Содержание к диссертации
Введение
1 Пучки с нульмерными особенностями 16
1.1 Предварительные вычисления и обозначения 16
1.1.1 Обозначения 16
1.1.2 Предварительные вычисления для пучков из М с нульмерными особенностями 1.2 Множество пучков Ж\ 19
1.3 Множество пучков Ж% 27
1.4 Пучки с нульмерными особенностями, не дающие неприводимых компонент в М 33
2 Пучки с одномерными особенностями 42
2.1 Предварительные вычисления и обозначения 42
2.1.1 Обозначения 42
2.1.2 Предварительные вычисления для пучков с одномерными особенностями 2.2 Множество Жз 45
2.3 Множество ЗУС4
2.3.1 Неприводимость множества Ж$ 50
2.3.2 Включение множества Жц в Mi 57
2.4 Множество Жъ 64
2.4.1 Неприводимость множества М5 64
2.4.2 Включение множества Ms в М2
- Предварительные вычисления для пучков из М с нульмерными особенностями 1.2 Множество пучков Ж\
- Пучки с нульмерными особенностями, не дающие неприводимых компонент в М
- Предварительные вычисления для пучков с одномерными особенностями 2.2 Множество Жз
- Включение множества Жц в Mi
Введение к работе
Актуальность темы
Пространство модулей - это один из основных объектов изучения современной алгебраической геометрии, который появился в связи с проблемой классификации алгебраических объектов, таких как алгебраические кривые, поверхности, многообразия, векторные расслоения и когерентные пучки. Актуальность изучения пространств модулей обусловлена приложениями в дифференциальной геометрии, топологии и теоретической физике.
Например, в калибровочной теории пространства инстантонов с зарядом п интерпретируются как подмножества многообразий модулей стабильных векторных расслоений Е ранга 2 на СР3 с классами Черна С\ = 0 и с2 = п, удовлетворяющих условию Н (Е(—2)) = 0. Проблема классификации неприводимых компонент пространств модулей пучков ранга два на 3-мерном проективном пространстве с произвольными классами Черна в настоящий время далека от завершения. Поэтому рассмотрение частных случаев является актуальным исследованием, которое может помочь в развитии средств для решения общей проблемы.
Маруяма1 показал, что для стабильных векторных расслоений с фиксированным многочленом Гильберта над проективным алгебраическим многообразием существует грубое пространство модулей и оно алгебраично. Для поверхностей это было доказано Гизекером2.
Геометрия пространств модулей Мрз(2; Ci,n, 0) стабильных когерентных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна С\ = 0 или -1, с^ = п, Сз = 0 на трехмерном проективном пространстве Р к настоящему моменту изучена только для малых п. А именно при с\ = 0 полная классификация всех компонент пространства Мрз(2;0,п,0) получена лишь
1Maruyama М. Moduli of stable sheaves II. J. Math. Kyoto Univ. 18, 1978, 557-614. 2Gieseker D. On the moduli of vector bundles on an algebraic, surface. - Ann. of Math., 1977, v. 106, p.45-60.
для п = 1 Бартом3 и Уивером4 и для п = 2 Хартсхорном и Ле Потье5. При С\ = — 1 число п принимает только четные значения, и известно, что для любого четного п пространство модулей Мрз(2; —1,п,0) непусто и содержит компоненту Мрз( —1,п), которая является замыканием открытого множества Мрз( —1,п) локально свободных пучков. Р.Хартсхорн и И.Сольс6 показали, что пространство модулей Мрз(—1, 2) стабильных локально свободных пучков ранга 2 с классами Черна С\ = —1, &i = 2 на Р3 является неприводимым неособым рациональным многообразием размерности 11. Х.Мезегер, И.Сольс и С.А.Стрёмме описали замыкание Мрз(—1,2) многообразия Мрз(—1,2) в схеме МРз(2;-1,2,0).
Цель работы
Целью диссертационной работы является классификация всех неприводимых компонент схемы модулей Мрз(2; —1, 2,0).
Основные методы исследования
В работе используется техника универсальных семейств, конструкция Серра и техника Quot-схем для описания множеств стабильных пучков с классами Черна С\ = — 1, С2 = 2 и сз = 0 на Р3.
Научная новизна
В работе впервые описаны все неприводимые компоненты схемы модулей стабильных когерентных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна Ci = — 1, С'і = 2 и Сз = 0 на трехмерном проективном пространстве Р.
