Введение к работе
Актуальность темы. Открытие феномена положительного космологического ускорения и измерение параметра уравнения состояния с высокой уверенностью приводят к заключению о наличии во вселенной положительной энергии гравитирующего вакуума (модель космологической постоянной или -члена). Это обстоятельство приводят к серии новых серьезных проблем, самой известной из которых считается т.н. проблема малости космологической постоянной.
В настоящее время можно выделить несколько методов разрешения описанных затруднений. Согласно первому и наиболее радикальному из них, наблюдаемые противоречия свидетельствуют о том, что уравнения Фридмана-Робертсона-Уокера-Леметра (ФРУЛ) на самом деле неприменимы к наблюдаемой вселенной и должны быть заменены другими, более корректно описывающими нынешнюю стадию эволюции Вселенной. Второй, более консервативный подход, предполагает справедливость уравнений ФРУЛ, однако исходит из наличия принципиально нового вида материи, обладающего отрицательным давлением: так называемой темной энергии. Соответственно, задача заключается в определении физической природы этого феномена, а также в развитии математического формализма, позволяющего строить точные решения системы ФРУЛ для более общих потенциалов, чем обычно рассматриваемые.
Среди популярных моделей, удовлетворяющих первому подходу, следует в первую очередь назвать модели, допускающие переменность некоторых фундаментальных констант, в частности, скорости света. Интерес к таким моделям обусловлен результатами астрономических наблюдений (анализу линий поглощения в спектре QSO), дающими определенные обоснования гипотезе переменности постоянной тонкой структуры. Другим примером современных альтернативных космологических моделей является теория бран и макроскопически больших внешних измерений, в рамках которой, вероятно, можно найти элегантное решение фундаментальной проблемы космологической постоянной. Кроме того, в настоящее время достаточно популярны моделям f(R)-гравитации, изучение которых облегчается доказанной конформной эквивалентностью этих моделей и теорий Эйнштейна-Фридмана со скалярными полями. Иными словами, для получения общих решений f(R)-модели достаточно решения классических уравнений ФРУЛ с потенциалом соответствующего вида. На этом наблюдении основывается второй подход к решению космологических задач: разработка новых методов решения уравнений типа ФРУЛ с произвольными потенциалами (в том числе и теми, которые возникают в рамках моделей конформно эквивалентным теориям модифицированной гравитацией). Эффективным направлением оказывается использование цепочек изоспектральных симметрий - подход апробированный для бран (а также в ряде гидродинамических задач). Попытка рассматривать bulk-пространство с d>1 приводит к поискам аналога изоспектральных симметрий в многомерных пространствах. Эти разработки могут иметь неожиданное важное приложение в теории многомерных нелинейных уравнений: в частности, на этом пути появляется техника построения точных решений трехмерных дифференциальных уравнений в частных производных, в одномерном пределе переходящих в знаменитое уравнение Бюргерса. Альтернативно к цепочкам дискретных симметрий, был разработан новый метод, основанный на ранее неизвестной связи, существующей между общими решениями уравнениями ФРУЛ и уравнением Абеля первого рода. Суть метода заключается в сведении системы нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, решаемых, главным образом, только численными методами, к обыкновенному одномерному нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка, что является несомненной находкой для нахождения аналитических решений, описывающих конкретные физические процессы в космологии.
Основные задачи. Диссертационная работа направлена на аналитическое исследование моделей скалярного поля, минимально связанного с гравитацией, а также некоторых перспективных альтернативных моделей гравитации, и на развитие нового математического аппарата, позволяющего достаточно просто анализировать эти модели. Подробному изучению были подвергнуты две альтернативы: (I) квантовая космология с переменной скоростью света и (II) модель с положительной космологической постоянной (=0) реализованная на бране. Основные задачи диссертационной работы состояли в следующем:
1. Разработка эффективного метода построения интегрируемых потенциалов самодействия, обладающих тремя свойствами: (i) потенциалы спонтанно нарушают симметрию, (ii) описывают фазу инфляции с естественным выходом и (iii) демонстрируют наличие нескольких последовательных инфляционных фаз.
