Содержание к диссертации
Введение
1. Локальное описание целых функций 14
1.1. О двойственном переходе 14
1.2. Критерий обильности 19
1.3. Интенсивность 29
1.4. Устойчивость 31
1.5. Насыщенность подмодулей ранга 1 38
1.6. Обильность подмодулей ранга 1 42
2. Основные оценки 47
2.1. Определения и обозначения ключевых характеристик 47
2.2. Промежуточные оценки в терминах ключевых характеристик . 54
2.3. Итоговые оценки в терминах ключевых характеристик 64
3. Замкнутые подмодули ранга 1 72
3.1. Пространство Р[р; Н) 72
3.2. Подмодули с двумя образующими 76
3.3. Подмодули с конечным числом образующих 87
3.4. Приложения к спектральному синтезу 89
Заключение 96
Список литературы
- Интенсивность
- Насыщенность подмодулей ранга 1
- Промежуточные оценки в терминах ключевых характеристик
- Подмодули с конечным числом образующих
Интенсивность
Настоящая диссертация посвящена следующей задаче: при каких условиях будут обильными конечно порожденные подмодули в Р? При этом считаем, что тг — многочлен или целая функция, удовлетворяющая условиям a)–b).
Цель работы — исследовать конечно порожденные подмодули в Р ранга 1 на предмет допустимости локального описания, а их аннуляторные подпространства - на предмет допустимости спектрального синтеза.
Методы исследования. Основной метод решения задач спектрального синтеза в комплексной области — метод аннуляторных подмодулей, восходящий к работам Л. Эренпрайса. Этот метод предполагает переход от задачи спектрального синтеза к эквивалентной двойственной задаче — задаче локального описания подмодулей целых функций. Основной метод решения задач локального описания в комплексной области — метод резольвентной функции, развитый в работах И.Ф. Красичкова-Терновского.
Научная новизна и основные результаты, выносимые на защиту. Найдены достаточные условия, обеспечивающие допустимость локального описания конечно порожденными подмодулями в Р и допустимость спектрального синтеза полиномиальными ядрами в Н конечных систем аналитических функционалов (в терминах нулевых множеств их преобразований Лапласа).
В работе получены следующие новые результаты: (1) Критерий обильности замкнутого С [тг]-подмодуля в Р (критерий обильности). (2) Достаточные условия обильности конечно порожденных подмодулей в Р (теоремы 3.2.1, 3.2.2 и 3.3.1). (3) Достаточные условия допустимости спектрального синтеза полиномиальным ядром Ws Q Н конечной системы S аналитических функционалов (теоремы 3.4.2, 3.4.3 и 3.4.4).
Практическая ценность. Полученные результаты относятся к области фундаментальных исследований по математике, носят теоретический характер и дополняют многочисленные исследования задач спектрального синтеза в комплексной области и локального описания аналитических функций.
Апробация работы. Основные результаты диссертации излагались на семинаре по теории функций в ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет», филиал в г. Славянске-на-Кубани (ранее - Славянский-на-Кубани государственный педагогический институт) (руководитель А.Б. Шишкин, Славянск-на-Кубани, 2010 - 2014 гг.), в ходе работы школы-конференции «X Владикавказская молодежная математическая школа» (июль 2014 г.), на международной научной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Владикавказ, июль 2013 г.), на международной научной конференции «Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование» (пос. Дивноморское, сентябрь 2014 г.), на кафедре математического анализа ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет» (апрель 2014 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ. Результаты главы 1 опубликованы в [81], [83], [84], [87], главы 2 - в [85]-[86], [90] и главы 3 - в [82], [88], [89]. Статьи [81], [82] опубликованы в журналах из перечня ВАК.В совместных с научным руководителем публикациях А. Б. Шишкину принадлежат постановки задач и указание методов исследования, а Т. А. Волковой — основные результаты и их доказательства.
Все научные результаты, содержащиеся в диссертации, обеспечиваются математической строгостью проведенных доказательств, с привлечением различных научных методов, как новых, так и хорошо известных, используемых в теории функций, в абстрактной алгебре и функциональном анализе и, следовательно, являются достоверными.
