации (Москва, июль 1981 и июль 1984 г.г.), на сессиях отделения ядерной физики АН СССР (Москва, октябрь 1981 г., февраль 1982 г. и октябрь 1984 г.), на семинарах ИТФ им. Л.Д.Ландау АН СССР и ГАИШ и опубликованы в работах [54-57,110-112,121-123^.
Инфляция
В этом разделе мы рассмотрим однородное поле СФ в изотропном пространстве с масштабным фактором CtC0 (в синхронной системе отсчета), а также, кратко обсудим обобщение на неодно- родный случай. Тогда 0 - компонента системы (1.6) и уравнение (1.7) запишутся в виде Предположим, что начальные условия удовлетворяют соотношению55 то есть, начальная скорость изменения поля (р мала (по сравнению со скоростью расширения Вселенной). Подставляя выражение (1.4) для V в уравнения (2.1)-(2.2), получим, что при f»f0 х Можно показать, что достаточно значительно более слабых условий на начальную скорость изменения поля. Изгза быстрого затухания скорости все равно происходит выход на стадию где «v и "Ь. - константы, -C\fl(Itl/llt) /УЛ , ҐП - мас-ca поля p в минимуме % , /y = /$ (ин) = Щ) ъ Отметим, что условие (2.3) выполнено в (2,4)-(2.5). Уравнения н (2.4)-(2.5) справедливы с точностью l/&(1 + l/ii./ ) yuvt(f/(/f0)) то есть, либо при большой величине логарифма, либо при малом к . Пространство с масштабным фактором (2.4) - квазиде-ситте- ровское, так как И 1, Малая величина характеризует отклонение метрики (2.4) от метрики де Ситтера. Так же как и пространство де Ситтера, пространство (2.4) имеет горизонт с размером И (у. Существование квазиде-ситтеровско-го решения связано со следующим обстоятельством. Отношение характерных времен изменения поля ( дилатона) и расширения пространства oV/V щЖ 1% t чт0 видно из уравнений (2.1)-(2.2), где kv _ масштабно неинвариантная часть потенциала (возникающая за счет радиационных поправок). В силу малости oV/V за время характерного изменения поля V , которое скатываясь в минимум прекращает квазиэкспоненциальное расширение, Вселенная успевает расшириться во много раз. Существенно, что связь скалярного поля с гравитацией неконформная, в противном случае, что соответствует 4+ І/іЦ ьО, инфляции не было бы, как видно из (2.4). Квазиэкспоненциальное расширение возникает также и при малой величине 12 , что соответствует сильному отличию от случая конформной связи. Пространство (2.4) имеет сингулярность при ъ-0, так как кривизна ( -- Н обращается в бесконечность при і-О Однако, эффективная гравитационная постоянная также зависит от вре-мени: G-щ - (МЖЬ (рк ) оо і . В результате \ & R І 10{п(Ы (М /М У iO l0 n 4Y ecJm только Ь не является чрезвы-чайно экспоненциально малым, следовательно, пространство-время можно считать классическим. Эволюция начинается при малых і «і, (и больших % %).