2. Изучение уравнений Фридмана-Эйнштейна со скалярным полем сведением последних к уравнению Абеля первого рода. Развитие и применение метода функционала полной энергии к интегрированию этих уравнений.
3. Вычисление полуклассической вероятности туннелирования в квантовых космологиях, основанных на моделях Альбрехта - Магуэйджо – Бэрроу (АМБ) и граничных условиях Виленкина. Анализ зависимости вероятности рождения ''вселенных'' путем квантового туннелирования от величины положительной вакуумной энергии. Получение несингулярного инстантона в модели АМБ со скалярным полем, вносящего основной вклад в евклидов интеграл по путям.
4. Построение регулярных решений с подавленной величиной космологической постоянной на видимой бране, при наличии пятимерного объемлющего объема заполненного стабилизирующим скалярным полем, методом одномерных изоспектральных симметрий.
5. Обобщение метода изоспектральных симметрий на многомерный случай. Использование этих преобразований для построения и изучения локализованных несингулярных решений (1+3) нелинейных моделей.
Основные результаты и положения, выносимые на защиту.
1. Показано, что фиксация суперпотенциала, как полиномиальной функции поля W=W() позволяет построить в явном виде интегрируемые модели со спонтанно нарушенной симметрией, описывающие инфляцию и естественный выход из нее, без необходимости ''тонкой настройки'' параметров.
2. Продемонстрировано, что общее решение космологических уравнений Эйнштейна-Фридмана для вселенной, заполненной скалярным полем с известным потенциалом взаимно однозначно связано с общим решением уравнения Абеля первого рода: доказана теорема, позволяющая из известного потенциала скалярного поля V() и решения соответствующего уравнения Абеля первого рода в явном виде получать все остальные космологические параметры, т.е. масштабный фактор a(t) и скалярное поле (t). Продемонстрированы полученные на базе этой теоремы решения уравнения Фридмана для V=const, V=V0e и потенциалу со спонтанно нарушенной симметрией. В результате анализа неинтегрируемой модели с квадратичным потенциалом V=m22/2 показано, что данная модель естественным образом приводит к инфляции с выходом, не требующим тонкой подстройки параметров.
3. Показано, что в классе моделей АМБ, полуклассический потенциал в пределе вырождается в гиперболу, что приводит к существенно новому поведению решений по сравнению с классическими моделями, в которых этот потенциал вырождается в параболу. В частности, квазиклассическая вероятность туннелирования оказывается экспоненциально подавленной для больших значений вакуумной энергии. Построен несингулярный гравитационный инстантон, обладающий O(4)-инвариантностью и приводящий к инфляции непосредственно после квантового туннелирования.
4. Показано, что модель браны (или бран) с объемлющим пространством, снабженным структурой орбиобразия и заполненным ''bulk'' скалярным полем приводит к экспоненциально подавленной на бране редуцированной космологической постоянной.
5. Доказана теорема, позволяющая на базе изоспектральных симметрий строить богатое семейство решений (3+1)-мерного обобщения уравнения Бюргерса.
Научная новизна. Метод суперпотенциала впервые приложен к проблеме построения интегрируемых моделей вселенной со скалярным полем, демонстрирующих инфляцию с выходом и содержащих потенциал со спонтанно нарушенной симметрией. Впервые аналитически найдены точные решения соответствующих уравнений Фридмана. Впервые построена интегрируемая модель, демонстрирующая две последовательных режима инфляции: один, возникающий в ранней вселенной, другой – на поздних стадиях ее эволюции.
Впервые предложен метод анализа уравнений Фридмана – Эйнштейна путем сведения их к уравнению Абеля первого рода и доказана теорема о наличии взаимооднозначного соответствия между общими решениями этих уравнений. Указанная теорема применена для анализа процедуры выхода из инфляции для моделей с квадратичным потенциалом. Впервые получены новые преобразования Бэклунда для уравнения Абеля.
