Содержание к диссертации
Введение
1. Факторно делимые группы 18
1. р-базисные подгруппы 19
2. Основные свойства факторно делимых групп 20
2. Группы ранга 1 28
3. Описание Бэра групп без кручения ранга 1 34
4. Основные свойства и примеры факторно делимых групп ранга 1 34
5. Описание факторно делимых групп ранга 1 46
6. Построение факторно делимой группы ранга 1 произвольной кохарактеристики 57
7. Гомоморфизмы факторно делимых групп ранга 1 58
Список литературы 61
- Основные свойства факторно делимых групп
- Основные свойства и примеры факторно делимых групп ранга 1
- Построение факторно делимой группы ранга 1 произвольной кохарактеристики
- Гомоморфизмы факторно делимых групп ранга 1
Введение к работе
Актуальность темы. Абелевы группы составляют один из важнейший класс групп. Теория абелевых групп тесно связана с теориями модулей, колец, множеств, категорий и чисел. Первые работы по абслевым группам относятся к 1917-1925 гг. и принадлежат Ф.Леви и X. Прюферу. В середине 30-х годов была получена полная классификация счетных примари ых абелевых групп, основанная на результатах X. Прюфера [21], Х.Ульма [22] и Л. Цыпина [24]. В конце 30-х годов Р. Бэр [3] на языке типов дал описание групп без кручения ранга 1, а А. Г. Курош [20]. А. И. Мальцев [29] и Д. Дерри [6] с помощью матриц с р-адическими элементами получили важное с теоретической точки зрения описание групп без кручения конечного ранга.
В 40-50-е годы произошло выделение абелевых групп из обтцей теории групп в самостоятельное направление алгебры. Большая заслуга в этом принадлежит Л. Я. Куликову, особенно следует отметить его знаменитую работу «К теории абелевых групп произвольной мощности» [30].
В 60-70-е годы теория абелевых групп достигла пика своего развития. В это время развивались два ее направления: примарныс группы и группы без кручения. Рост интереса к теории абелевых групп был обусловлен, в том числе, и выходом монографий И. Капланского [19], Л. Фукса [14] и П.Гриффита [16], в которых освещались последние ее достижения. О высоких темпах развития теории абелевых групп в это время говорит и тот факт, что, задумав второе издание своей книги [14], Л. Фукс написал в 1970 и 1974 гг. совершенно новую двухтомную монографию [34].
В последующие годы интерес к примариым группам постепенно снизился, уровень же внимания к группам без кручения и в настоящее время остается стабильно высоким. Во многом это объясняется особенностями прямых разложений групп без кручения. Так, например, существование «аномальных» прямых разложений, открытых Б. Ионссоном [17], вызвало несколько новых направлений дальнейших исследований. Во-первых — это само изучение таких аномальных прямых разложений (особенно значительных результатов здесь достигли А. Корнер [5], Е. А. Благовещенская и А. В. Яковлев [25], [37]), во-вторых — изучение почти вполне разложимых групп (развитие данного направления отражено в монографии А. Мадера [18]), и в третьих — исследование групп без кручения конечного ранга с точностью до квазиизоморфизма.
Факторно делимые группы без кручения были введены в 1961 г. Р. Бью-монтом и Р. Пирсом [4]. В 90-е годы интенсивно изучался класс смешанных групп, называемый Q. Этот класс был введен в 1994 г. С. Глаз и У. Уи-клессом [15] и ему посвящено значительное количество работ. Как обобщение факторно делимых групп без кручения и групп из класса Q в 1998 г. А.А. Фомин и У. Уиклесс в работе [10] определили смешанные факторно делимые группы и доказали, что категории смешанных факторно делимых групп и групп без кручения конечного ранга, с квазигомоморфизмами в качестве морфизмов, двойственны. Катсторная двойственность Уиклесса-Фомина полезна для изучения как смешанных факторно делимых групп, так и групп без кручения конечного ранга. Это прежде всего относится к свойствам, сохраняющимся при квазиизоморфизмах. Знания о группах без кручения конечного ранга и двойственность Уиклесса- Фомина позволяют прогнозировать свойства факторно делимых групп. Класс смешанных факторно делимых групп к настоящему времени мало изучен. Список работ, посвященных этому классу [1], [2], [10], [12], [13], [23], [33], [35], [36], близок к полному.
В группах без кручения конечного ранга важную роль играют группы ранга 1. В 1937 г. Р. Бэр в работе [3] дал полное описание групп без кручения ранга 1. Две группы без кручения ранга 1 изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же тип, каждый тип реализуется в качестве типа группы без кручения ранга 1. Любой метод изучения групп без кручения опирается на понятие типа. Учитывая, что двойственность Уиклесса-Фомииа сохраняет ранг без кручения, изучение смешанных факторно делимых групп также должно основываться па смешанных факторно делимых группах ранга 1. Именно этому классу PI посвящена данная диссертационная работа.
Цель работы. Целью диссертационной работы является описание факторно делимых групп ранга 1 на языке характеристик.
Новизна работы. Все основные результаты работы являются новыми. Главными результатами диссертации являются следуюіцие.
1. Доказано, что две факторно делимые группы ранга 1 изоморфны, тогда и только тогда, когда их кохарактсристики равны.
2. Доказано, что каждая характеристика реализуется в качестве кохарак-теристики факторно делимой группы ранга 1.
3. Описано тензорное произведение факторно делимых групп ранга 1.
4. Описаны группы гомоморфизмов и эндоморфизмов для факторно делимых групп ранга 1.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в исследованиях по теории абелевых групп и модулей, а также при чтении спецкурсов для студентов старших курсов и аспирантов.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались автором на конференции молодых ученых ММФ МГУ (Москва, 2006), на конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию В.Е. Воскресенского (Самара, 2007), а также на алгебраических семинарах кафедры высшей алгебры МГУ им. М.В. Ломоносова и кафедры алгебры МПГУ.
Также результаты диссертационной работы обсуждались на Всероссийском симпозиуме по абслевым группам (Бийск, 2006), па Международной конференции по абслевым группам (Storrs, СТ, USA, 2007), на 18 алгебраическом коллоквиуме стран Латинской Америки (Medellin, Columbia, 2007), на Международной конференции по абелевым группам (Colorado Springs, СО, USA, 2008) и на 4-м Международном семинаре «Универсальная алгебра, теория чисел и их приложения» (Волгоград, 2009).