Первая глава посвящена задаче локального описания в весовых пространствах целых функций.
В параграфе 1.1 изложена схема двойственного перехода. В параграфе 1.2 свойство обильности замкнутого подмодуля в Р расщепляется на три свойства: интенсивность, устойчивость и насыщенность (критерий обильности). В параграфе 1.3 исследованы интенсивные подмодули в Р. Показано, что всякий подмодуль в Р ранга 1 является интенсивным (предложение 1.3.1). В параграфе 1.4 исследованы устойчивые подмодули в Р. Получены ответы на естественные вопросы: 1) при каких условиях устойчивость подмодуля / в одной точке влечет устойчивость подмодуля /, то есть его устойчивость в любой другой точке (предложение 1.4.2)? 2) влечет ли устойчивость подмодуля / устойчивость его замыкания в Р (предложение 1.4.3)? В этом же параграфе исследованы на устойчивость конечно порожденные подмодули в Р (предложение 1.4.6, предложение 1.4.7).
В параграфе 1.5 введено упрощенное определение насыщенности для подмодулей в Р ранга 1 (предложение 1.5.1). Рассмотрено влияние на насыщенность подмодулей свойства аналитической уплотненности пространства Р (предложение 1.5.2, следствие 1.5.1). Из этого свойства вытекает, что любой замкнутый подмодуль в Р ранга 1 является насыщенным.
Насыщенность подмодулей ранга 1
Сначала докажем, что ранг подмодуля J равен 1. Действительно, если щ щ Є J , щ щ ф 0, Далее убедимся, что ранг подмодуля Iv тоже равен 1. Действительно, если щ,и2 Є /у,, то существуют обобщенные последовательности Ui,U2 Є Jy,, сходящиеся к «і и «2 соответственно в топологии Р. При этом Из аксиомы равномерной сходимости вытекает, что функции —, — являются целыми и
Пусть Iv —главный подмодуль в Р с образующей ip, J у — подмодуль в Р, образованный элементами вида пр, где г Є C[7г]. Подмодуль / совпадает с замыканием подмодуля J в топологии Р. Пусть ZQ Є C И /?(ZO) 7 0- Покажем, что подмодуль J является устойчивым в точке А = TT(ZO). Предположим, что f Є J и Ц Є J. Нам нужно показать, что равенство r{z) = (TT(Z) — A) c(z), и для всех ( из некоторой окрестности точки Л имеет место равенство R(() = (( — Х)С((). Это означает, что многочлен R(C) делится на двучлен ( — Ли функция — принадлежит кольцу Срт]. Следовательно, = р Є Jv. Таким образом, доказано, что подмодуль J У является учтойчивым в точке Л. В силу предложения 1.4.3 подмодуль Iy тоже устойчив в точке Л, а в силу предложения 1.4.2 подмодуль Iv является устойчивым. Предложение доказано.
Пусть /і,..., Іп — подмодули в Р. Замкнутый подмодуль I = IQ С Р порожден подмодулями устойчивые подмодули вР, I -замкнутый подмодуль ранга 1, порожденный подмодулями h,...,In. Для того чтобы подмодуль I был устойчивым в точке X, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: для любого допустимого набора а = {аь...,ап}, для которого а\ + ... + ап = 0, замыкание множества Т(а, А) в топологии Р содержало нулевой элемент.