Вселенная расширяется согласно (2.4) до тех пор, пока if не станет порядка % . Тогда решение (2.4) станет неприменимо. В 7 будет показано, что происходит выход на фридмановокую стадию с малыми осБИЛляниями: как и в работах L18,104J . Чтобы на квазиде-ситтеровской стадии (2.4) Вселенная расширилась больше, чем в 10ои раз, как это нужно для решения известных космологических проблем [9 J , требуется, чтобы До сих пор мы рассматривали только однородную динамику. Однако решение (2.4)-(2.5) локально справедливо и в общем неоднородном случае, если выполняются указанные ниже ограничения на начальные условия в задаче Коши для системы (1.6)-(1.7). Мы будем работать в синхронной системе отсчета. Обозначим посредством Н одну шестую логарифмической производной по времени детерминанта метрики % . Это определение совпадает с введением ранее для частного случая изотропного пространства. Достаточно, чтобы существовала область с размером горизонта ( Н (і. )), в которой характерный масштаб изменения начальных значений вели-Ч1Ш % » % в 1 шо? больше размера горизонта И с и/. (Более подробно это изложено в конце раздела). Можно показать, что области, в которых не выполняются указанные для (р , у , 9-. ,4. условия, экспоненциально расширяться не будут. Поэтому даже если сначала объем областей с "хорошими" начальными условиями был мал по сравнению с остальными областями, после инфляции эти области займут почти весь объем пространства. Происходит конкуренция начальных условий. Это объясняет, почему наш мир с размером порядка современного горизонта 1(г0см произошел из области с "хорошими" начальными условиями, прошел через инфляцию и в нем успешно решены космологические проблемы, указанные в[$] . Однако, есть и миры, не прошедшие через инфляцию, но доля их мала. Такой сценарий имеет много общего с хаотическим сценарием Линде 58J . Рассмотрим более подробно общий неоднородный случай. Мы будем работать в синхронной системе отсчета: Предположим, что существует такая точка 0 , для которой выполнены написанные ниже условия (2.9)-(2.10). Линейным преобразо-вашем пространственных координат X с постоянными коэффициен- тами можно добиться того, чтобы в начальный момент времени 1 . Мы будем рассматривать только окрестность точки Z, с размером горизонта [И (і. )), то есть, область причинной связанности, H- /G f » где у= Jet II (f /І . Чтобы пространственные производные У , и Ц не влияли на динамику (то есть, были много меньше производных по времени), достаточно выполнения следующих условий при ІУі для любых ot , Ь и У . Из уравнений (2.10) следует, что I ь I в указанной выше окрестности. Если существует область с размером горизонта, в которой начальные условия удовлетворяют (2.3), (2.9)-(2.10), то решение быстро выходит на инфляционную стадию (2.4)-(2.5), на которой эта область расширяется экспоненциально. За время выхода на инфляционную стадию (D успевает измениться всего лишь на вели- Рассмотрим теперь возможные обобщения простейшей модели, предложенной в I, на случай более общего потенциала У (т) в (I.I). Потребуем, чтобы Вселенная расширялась квазиэкспоненци-ально, то есть, И/Н -i . Для этого нужно, чтобы при У»% в достаточно большой области значений ( Неравенство (3.1) легко получить, если учесть, что H/hf if/tpj и использовать (2.1)-(2.2). Мы видим, что при больших полях / потенциал \/(Ц ) ведет себя приблизительно, как . Для простоты мы рассмотрим случай, когда (у) K$ t=. Тогда при Ц »% что справедливо при vn, (ф/ц) 4 /. Требуется, чтобы 0 , если динамика начинается при больших f f и поле стремится к равновесному значению f0 . В противном случае будет непрерывный рост поля и инфляционная стадия никогда не кончится, что, разумеется, противоречит наблюдениям.