Структура и объем работы. Представляемая диссертационная работа состоит из введения, списка обозначений, двух глав, разделенных на 7 параграфов, и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 65 страниц. Список литературы содержит 37 наименований.
Содержание работы. В первой главе диссертации рассматриваются основные свойства факторно делимых групп. В первом параграфе этой главы приводятся некоторые факты о р-базисных подгруппах. Во втором параграфе исследуются общие свойства факторно делимых групп.
Группа А называется факторно делимой, если она не содержит ненулевых периодических делимых подгрупп, но содержит такую свободную подгруппу F конечного ранга, что A/F —- периодическая делимая группа.
Линейно независимую систему элементов X = {.ті,. .., хп}, порождающую группу F будем называть базисом факторно делимой группы А, а ранг группы F — рангом факторгто делимой группы А. Важными результатами второго параграфа являются следующие теоремы.
Теорема 2.2 [12] Пусть А — факторно делимая, группа ранга п. Тогда
1) Гр(А) п для каждого простого числа р;
2) р-примариая компонента tp(A) периодической части группы А — конечная группа (rp(tp(A)) гр(А)) и выделяется прямым, слагаемым в А, то есть. A = tp(A) ф А где группа А не имеет элельентов порядка р для каждого простого числа р;
3) Периодическая подгруппа t(A) группы А изоморфно отображается в периодическую часть группы А при Ъ-адическом пополнении ц : А —у A,n{t{A)) = t{A).
Теорема 2.3.[12] Первая ульмовская подгруппа факторно делимой группы является делимой группой без кручения или равна 0.
Теорема 2.4. Если А — факторно делимая группа и Т — периодическая подгруппа группы А, то А/Т является факторно делимой группой.
Теорема 2.7. Факторно делимая группа А расщепляется, то есть, A = t(A)(&B, тогда и только тогда когда, периодическая часть t(A) группы А конечна.
Теорема 2.8.[13] Пусть А — факторно делилшя группа ранга п гі р-ранг группы А равен г. Если г п, то A® (t) — факторно делилшя группа для р-примарной циклической группы (t).
Во второй главе диссертационного исследования изучаются группы ранга 1. В третьем параграфе приведено описание Р. Бэра групп без кручения ранга 1. Две группы без кручения ранга 1 изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют один и тот лее тип, каждый тип реализуется в качестве типа группы без кручения ранга 1.
В четвертом параграфе введено понятие кохарактсристики и котипа эле мента и рассмотрены основные свойства кохарактеристик и котипов.
Для элемента а из группы А и простого числа р определим тр как наименьшее целое неотрицательное число такое, что элемент ртра делится на. любую степень числа р в группе А. Если такого числа не существует, полагаем тр — со. Характеристика (mPi:mP2,..., тРп,...) называется кохарак-теристикой элемента а в группе А и обозначается cochar(a). Тип, содержащий характеристику (тр), называется котипом элемента а и обозначается cotype(a).
Другими результатами этого параграфа являются следующие.
Теорема 4.1. Пусть А — дЪкторно делимая группа ранга 1 с базисом х. Если простое число р делит элемент х, то группа А является р-делимой.
Теорема 4.2. Пусть А — факторно делимая группа ранга 1 с базисолі х и cochar(х) = (тр). Тогда для любого простого числа р такого, что О тр со выполняется
1) р-примарная компонента tp(A) периодической части группы А является циклической группой порядка ртр 2) В прямом разложении A = tp(A) © А группа А является р-делимой без р-кручения и А = pmp+sA для любого целого неотрицательного числа s;
3) Подгруппа А р из условия 2) является факторно делимой группой и определена однозначно.
Кохарактеристика любого элемента факторно делимой группы ранга 1 не превосходит кохарактєристику любого се базисного элемента. В частности, кохарактеристики двух произвольных базисных элементов факторно делимой группы ранга 1 равны.
Кохарактеристикой факторно делимой группы А ранга 1 будем называть кохарактеристику любого се базисного элемента и обозначать cochar(A).
В заключении четвертого параграфа приводится результат о тензорном произведении факторно делимых групп ранга 1.
Теорема 4.5. Есл.и А и В — факторно делимые группы ранга 1, то А® В — факторно делилшя группа ранга 1, причем cochar(A g) В) = cochar(A) Л cochar(B).
В пятом параграфе решен вопрос о существовании гомоморфизма из факторно делимой группы ранга 1 в произвольную факторно делимую группу.
Теорема 5.2. Пусть А — факторно делилшя группа, ранга 1 с базисным элементом х, В — произвольная факторно делимая группа и у Є В. Если СОС}ШГА(Х) соскагв{у), то существует единственный гомолюрфизм f : А — • В такой, что f(x) = у.
Интерес представляет следующее следствие.
Следствие 5.4. Факторно делимая группа А ранга 1 изоморфна своей группе эндоморфизмов.
Таким образом, любая факторно делимая группа ранга 1 допускает структуру кольца с нетривиальным умножением. Этим свойством факторно делимая группа ранга 1 отличаются от групп без кручения ранга 1.
Основным результатом диссертации является теорема 5.5.
Теорема 5.5. Две факторно делимые группы, ранга 1 изолюрфны тогда и только тогда, когда их кохарактеристики равны.
С помощью теоремы 5.5. получен следующий результат.
Теорема 5.6. Пусть А — факторно делимая группа ранга 1 кохарактеристики х и В — произвольная факторно делимая группа такая, что выполняется cochar(y) х для любого у Є В. Тогда Нот (А, В) = В.
Другим важным результатом является теорема 5.8., которая описывает условие квазиизоморфности двух факторно делимых групп ранга 1.
Теорема 5.8. Пусть А и В — факторно делимые группы ранга 1. Тогда следующие условия эквиваленты:
1) Кохарактеристики групп А и В прииадлеоюат одному типу.
2) Группы А и В различаются конечными прямъши слагаемыми.
3) Группы А и В квазиизоморфиы.
В -шестом параграфе диссертации найден способ построения факторно делимой группы ранга 1 произвольной кохарактеристики.
Пусть х — (mp) — произвольная характеристика. Для каждого простого числа р возьмем кольцо Кр, где Кр — Z/pmplZ, если 0 тр со или Кр = Zp, если 7пр = оо. Рассмотрим кольцо Ъх= \\ Кр. Если ХараКТерИ-етика х принадлежит нулевому типу, то определим кольцо Rx = Q ф Zx. Если характеристика х не принадлежит нулевому типу, то определим кольцо К = (1) с Ъх.