Доказательство. Достаточность. Пусть замыкание множества Т(а, А) в топологии Р содержит нулевой элемент. Рассмотрим произвольный элемент F Е I, для которого - г Є I. Нам нужно показать
Пусть J — подмодуль в Р, составленный из сумм вида f\ + ... + fn, где fk Є 7 . Так как J С 7, то Rank J = 1. По предложению 1.3.1 подмодуль J является интенсивным. При этом подмодуль I совпадает с замыканием подмодуля J в пространстве Р. Выберем произвольную окрестность нуля V в пространстве Р. По аксиоме равномерной устойчивости существует окрестность нуля V такая, что справедлива импликация:
Подбираем теперь окрестности так, чтобы. Так как то существует обобщенная последовательность, сходящаяся к F в топологии Р. Так как подмодуль J является интенсивным, то он является слабо интенсивным в точке Л. При этом по предложению 1.4.1 для любого а имеет место локальное вложение F — Fa Є J. Значит, для любого а
Рассмотрим представление и обозначим а/г сужение Дд функции f k на слой Л. Ясно, что система а = { 2i,...,an} является допустимой и а\ +... + ап = 0. По условию 0 принадлежит замыканию множества Т(а, Л); поэтому существует элемент
Замечаем, что f(z) = 0 для любого z Є А. Так как Rank/ = 1, то / = сщ Є / и у = гИ0, где с - тг-симметричная мероморфная функция. По условию выбора точки Л существует Z0 Є Л, такое, что U0{Z0) 7 0. Значит, C{Z0) = 0, зл є Оп(Х) и д Є Р Из устойчивости подмодуля / вытекает
Поэтому существует обобщенная последовательность fa = /f+ ... + /, f% Є 4, сходящаяся к д в топологии Р. Поскольку операция умножения на 7Г — Л непрерывна в Р, то последовательность Fa = (7г — Л) /а сходится к / в топологии Р и, значит Остается отметить, что Необходимость доказана.
Применим предложение 1.4.6 к конечно порожденным подмодулям. Пусть подмодуль I Q Р порожден системой р1,...,рп. Фиксируем точку Л Є С, для которой выполняется условие: для любого к Є {1, ...,п} найдется Є Л, такое, что (pk(zk) 7 0. Символом А(Л) обозначим совокупность наборов а = {а1,..., ап} комплексных функций на слое Л, для которых набор {а\ f\\ x, ...,ап fn\ x} является допустимым и а\ f\\x + ... + ап fn\\ = 0.
Предложение 1.4.7. Для того чтобы замкнутый подмодуль I С Р ранга 1, порожденный системой fh...,fn, был устойчив в точке X, необходимо и достаточно, чтобы для каждого набора
Очевидно, что эта система допустима и b\{z) + ... + bn(z) = 0 для любого z Є Л. Требуемое утверждение следует из предложения 1.4.6, если учесть, что включение 0 Є Т(а, А) эквивалентно условиям 1), 2).
Пусть множество в Р ранга 1, р — некоторая непрерывная полунорма в Р, / Є Р. Положим р/(А) = inf р (/ — и\), где inf берётся по всевозможным и\ Є /, для которых справедливо условие (1.2.2) (если такого и\ не существует, то полагаем р/(А) = +оо). Множество насыщено относительно если для любой непрерывной полунормы р справедлива
Промежуточные оценки в терминах ключевых характеристик
Достаточность. Так как ранг / равен 1, то найдется элемент р из /, отличный от тождественного нуля. Главный подмодуль Iv с образующей р является обильным и принадлежит /. Таким образом, подмодуль / содержит обильный подмодуль. В силу предложения 1.6.2 / - обильный.
Пусть подмодули в Р. Замкнутый подмодуль / = IQ С Р порожден подмодулями, если / есть замыкание множества элементов вида точку Л Є С, для которой выполняется условие: для любого найдутся Zk Є Л и щ Є Д, такие, что комплексных функций на слое Л называем допустимым, если существуют элементы f\ Є Ik такие, что fk\\ О к, к =
Предложение 1.6.4. Пусть Р - аналитически уплотненный модуль, 1ъ...Дп - обильные подмодули в Р ранга 1. Для того чтобы подмодуль I ранга 1, порожденный подмодулями 1ъ...Дп, был обильным, необходимо и достаточно, чтобы для любого допустимого набора а = {аи...,ап} комплексных функций на слое X, удовлетворяющего условию а\ + ... + ап = О, замыкание множества Т(а, А) в топологии Р содержало нулевой элемент.
Доказательство. По предложению 1.5.2 каждый из подмодулей ii,...,/n будет сверхнасыщен. Так как ранг / равен 1 и / содержит каждый из этих подмодулей, то / также будет сверхнасыщен и, тем более, насыщен. По предложению 1.3.1 подмодуль / является интенсивным. Осталось заметить, что в силу предложения 1.4.6 устойчивость подмодуля / эквивалентна условию: ноль содержится в Т(а,А) для любого допустимого набора а = { 2i,...,an} комплексных функций на слое Л, удовлетворяющего условию а\ + ... + ап = 0.
