Введение к работе
Актуальность темы. Одной из важнейших задач функционального "анализа является исследование-разрешимости различных уравнений, в процессе которого осуществляется переход от первоначальных" уравнений к абстрактным операторным уравнениям в пространствах с различными топологическими структурами. В этих исследованиях вопрос о разрешимости уравнений приобретает форму теорем о неподвижных точках операторов. Кроме существования неподвижных точек отдельных операторов представляет интерес вопрос о существовании общих неподвижных точок семейств операторов. Существование таких точек HCCiOrtCsin???- р»тл„ч«пми мою^ани, В частности, широкую популярность в отечественных исследованиях получили м«толы, ивиланшго СО структурой порядка в рассматриваемых пространствах. Началом исследований с помощью данных методов послужила работа М.Г. Крейка и М.А. Рутманп "Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус а пространстве Банаха". Наиболее активные исследования в этой области принадлежат М.А. Красносельскому, И.А. Бахтину, П.П. Звб-рейко, В.Я. Стецонко, Л.В. Канторовичу, Б.З. Вулиху, А.Г. Пинске-ру, А.И. Векслеру и др.
Среди зарубежных математиков в исследованиях неподвижных точек операторов и общих неподвижных точек семейств операторов в последнее время наибольшой популярность» пользуются методы, связанные с топологической или метрической структурой (работы Брауде-ра, Кирка, Рейха, Юнга, литера и др.)- Особенно большое внимание при исследовании существования общих неподвижных точек семейств операторов было уделено норастягиваюиим отображениям в банаховых пространствах как коммутирующим (работы Браудора, Кирка, Де Маррв и др.), так и не обладающих свойством коммутируемости (работы Митчелла и др.), а также отображениям в метрических пространствах, удовлетворяющих различным неравенствам снимающего типа (работы 1нгп, Фишера, Райха и др.). Следует огметкгь, что для нерастяги-їаящих отображений в данных исслодованих получены и теоремы о їтруктуре множества общих неподвижных точек.
Проблеме существования общих неподвижных точек нокоммутиру»-!их монотонных операторов, действующих в частично упорядоченных іанаховьіх пространствах и имеющих многочисленные приложения, уде-іялось меньшое внимание сравнительно с аналогичной проблемой для помянутых выше отображений. Всё это указывает на важность рао-могрения вопросов существования и изучения структуры общих ке-одвижных точек монотонных операторов.
- ч -
Цель работы. Исследование условий существования общих неподвижных точек различных классов монотонных операторов, в частности операторов вполне медленного роста, изучение их свойств, условий сходимости итерационных процессов к неподвижным и общим неподвижным точкам и вопросов разрешимости уравнений с такими операторами.
Научная новизна.Определен класс операторов вполне медленного роста, подробно исследованы его свойства, неподвижные и общие неподвижные точки, а также рассмотрено приложение данного класса операторов к вопросам разрешимости интегральных уравнений в частных интегралах.
Практическая значимость. Полученные результаты могут бить использованы при разработке специальных курсов по функциональному анализу. Они могут найти также приложения в вопросах разрешимости некоторых классов операторных уравнений.
Апробация работы. Результаты исследования докладывались на научных семинарах Уральского университета. Института математики и механики УрО АН СССР, РГПУ им. А.И. Герцена, на Всесоюзной (Магнитогорск, 19Qk г.) и Уральской региональной (Пермь, 1985 г) конференциях "Функционально-дифференциальные уравнения", на Гер-ценовских чтениях (апрель 1994 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах.
Структура работы. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы;