В качестве модельного рассмотрим потенциал имеющий минимум при (f (f o , кроме того, предполагается, что Jb %0 . Такой потенциал представляется естественным. Первый член в (3.3) - затравочный полином, а второй член можно рассматривать как результат однопетлевых поправок. Исследуя однородную динамику, находим, что при » [ро система (2.1)-(2.2) с начальными условиями, удовлетворяющими (2.3), имеет решение Интегрируя (3.4), получаем Вблизи сингулярности при с А или (f»(Z /Ь) (Р0 имеем параметра. Этим предлагаемая модель отличается от всех других, рассмотренных ранее [.9-22, 30-41J , в которых был размерный параметр (планковская масса), что приводило к де-ситтеровскому решению с &66) со . Однако для решения известных космологических проблем, о которых мы упоминали во введении, важно лишь, что Р 4 . Тот факт, что расширение не является чисто экспоненциальным, никакого значения не имеет, так как расширение достаточно быстрое (у нас 1 4 ). Отметим, что решение (3.7) - квазиде-ситтеровское, так как 1нЛг= Л/Р«\. Малая величина 4/Р характеризует отклонение метрики (3.7) от метрики де Ситтера. Аналогично пространству де Ситтера, пространство с cuiir) из (3.7) имеет горизонт. Если физическое расстояние между двумя точками в некоторый момент времени -Ь больше }p/(p- Н (і) и мы испускаем световой сигнал из одной точки в другую, этот сигнал не дойдет до второй точки и за бесконечное время, так как физическое расстояние в пересчете на момент г , пройденное сигналом за бесконечное время есть При Р 1 вторая точка столь быстро удаляется относительно первой из-за расширения пространства, что свет не может ее догнать. Пространство с (Х[і) из (3.7) имеет сингулярность при Ъ-О t так как кривизна обращается в бесконечность. Однако эффективная гравитационная постоянная также зависит от времени и \Gr u К I -/2№ , что порядка ІСГ10 при разумных значениях констант (см. 2). Поэтому пространство-время (3.7) практически при всех -Ь можно считать классическим. Отметим, что X(f) и р на самом деле не являются констан тами, однако их зависимость от времени более слабая, чем явно написанная в (3.4)-(3.8) в силу малости $/х(у) , Рассмотрим также другую асимптотику, когда ty.o/f) % р %-Тогда (f/lj « ЯЛ- At «і, В этом разделе мы приведем упрощенное рассмотрение развития возмущений на фоне классических решений (2.4)-(2.5) и (3.7)-(3.8), чтобы наглядно выявить наиболее существенные моменты динамики этих возмущений. Практически без вычислений можно найти зависимость возмущений от константы связи fe в (1.4).
Квантовая теория скалярных возмущений в синхронной системе отсчета
В 4 мы нашли нормировку высокочастотных флуктуации скалярного поля, пользуясь конформно плоской метрикой. В 5 мы провели последовательное рассмотрение динамики флуктуации в синхронной системе отсчета и для полноты изложения нужно найти нормировку скалярных флуктуации в этой же системе отсчета. Оператор квантового поля можно записать в виде где &„ и CL - операторы уничтожения и рождения бозе-частиц со стандартными коммутационными соотношениями определение ifK и 4 см. в (4.5)-(4.5а). Приближенным уравне- нием для V является уравнение (4.56). Мы возьмем возмущения метрики общего вида в синхронной системе отсчета: где ct - фоновая метрика, подчиняющаяся уравнениям (2.1)-(2.2). Запишем лагранжиан (I.I) в метрике (6.3) и добавим к нему полную производную, чтобы избавиться от вторых производных возмущения по времени. Интересующая нас квадратичная по возмущению часть лагранжиана содержится в выражении где га 4/4ь "fcjs ) У= {ї поднятие и опускание индексов производится трехмерной метрикой J(j.B » & - трехмерная скалярная кривизна, построенная из метрики У ; (p(k)m CL являются решением системы (2.1)-(2.2). Для вывода (6.4) удобно воспользоваться выражениями для К і в синхронной системе отсчета, приведенными в Гі05 . Пользуясь (6.4), находим обобщенные импульсы 5Г -QX/QS , Скалярные возмущения метрики являются продольными модами, а не степенями свободы системы, в отличие от гравитационных волн, Скалярные возмущения метрики определяются возмущениями скалярного поля of(x) , Для нахождения нормировочного коэффициента /j в (4.6) нам нужно выразить Я и Як через Ф из урав-нений (1.6) и подставить в гамильтониан (6.5). Пользуясь формулами Приложения I, находим, что при К,- &/ х » И-і /0 Перепишем (6.7) в координатном представлении: откуда легко получить выражение для обобщенного импульса, со-пряженного полевой переменной f : Переходя от полевых переменных у и Ж к соответствующим операторам, определим для них коммутационные соотношения на гиперповерхности = h - const Нормируя энергию каждой моды на ю/4, , где (л) - частота моды, и пользуясь (6.7)-(6.8), получим найденный в 4 нормировочный коэффициент (4.II). В предыдущих разделах мы подробно исследовали динамику скалярного поля на инфляционной стадии. Как отмечалось в I, при ф р0 инфляция кончается и происходит выход на колебательную стадию, которую мы и рассмотрим в настоящем разделе.