Предложение 1.6.4 сохраняет силу, если свойством обильности будет обладать лишь один из подмодулей Ih...Jn.
Пусть подмодуль I Q Р ранга 1 порожден системой /?i,..., fn. Фиксируем точку Л Є С, для которой выполняется условие: для любого к Є {1,...,п} найдется Zk Є Л, такое, что fk{zk) 0. Символом А(Х) обозначим совокупность векторов а = ( 2і,...,ап) Є Сп, для которых aifi(z) + ... + ancpn(z) = 0 для любого z Є Л.
Предложение 1.6.5. Пусть Р - аналитически уплотненный чистый модуль. Для того чтобы замкнутый подмодуль ІСР ранга 1, порожденный системой (ри...,(рп, был обильным, необходимо и достаточно, чтобы для каждого вектора а = ( 2і,...,ап) Є А(Х) существовали обобщенные последовательности rf, ...,г% Є С[тг], такие, что
Очевидно, что набор {b\,...,bn} является допустимым и b\{z) + ... + bn(z) = 0 для любого z Є Л. Требуемое утверждение следует из предложения 1.6.4, если учесть, что включение 0 Є Т(а, А) эквивалентно условиям 1), 2).
Пусть Р — аналитически уплотненный чистый модуль, Т, Q Є Р. Выберем точку ZQ Є С такую, что J:{ZQ)Q{ZQ) 0.
Предложение 1.6.6. Для того чтобы замкнутый подмодуль I С Р ранга 1, порожденный системой T,Q, был обильным, необходимо и достаточно, чтобы существовали последовательности P3,Q3 Є С[тг], такие, что Pj (zo) = Qj (zo) = 1 и
Если її — уточненный вес порядка р, то функция р(г) := , является уточненным порядком, то есть выполняются условия Валирона:
Пусть /І — уточненный вес порядка р Є [0,+оо); р(г) := n, — соответствующий уточненный порядок. По известным свойствам уточненного порядка функция р,(г)г р = гр р является медленно растущей, значит, равномерно по к из любого отрезка [а; Ь] С (0; +оо)
Множество E С С называем нуль-множеством, если множество \Е\ := {\z\ : z Є Е} имеет нулевую относительную меру, то есть при любом г 0 множество \Е\ f)[0,r] измеримо по Лебегу и Далее будем предполагать, что р Є (0,+оо); 7Г — многочлен степени N 0 или целая функция вполне регулярного роста при уточненном порядке р(г) — р Є (0, р) с всюду положительным индикатором. При таком выборе целой функции 7Г существуют такой уточненный вес Д порядка р Є [0, +оо) и такая константа к, 1, что вне некоторого нуль-множества Е1 выполняются оценки Убедимся в этом. Во-первых, если 7Г — многочлен степени N 0, то полагаем й(г) = г». Функция Д является уточненным весом порядка р := 4. Действительно,
Подмодули с конечным числом образующих
Обозначим М семейство 2тг-периодических тригонометрически р-выпуклых при порядке р 0 функций Н(в), которые принимают в каждой точке конечное значение или значение +оо и удовлетворяют условиям:
Из определения семейства М вытекает, что М(Н) ф 0 при любом выборе Н{9) є Л4. В этой главе исследуются конечно порожденные подмодули в пространстве Р[р;Н). Это пространство определяется следующим образом.
Выберем произвольную функцию Н(9) Є Л4 и рассмотрим возрастающую последовательность функций из семейства М(Н). Предположим, что эта последовательность является мажорирующей, то есть для любой функции h(9) Є М(Н) найдётся номер к, такой, что h(9) hk(9) при любом 9 Є R. Обозначим Р[р; hk] множество всех целых функций ф, удовлетворяющих оценке вида
В множестве Р[р; hk] введём норму Множество P\p;hk] c этой нормой является банаховым пространством, а вложения Р[р; hk] Q Р[р; hk+i] — вполне непрерывны. Обозначим Р[р; Н) объединение [Ji P[p ,hk\ и введём в Р[р; Н) топологию индуктивного предела банаховых пространств Р[р; hk]. Легко убедиться, что пространство Р[р; Н) не зависит от выбора мажорирующей последовательности 0 h\(9) I12(9) ... Н(9).
