Содержание к диссертации
Введение
1 Описание спина частицы в классической и псевдоклассической механике 17
1.1 Классические модели спина 18
1.1.1 Векторные модели 18
1.1.2 Спинорные модели 26
1.2 Псевдоклассические модели спина 27
1.2.1 Модели спиновых частиц 29
1.2.2 Модели суперчастиц 47
2 Модель Ди Векъя-Равндала. Простейшие случаи движения. 51
2.1 Движение спинового электрона в постоянном и однородном магнитном тюле 51
2.2 Спиновый электрон в постоянном и однородном электрическом поле 56
2.3 Спиновый электрон в поле плоской циклической электромагнитной волны 60
3 Спиновый релятивистский электрон в кулоновском поле 64
3.1 Постановка задачи 64
3.2 Лагранжиан и уравнения движения 65
3.2.1 Первые интегралы 66
3.3 Уравнение траектории 66
3.4 Решение уравнения для траектории 67
3.4.1 Решение в случае р < 1 68
3.4.2 Решение в случае р > 1 72
3.4.3 Решение в случае р = 1 76
3.5 Спин электрона в кулоиовском поле 77
4 Рассеяние спииового релятивистского электрона в кулоиовском поле 81
4.1 Вычисление угла рассеяния 81
4.2 Вычисление сечения рассеяния 85
4.2.1 Сечение рассеяния для малых углов 86
4.2.2 Сечение рассеяния как функция от прицельного параметра 88
4.3 Выводы 94
Приложение А: Алгебра Грассмана 131
Заключение 133
Список литературы 135
Предметный указатель 149
- Классические модели спина
- Движение спинового электрона в постоянном и однородном магнитном тюле
- Лагранжиан и уравнения движения
- Вычисление угла рассеяния
Введение к работе
На протяжении длительного времени в физике и технике не только не ослабевает, но и продолжает расти интерес к явлениям и процессам, протекающим в мире элементарных частиц. Ставятся эксперименты с применением пучков поляризованных электронов и позитронов высокой энергии, строятся циклические электронные ускорители и накопители, развивается технология наноструктур, проводятся обширные теоретические исследования по изучению вопросов отклонения фотона в гравитационном поле Солнца и черных дыр, тонкой структуры в спектрах атома и т.п., включая популярные в современной теоретической физике объекты типа струн и мембран.
Неотъемлемой и важной характеристикой элементарной частицы, определяющей ее свойства и поведение во внешних полях, является спин. Существуют два класса теорий, два основных способа описания спина частицы — квантовый [1] и классический [2"|-[9]. Обе эти теории развиваются довольно интенсивно, взаимно обогащая друг друга и позволяя взглянуть на это явление с различных точек зрения. Приведем краткий обзор этих двух направлений.
Первая попытка квантового описания спина была сделана В.Паули [10] в 1927 г. Его идея заключалась в двухкомпопентном обобщении уравнения Шредингера для электрона с учетом двух степеней свободы. Однако наличие спина в этой теории по-прежнему оставалось дополнительным постулатом, а значение собственного магнитного момента вводилось эмпирически.
Первая простейшая форма описания поляризации релятивистских частиц была предложена К.Дарвиком [llj, согласно которому спин в системе покоя определяется средним значением вектора <(>=-2<а>., где о — вектор, составленный из матриц Паули. Переход в лабораторную систему можно осуществить с помощью преобразований Лоренца. [12].
Существенный шаг в развитии релятивисткой квантовой теории был сделан в 1928 г., когда П.А.М.Дирак [13] предложил четырехкомпонент-пое релятивистски-инвариантное уравнение, из которого базовые свойства электрона вытекают автоматически без каких-либо дополнительных предположений.
Однако, систематическое исследование спиновых свойств элементарных частиц в квантовой теории началось значительно позже с развитием теоретико-групповых методов. Решающий вклад в развитие этого направления был сделан в работах Е.П.Вигнера, В.Баргмана [14], (см. также [15]) и Ю.М.Широкова [16] (см. также [17]). В результате этих исследований было обнаружено, что спин и его кинематические свойства являются простым следствием релятивистской инвариантности квантовой теории относительно преобразований, представляющих собой пространственно-временные повороты в плоскости перпендикулярной четырехмерному вектору импульса р'\ Для рассмотрения проекций спина на произвольное направление особенно удобен метод, предложенный в работах Ф.И.Федорова с сотрудниками [18], fl9]; где спиновые свойства элементарных частиц рассматриваются в рамках векторной параметризации группы Лоренца.