Для изучения малых нелинейных колебаний в системе (2.1)-(2.2) достаточно ограничиться квадратичныгл по %--% членом в разложении потенциала V( p) по Z Уравнение (2.2) тогда приобретает обычный вид, как и в случае минимальной связи скалярного поля с гравитацией: где и мы можем непосредственно применить аргументы работы Турне-pal04j . Уравнение (7.1) легко приводится к виду где р = 9 /%, + VKg Р = Р /Х, - VK . Усредняя по периоду колебаний, находим, что р-0 . Это естественно, так как в гармоническом осцилляторе средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной. Отсюда находим, что Р с OL , ее " Кроме того, амплитуда / пропорциональна Цриведем также более детальное исследование. Удобно анализировать уравнение следа системы (1.6), которое после отбрасывания несущественных для нас членов приобретает где мы для краткости обозначений ввели Л1 - у0. Мы рассматриваем стадию, когда уже Отброшенные при выводе уравнения (7.3) члены имеют большую малость по Н/М » чем оставленные. Уравнение (7.3) описывает колебания с малой нелинейностью, стоящей в правой части. Мы будем искать решение в виде где многоточием обозначены высшие гармоники, Ниже будет видно, что амплитуды высших гармоник имеют малость по Н/М , по сравнению с С (-6) f а условия (7.6) являются следствием (7.4), Приравнивая коэффициенты при члене COS в уравнении (7.3), получаем где Ct =хр (JH0o№) - усредненный масштабный фактор, = const. Коэффициенты при неосциллирующей части дают Анализируя коэффициенты при ІП (jtOolz), находим Для более точного определения W - М нужно учесть часть отброшенных при выводе уравнения (7.3) членов. Найдем вклад высших гармоник в (7.5). Получим Как и следовало ожидать, этот член имеет малость Н0 /М, по сравнению с основным членом (7.5), так как С HQ . Амплитуды остальных гармоник по крайней мере в М//-/ раз меньше члена (7.II) и для их определения надо оставить часть членов, отброшенных при выводе уравнения (7.3).
Аналогично можно рассмотреть и -уравнение системы (1.6) - уравнение (2.1), которое мы запишем в виде отбрасывая члены, имеющие большую малость по Н0/Н . Приравнивая коэффициенты при неосциллирующей части, получаем Для нас были существенны только первые два члена в (7.12). Из (7.8) и (7.13) легко получаем Таким образом, мы показали справедливость (2.6). Решение (7.15) описывает фридмановскую вселенную с частицами, имеющими массу М. Осцилляции (7.15) будут рождать частицы с массами меньшими W/% = m j 0/ Колебания поля происходят вблизи минимума потенциала (р и динамика поля здесь мало отличается от случая скалярного поля с минимальной связью с гравитацией, рассмотренного Шафи и Виленкиным 39J , при условии, что массы скалярных полей Р в обеих теориях совпадают. В случае теории гравитации со спонтанно нарушенной симметрией мы получили, что масса Ш задается масштабом великого объединения при выполнении определенных условий (Д , 1 \ і). В случае минимальной связи с гравитацией (со стандартным эейнштейновским членом) масса /7? зависит от констант четвертного взаимодействия хиггсовского 24-пле-та (от А), неизвестных нам. В этом отношении предсказательная сила предлагаемой нами теории выше, чем более стандартной L39J . После распада инфлятонов в (7.15) на более легкие частицы вселенная выходит на радиационно доминированную стадию. Для генерации барионного заряда нужно, чтобы инфлатон (р мог распасться на частицы триплета Н3. Для этого требуется, чтобы масса триплета Генерация барионной асимметрии абсолютно аналогична рассмотренной Долговым и Линде fioej , Эботом, Фарши и Вайсом L10?] & также Шафи и Виленкиным [39] . Различие, по сравнению с работой [іОб] , состоит в том, что инфлатоны не могут распадаться на сверхтяжелые калибровочные бозоны из-за малости массы инфлатона, таким образом, один из каналов генерации барионной асимметрии отпадает. Этот результат есть следствие малости констант взаимодействия, возникающей из ограничений на амплитуду адиабатических возмущений. Мы видим, что и при генерации барионной асимметрии чрезвычайная малость констант взаимодействия приводит к качественным следствиям. Основные результаты этой главы полностью опубликованы в работах [ 54-57 J.