Теоретическая и практическая значимость
Настоящая работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения схем модулей полустабильных когерентных пучков ранга 2 без кручения наР3.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались на семинаре по алгебраической
3W. Barth Some, properties of stable, rank 2 vector bundles on Pn - Mathematische Annalen v.226, pp. 125-150.
4Wever G.P. The moduli of a class of rank 2 vector bundles on projective 3-space. - Thesis, Univ. Calif. Berkley, 1977.
5J. Le Potier. Systemes coherents et structures de nuveau. - Asterisque, 1993.
6Hartshorne R. Sols I. Stable, rank 2 vector bundles on P3 with c\ = —1,C2 = 2 (English). // J. Reine Angew. Math. 325, 145-152 (1981).
7Meseguer J., Sols I., Stromme S. A. Compactification of a family of vector bundles on P3 (English). 18th Scand. Congr. Math., Proc, Aarhus 1980, Prog. Math. 11, 474-494 (1981).
геометрии при кафедре алгебры Ярославского государственного педагогического университета им. К.Д.Ушинского в 2007, 2009 годах, на всероссийских школах-конференциях по алгебраической геометрии и комплексному анализу в 2008 и 2009 годах, на конференции "Чтения Ушинского" (Ярославль, 2004, 2006, 2009, 2010), на международных конференциях "Колмогоровские Чтения - V,VIII" (Ярославль, 2007, 2010).
Публикации автора
Результаты диссертации опубликованы в четырех статьях, вышедших в журналах, рекомендованных ВАК РФ. Они указаны в списке литературы в конце автореферата.
Структура и объем диссертации
Предварительные вычисления для пучков из М с нульмерными особенностями 1.2 Множество пучков Ж\
Всюду в работе основным полем к считается поле комплексных чисел С. Обозначим через пучок без кручения ранга 2 с классами Черна Ci() = —1, Сг() = 2, Сз() = 0 на трехмерном проективном пространстве Р3, а через [] - класс изоморфизма . Пусть Мрз(2;сі,С2,сз) - схема модулей Гизекера-Маруямы стабильных когерентных пучков без кручения ранга 2 с классами Черна с\, с і, сз на Р3. В частности обозначим через М :— Мрз(2; —1,2,0) схему модулей Гизекера-Маруямы стабильных когерентных пучков без кручения ранга 2 с классами Черна С\ — — 1, c i = 2, сз = 0 на Р3. Через w мы обозначаем дважды двойственный пучок к .
В настоящей главе мы опишем пучки [] М, которые имеют нульмерные особенности. В частности, мы рассмотрим два множества пучков Mi := {[] Є М vv/ kx, где х — некоторая точка в Р3} (1.1) Х2 ;= {[] g М w/ кх ф ку, где х и у — различные точки в Р3} (1.2) в М, соответственно имеющие размерности 15 и 19. Основным результатом настоящей главы является следующая теорема. Теорема 2. 1. Замыкание Ж\ в М множества пучков Ж\, определенного в (1.1), является неприводимой 15-мерной компонентой в М.
2. Замыкание М2 б М множества пучков Мг , определенного в (1.2), является неприводимой 19-мерной компонентой в М.
3. Все пучки [] Є М ч Мрз(—1,2) с нульмерными особенностями лежат в Ж\ U Мг Доказательство первого утверждения этой теоремы проводится в параграфе 1.2. Утверждение 2 теоремы 2 будет получено в параграфе 1.3. Третье утверждение этой теоремы непосредственно вытекает из предложения 6 (см. конец параграфа 1.4).