Общая теория релятивистских волновых уравнений последовательно развитая на теоретико-групповой основе позволила построить теорию элементарных частиц с любыми возможными значениями спина и массы. Библиография работ, посвященных произвольному спину весьма обширна. Наиболее полный перечень основной литературы можно найти в монографиях Ю.В.Новожилова [20], Ф.И.Федорова [18], А.А.Богуша [19], а также в [21].
Новый этап в развитии квантовой теории спина начался после открытия аномального магнитного момента электрона. Еще в 1941 г. В.Паули [22] показал, что в уравнение Дирака с внешним полем можно добавить релятивистски-инвариантный член, описывающий дополнительный к магнетону Бора (аномальный) магнитный момент, В начале казалось, что это абстрактное чисто теоретическое построение. Но в 1947 г. Г.Брсйт [23], анализируя эксперименты Дж.Е.Найфс, Е.В.Нельсона и И.И.Раби [24] по измерению сверх тонкой структуры спектров водорода и дейтерия, высказал предположение, что магнитный момент электрона обладает аномальной частью: /i = jUo-!-/V
Аномальный магнитный момент /i,a можно связать с отличием g-фактора электрона от значения, равного двум:
В 1948 г. Ю.Швингер [25] методами квантовой электродинамики вычислил значение аномального магнитного момента, оно оказалось равным "»= "> где а — постоянная тонкой структуры.
Наличие аномального магнитного момента существенно влияет па, спиновые свойства электрона в магнитном поле. Сначала Г.Мепделович и К.М.Ксйз |26|, затем и другие авторы [27], [28] заметили, что некоторые спиновые операторы, например оператор продольного спина (<тР), с учетом аномального магнитного момента перестают быть интегралами движения. Позднее И.М.Тернов и В.С.Туманов [29] с применением последовательных методов квантовой теории вычислили частоту прецессии спина. Оказалось, что продольный спин прецессирует вокруг направления импульса с частотой, пропорциональной аномальной части магнитного момента. Для движения в плоскости круговой орбиты было получено д - 2 еН _ 2jiaH
2 7ГС(]С п
В дальнейшем эти результаты легли в основу первых прецизионных экспериментов по определению g-фактора электрона [30] и других легких частиц [31].
Таковы основные этапы в развитии квантовой теории спина. Очевидно, что хронология и важность событий может быть выбрана, иначе, в зависимости от целей конкретной работы, но мы ограничимся информацией более отвечающей теме диссертации, и перейдем теперь к рассмотрению основных этапов в развитии классической теории спина.
Первая модель, первая гипотеза спина была гипотеза вращающегося волчка, предложеная Г.Уленбском и С.Гаудсмитом [32J, [33] в 1925 г. как удобная классическая модель четвертого квантового числа, введенного В.Паули [34], [35] для объяснения свойств оптического электрона.
Согласно гипотезе Уленбека и Гаудсмита а) Собственный механический момент электрона равен Н/2, где h —постоянная Планка. б) Электрон должен также обладать магнитным моментом, равным магнетону Бора где е = -ео — заряд электрона, то — масса покоя электрона. Иногда магнитный момент записывают в виде jl = gfiQs, где у — g-фактор Ланде, s — спиновое число. При s — 1/2, д = 2.
Гипотеза Уленбека и Гаудсмита смогла объяснить ряд экспериментальных фактов по спектрам щелочных металлов и аномальному эффекту Зссмана.
Основы классической теории спина были заложены Я.И.Френкелем в том же 1925 г. [36], [37]. Я.И.Френкель заметил, что для полной характеристики магнитных свойств электрона, задания трехмерного вектора магнитного момента принципиально недостаточно. Он построил классическую теорию спина, на, основе антисимметричного тензора (опираясь иа математический аппарат специальной теории относительности). где d — электрический дипольпый, т — магнитный моменты.
