Введение к работе
з
Актуальность темы. В комплексном анализе особое место занимает теория мероморфных функций. Систематическое построение этой теории связано с классическими работами Р. Неванлинны. Методы теории мероморфных функций имеют многочисленные приложения не только в теории функций, но и в других областях математики. Поэтому открытие новых закономерностей справедливых для важных подклассов классов мероморфных функций является актуальной задачей современного комплексного анализа. Ряд важных проблем в теории классов мероморфных функций сводится к решению интерполяционных задач в соответствующих классах голоморфных функций. Теория интерполяции в классах голоморфных в круге функций интенсивно развивалась после основополагающей работы Л. Карлесона о свободной интерполяции в классе ограниченных аналитических в круге функций. В течение нескольких последних десятилетий удалось разрешить много задач такого рода как в более широких классах голоморфных функций, чем класс ограниченных аналитических функций, так и более узких классах: классах аналитических в круге функций гладких вплоть до его границ. Здесь, прежде всего, отметим фундаментальные работы Г. Шапиро, А. Шилдса, С.А. Виноградова, П. Джонса, Е.М. Дынькина, Н.А. Широкова, A.M. Коточигова, К. Сейпа. Эти результаты изложены в хорошо известных обзорах С.А. Виноградова, В.П. Хавина, в монографиях К. Гофмана, П. Кусиса, Д. Гарнетта, X. Хеденмальма, Б. Коренблюма и К. Жу.
Однако решение задач такого рода в классах функций с различными ограничениями на характеристику Р. Неванлинны мало изучены.
Объект и предмет исследования. Объектом исследования в диссертации являются классы аналитических и мероморфных в единичном круге функций. Проводятся исследование свойств разложения в ряд Лорана в окрестности особых точек классов мероморфных функций, изучение следов аналитических функций указанных классов на множествах Л. Карлесона.
Цель работы. 1)Найти явное решение задачи кратной интерполяции в пространстве функций ограниченного вида и в классе аналитических в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип.
2)Построение линейного оператора, решающего задачу кратной интерполяции в классах аналитических в единичном круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности.
3)Установить, что класс мероморфных в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный положительный порядок и нормальный тип, в отличие от класса Р. Неванлинны, инвариантен относительно оператора дифференцирования.
4)Получить описание главных частей в разложении Лорана мероморфных в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип, и мероморфных функций, принадлежащих классу Неванлинны - Джрбашяна.
5)Описать главные части в разложении Лорана мероморфных в конечной плоскости функций конечного порядка и нормального типа в окрестности особых точек.
Методы исследования. В работе применялись общие методы комплексного и функционального анализа. Важную роль играют факторизационные представления исследуемых классов.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:
найдено в явном виде решение задачи кратной интерполяции в пространстве функций ограниченного вида;
найдено решение задачи кратной интерполяции в классе аналитических в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип;
построен линейный оператор, решающий задачу кратной интерполяции в классах аналитических в единичном круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности;
- получена характеризация главных частей мероморфных в единичном
круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и
нормальный тип, а также в классах мероморфных функций, принадлежащих
классу Неванлинны - Джрбашяна;
установлено, что класс мероморфных в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип, инвариантен относительно оператора дифференцирования;
описаны главные части в разложении Лорана мероморфной функции конечного порядка и нормального типа в окрестности особых точек.
Теоретическая значимость. В диссертации предложено конструктивное решение задачи кратной интерполяции в пространстве функций ограниченного вида, а также в классе аналитических в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип. В данных классах рассматриваемая задача решается впервые. Получен ответ на вопрос, при каких условиях на заданную последовательность рациональных функций существует мероморфная в единичном круге функция, имеющая вблизи единичной окружности положительный конечный порядок и нормальный тип, главные части которой совпадают с данной последовательностью. Эти результаты могут иметь применение при исследовании классов мероморфных функций с различными ограничениями на характеристику Р. Неванлинны.
Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут быть применены в общей теории функций комплексного переменного и его приложениях.
Рекомендации по использованию. Результаты диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей университетов. Также они могут быть использованы специалистами комплексного и функционального анализа при исследовании разложений мероморфных функций из различных классов в окрестности особых точек и вопросов интерполяции.
Достоверность научных результатов обеспечена математической строгостью изложения основных результатов диссертации в виде теорем с подробными доказательствами и адекватным использованием основных, общеизвестных положений и методов комплексного и функционального анализа.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту.
построение в явном виде решения задачи кратной интерполяции в пространстве функций ограниченного вида;
построение решения задачи кратной интерполяции в классе аналитических в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип;
построение линейного оператора, решающего задачу кратной интерполяции в классах аналитических в единичном круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности;
доказательство того, что класс мероморфных в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности положительный конечный порядок и нормальный тип, инвариантен относительно оператора дифференцирования;
характеризация главных частей мероморфных в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип и мероморфных функций, принадлежащих классу Неванлинны - Джрбашя-на;
описание главных частей в разложении Лорана мероморфной в конечной плоскости функции конечного порядка и нормального типа в окрестности особых точек.
Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.
Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры математического анализа Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского (2001 - 2007 гг.); на Воронежской зимней математической школе «Современные ме-
7 тоды теории краевых задач» (Воронеж, 2001 г.); на научной конференции, посвященной 100 -летию со дня рождения акад. И.Г. Петровского (Брянск, 2001 г.); на международной конференции, посвященной 200-летию Казанского университета «Геометрическая теория функций и краевые задачи» (Казань, 2002 г.); на международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2005, 2007 гг.); на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения-17» (Воронеж, 2006 г.); на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2007 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [1] - [11].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых в общей сложности на 8 параграфов, и списка использованной литературы. Работа занимает 116 страниц. Библиография содержит 53 наименования.
![О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями](/i/i/4377/303944.png "О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями Меленцов Александр Александрович")