Основным результатом является следующая теорема.
Теорема 6.1. Если А — факторно делимая группа ранга 1 кохарактеристики х, то группа А изоморфна аддитивной группе кольца Rx, а ее кольцо эндоморфизмов Е(Л) изоморфно кольцу Rx.
Следствие 6.2. Факторно делимая группа А ранга 1 имеет коммутативное кольцом эндоморфизмов.
В седьмом параграфе диссертации описаны группы гомоморфизмов факторно делимых групп ранга 1. Основным результатом этого параграфа является следующая теорема.
Теорема 7.1. Пусть Rx и RK — факторно делимые группы ранга 1, Х= {тр) и к = (кр).
1) Если неравенство [х] [к] не имеет места, то группа Нот (Rx, Я, ) периодическая, все р-примарные компоненты которой являются циклическими группами. Если для некоторого простого числа р выполняется кр — 0 или кр — оо, то р-примарная компонентна группы Нот (Rx: RK) равна 0. Если для некоторого простого числа р выполняется 0 кр оо, то р-примарная компонента группы Нот (Rx, RK) имеет порядок pmm(mp kp\
2) Если выполняется [х] [к],тео Нот (Rx: RK) = RxAK. В частности, если х к, то Нот {Rx: RK) RK.
Основные свойства факторно делимых групп
Доказательство. Пусть А ж В — факторно долимые группы с базисами хі,х2,-..,хпиуі,у2,.--,Ук соответственно. Покажем, что АВ — факторно делимая группа с базисом х\, х2,..., хп, уі, у2, , у к- Из того что, выполняется г (А Ф В) = г{{х1,х2,: хп, 2/1,2/2,---, Ук)) следует, что факторгруппа (А B)/(xi,x2:..., хп, 2/1,2/2, , Ук) является периодической. Так как факторгруппы A/(xi,x2,..., хп) и В/{у і, у2,..., у к) делимые, то для любого простого числа р и произвольного элемента а + Ъ Є А В существуют а\ Є А, Ьі Є В и целые числа ri,... ,rn, h±,..., hk такие, что равенство а+Ъ — p{ai + bi) +i\Xi + + rnxn + hiy\ - + hkyk- Следовательно, факторгруппа (А В)/(х\, х2, , хп, 2/1,2/2, ys) является делимой. Покажем, что в группе А В по. содержится ненулевых периодических делимых подгрупп. Предположим обратное. Пусть где zi, z2,..., zs,... Є А В. Для любого натурального числа г выполняется Zi = V{ + щ, где Vi Получили противоречие, так как в факторно делимых группах А и В не содержится квазициклических подгрупп. Следовательно, группа А В является факторно делимой. Теорема 2.2. [12] Пусть А — факторно делимая группа ранга п. Тогда 1) Гр(А) = п для каоїсдого простого числа р: 2) р-примарпая компонента tp(A) периодической части группы А — конечная группа (fp(tp(A)) гр(А)) и выделяется прямым слагаемым в А, то есть, A = tp(A) 0 А р, где группа А не иліеет элементов порядка р для каждого простого числа р: 3) Периодическая подгруппа t{A) группы А изолюрфно отображается в периодическую часть группы А при Tj-адическолі пополнении /І : А — Доказательство. Пусть А — факторно делимая группа со свободной подгруппой F = (xi,X2,... ,хп) такой, что факторгруппа A/F — делимая периодическая. Для простого числа р рассмотрим -базисную подгруппу В группы А. Применяя теорему 1.4 получаем А/рА = В/рВ. С другой стороны, имеет место равенство A = F + рА и элементы х\ + рА,..., хп + рА порождают группу А/рА. Поэтому число элементов в р-базисе группы А не может быть больше чем п. Из этого следует, что / примарная компонента tp(A) периодической части группы А — конечная группа, rp{tp{A)) тр(А), и tp(A) выделяется прямым слагаемым в А. Так как имеет место равенство A = tp(A) А , то Ар = tp(A) А р. Группа А р изоморфна прямой сумме к копий групп Zp, где к = гр(А р), так как А не имеет р-кручения и tp{A) = tp(A), так как tp(A) — конечная группа.
Значит, tp(A) = tp(Ap) и t(A) = tp{A) является периодической частью группы A = П А - Через А1 будем обозначать первую ульмовскую подгруппу группы Л, то есть, подгруппу, определяемую равенством A1 = f] пА = П П РкА- 2. Основные свойства факторно делимых групп Теорема 2.3. [12] Первая ульмовская подгруппа факторно делимой группы является делимой группой без кручения или равна 0. Доказательство. Пусть А1 — первая ульмовская подгруппа группы А и не равна 0. Покажем, что А1 является группой без кручения. Предположим, что существует периодический элемент у Є А1, о(у) — п. Пусть пу — р{п\у) = 0 для некоторого простого числа р и п\у ф 0. Обозначим У\ — ЩУ 4\ РУї = 0. По теореме 2.2 подгруппа tp(A) конечна, значит, существует натуральное число s такое, что pstp(A) = 0. Так как элемент Уі Є А1, то долится на любую степень простого числа р. Пусть у і = рьу2-Так как у2 Є tp(A) и pstp(A) = 0, то yi = 0. Получили противоречие с выбором элемента уі Є А1. Следовательно, А1 является группой без кручения. Покажем, что группа А1 является делимой, то есть, для всякого простого числа р и любого элемента у Є А1 уравнение рх = у разрешимо в А1. Элемент у Є А1 делится на любую степень простого числа р в группе Л, поэтому, имеют место равенства Значит, существуют zi, z2, Zki Є А такие, что Получаем следующие равенства Тогда ps(k l Vk — v\. Значит, элемент v\ делится на любую степень числа р. Пусть простое число pi ф р. Так как и.о.д.(р[, ps) — 1 для любого / Є N, то существуют щ,щ Є Z такие, что щр\ -\-v,2ps = 1. Тогда uip[v\ + ii2psvi = v\. Так как psV\ — у и у Є А1, то элемент v\ делится на любую степень числа р\. Следовательно, ps 1V\ Є Л1. Тогда получаем, что p(ps 1Vi) = у и уравнение рх — у разрешимо и А1, ш Теорема 2.4. Если А — факторно делимая группа иТ — периодическая подгруппа группы А, то А/Т является факторно делимой группой. Доказательство. Пусть А — факторно делимая группа со свободной подгруппой F = (х\,Х2,хп) такой, что факторгруппа A/F — делимая периодическая. Покажем, что система элементов х\ + X,..., хп + Т Є А/Т является линейно независимой над Z. Пусть выполняется равенство кі(х\ +Т) + - + кп(хп+Т) — О для некоторых ki,..., кп Є Ъ. Тогда к\Х\-\-- - + knxn = t, где t Є Т. Поэтому существует натуральное число m такое, что гак\Х\ + - + mknxn = 0 и, следовательно, тпк\ = — тпкп = 0. Так как m ф 0, то к]_ = = кп = 0. Значит, система элементов х\ + Т,..., хп + Т Є А/Т является линейно независимой. Покажем теперь, что группа А/Т является факторно делимой. Имеет место включение Г С F + T С А. Тогда (A/T)/{(F + Т)/Т) = A/(F + T). При естественном гомоморфизме А — А/Т группа F изоморфно вкладывается в группу (F + Т)/Т С А/Т. Значит, группа A/(F-\) является делимой периодической, как образ делимой периодической группы A/F.B группе не содержится ненулевых периодических делимых подгрупп. Предположим обратное.