С помощью вариационного принципа им было получено тензорное уравнение движения спина точечной частицы в виде -mafj = ma"'F$ + (хат^ - .^mtt>,., к = —, а> = ~{к^хв - Р) и J-m^a-'i^, mo с кс/ ' Zee rjxc F1''9 — тензор электромагнитного поля, точка обозначает производную по собственному времени.
Уравнение силы, действующей на частицу, учитывало влияние спина на траекторию движения и представлялось в виде ^-{\х* - m%) = -Fa% + ^mfbdctFib, где Л = то — T^m^F^, т — собственное время.
В 1929 г. И.Е.Тамм [38] предложил использовать для описания спина пространственноподрбный четырехмерный вектор спина Sa.
Впоследствии, классической теории спина было посвящено множество работ. Мы затронем лишь некоторые направления исследований, актуальные для данной диссертационной работы.
Большое число работ посвящено разнообразным структурно-кинематическим моделям спина. Сюда относятся классические модели точечной частицы, совершающей сложное "внутреннее" движение вокруг некоторого цнтра инерции. Собственный момент количества движения возникает в этих моделях вследствие иеколлиисариости векторов скорости и импульса. Представителями этого направления кроме Я.И.Френкели [36], [37] являются Х.Дж.Бхабха и Г.Ч.Корбен [39], [40].
Широкое распространение получила, также выдвинутая Г.Хелы-юм и А.Папапетру [41] би локальная модель в виде двух точечных масс, вращающихся вокруг общего центра тяжести — . К различным вариантам кинематических моделей спина обращались многие авторы |42]. [43]. ^
Близкое по идейному содержанию направление составляют работы по структурной кинематике частиц с непрерывным распределением масс, совершающих "внутреннее" движение. Это гидродинамические теории спина Дж.Вейссснхоффа и А.Рабе [44], Т.Такабаяси [45] и др.
В рамках общей теории относительности классическая теория спина получила свое развитие в работах А.Папапетру [46], К.Мёллера [47], Л.Шиффа [48], Ю.Швингера [49], [50], Я.И.Смородинского [51] и др. Работы в этом направлении продолжаются и в нынешнее время [52], [53].
Общей чертой большинства из перечисленных выше исследований является отсутствие каких-либо явных связей классической теории с квантовой теорией спина, поэтому часть из них имеет лишь исторический интерес.
На протяжении многих лет классическая и квантовая теории стінна развивались, по-существу, независимо. По этой причине проблема соответствия этих теорий долгое время была открытой. Положение изменилось после появления в 1959 году классического спинового уравнения Баргмаиа-Мишеля-Телегди [54](БМТ). В этом уравнении учитывал- ся аномальный магнитный момент электрона. Последующие исследования в 1963-1965 гг. С.И.Рубинова и Дж.В.Келлера [55], К.Рафанеллы и Р.Шиллера [56]. М.Кольсруда [57] и др. показали, что уравнение Баргмапа-Мшпеля-Телегди в классическом пределе ІЇ —* 0 следует из обобщенного уравнения Дирака с аномальным взаимодействием Паули (подобно тому как уравнения Ньютона следуют из уравнения Шредингера). Сложилась принципиально новая ситуация: классическая и квалтовая теории спина стали развиваться параллельно, взаимно обогащая друг друга. Стало ясно, что многие, казалось бы, чисто квантовые эффекты поддаются простой интерпретации в рамках классической электродинамики частиц со спином (см.ниже).
В это же время складывается, так называемая, квазнклассичсская теория спина. Квазиклассическим приближением уравнения Дирака, начиная с В.Паули [58] занимались многие авторы [7|, [55]-[61].
Последовательные приближения квантовой теории к классической на разных уровнях квазиклассичности дает метод ВКБ [62], [59].