Рождение частиц в переменных электрических полях
В последнее время появились работы, в которых учитывается обратное влияние частиц, роаденных внешним классическим полем [ 93 J . Для решения подобных задач нужно знать количество рожденных частиц в каждый момент времени в изменяющемся электрическом поле. Мы определяем понятие частицы в смысле ВКБ-асимптотики решения волнового уравнения. Такое определение частицы находит свое оправдание в том, что, если адиабатически отключить внешнее поле, то асимптотики старых решений перейдут в асимптотики новых решений, т.е. в плоские волны [ИЗJ . Таким образом, выполняется принцип соответствия. Существует некоторый отрезок времени, на протяжении которого асимптотика, справедливая при т.- - , переходит в асимптотику, справедливую при г - + . Мы говорим, что в течение этого времени рождается частица. Новиков и Старобинский [93 J определяли скорость рождения частиц по тому, в скольких модах заканчивается процесс образования асимптотик решений в единицу времени. Они рассмотрели электрическое поле, которое рождает электрон-позитронные пары. Создается ток рожденных частиц и, согласно уравнениям Максвелла, величина электрического поля уменьшается. Таким образом, возникают колебания электрического поля Е (х) . При этом в L93J скорость рождения частиц вычислялась по формулам для постоянного электрического поля. Поэтому важной задачей является вычисление скорости рождения частиц в медленно меняющемся электрическом по- ле. Решению этой задачи и посвящен этот раздел.Мы вычислим спектральную плотность рожденных частиц в слабо переменном электрическом поле, зависящем только от времени. Мы получим также формулу для скорости рождения пар, обобщающую известную формулу Швингера. Будет показано, что если \п/\-е\ -/, то электрическое поле можно считать постоянным только при \Е/Е\ ftl (j Е \/mj Это условие значительно жестче обычно используемого условия малости производных поля по сравнению с комптоновским радиусом: В 2 полученные результаты применяются для учета обратного влияния рожденных частиц. Сначала мы вычислим вероятность рождения частицы в данной моде в почти постоянном электрическом поле.
Пусть имеется однородное электрическое поле F(v , на- правленное вдоль оси X . Квадрированное уравнение Дирака может быть приведено к виду [81J Аналогично, для уравнения Клейна-Гордона имеем Мы рассмотрим решение уравнения (1.2), имеющее асимптотику где \Cj\ - \C \ =7. Мы интерпретируем это как рождение частиц в данной моде. Плотность рожденных частиц К - \СЬ\ [4 J . Аналогично, рассмотрим решение уравнения (1,1), имеющее асимптотику Для вычисления спектральной плотности рожденных частиц под термином "слабо переменное" поле мы будет понимать лишь малость производных поля В ft) в точке і , в окрестности которой рождаются частицы ( Р- е Аъ (-L ) =Cj)» При і -»t о поле может очень сильно отличаться от постоянного. Разложим электрическое поле вблизи LQ : Величина n имеет смысл безразмерного времени, а /. «г ... oi - безразмерных производных электрического поля. Тогда Уравнение (1.9) справедливо при Я 4sM/« ///olj і/иЛ .,.j/\ L І4ЄІІІ. Коэффициент С9 может быть найден исходя из того, что асимптотическое выражение / справедливо во всей достаточно удаленной области плоскости комплексного переменного 4 . Проследим за изменением функций (1.3) и (1.5) при обходе вдоль полуокружности большого радиуса Р : X в верхней полуплоскости : J=j5t( (-StoUfiLCOSZcp) (р меняется от ST до О (см.путь С на рис.1). В результате обхода функции (1.3) и (1.5) перейдут во второй член функций (1.4) и (1.6) соответственно, с коэффициентом На участке пути О у CSl/i, где модуль j \ экспоненциально велик, теряется экспоненциально малая величина, которая должна была бы дать первый член в (1.4) и (1.6). Отметим, что существование точки в верхней полуплоскости і/і с \h\ l/\ L і 1/\d j , где частота ий О , не позволяет учитывать поправки об « . Это подтвердится на примере точного решения, рассмотренного ниже. Чтобы можно было учитывать поправки 1 X у Ц,Я , необходимо выполнение условия Д»/ . В результате получаем для плотности пар рожденных спинор-ных и скалярных частиц в данной моде: или в обычных обозначениях где поле и его производные берутся в момент, когда обобщенный импульс вдоль поля -в Я (і) равен нулю. Выражение (1.13а) является разложением по малости изменения электрического поля, параметр разложения Уп / / cf , где с ,, - характерное время изменения поля. Уравнение (I.I3) справедливо при совершенно естественно для реальных физических задач. Оно заведомо выполняется, если Е hn /t 10 в/см (для электронов). В формуле (I.I3), которая получена в виде ряда по Я , надо пренебречь величинами ос , « ....