Введение к работе
Актуальность темы.
Диссертационная работа относится к исследованиям по теории (2,3)-по-рожденных и гурвицевых групп. Эта область теории групп зародилась еще в XIX веке в работах Ф.Клейна, Р. Фрике, А. Гурвица и сохранила свою актуальность до настоящего времени. Интерес к (2,3)-порожденным группам объясняется их связью с факторгруппами модулярной группы PSL2(Z). А именно, согласно классическому результату Ф.Клейна и Р. Фрике, эпиморф-ные образы модулярной группы, за исключением трех циклических Zi, Z2, Z3, — это в точности (2, 3)-порожденные группы.
Гурвицевы (или конечные (2,3, 7)-порожденные) группы образуют весьма важный подкласс (2,3)-порожденных групп. В 1893 г. А. Гурвиц доказал, что для группы автоморфизмов компактной римановой поверхности 1Z рода д > 2 справедливо неравенство \Aut{lZ)\ < 84(g — 1) и что гувицевы группы — это в точности те группы автоморфизмов, для которых достигается равенство.
Таким образом, исследования алгебраических свойств гурвицевых и (2, 3)-порожденных групп могут иметь интересные приложения не только в самой теории групп, но и в различных областях, так или иначе связанных с модулярной группой: в теории чисел, анализе, теории римановых поверхностей.
В ряду групп PSLn(Z) модулярная группа PSL2(Z) занимает особое положение. Если структура нормальных подгрупп PSLn(Z) при п > 3 довольно хорошо изучена (теорема Басса-Милнора-Серра), то аналогичный вопрос для PSI^Z) оказывается чрезвычайно сложным. Причина заключается в том, что в PSI^Z) имеются подгруппы, не являющиеся конгруэнц-подгруппами. В некотором смысле нормальных подгрупп «слишком много», и поэтому надеяться на полную классификацию их и соответствующих факторгрупп практически безнадежно. В связи с этим обычно исследуют ограниченную задачу
о том, какие группы из важных классов (например, классических матричных групп, конечных простых групп и т.п.) являются (2, 3)-порожденными.
Задача о (2,3)-порождении знакопеременных групп изучалась еще Дж. Миллером в 1901 году. Случай классических матричных групп над различными коммутативными кольцами (включая конечные поля и евклидовы кольца) рассматривался в работах М. К. Тамбурини, Л. Ди Мартино, Н. А. Вавилова, Дж. Уилсона, Н. Гавиоли, П. Санкини С. Вассалло и др.
Л. Ди Мартино и Н. А. Вавилов выдвинули гипотезу о том, что для произвольного конечнопорожденного коммутативного кольца R всякая элементарная группа Шевалле над R достаточно большого ранга является (2,3)-порожденной. Можно уточнить эту гипотезу и ставить вопрос о нахождении наименьшего допустимого значения ранга.
Конструктивный подход, развитый в работах Л. Ди Мартино, Н. А. Вавилова, М. К. Тамбурини, Дж. Уилсона и Н. Гавиоли подтвердил справедливость гипотезы Ди Мартино—Вавилова для конечных классических матричных групп. Частный случай матричных групп малых рангов также рассматривался в работах М. К. Тамбурини, С. Вассалло, К. Чакеряна, П. Манолова, М. Каццолы и Л. Ди Мартино.
М. Либек и А. Шалев предложили принципиально иной вероятностный подход, основанный на детальном изучении максимальных подгрупп конечных простых групп. Аналогичные вероятностные методы применимы и к исключительным конечным простым группам типа Ли. Для исключительных серий (кроме групп Сузуки, которые даже не содержат элемента порядка 3) проблема была положительно решена в работах Г. Малле и Ф. Любека.
К сожалению, вероятностные методы приводят к чистым теоремам существования и не дают никакой информации о самих образующих. Кроме того, эти методы существенно использует информацию о структуре макси-
мальных подгрупп конечных классических простых групп и не могут быть непосредственно перенесены на группы Шевалле над другими кольцами. Поэтому предпочтительнее конструктивные результаты, в которых удается явно построить образующие.
Следует отметить, что в проблемах такого рода (в частности, для задачи конструктивного (2,3)-порождения) случай групп малых рангов оказывается существенно более сложным по сравнению с группами больших рангов. Это объясняется тем, что во втором случае имеется большая свобода в выборе образующих. Для групп малых рангов сложность заключается не только в доказательстве того, что те или иные элементы порождают рассматриваемые группы, но и в поиске самих образующих. Эти случаи зачастую требуют привлечения индивидуальных методов. Поэтому уже даже для классических матричных групп над кольцом целых чисел вопрос об их (2,3)-порождении был решен не до конца. В случае линейных групп над Z наилучший из известных результатов содержался в серии работ М. К. Тамбурини и ее соавторов. В частности, известно, что группы SLn(Z) при п > 13 и GLn(Z) при п = 13 или п > 15 являются (2,3)-порожденными.