Развитая в работах И.М.Тернова и В.А.Бордовицина [7], [59J квазиклассическая теория построена на собственновременном представлении уравнения Дирака. Большим преимуществом такого подхода является то, что все соотношения квазиклассичсской теории спина, включая уравнение БМТ, при ft —> О получаются сразу в релятивистски-инвариантной форме. Аналогичное рассмотрение можно провести, используя собствсш-ювремсгь нос уравнение Фока [63].
С 70-х годов XX в. стали появляться работы [64], [65], в которых намечается по существу классическое описание спина в псабелсвой теории Янга-Милса. Этот метод не требует решения квантовых уравнений движения и оперирует лишь с классическими переменными частицы, являющимися решениями классических динамических уравнений в заданном внешнем поле. Частица в этом рассмотрении кроме пространственных и спиновых переменных характеризуется еще и изоспиновыми степенями свободы.
Развитие получили также классические методы описания спина на языке теории случайных процессов [66]. Ранее было установлено, что методы классических стахостичсских возмущений могут быть использованы для получения некоторых конкретных результатов квантовой электродинамики, например, для расчетов лэмбовского сдвига [67] и аномального магнитного момента [68].
Отметим также метод интеграла по путям для спина. [69] и метод спиновых когерентных состояний [70].
Особый интерес представляют направления, связанные с радикальной модернизацией математического аппарата классической теории спина-Характерным примером является обобщенный П.А.М.Дираком [71] формализм классических скобок Пуассона.
С 80-х годов XX в. в рамках подхода, получившего название "псевдоклассическая механика", стало развиваться направление, согласно которому квантовая теория спина (включая уравнение Дирака) получается в результате обобщения классической механики на алгебру Грассмана [72]-[80] с се последующим квантованием. Этот подход есть следствие развития такого фундаментального понятия физических систем как "суперсимметрия" [81]-[84].
Самое главное свойство суперсимметрии состоит в том, что она весьма нетривиальным образом объединяет непрерывные преобразования (например, трансляции) с дискретными преобразованиями особого вида (типа отражения). При этом сохраняется формальная аналогия между этими двумя типами преобразований, имеющих существенно различную природу. Именно наличие этой аналогии и является отличительной чертой суперсимметрии.
В квантовой теории поля такая аналогия была подмечена уже давно — это аналогия между бозонными и фермионными операторами. Бозон-ные операторы соответствуют непрерывным преобразованиям, а. фермиои-ные — дискретным. Формальная аналогия состоит в том, что для бозон-ных полей имеют место коммутационные отношения, а для фермионных — аптикоммутационные. С учетом этого различия многие формулы для бо-зонных и фермионных теорий поля обнаруживали удивительное сходство. Это сходство было отмечено еще при рождении квантовой механики (например, Дираком [71]), однако прошло почти полвека, пока в 70-х годах Ю.А.Гольфанд и Е.П.Лихтман [81], Д.В.Волков и В.П.Акулов [82], [83] и Ю.Весс и Б.Зумино [84] не заметили, что это сходство позволяет объеди- нить в одну группу (названную "супергруппой") преобразования, соответствующие бозоииьш и фермионным операторам. Таким образом, появились первые теории поля, в которых бозоны и фермионы стали равноправными. Первый обзор на эту тему был выполнен Л.Корвиным, И.Нссмапом, С.Штернбергом [85].
В 90-х годах XX в. наблюдается рост интереса к математическим аспектам суперсимметряи [86]-[88]. В работах О.Ахарони, А.Ханани и др. [86] и П.Рамонда [87] рассматриваются основные аспекты N=1, Н=2-суперсим-мстричных калибровочных теорий в трех измерениях, включая их муль-тнплеты, аномалии и теоремы перенормировки. В статье А.В.Амииовой и С.В.Мочалова [88] авторы, рассматривая суперсимметрию как инфинитс-зимальнос суп ер преобразование, оставляющее инвариантной метрику супер пространства, определяют саму метрику как инвариант соответствующей супергруппы преобразований.