л, но учитывать члены 1 Л, 1}... , , т.к. Я ї» Отметим, что экспоненту (І.ІЗ) нельзя, вообще говоря, разлагать в ряд, т.к., хотя ifl « Л » Rj Я « і , но Л, Л и МА/ Я могут быть много больше единицы. Поэтому, наш результат может очень сильно (в экспоненциально большое число раз) отличаться от случая постоянного электрического ПОЛЯ.
Мы рассматриваем задачу о рождении пар во внешнем классическом поле. Чтобы поле можно было считать классическим, необходимо выполнение условия [їй] Е»1/т, где Т - характерное время изменения поля. Это условие можно записать в виде Следует заметить, что полученная плотность Н-(р) не зависит от спина частиц, что имеет место в квазиклассическом пределе (К/ -/, uj ,..., / 1 )- Отметим, что наш метод есть обобщение метода Кембла lI7j, который фактически получил первый член в формуле (I.I3). В качестве примера рассмотрим точно решаемый случай поля с вектор-потенциалом А = zk 0-( остальные компоненты А. -О) Для простоты рассмотрим случай, когда і -О , т.е. Р о. При ь = \ Л/і = К /\еЕ\ 41, как следует из точного решения [82] , Выражение (І.14) получается после суммирования ряда (І.ІЗ), если пренебрегать величинами члены Л л\ z )" ) h Z Не составляет тРУДа получить из (I.I3) уравнение, аналогичное (I.I4), и для случая, когда Уравнения (ІЛЗ) и (I.I4) могут быть получены также методом "мнимого времени" f 84-86 J , который является естественным обобщением квазиклассического приближения на случай полей, переменных по времени. Для получения результата нужно, как обычно, двигаться по пути С на рис.1. Для справедливости уравнения (I.I3), полученного указанным методом, необходимо, чтобы нуль функции ий С Р. і), при і - і X был ближайшим к вещественной оси нулем. Поэтому не требуется, чтобы неравенства /«. X 1f [cL lX iy.. были сильными, если сохранять все члены ряда (I.I3). Последнее, а также сама формула (I.I3), согласуется с точно решаемым примером, рассмотренным выше. Вычислим теперь скорость рождения пар частиц в единицу времени. 5удем предполагать, что где Хо= т/1еЕ\ »1. Интегрирование по импульсам в (І.ІЗ) где S -спин частиц ( S = о , 1/2) . В более привычных обозначениях формула (1,15а) выглядит следующим образом „ где A (EE-3Et)/siEll 0) AmVieEl & І Выражение (1.156) является локальной скоростью рождения частиц в том смысле, что оно больше нуля и интеграл от него по времени равен полному числу рожденных частиц в единице объема. Полное число рожденных частиц за все время действия поля уже не содержит неопределенности, связанной с тем, что считать моментом рождения частицы. Мы видим, что скорость рождения частиц в слабо переменном поле может сильно отличаться от скорости рождения в постоянном поле (в экспоненциально большое число раз) при 41АX »/, хотя Ж АХо XX. Формула (1.15а) получена в предположении, что вкладом высших производных можно пренебречь. Для этого требуется, чтобы /olh IХ0 \Я\ при И. 3 . Рассмотрим случай, когда /3d -Л3 I X 4 У » где Х0- /№Е0\ / .Из (1.15а) получим, что скорость рождения парк х В статье Мостепаненко, Фролова и Шелюто l24] , вышедшей через год после работ [I2I-I22J автора диссертации, методом, развитым в диссертации, были получены поправки, аналогичные II.156), для рождения заряженных векторных бозонов. В работе Криве и Рожавского ГІ25] результат диссертации (1.15в) был подтвержден вычислением с помощью метода обобщенной дзета-функции. Формула (І.І5в) дает малые поправки к формуле Швингера [94J за счет переменности поля. Многоточием обозначены члены, отвечающие вкладу высших производных.