М. Кондер поставил в «Коуровской тетради» вопрос о том, будут ли (2, 3)-порожденными группы SLa(Z) и GLs(Z). Отрицательный ответ дали независимо Я. Н. Нужин и М. К. Тамбурини и Р. Цукка. В случае групп GLs(Z) и SLs(Z) А. Ю. Лузгарев и И. М. Певзнер свели проблему к анализу конечного числа случаев, однако окончательный ответ получить так и не удалось. Таким образом, до настоящего времени оставался открытым вопрос о (2,3)-порождении групп SLn(Z) при п = 5,... , 12 и GLn(Z), п = 5,..., 12, 14.
Задача о гурвицевом (или (2,3,7)-) порождении групп также изучалась с конца XIX века. Ф. Клейн показал, что группа PSL2(7) порядка 168 является группой автоморфизмов так называемой квартики Клейна, заданной урав-
нением xiry + y^z + zzx = 0. P. Фрике и A. M. Макбет исследовали группу PSL2(8) порядка 504. Однако на протяжении длительного времени примеры гурвпцевых групп носили единичный характер. Первую бесконечную серию PSI^g) для подходящих q описал А. М. Макбет в 1969 году.
Дж. Коэн показал, что PSL^Fp) не содержит новых гурвпцевых подгрупп. Эти результаты многими рассматривались как свидетельство в пользу предположения (как потом выяснилось, ошибочного) о том, что гурвицевы группы встречаются весьма редко.
Настоящий прорыв произошел после работ М. Кондера и, в особенности, А. Луккини, М. К. Тамбурини и Дж. Уилсона. Используя диаграммный метод Хигмана, М. Кондер доказал, что знакопеременные группы Ап при п > 167 являются гурвицевыми. Лишь в конце 90-х годов XX века А. Луккини, М. К. Тамбурини и Дж. Уилсон сумели обобщить метод Хигмана-Кондера на случай линейных групп. Разработанная ими техника позволила доказать гур-вицевость многих серий конечных классических групп больших рангов. В случае групп Shn(q) наилучший на данный момент результат принадлежит автору [18]: для всех п > 252 группы Shn(q) гурвицевы.
Отметим, что упомянутые результаты также конструктивны, то есть соответствующие гурвицевы образующие описываются явным образом. Как и в случае (2,3)-порождения, групы малых рангов требуют изобретения новых методов. Альтернативный неконструктивный подход, основанный на подсчете числа решений некоторых уравнений в группах и в их максимальных подгруппах, предложил Г. Малле. Наиболее эффективным этот метод оказывается для исключительных серий групп типа Ли. Случай групп Ри 2G2(32m+1) также исследовали Г. Джонс, Ч.-Х. Са и К. Чакерян. Полный список гурвице-вых спорадических простых групп получен в работах Ч.-Х. Са, Л. Финкель-штейна, А. Рудвалиса, М. Ворбойза, А. Волдара, С. Линтона, Р. Уилсона,
М. Кондера, П. Клейдмана и Р. Паркера.
В ряде работ устанавливается, что группы из некоторых бесконечных семейств не являются гурвицевыми. Исследования в этом направлении вели Л. Ди Мартино, М. К. Тамбурини, А. Е. Залесский и Р. Винсент.
Одним из интересных подклассов (2,3, 7)-порожденных групп являются абстрактные группы (2,3,7;n) = (X,Y : X2 = У3 = (XY)7 = [X,Y]n) и их факторгруппы. Впервые они рассматривались в работах Г. С. М. Коксетера. В этом случае появляется дополнительное ограничение на порядок коммутатора двух образующих, и о таких группах известно крайне мало. Частные случаи п < 9 рассматривались еще в работах Дж. Лича и Ч. Симса. Д. Нольт, В. Плескен и Б. Сувинье, а также независимо Дж. Хови и Р. Томас и М. Идж-вет установили, что группа (2,3, 7; п) бесконечна в том и только в том случае, когда п > 9. М. Кондер показал, что для достаточно больших п знакопеременные группы Ап являются эпиморфными образами группы (2, 3,7; 84). Однако аналогичные вопросы о том, какие группы Шевалле являются факторгруппами (2,3,7;п), оказываются довольно сложными, и явные примеры носят единичный характер.
В заключение выделим наиболее актуальные и приоритетные направления в указанных задачах. К ним относятся проблемы явного построения (2,3)-и гурвицевых образующих различных групп, в частности, групп Шевалле над конечнопорожденными кольцами. Особый интерес представляет случай групп Шевалле малых рангов, для которых общие методы неприменимы.