Исследуются проблемы нарушения суперсимметрии [89[-[91], в работе П.Фре, Л.Джирарделло и др. [90] приводятся примеры нарушения локальной суперсимметрим N=2-oyijeprpaBHTaiU'ii Квантовое релятивистское описание взаимодействующих частиц со спином на основе суперсимметрии рассматривается в [92]. Чем же так привлекательно оказалось свойство супсрсиммстрии, давшее толчок к бурному развитию суперсимметричной механики? До появления суперсимметричных теорий бозоны (например, фотоны) и фермионы (например, электроны) рассматривались как частицы, имеющие принципиально различную природу. Бозоны считались носителями "взаимодействий", а фермионы — носителями "материи". Это разделение особенно укрепилось с появлением калибровочных теорий [93]-[95], потому что в этих теориях бозопные поля являлись калибровочными полями, непосредственно связанными с группой симметрии теории, а фермионпые поля вводились "руками". Вследствие этого свойства бозонные поля однозначно определялись симметрией теории, а фермионные поля могли принадлежать произвольным представлениям группы симметрии. Только в супсрсиммстричных теориях впервые удалось объединить "материю" и "взаимодействие", точнее, убрать различие между ними. В этих теориях бозоны и фермионы объединяются в единые (супер)- мультиплсты. Это свойство суперсимметричных теорий, конечно, вызвало большой интерес [96], [971- Вторым важнейшим свойством суперсимметричных теорий оказалось резкое сокращение расходимостей. которые до сих пор являются одной из нерешенных принципиальных проблем в квантовой теории поля. Более того, появились, наконец, первые теории поля вообще свободные от расходимостей в четырехмерном пространстве-времени. Изучение суперсимметрии, представляет интерес и еще по двум причинам, которые будут достаточно полно раскрыты в дайной диссертации: во-первых, суперсимметрия позволяет взглянуть по-новому на общеизвестные задачи квантовой и классической механики, широко использующиеся в различных областях, а, во-вторых, такой подход полезен и для развития самих суперсимметричных теорий, поскольку вводит в эти теории круг представлений, возникших благодаря большому опыту, накопленному при исследовании задач квантовой и классической механики. Одним из базовых моментов супер симметричной механики является введение антикоммутиругащих переменных. Классические механические системы с а,нтикоммутирующими переменными не являются классическими в прямом смысле. Их обычно относят к псевдоклассической или до-квантовой механике (Р.Касалбуони 1976 [98], Ф.А.Березин и М.С.Маритгов 1977 [74], П.Г.О.Фройид 1986 [79]). Термин "псевдомеханика" или "псевдоклассическая механика" введен Р.Касалбуони [98] в 1976 г. Идея антикоммутирующих координат появляется и развивается в пятидесятые годы в работах Дж.Л.Мартина [72], П.Т.Мэтыоса и А.Салама [99], и В.Тобокмана [100]. В шестидесятые годы наблюдается некий застой, здесь можно отметить, только работу А.О.Барута [101]. но в начале семидесятых рост интереса, к этой теме виден в работах А.Дж.Хансона и Т.Реггс [102], П.Грассбсргсра [103], Р.Касалбуони [98], Ф. А. Березин а. М.С.Маринова [74]. Дальнейший рост интереса стимулировался динамическими исследованиями в суперсимметрии [104] и супергравитации [105], (см. также [106]) и затем теорией суперструн [107], [108] с широким использованием ^-градуированных структур. Этот период продолжается и в восьмидесятые годы рождением новых моделей; Брипк-Шварц [109], Бринк-Ди Векъя-Хаве [75], де Азкарада-Лукирски [110], Зигель fill], [П2|; Волков-Сорока-Ткач [113]. Упомянутые модели относятся к разным категориям. Классифицировать их можно по таким атрибутам как масса, алгебраические (стандартные или антикоммутиру-ющие) и геометрические характеристики внутренних степеней свободы (вектор, спинор, кручение). Расширение фазового пространства релятивистских частиц с помощью коммутирующих или антикоммутирующих координат определяет симметрию и поведение модели во внешнем поле, а также се свойства после квантования. В дальнейшем мы будем использовать следующие понятия. Модели, включающие только стандартные координаты, будут называться классическими моделями. Они обычно имеют векторный или тензорный тип. Модели, включающие антикоммутирующие координаты, называются здесь псевдоклассическими. Модели с векторными антикоммутирующими степенями свободы, которые исследуются в данной диссертации, называются спиновыми (или спипирующими) частицами, а модели, описывающие