Электрическое поле, рождающее частицыс тепловым спектром
В последнее время появилось много работ, в которых утверждается, что наблюдатель, движущийся с постоянным ускорением CL, видит в вакууме тепловой спектр частиц с температурой Т= Я/Я [96-97] . Так как заряженная частица (например, электрон) в постоянном электрическом поле движется с постоянным ускорением, то в ряде работ (например, [95 J) содержатся утверждения об аналогии между электродинамикой постоянного поля и термодинамикой. При этом авторы указанных работ отмечают, что спектр рожденных полем из вакуума частиц имеет вид больцмановского спектра нерелятивистских частиц (по поперечным импульсам) с температурой Однако, кажется непонятным, почему спектр оказывается нерелятивистским, несмотря на то, что рожденные частицы могут быть релятивистскими. Возникновение экспоненты в выражении для to (P) легко объяснить, исходя из того факта, что частице надо преодолеть потенциальный барьер, для того, чтобы родиться. Следует заметить, что отсутствует характерная для термодинамики периодичность по мнимому времени функции Грина спинорного или скалярного полей во внешнем постоянном электрическом поле. Поэтому, по мнению автора, нет оснований для вывода о глубокой связи между электродинамикой постоянного поля и термодинамикой. Тем не менее, существует электрическое поле довольно естественного вида (Е() С при - ), обладающее интересными с точки зрения термодинамики свойствами. Рассмотрим электрическое поле с вектор-потенциалом (0,0,0, А3): тогда уравнение Клейна-Гордона будет иметь вид где і = fr иг -zr » пусть для определенности ЄOL /р 0 После замены переменной и функции получим для со ( ) вырожденное гипергеометрическое уравнение Частица у нас определяется в смысле ЖСБ-асимптотики. Решение уравнения (3.2), имеющее только одну волну при -- имеет вид где G - функция, определенная в і2б] ; G(J-fp,j)= і+ 0(1/Л при f- oo . Переходя к r— +oo (\- d)t представим решение где каждое слагаемое представляет собой одну волну при оо_ Коэффициенты С и С могут быть найдены по стандартным формулам (см., например, l26j).