Цель работы. Основной целью работы является конструктивное исследование вопроса о возможности порождения матричных групп наборами образующих, удовлетворяющих дополнительным соотношениям. К задачам такого типа, в частности, относятся: давно стоящая проблема о порождении линейных групп над кольцом целых чисел парой элементов порядков два и
три и проблема о гурвицевом порождении групп типа Ли. В рамках общей задачи требуется разработать технику, применимую к наиболее сложному для анализа случаю групп малых рангов.
Методы исследований. В работе используются методы теории групп, включая метод исследования максимальных подгрупп конечных групп типа Ли. Также используются методы линейной алгебры и теории представлений, в частности, методы, основанные на применении формулы Л. Л. Скотта для описания инвариантов допустимых образующих.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Разработанные в ней методы и полученные результаты могут быть применены для дальнейшего изучения структурных свойств матричных групп над различными классами конечнопорожденных колец и для изучения образующих таких групп. Материалы диссертации могут составить содержание специальных курсов, для студентов и аспирантов, обучающихся по специальности математика.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты:
Доказана (2,3)-порожденность групп SLn(Z) и GLn(Z) для малых значений п > 5. Тем самым получен полный ответ на вопрос, когда группы SLn(Z) и GLn(Z) являются (2,3)-порожденными.
Классифицированы с точностью до сопряженности пары (2,3)-образую-щих групп SLs(Z) и GLs(Z).
Доказана (2,3)-порожденность группы SLq(Z) и показано, что имеется лишь конечное число несопряженных пар (2, 3)-образующих.
Доказано, что группа SLq(Z) является (3,3,12)-порожденной.
Классифицированы все допустимые инварианты подобия неприводимых проективных (2,3, 7)-троек в PGL7(F) над полем F .
Классифицированы с точностью до сопряженности все подгруппы в PGI^F), порожденные неприводимыми (2,3, 7)-тройками, удовлетворяющими условию жесткости. Как следствие, найдены новые серии гурви-цевых групп PSI^g) и PSU7(g2) для подходящих q.
Получено достаточное условие, гарантирующее, что тройка образующих, удовлетворяющая условию жесткости, содержится в унитарной группе.
Найдена параметризация всех неприводимых (2,3, 7)-троек в PGL7(F), не удовлетворяющих условию жесткости.
Впервые построены явные гурвицевы образующие для групп G2{p) для простых р > 5. Доказано, что для таких р группа G^p) является эпи-морфным образом группы (2,3, 7; 2^) = (X, Y : X2 = У3 = (XY)7 = [X,Y]2p = 1).
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Д. К. Фаддеева (Санкт-Петербург, 24-29 сентября 2007 г.); на международной конференции «Группы и топологические группы» (Милан, Италия, 10-11 июня 2005 г.); на франко-китайском симпозиуме по теории представлений (Гуанчжоу, Китай, 3-10 ноября 2006 г.); на общеинститутском математическом семинаре ПОМП РАН под руководством проф., д.ф.-м.н. А. М.Вершика; на Санкт-Петербургском алгебраическом семинаре им. Д. К. Фаддеева под руководством проф., д.ф.-м.н. А. В. Яковлева, на Московско-Петербургском семинаре по маломерной математике под руководством к.ф.-м.н. С.В.Дужина, на ал-
гебраическом семинаре университета г. Милана (Италия) под руководством проф. Л. Ди Мартино; на математическом семинаре Католического университета г. Брешии (Италия) под руководством проф. М. К. Тамбурини; на алгебраическом семинаре университета г. Кембриджа (Великобритания) под руководством проф. Я. Саксла.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, в том числе 8 работ в изданиях, входящих в список ВАК (издания [10], [11] входили в список ВАК на момент публикации; издания [12]—[17] входят в текущий список ВАК; зарубежные издания [13]—[17] входят в систему цитирования Web of Science: Science Citation Index Expanded). В совместной работе [4] автору принадлежит доказательство совпадения групп PSU(2,Z[e], В) и Т(2,3,&) при к = 7, 9, 11 (теорема 1.2), и доказательство того, что при четных к > 8 и нечетных к > 13 группа Т(2,3, к) будет собственной подгруппой в PSU(2, Z[e], В) (теорема 1.5). В совместной работе [16] автору принадлежит результат о каноническом выборе линейных прообразов проективной (2,3, 7)-тройки (лемма 2), а также анализ (2,3, 7)-троек и подгрупп в PSLj(F) (раздел 3.3 и лемма 7 и теорема 8 в разделе 6). В совместной работе [17] автору принадлежит результат о параметризации (2,3, 7)-троек (теорема 1 и леммы 1-9). Остальные результаты в работах [13], [16], [17] принадлежат соавторам. Все результаты, включенные в диссертацию, принадлежат автору.
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 230 страницах и состоит из общей характеристики работы, 6 глав, разбитых на 19 параграфов, 1 приложения и списка использованной литературы. Библиография включает 111 наименований.