частицу в суперпространетве Минковского, называют суперчастицами. Классические векторные частицы и спиновые частицы правильно согласуются с внешним полем, но только последние, которые являются, по крайней мере, Пуанкаре-инвариантными моделями, могут правильно квантоваться. Спиновые частицы являются, в некотором смысле, классическим пределом дираковской частицы. После первого квантования антикоммутирующие переменные отображаются в матрицы Дирака. Это общая особенность моделей спиновых частиц. С другой стороны, расширение фазового пространства с помощью спинорных антикоммутирующих переменных приводит к моделям, которые являются супср-Пуанкаре-инвариантиыми. В отличие от моделей спиновых частиц, их первое квантование дает теорию, которая включает антикоммутирующие переменные. Как результат квантования мы получим не отдельную квантовую частицу со спином 1/2, а минимальный супермуль-типлст. Согласно сказанному, отметим явное различие между квазиклассической и псевдоклассической теорией спина. Квазпклассичсская теория спигга имеет свом первоисточником квантовую механику, переход к классическим моделям осуществляется различными методами и не носит систематического характера. Псевдоклассическая механика, не требует такого ограничения на физическую теорию и дает возможность строить теорию частицы со спином., не прибегая к квантовой механике, а действуя только в рамках. классической электродинамики. Обращение к квантовой механике происходит скорее для контроля соответствия с уже имеющимися накопленными ею результатами. Следует отметить, что этот переходный момент от классической теории спина (в рамках псевдоклассической механики) к квантовой на уровне прикладных задач практически не исследован, и продслаш-гое диссертациоиное исследование поможет не только по новому взглянуть на решение старых задач, но и укажет некоторые возможные точки прикосновения с квантовой механикой и пределы применимости этих двух теорий. Все вышеизложенное со всей очевидностью говорит о том, что возможности классической теории спина до конца еще не изучены. Эти исследования являются весьма актуальными и в наши дни. Дадим теперь краткий обзор содержания диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения, заключения, списка литературы, включающего 169 источников, и предметного указателя. Работа изложена на 149 страницах, включая 86 рисунков, одну таблицу и одно приложение. По материалам диссертации опубликовано 6 работ [I14j-[119j. Основные результаты диссертационной работы были изложены на. X Российской гравитационной конференции (июнь 1999 г.) [118]. В главе 1 дается обзор всевозможных моделей и методов описания спина частицы в классической и псевдоклассической механике, рассматриваются их преимущества и недостатки, показывается актуальность темы исследования и предлагается обобщенная методика, исследования спинового релятивистского электрона: - Базовой моделью исследования является векторная модель с внутренними степенями свободы, описанными с помощью антикоммутирующих координат — грассмановых чисел. Особенностью таких моделей спиновых, частиц является то, что при квантовании нечетные переменные отображаются в матрицы Дирака. Такая частица может рассматриваться как псевдоклассический предел дираковской квантовой частицы. - Показано, что самое простое описание частицы со спином с помощью антикоммутирующих переменных дает модель Ди Векъя- Равндала [78], [77], а решение задач методом теории возмущения, в силу нильпотентности грассмановьтх чисел, даст не приближенное; а точное рент ЄНИ е. - Приводится подробное описание процедуры перехода от грассмано- вых чисел к действительным (процедура усреднения [120]). В главе 2 в рамках разработанной методики решаются задачи движения релятивистского спинового электрона в простейших электромагнитных полях. Таковыми являются: движение спинового электрона, в постоянном и однородном магнитном поле, в таком же электрическом поле и движение электрона в поле плоской циклической электромагнитной волны (см. работы [114]-[116]). Предложенный методический подход позволяет математически показать равенство нулю спин-орбитального взаимодействия и с одной стороны помогает по-новому взглянуть (с точки зрения псевдоклассической механики) на решение этих общеизвестных задач, а с другой стороны вводит в псевдоклассическую теорию, стандартные задачи квантовой и классической механики. В главе 3 проведено исследование движения релятивистского, спинового