В случае п = 1, р = 1 функцию Н(9) можно трактовать как функцию, сопряжённую к опорной функции некоторой выпуклой области П С С, а hk(9) - как функцию, сопряжённую к опорной функции некоторого выпуклого компакта dk С Q. При этом В этих условиях естественно заменить обозначения Р[р;Н), P[p;hk] обозначениями P(Q), P(dk). Пространство Р[р; Н) является монтелевским, в частности: оно отделимое, рефлексивное, бочечное, любое ограниченное множество в этом пространстве относительно компактно [56]. Сильное сопряженное пространство Р [р;Н) является пространством Фреше, топология которого порождается счетным набором полунорм
Множество В С Р[р; Н) ограничено тогда и только тогда, когда оно ограничено в Р[р; hk] для некоторого к, то есть найдется положительная постоянная С такая, что для всех / Є В и z Є C выполняется неравенство
Последовательность {f)} С Р[р; Н) сходится к функции / Є Р[р; Н) тогда и только тогда, когда она содержится, ограничена в некотором Р[р; hk] и сходится к / равномерно на компактах из C [52], [56]. Легко увидеть, что для любой конечной системы элементов /і,...,/п Є Р[р; Н) множество принадлежит Р[р; Н) и ограничено в нем. Это означает, что пространство Р[р; Н) является аналитически уплотненным.
Убедимся, что пространство Р[р; Н) является локально равномерно устойчивым, то есть в Р[р; Н) выполняется следующая аксиома: для любой точки А Є C и любого ограниченного множества В С Р[р; Н) существуют окрестность U\ точки А и ограниченное множество В С Р[р; Н), такие, что
Действительно, пусть А Є C и В — ограниченное множество в Р[р;Н). Для некоторого к и для всех / Є В и z Є C выполняется неравенство
Пусть TI(ZQ) = А. Существуют є 0 и ограниченная окрестность У\;Є точки о, такие, что отображение является собственным. Пусть d — диаметр V\. Для любого ( Є U.(\) сужение 7Г на Vr = V\ ҐІ7Г : Uz(\) тоже является собственным. При этом диаметр Vr не
В пространстве Р[р; Н) можно задать топологию Фреше тр (топологию секвенциальной сходимости), определив сходимость (оператор предела) следующим образом: последовательность элементов /& Є Р[р; Н) сходится к элементу / Є Р[р; Н) тогда и только тогда, когда /&— / в некотором P[p;hk]. Отметим, что пространство (Р[р; Н);тр) относится к так называемым секвенциальным пространствам, в которых замкнутые множества описываются с помощью последовательностей [67, Гл.1, п. 1.6], [56]. Топологию в пространстве Р[р; Н) можно определить и как топологию проективного предела нормированных пространств целых функций. Для этого введем множество К[р;Н), состоящее из всех положительных на С функций k(z), удовлетворяющих условиям:
Далее будем предполагать, что функция тг выбрана таким образом, что пространство Р[р; Н) при любом выборе Н(в) Є М обладает структурой топологического модуля над кольцом С[7г] многочленов от 7Г. Кроме того считаем, что при произвольном выборе функции Н(в) Є М любой главный подмодуль в Р[р; Н) является обильным и секвенциально замкнутым1.
Эти предположения автоматически выполнены, если, например, 7i(z) := zN. Для р = N = 1 — это утверждение теоремы 5.1 из [21], для р 0, N = 1 — теоремы 6.1 из [52], для р 0, N Є N — теорема 7.1 из [62]. Если р = 1 и 7Г — целая функция минимального типа при порядке р = 1, то сделанные предположения тоже будут выполнены, если предположить дополнительно, что 7Г — целая функция вполне регулярного роста при некотором уточненном