Пусть Тогда имеем руг = tl: ру2 = У\ + t2,..., рг/ = Ук-і + tk-i, Элемент ti Є Т представим в виде t-y = to + tp, где н.о.д.(о(і0),р) = 1 и р Є P(A). Так как н.о.д.(о(о),р) = 1, то существуют и,иб2 такие, что pu + o{to)v = 1 или puto = io- Значит, элемент ig делится на простое число р и р(уі — wio) = -Следовательно, yi,..., ук,.. можно выбрать так, что ь .. . , ,... Є tp(A). По теореме 2.2 подгруппа Р(А) конечна, значит, существует натуральное число s такое, что выполняется pstp(A) = 0. Тогда, Получаем следующие равенства psV\ = 0, psv2 = Vi, psvk+i — vk: .... Положим z\ — ps 1vi, Таким образом, в группе А содержится квазициклическая подгруппа. Получили противоречие. Следовательно, группа А/Т является факторно делимой. Следствие 2.5. [10] Если А — факторно делимая группа, то A/t(A) -факторно делимая группа без кручения. Теорема 2.6. [10] Пусть А — tp(A) А — факторно делимая группа с базисом a?i,..., хп и отображение 7Гр: А — tp(A) — проекция. Тогда tp(A) = Доказательство. Включение (ттр(хі):... ,7тр(хп)) С tp(A) очевидно. Покажем, что tp(A) С (тгр(хі),... ,7Гр(гсп)). По теореме 2.2 подгруппа tp(A) конечная, поэтому, существует натуральное число s такое, что выполняется pstp(A) = 0. Так как факторгруппа А/{х\,... ,хп) является делимой, то для произвольного элемента х Є tp(A) существуют у Є А и целые числа к\,...,кп такие, что х = рву + к\Хі + ... + кпхп. Так как выполняется 7Tp{psy) — PsVp = 0, то ж = 7Гр(.т) = кіігр(х{) + ... + кпттр(хп). Следовательно, tp(A) = {7Tp(xi),...,7Tp(xn)). m Теорема 2.6 называется строгим условием па проекции. Теорема 2.7. Факторно делимая группа А расщепляется, то есть, А — t(A)B, тогда и только тогда, когда периодическая часть t(A) группы А конечна. Доказательство. Пусть А — факторно делимая группа, имеющая базис .ті,... ,хп. Если периодическая часть t(A) группы А конечна, то выполняется t(A) = tPl(A)(&- -tPk(A). Применяя теорему 2.1 несколько раз получаем, что A = tPl(A) ф @tPk(А) ф A = t(A) ф А . Следовательно, A = t(A) ФВ. Пусть факторно делимая группа А расщепляется, то есть, имеет место равенство А — t(A) ф В. Рассмотрим проекции 7г: А — t(A), -кр: А —» tp(A) и тт р: t{A) - tp(A). Положим Т = (7г(о;і),... ,7г(ж„) = ТРі Ф Ф TPs. Пусть простое число р ф pi,..., р Ф ps- Тогда для произвольного ХІ Є А, где і = 1,... ,п, выполняется 7Гр(хі) = тг р7г(хі) = 0.
Основные свойства и примеры факторно делимых групп ранга 1
В группах без кручения конечного ранга важную роль играют группы ранга 1, так как к ним сводятся многие решаемые в этом классе задачи. Группы без кручения ранга 1 — хорошо изученный класс групп, имеющий полное описание с помощью типов. Учитывая, что двойственность Уиклес-са-Фомина сохраняет ранг без кручения, изучение смешанных факторно делимых групп также должно основываться на смешанных факторно делимых группах ранга 1. Определение 4.1. Для элемента а из группы А и простого числа р определим nip как наименьшее целое неотрицательное число такое, что элемент рШра делится на любую степень числа р в группе А. Если такого числа не существует, полагаем тр = сю. Характеристика (тР1,тР2,... ,тРп:...) называется кохарактеристикой элемента а в группе А и обозначается cochar(a). Тип, содержапщй характеристику (тр), называется котипом элемента а и обозначается cotype(a). Следующие свойства кохарактеристик и котипов элементов следуют очевидным образом из определения: 1. cochar(-a) = cochar(a) для всех а из группы А. 2. Пусть cochar(a) — (тр). Если mPi = 0, то cochar{pia) = cochar(a). иначе сосііаг(рга) = (mpi, mP2, ..., mPi — 1, ...) (полагаем сю — 1 = сю). 4. Основные свойства и примеры факторно делимых групп ранга 1 35 3. cochar(b + с) cochar(b) V cochar(c) для любых Ь: с Є А. 4. Для всякого гомоморфизма /: А —» В и любого а Є А имеет место неравенство cocharA(a) сос!гагв{/(а)). 5. Если тЪ = пс для ненулевых целых т и п, то cotypeib) = cotype(c). 6. cotype(b + с) cotype(b) V cotype(c) для любых Ь, с Є А 7. Для всякого гомоморфизма /: А — Ви любого а Є Л имеет место неравенство cotype(a) cotype(f (а)). Теорема 4.1. Пусть А — факторно делимая группа ранга 1 с базисом, х. Если простое число р де.лит элемент х, то группа А является р-делимой. Доказательство. Пусть F = (х) — свободная подгруппа группы А такая, что A/F — периодическая делимая группа. Для любого элемента а Є А существует Ъ Є А, для которого a + F — pb + F или a = pb + гпх для некоторого целого т. Так как элемент х делится на р, то из последнего равенства следует, что а делится на р. Тогда, в силу произвольности выбора элемента а Є А, получаем, что А является делимой группой. Пусть А — произвольная факторно делимая группа ранга 1 с базисным элементом х и cochar(x) = (тр).