электрона (q — —е) в кулоновском поле, создаваемом центральным зарядом Q — Zc, с применением разработанной методики (см. работы [117], [118]). Представлены уравнении движения и найдено точное аналитическое выражение для траектории частицы. Для частного случая движения (круговая орбита) получено выражение, описывающее поведение спина. Показано, что в кулоновском поле спин электрона оказывает влияние на движение: траектория движения, по сравнению с бссслииовым случаем, становится трехмерной. Полученные результаты согласуются с бссслииовым и нерелятивистским случаями ]121]-[123], [74]. В главе 4 в рамках разработанной методики исследуется задача рассеяния релятивистского электрона со спином в кулоновском поле. Получено аналитическое выражение для угла и сечения рассеяния, даны предельные оценки для бесспинового и нерелятивистского случаев. Покачано, что для случая малых углов, рассматриваемая псевдоклассическая модели при- водит к известной квантовонеханической формуле Мотта [124]. Проведен численный анализ полученных формул для произвольных углов. В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации, показана их достоверность, научная и практическая ценность. В приложении приводятся основные свойства алгебры Грассмана. Прежде чем переходить к исследованию спиновых частиц, укажем условия применимости классических уравнений движения спина электрона, известные из квазиклассической теории. а) Волновая функция должна представлять собой локализованный вблизи классической траектории пакет ширины а Н/тс (в собственной системе отсчета). б) Импульс частицы должен мало меняться на расстоянии порядка длины волны Н/\р\ и на расстояниях порядка Н/а (условие квазиклассичности движения). в) Электромагнитное поле, в котором движется электрон, должно быть достаточно малым в квазиклассическом" смысле. Начнем исследование в рамках предложенной методики на примере простейших случаев движения. Таковыми являются: движение спинового электрона в постоянном и однородном магнитном поле, в таком же электрическом поле и движение электрона в поле плоской электромагнитной волны (см. работы [114]-[П6]). Данное исследование проводится впервые и с одной стороны поможет по-новому взглянуть (с тючки зрения псевдоклассической механики) на решение этих общеизвестных задач, а е другой стороны введет в псевдоклассическую теорию, стандартные задачи квантовой и классической механики. Создание псевдоклассической механики [79], т.е. классической механики над алгеброй Грассмана, позволяет рассмотреть с новых позиций классическую задачу о движении электрона в кулоновском поле. Общеизвестно [121], (122], [123] точное аналитическое решение для траектории заряженной релятивистской частицы (без спина), движущейся во внешнем кулоновском поле. Для релятивистского электрона со спином аналитическое решение традиционных уравнений Баргмаыа-Мшиеля-Тедегди (1-63) в кулоновском поле, по-видимому, невозможно. В то же время для нере-лятивистской частицы Березин и Маринов [74] (см. так же (1.43), (1.44)) в рамках псевдоклассической механики нашли уравнения движения для общего случая центрального поля со спяи-орбитальным взаимодействием и указали на очевидное преимущество псевдоклассического подхода, когда метод возмущения даст не приближенное, а точное решение, благодаря нильпотентности грассмановых чисел. Итак, найдем траекторию движения релятивистской частицы со спином в центрально-симметричном кулоновском поле в терминах псевдоклассической механики. Псевдоклассическая модель электрона, рассмотренная в наших исследованиях, позволяет наиболее полно описать спин на классическом уровне. Эта модель лишена недостатков классических моделей: она дает правильное гиромагнитное отношение, при квантовании переходит в модель Дирака, "квантовому дрожанию" в ней отвечают нечетные грассма-иовы переменные, которые исчезают при усреднеїтии [79], [120]. Поэтому все, что отличает предсказание этой модели от квантовой модели Дирака, представляет собой "чисто квантовый" вклад природы спина. Как всякая классическая модель, она содержит множество подробностей, отсутствующих в квантовой модели (траектории, прицельные параметры и т.п.).Классические модели спина
Движение спинового электрона в постоянном и однородном магнитном тюле
Лагранжиан и уравнения движения
Вычисление угла рассеяния
Похожие диссертации на Аналитические исследования динамики спинирующего релятивистского электрона в электромагнитных полях