Получим, что В результате получим для спектральной плотности рожденных бозе-частиц , Аналогично, для ферми-частиц можно получить Отметим, что выражения (3.8) и (3.9) могут быть получены из спектральных плотностей h. (р) для поля Е() Е0 /ok Ког} найденных в [82 J , после предельного перехода Е /к 2— о. Частицы рождаются в окрестности некоторого момента времени І Ґf -1 п$( 0) - о J с нулевым продольным импульсом (по полю). Затем они разгоняются полем до продольного импульса / .От этого спектр рожденных частиц искажается. Поэтому особенно интересен спектр тех частиц, на которые поле оказывает малое "остаточное" действие. Такие частицы имеют малый импульс . При 0 распределения (3.8) и (3.9) переходят в бозе-эйн-штейновское и ферми-дираковское соответственно с температурой Отметим, что коэффициенты уравнения (3.2) периодичны по мнимому времени с периодом 9&і/ко , что как раз и соответствует температуре (3.10). Разумеется, только из указанной периодичности еще не следует существование температуры. Частицы, имеющие тепловой спектр, рождаются при больших значениях С, . Поэтому даже если поле имеет вид (3.1) лишь асимптотически при - + , выше упомянутые частицы будут иметь тепловое распределение, так как вероятность рождения частицы определяется значением поля в окрестности t0 . Важно лишь, чтобы л3 (ч/ нигде не стремилось к нулю, кроме т - + (т.е. не было никаких других моментов рождения). Мы можем сказать, что весь затухающий хвост электрического поля формирует тепловой спектр. Это явление аналогично тому, что происходит в черных дырах, где в рождении частиц "принимает участие" весь горизонт. Отметим, что наши выводы о существовании теплового спектра остаются в силе и тогда, когда не существует iQ (т.е., когда COLo/Pb О ), хотя интерпретация результата не столь наглядна. Если Уп + Р - Ко , то (из (3.9))для сшшорного поля И-(Р) имеет вид ступеньки: Этот результат есть следствие того, что квадрированное уравне- ние Дирака (І.І) имеет при гл +Р± -О точное решение Если при изменении І от -оодо оо р() меняет знак, то \ \ і , если не меняет, то С Q Основные результаты этой главы полностью опубликованы в работах [і2І-І2з] . Сформулируем кратко основные новые результаты, полученные в диссертации. 1. Впервые показано, как в теориях великого объединения амплитуда начальных возмущений метрики может естественно иметь нужную малую величину - как следствие малости энергии великого объединения по сравнению с планковской массой, т.е. из соображений, независимых от астрономических наблюдений по изотропии реликтового излучения. 2. Исследована динамика предложенной космологической модели.
Найдены ограничения на начальные условия, при которых модель содержит инфляционную стадию квазиэкспоненциального расширения, длительность инфляции определяется только начальными условиями и, таким образом, ограничений на константы взаимодействия теории не возникает. 3. Найдены простейшие обобщения первоначально предложенной теории, также основанные на теории гравитации со спонтанно нарушенной симметрией, приводящие к длительной инфляции. Получена и исследована инфляционная стадия в таких космологических моделях. Показано, что вблизи сингулярности имеет место скейлинг. 4. Построена квантовая теория скалярных возмущений. Вычис лены амплитуда и спектр начальных возмущений метрики, возникаю щих при развале инфляционной стадии. Детально прослежена динами ка их образования. Найдено, что эти возмущения генерируются в основном уже на инфляционной стадии. Показано, что спектр, как и требуется, почти плоский. 5. Рассмотрена динамика взаимодействующих квантовых полей в конформно плоском пространстве и изучены отличия от случая невзаимодействующих конформно инвариантных полей. Показано, что радиационные поправки приводят к родцению частиц. Вычислена плотность калибровочных бозонов, рожденных в несингулярном пространстве - времени. В качестве конкретного примера приведено исследование для метрики Одрича-Шафера (выражение (2) главы П). Найдена также локальная скорость рождения калибровочных бозонов. Получена эффективная зависимость калибровочной константы связи от координат (в частности, от времени). 6. Вычислена спектральная плотность скалярных и спинорных частиц, рожденных медленно меняющимся электрическим полем, а также локальная скорость рождения частиц. Найден критерий того, когда поле можно считать постоянным. Сделана оценка обратного влияния рожденных полем частиц. 7. Показано, что экспоненциально затухающее электрическое поле рождает частицы с тепловым спектром при. условии, что влиянием поля на уже рожденные частицы можно пренебречь. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю И.М.Халатникову за постоянное внимание к работе и А.А.Старобинскому за многочисленные обсуждения и ценные советы. Автор признателен также В.А.Белинскому, Л.П.Грищуку, А.Д.Долгову, Я.Б.Зельдовичу и А.Д.Линде за стимулирующие дискуссии.