Если тр = 0 для некоторого простого числа р: то по теореме 4.1 получаем, что А является р-делимой группой, и значит, выполняется tp(A) = 0. Если тр = со для некоторого простого числа р, то также tp(A) = 0, т. е. А — группа без р-кручеиия. Таким образом, факторно делимая группа А ранга 1 является группой без кручения тогда и только тогда, когда характеристика ее базисного элемента состоит только из символов 0 и со. 4. Основные свойства и примеры факторно делимых групп ранга 1 36 Рассмотрим примеры факторно делимых групп без кручения ранга 1. А-Іножество целых чисел Z является факторно делимой группой без кручеия ранга 1. Данная группа содержит свободную подгруппу (1) = Z такую, что Z/Z — делимая периодическая. Для каждого ненулевого элемента а Є Z имеем cochar(a) = (00,...,00,...). Следующим примером факторно делимой группы без кручения является группа рациональных чисел Q. Данная группа содержит свободную подгруппу (1) = Z такую, что факторгруппа Q/Z — делимая периодическая. Для каждого элемента Й Е Q имеем cochar(a) = (0,..., О,...). Примерами факторно делимых групп без кручения являются группы Qp всех рациональных чисел, знаменатели которых взаимно просты с р, и Q(p) всех рациональных чисел, знаменатели которых — степени простого числа р. Эти подгруппы содержат свободную подгруппу (1) = Z. Докажем, что факторгруппы Qp/Z и Q /Z являются делимыми периодическими. Так как r(Qp) = r(Z), то факторгруппа Qp/Z является периодической. Пусть - Є Qp. Так как н.о.д.(г2,р) = 1, то существуют U\,V\ Є Z такие, что u1p + v1r2 = 1 или г1щр + гіу1г2 = п. Тогда g- = p + nvi 1, где Є Qp. Если простое число р\ -ф р, то = р\-11- + 0-1. Элемент -1 є Qp, так как н.о.д.(ріГ2,р) = 1. Значит, факторгруппа Qp/Z является долимой. Так как r(Q ) = r(Z), то факторгруппа Q /Z является периодической. Пусть - Є 0&\ где І Є N. Тогда выполняется Ц = p-j + 0-1. Если простое число pi ф р, то н.о.д.(р1,рі) = 1. Значит, существуют «2,г 2 Z такие, что щрі + V2P1 = 1 или r\U2Pi + riv2pl = Г\. Тогда Ц = ріЩ2- + r\Vi 1. Следовательно, факторгруппа Q /Z является делимой. Для каждого ненулевого а Є Qp имеем cochar(a) = (0,..., 0, 00, 0,...) и 4. Основные свойства и примеры факторно делимых групп ранга 1 37 для каждого ненулевого b Є Q№ имеем cochar(b) — (со,..., со, 0, оо,...), где со и 0 соответственно стоят на р-ом месте. Теорема 4.2. Пусть А — факторію делимая группа ранга 1 с базисом х и cochar(x) = {тр). Тогда для любого простого числа р такого, что О тр со выполняется 1) р-примарпая компонента tp(A) периодической части группы А является циклической группой порядка р ; 2) В прямом разложении A = tp(A) А группа А р является р-делимой без р-кручения и A = pmp+sA для, любого целого неотрицательного чисаа s; 3) Подгруппа А из условия 2) является, факторію делимой группой и определена однозначно. Доказательство. Рассмотрим р-базис группы А. Так как 0 тр со. то он состоит из одного элемента vp. Покажем, что tp{A) = (vp).
Предположим, что существует такой элемент z\ Є tp(A), порядок которого строго больше порядка элемента vp, o(z\) = pl, o(vp) = pr. Так как A/(vp) является p-делимой группой, то найдутся такие ненулевые элементы z\, z2, ... Є А, что где ai, a2, . Є Z. Рассмотрим элементы Очевидно, что plw\ = 0, plw2 = Wi, plwz = w2, Таким образом, А содержит подгруппу типа р, что противоречит определению факторно делимой 4. Основные свойства и примеры факторно делимых групп ранга 1 38 группы. Следовательно, / г. Так как (vp) — р-базисная подгруппа группы А, то A = (vp) -+- ркА для всех к 0. Элемент х представим в виде х = avp + ркХо, где а Є Z, не делится на простое число р и XQ Є А. Тогда prx = pfc+ra;o для всех /с 0. Значит, элемент 2?гж делится па любую степень р, то есть, trip г. Предположим, что ртрур ф 0. Из равенства ртрх _ apmPVp -\-p2mPXQ имеем, что apmpvp делится на р2тр. Так как apTOp не делится на р2тР1 то получаем противоречие с определением р-базиса. Следовательно, порядок элемента vp равен рШр. Любой элемент z Є tp(A) представим в виде z = /3vp + pmpZ{), где (З Є Ъ и ZQ Є А. Тогда z — j5vp — pmpz или z = /3vp. Значит, tp(A) = (vp). Из равенства A — (vp) +pkA для всех к 0 получаем, что для произвольного целого неотрицательного s выполняется pmp+sA = pmP+s+kA. Значит, pmp+sA является р-делимой группой. Взяв к = nip + s получаем разложение А = (vp)pm +sA. Данная сумма является прямой, так как pmp+sA — р-делимая группа без р- кручения. Покажем, что А является факторно делимой группой. В группе А существует элемент х\, для которого выполняется ртрх = p2mp+sxi, где s — целое неотрицательное число. Обозначим через хр = х — pmp+sxi. Отмстим, что о(хр) — o(vp), а значит, группу А можно представить в виде А= {xp)(Bpm sA. Базисный элемент х представим в виде х = хр + х , где х Є А . Рассмотрим свободную подгруппу (х ) группы А р. Покажем, что факторгруппа Ар/(х ) является делимой и периодической. 4. Основные свойства и примеры факторно делимых групп ранга 1 39 Так как r(A ) = г((х )), то факторгруппа А р/{х ) — периодическая. Группа А является р-делимой, то очевидно, что элемент а Є А делится на р. Возьмем простое число pi ф р. Из того, что А/(х) — делимая группа и а Є А р С А следует, что существуют а3 Є А и h Є Z, такие что a = p\a\+hx. Пусть а\ — jXp + а[, где а[ Є А . Тогда так как pijxp-\-hxp = 0. Значит, факторгруппа Ар/(х ) — делимая. Группа А р не содержит ненулевых периодических подгрупп, так как их не содержит группа А. Таким образом, группа А р является факторно делимой.