Впервые в рамках квантовой модели Альбрехта - Магуэйджо - Бэрроу вычислена полуклассическая вероятность туннелирования (с граничным условием Виленкина) как функция космологической постоянной. Показано, что полуклассическая модель Фридмана-Рачадхаури приводит к экспоненциально подавленным амплитудам с большим значением положительной вакуумной энергии. В рамках теории АМБ, продемонстрировано существование несингулярных O(4) инстантонов, при наличии скалярного поля. Впервые изучен случай положительных показателей и проведено сравнение с натурными данными. С помощью преобразований Дарбу (ПД) построены решения содержащие геометрию орбиобразия и экспоненциально подавленную (на видимой бране) космологическую постоянную.
Впервые изучен аналог трехмерных ПД на интегрируемой модели, допускающей одномерную редукцию в уравнение Бюргерса. Для этой системы построено представление Лакса и найдены точные несингулярные решения возникающие вследствие баланса нелинейности и диссипации (трехмерные диссипативные структуры). Впервые описана процедура ''одевания'' решений одномерного уравнения Бюргерса, позволяющая получать трехмерные диссипативные структуры. Найдены преобразования Бэклунда между нелинейными уравнения, справедливыми для произвольной размерности.
Научная и практическая ценность. Результаты диссертации могут иметь важное значение сразу в нескольких областях космологии. С одной стороны, развитый автором во второй и третьей главах метод суперпотенциала позволяет построить интегрируемые модели со спонтанно нарушенной симметрией, демонстрирующие нескольких фаз инфляции, при этом для исследования выхода из первой из них очень удобными оказываются теоремы, доказанные в третьей главе, поскольку их приложение требует минимального использования численного ресурса. Помимо этого, вышеуказанные теоремы дают новую и важную информацию о свойствах уравнения Абеля, что безусловно представляет интерес для математических исследований в теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Не менее важное значение результаты диссертации могут иметь в деле построения построении моделей ранней вселенной с учетом квантовых эффектов. Обнаруженные автором и описанные в четвертой главе свойства полуклассических амплитуд могут оказаться важными при решении проблемы аномальной малости космологической постоянной. Не исключено, что некоторые эффекты, описанные во этой главе, способны дать решение проблемы плоскостности, альтернативное к решению, предлагаемому в рамках инфляционной парадигмы. Методы построения точных решений пятимерных уравнений Эйнштейна при наличии браны (последний раздел четвертой главы) тоже выглядят достаточно эффективными для решения проблемы космологической постоянной. Наконец, многие частные и общие результаты диссертационной работы могут иметь важное (в том числе) практическое значение в теории интегрируемых систем, гидромеханике и теории диссипативных структур (пятая глава).
Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием современных методов теоретической и математической физики, сравнением полученных в работе аналитических решений с теоретическими результатами и данными экспериментальных наблюдений, известными в литературе.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной научной конференции, посвященной 90-летию высшего рыбохозяйственного образования в России ''Инновации в науке и образовании'' \ (Калининград, 2003), IV Всероссийской научной конференции ''Физические проблемы экологии (экологическая физика)'' \ (Москва, 2004), Конференции молодых ученых (Калининград, 2006), Конференции преподавателей, аспирантов и студентов ''Дни Науки 2010'' \ (Калининград, 2010), 2nd International Conference (school-seminar) on the Dynamics of Coastal Zone of Non-Tidal Seas (Baltiysk, 2010), Международной конференции ``Современные проблемы гравитации, космологии и релятивистской астрофизики'' (Москва, 2010).
Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 18 публикациях, список которых приведен в конце автореферата.
Структура работы. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы (159 наименований), содержит 8 рисунков и одну таблицу. Общий объем диссертации - 115 страниц.