Построение факторно делимой группы ранга 1 произвольной кохарактеристики
Известно, что для групп без кручения А и В конечного ранга действие гомоморфизма /: А — В однозначно определяется его действием на любую максимальную линейно независимую систему элементов группы А. Рассмотрим похожее утверждение для факторно делимых групп ранга 1. Лемма 5.1. Пусть А — факторно делимая группа ранга 1 с базисным элементом х, кохарактеристика которого равна cochar(x) = (тпр) и а Є А, к — наименьшее натуральное число такое, что выполняется ka = тх, где т Є Z. Если каноническое разложение числа к на простые сомнооїситсли имеет вид к — рГі -р7 Є N, где г1;..., гп Є N, то тРі со для каждого г = 1, 2, ..., п. Доказательство. Пусть А — факторно делимая группа ранга 1 с базисным элементом х. Так как ранг группы А равен 1, то для элемента а Є А выполняется равенство ка = тх, где к Є N, т Є Z. Будем считать, что к наименьшее натуральное число, обладающее таким свойством и его каноническое разложение на простые сомножители имеет вид к = р\1 -рТ - Рассмотрим кохарактеристику элемента ж, cochar(x) = (тр). Пусть rnPi = оо для некоторого г = 1,...п и н.о.д.(/с, га) = qp\, где q и р{ взаимно простые числа. Если ti у 0, то к — к\р? и m = тп\р/. Так как А — группа, без pj-кручения, то для элемента а Є А выполняется равенство к\а = т\Х. Получили противоречие с тем, что к — наименьшее число, для которого выполняется равенство ка = тх. Если ij = 0, то существуют и, v Є Z такие, что kux + mvx = qx. Так как ких и mvx делятся на р\\ то qx делится на р\?. Так как н.о.д.(д,р) = 1, то существуют щ, V\ Є Z такие, что u\q+V2P = 1 или u\qx + v2px = х. Тогда а; делится на рипо теореме 4.1 выполняется mPi = 0. Получили противоречие. Значит, тр. оо для каждого г = 1, 2, ...,п. ш Теорема 5.2. Пусть А — факторно делимая группа ранга 1 с базисным длеліентолі х, В — произвольная факторно делимая группа и у Є В. Если сосНагА{%) соспагв(у) гпо существует единственный такой гомоморфизм /: А —) В, что f(x) = у. Доказательство. В теореме 2.2 показано, что р примарная компонента tp(B) периодической части группы В конечная. Выберем s 0 так, чтобы в tp(B) не было элементов порядка больше чем ps.
Докажем сначала единственность такого гомоморфизма. Пусть / и д — гомоморфизмы, обладающие свойством f(x) = д{х) = у. Рассмотрим произвольный элемент а Є А. Так как ранг группы А равен 1, то для элемента а Є А выполняется равенство ка — тх, где к Є N, т Є Z, к — наименьшее натуральное число, обладающее таким свойством. Пусть каноническое разложение числа к имеет вид к = р]1 рг , где г і,..., гп Є N. Рассмотрим кохарактеристику элемента х, cochar(x) = (тр). Применяя лемму 5.1 получаем mPi со для каждого і = 1, 2, ..., п. Рассмотрим разложение ( ) относительно простых чисел Р\,Р2, іРп - для любого г = 1, 2, . . ., п. По построению рт Р1 .. .рпгп пХ] делится на любую степень числа pi (г = 1, 2, ..., п) в группе А , а значит, делится на натуральное число /с, При этом, элемент pPl Sl ...pnhn SnX2 определен однозначно в группе А . Тогда Так как соскагл(х) сосИагв{у), то Pj Pl .. -РпРпу делится на любую сте- Элемент pi x ... pn Pn ух определен однозначно в группе рх . . . Рп В. Обозначим через у0 = у — рхп г.. .pnVJl Snyi- Так как элемент у0 Є t(B) и pPl .. .РпРпУо Заметим, что для любого гомоморфизма /: А — В такого, что fix) — у, выполняется f(xp.) = ур. и /(р! ...рпР х1)=р1 ..-Pn 2/1, ГДЄ Отсюда следуют нужные соотношения. Таким образом, для любого элемента а Є А справедливо где рхп .. .рга 2/1 = k{Pi .. .рп Уі)- Следовательно, если суще- ствует гомоморфизм /: А —» В такой, что fix) = у, то он единственный. Докажем существование искомого гомоморфизма. Для произвольного элемента а Є А, удовлетворяющего равенству ка = тх, определим данное отображение гомоморфизм. Пусть для элементов 6, с Є А выполняются равенства кф = т\х и к2с = т2ж, где к\, к2 Є N. mi, Ш2 Є Z, &Ъ 2 — наименьшие натуральные числа, обладающее такими свойствами и к\к2 = pf pqhh, н.о.к.(кі,к2) = hdi, іі.о.к.(кг,к2) = Рассмотрим разложение ( ) относительно простых чисел pi,p2, ...,Ph (для элемента у Є В существование такого разложения показано при доказательстве единственности): Для элемента 6 + с выполняется равенство ії.о.к.(кі,к2)(Ь + с) = (mi i + m2d2)x. Имеем Используя разложение ( ) и равенство (1), получаем Отсюда получаем, что f(b + с) = f(b) + /(с). Следовательно, отображение /, определенное формулой (2), действительно является гомоморфизмом групп. Следствие 5.3. Пусть А — факторно делимая группа ранга 1 с базисом х. ДЛЯ любого элельеита у Є А существует единственный эндоморфизм fy такой, что }{х) = у. Доказательство. Данное утверждение непосредственно следует из следствия 4.3 и теоремы Следствие 5.4. Факторно делимая группа А ранга 1 изоморфна своей группе эндоморфизмов. Доказательство. Пусть А — факторно делимая группа рага 1 с базисным элементом х. Отображение ip, которое ставит в соответствие каждому элементу у Є А гомоморфизм fy является изоморфизмом групп А и End (А). Покажем это. Пусть для произвольных у\,у-2 Є А выполняется (fi(yi) = р(у2), то ость, Лі = ІУ2 или fyi(x) — /3/2( )- Тогда уі — уч и отображение р — инъектив-но. Для любого эндоморфизма / Є End (А) существует у Є А такой, что f(x) = у. Применяя теорему 5.2, получаем f = fy ИЛИ ср(у) = /, то есть, отображение р — сюръективно. Для любых элементов уі,у2 Є А выполняется равенство p(yi+y2) = fyi+y2 = fyi + fy2 = p(yi) + (2/2) Следовательно, отображение р является изоморфизмом, ш Определение 5.1.
Для элементов у, z факторно делимой группы А ранга 1 определим произведение элементов у и z следующим образом yz = fy{z). Покажем, что введенная операция ассоциативна. Для любых элементов у, z Є А имеет место С другой стороны yz = fyZ(x). Следовательно, fyz(x) = (fy о fz){x). Пусть у, z, и — произвольные элементы группы А. Тогда выиоляняется Следовательно, y(zu) = (yz)u. Таким образом, в факторно делимой группе А ранга 1 возникает естественным образом структура ассоциативного кольца. Легко видеть, что изоморфизм групп А и End (А) продолжается до изоморфизма колец А и Е(Л). Следующая теорема является основным результатом диссертации. Теорема 5.5. Две факторно делимые группы ранга 1 изоморфны тогда и только тогда, когда их кохарактеристики равны. Доказательство. Пусть А и В — факторно делимые группы ранга 1 с базисами х и у соответственно, и cochar(A) — cochar(B). По теореме 5.2 существуют единственные гомоморфизмы /: А —» В и с/: В —» А такие, что f(x) = у и g(y) = х. Рассмотрим гомоморфизм gf: Л-УІи тождественное отображение id,A А — А. Так как выполняется gf(x) — g(f(x)) = д(у) = х и ідд(х) = х, то по теореме 5.2 gf = id А- Аналогично доказывается, что fg id в- Следовательно, группы А и В изоморфны. Обратное утверждение очевидно. Теорема 5.6. Пусть А — факторно делимая группа ранга 1 кохарак-теристики х и В произвольная факторно делимая группа такая, что выполняется cochar(y) х для любого у є В. Тогда Нот (А, В) = В. Доказательство. Пусть х — базисный элемент группы А. Так как для любого элемента у Є В выполняется cochar(y) х, то по теореме 5.2 существует единственный гомоморфизм fy: А — В такой, что f{x) = у. Рассмотрим отображение /?, которое ставит в соответствие каждому гомоморфизму / Є Нот (А: В) элемент у Є В такой, что f(x) = у. Покажем, что ip является изоморфизмом. Возьмем произвольные элементы /1,/2 Є Нот (Л, Б) такие, что fi(x) = Уі и /2(ж) = 2/2. Если y?(/i) = ip(f2), то j/i = J/2- Тогда /х(а;) = f2(x) = уъ По теореме 5.2 существует единственный гомоморфизм, переводящий базисный элемент х группы А в элемент у\ Є ?, следовательно, /і = /г и отображение 9? является ииъективиым. Возьмем произвольный у є В. Так как cochar(y) cochar(x), то по теореме 5.2 существует / Є Нот (А, Л) такой, что j{x) = гу. Следовательно, отображение /? является сюръективным.
Гомоморфизмы факторно делимых групп ранга 1
Доказательство. Пусть А и В — факторно делимые группы ранга 1 с базисами х и у соответственно, и cochar(A) — cochar(B). По теореме 5.2 существуют единственные гомоморфизмы /: А —» В и с/: В —» А такие, что f(x) = у и g(y) = х. Рассмотрим гомоморфизм gf: Л-УІи тождественное отображение id,A А — А. Так как выполняется gf(x) — g(f(x)) = д(у) = х и ідд(х) = х, то по теореме 5.2 gf = id А- Аналогично доказывается, что fg id в- Следовательно, группы А и В изоморфны. Обратное утверждение очевидно. Теорема 5.6. Пусть А — факторно делимая группа ранга 1 кохарак-теристики х и В произвольная факторно делимая группа такая, что выполняется cochar(y) х для любого у є В. Тогда Нот (А, В) = В. Доказательство. Пусть х — базисный элемент группы А. Так как для любого элемента у Є В выполняется cochar(y) х, то по теореме 5.2 существует единственный гомоморфизм fy: А — В такой, что f{x) = у. Рассмотрим отображение /?, которое ставит в соответствие каждому гомоморфизму / Є Нот (А: В) элемент у Є В такой, что f(x) = у. Покажем, что ip является изоморфизмом. Возьмем произвольные элементы /1,/2 Є Нот (Л, Б) такие, что fi(x) = Уі и /2(ж) = 2/2. Если y?(/i) = ip(f2), то j/i = J/2- Тогда /х(а;) = f2(x) = уъ По теореме 5.2 существует единственный гомоморфизм, переводящий базисный элемент х группы А в элемент у\ Є ?, следовательно, /і = /г и отображение 9? является ииъективиым. Возьмем произвольный у є В. Так как cochar(y) cochar(x), то по теореме 5.2 существует / Є Нот (А, Л) такой, что j{x) = гу. Следовательно, отображение /? является сюръективным. Пусть /1,/2 Є Нот (А, Б). Тогда получаем Следовательно, отображение tp является гомоморфизмом. Лемма 5.7. Если две факторно делимые группы, различаются конечными прямыми слагаемыми, то они квазиизоморфны.
Доказательство. Пусть А и В — факторно делимые группы ранга 1 с базисами х и у соответственно и cochar(A) = (тр) и cochar(B) = (kp). Так как группы А и В различаются конечными прямыми слагаемыми, то выполняется Положим т = р і і),...,рГх(тріЛО Так как А Б , то существуют гомоморфизмы f: А — I? и/ : 5 — Л такие, что / / = id и // = idB . Определим отображение д: А — В следующим образом. Для любого а = а± + а Є А, где а Є tPl(A) ф ф tPs(A) и а Є Л , положим р(а) = mf(a ). Так как для любых аі,а2 Є А выполняется то отображение д является гомоморфизмом. Определим отображение д : В — Л следующим образом. Для любого элемента b — / + Ъ Є В, где а.\ Є tPl(B) ф -tPs(B) и 6 Є Л , положим # (6) = mf (b ). Аналогично доказывается, что отображение д является гомоморфизмом. Рассмотрим квазигомоморфизмы — g д: А В я — д : В — А. Очевидно, что дд = т2 ids и д д = т2 гбЦ- Следовательно, группы А и В квазиизоморфиы. Теорема 5.8. Пусть А и В — факторію делимые группы ранга 1. Тогда следующие условия эквиваленты: 1) Кохарактеристики групп А и В принадлеоісат одному типу. 2) Группы А и В различаются конечными прямыми слагаемыми. 3) Группы А и В квазиизоморфиы. Доказательство. Пусть А и В — факторно делимые группы ранга 1 с базисами х и у соответственно, cochar(A) = (тпр) и cochar{B) = (кр). Пусть кохарактеристики групп принадлежат одному типу. Тогда множества простых чисел {р ) nip = оо} и {р кр = со} совпадают, а множество {р пір ф кр} конечно и состоит из простых чисел pi, ...,ps. Применяя теорему 4.2 получаем где pi, р2) 5 Ps такие простые числа, что тРг оо, кРг оо, А и В являются рг-делимыми без рг-кручения факторно делимыми группами ранга 1 для каждого і = 1, 2, ..., s и cochar(A ) = cochar(B ). По теореме 5.5 получаем А = Б . Следовательно, группы А и В различаются конечными прямыми слагаемыми. Пусть факторно делимые группы А и В ранга 1 различаются конечными прямыми слагаемыми. Тогда по лемме 5.7 группы А и В квазиизоморфиы. Пусть факторно делимые группы А и В квазиизоморфиы и — /: А — В и \д - В —$ А — взаимпообратпыс квазигомоморфизмы. Тогда существуют h,h Є такие, что выполняется li(fg — тк ids) = 0 и /2 ( / — так id А) = 0. Рассмотрим hfg(y) = f{l\x{) = 1\тку, где х\ = д{у)- Применяя лемму 4.3 получаем cochar(x) cochar(xi). Применяя свойства кохарактеристик и типов имеем cochar(xi) cochar(liXi) cochar(f (lix )). Тогда выполняется cochar(x) cochar(xi) cochar(liXi) cochar(f(liXi)) = cochar(limky). Значит, cochar{x) cochar(limky). Аналогично, cochar(y) cocharfamkx). Так как выполняются равенства cotype(x) — cotypefamkx) и cotype(y) = cotype(limky), то cotype(x) cotype(y) и cotype(y) cotype(x). Получаем, что имеет место равенство cotype(x) — cotype(y). Следовательно, если две факторно делимые группы ранга 1 квазиизоморфны, то их кохарактеристи-ки принадлежат одному типу. Произвольному типу г поставим в соответствие две подгруппы группы А. В силу свойства 6 кохарактеристик и котипов множество А(т) всех элементов а Є А, типы которых удовлетворяют неравенству cotype(a) г является подгруппой группы А. Элементы а типов cotype(a) т порождают подгруппу группы А, которая обозначается А (т).
Включение очевидно. Эти две подгруппы являются вполне характеристическими, то есть, при любом эндоморфизме группы А отображаются в себя. Это выполняется в силу свойства 7 кохарактеристик и котипов. Если А — факторно делимая группа ранга 1, то А (г) и Л (т) совпадают с группой А или её периодической частью t(A). Лемма 5.9. [34] Если А = В С и G — вполне характеристическая подгруппа группы А, то Определение 5.2. Факторно делимая группа А называется вполне разложимой группой, если она является прямой суммой факторно делимых групп ранга 1. Теорема 5.10. Любые два разложения вполне разложимой факторно делимой группы, в прямую сумму факторно делимых групп ранга, 1 квазиизоморфны. 6. Построение факторно делимой группы ранга 1 произвольной кохарактеристики 57 Доказательство. Пусть А = фЛІ5 где А{ — факторно делимые группы ієі ранга 1. По лемме 5.9 получаем, что для любого типа t подгруппы A(t) и A (t) совпадают с прямыми суммами групп А{, для которых верно неравенство [cochar(Ai)] t или [cochar(Ai)] t и периодическими частями оставшихся групп. Таким образом, группа At = A(t)/A (t) изоморфна прямой сумме групп Ai/t(Ai) и типы кохарактеристик групп А{ в точности равны t. Так как определение группы At не зависит от прямых разложений группы А, то утверждение следует из единственности ранга. 6. Построение факторно делимой группы ранга 1 произвольной кохарактеристики Пусть х = {тр) — произвольная характеристика. Для каждого простого числа р возьмем кольцо Кр, где Кр = Z/j;mpZ, если 0 тр оо или Кр = Zp, если тр — оо. Рассмотрим кольцо етика х принадлежит нулевому типу, то определим кольцо Rx = Q Zx. Если характеристика \ не принадлежит нулевому типу, то определим кольцо Rx = (1) С Zx. Теорема 6.1. Если А — фа,кторно делимая группа ранга 1 кохарактеристики х, то А изоморфна аддитивной группе кольца Rx, а ее колы о эндоморфизмов Е(т4) изоморфно кольцу Rx. Доказательство. Если [х] = 0, то очевидно Rx является факторно делимой группой ранга 1 кохарактеристики х- Тогда Rx = А (по теореме 5.5). Рассмотрим аддитивную группу кольца Rx для [х] 0. Из определения сервантной оболочки непосредственно следует, что Rx/(1) является периодической группой. Покажем, что Rx/(1) — делимая группа. Возьмем элемент а = (ар) Є Rx. Для каждого простого числа д ф р элемент ар делится на q. Если 0 тпр со, то ар = ао + а\р + ... + атр1р7Пр-1, и тогда ар — aolp делится на р, где 1р — единица кольца Z/pmpZ. Аналогично, если тр = со, то ар — ао + аїр + ... + asp6 + ... Є Zp, и тогда о;р — aglp делится на р.