Рассмотрим произвольный пучок [] М \ Мрз(—1,2). Ввиду локальной несвободы пучка и условия сз() = 0 рефлексивный пучок vv не изоморфен пучку (см. [1, 1]), и точна последовательность: 04 W4Q40, (1.3) где Q — w/, а сап : - vv - канонический морфизм, инъективный в силу того, что - пучок без кручения. Поскольку SuppQ С Sing и dimSing 1 для пучка без кручения (см. [2, Следствие на стр. 109]), то dimQ 1. (1.4)
В настоящей главе мы рассмотрим пучки [] Є М\МЦРЗ(—1,2), для которых dim Q = 0. Ниже нам будут нужны следующие замечания и предложение. Замечание 1. Пусть Q - артинов пучок длины I на Р3. Тогда ct(Q) = 1 + 2lt3 (см. [1, Lemma 2.7]). Так как стабильный пучок является \i—стабильным, то используя [2, Глава II, Лемма 1.2.4(ш)], получаем следующее замечание. Замечание 2. Пусть - стабильный когерентный пучок ранга 2 без кручения с классами Черна ci() = —1, сг() = 2, сз() = 0 на Р3. Тогда vv ji-стабилен. Замечание 3. Если чистый пучок 3 на Р3 /л-стабилен, то он является стабильным (см. [3, Lemma 1.2.13]). Из замечания 2 следует, что пучок w д-стабилен, а из замечания 3 получаем, что w стабилен. Тем самым, верно следующее предложение. Предложение 1. Пусть - стабильный пучок ранга 2 без кручения с классами Черна с\(Е) = — 1, сг() = 2, сз() = 0 на Р3. Тогда vv стабилен.
Вычислим многочлен Черна пучка w. По определению Q() = 1 —1 + 2t2. В силу замечания 1 имеем равенство ct(Q) = 1 + 2l(Q)t3, где /(Q) -длина артинова пучка Q. Точная тройка (1.3) дает равенство: c (vv) = Ct()ct(Q) = (1 — t + 2t2)(l + 2/(Q)f3). Раскрывая скобки, получаем, что ci(w) = -l, c2(vv) = 2, c3(w)-2/(Q). (1.5) Так как vv, согласно предложению 1, является стабильным рефлексивным пучком, то из [1, Remark 4.2.0], [1, Example 4.2.3) и из (1.5), с учетом замечания 1 получаем равенства: (Q) = 1 и Cl(w) = -1, c2(w) = 2, c3(w) = 2; (1.6) или l(Q) = 2 и ci(w) = -l, c2(w) = 2, c3(w)-4. (1.7)
Нетрудно видеть, что пучки [] М, включающиеся в точную тройку (1.3), такие, что dimQ = 0 и l(Q) — 1 (то есть соответствующие равенствам (1.6)), образуют множество Mi, определенное в (1.1). Это множество мы рассмотрим в параграфе 1.2.
Пучки [] М, включающиеся в точную тройку (1.3), такие, что dimQ = 0 и /(Q) = 2 (то есть соответствующие равенствам (1.7)), мы рассмотрим в параграфах 1.3 и 1.4. 1.2 Множество пучков Mi
В настоящем параграфе мы рассмотрим множество пучков JVCi, определенное в (1.1), и докажем первый пункт теоремы 2. Итак, пусть [] пучок из JVC і. В этом случае точная тройка (1.3) будет иметь вид: 04- vv4k 0, (1.8) где х - некоторая точка в Р3. Согласно (1.5) для пучка w имеем равенства: Cl(w) = -1, c2(vv) = 2, c3(w) = 2. (1.9) Обозначим через Mir подмножество рефлексивных пучков в схеме модулей Мр»(2;—1,2,2). Согласно [4, Theorem 2.5] многообразие Міг является неприводимым гладким и рациональным размерности 11. Лемма 1. На Р3 х Mjr существует универсальное семейство пучков F. Доказательство. Согласно [5, Theorem 6.11] на Р3 х Міг существует универсальное семейство F стабильных рефлексивных пучков, если п 6(Hw) = 1, где #w = #w(m) = У] чСт+і многочлен Гильберта г=0 пучка vv, а 5(Не ) = НОД(ао, а\,..., ап). Проверим, что для многочлена Гильберта пучка vv выполняется равенство S(H) НОД(ао,аі, ...,Оп) = 3 / Q 1 1 \ 1. Имеем Н(т) = 2 fyCm+i = (ао + аі + а2 + «з) + ( аі + -рг Н— — ) "Ї + г=0 \ о / /а2 \ о а$т? _ ТТ . . 1-— + аз) тг Н — другой стороны, по определению //gvv(m) = x(w(m)), где x( w(m)) - эйлерова характеристика пучка vv(m). Согласно (1.9) и [1, Theorem 2.2], классы Черна пучка w(m) принимают значения: ci(vv(m)) = -1 + 2m, c2(vv(m)) = 2 - m + m2, c3(w(m)) = 2. Воспользуемся известной формулой [1, Theorem 2.3] для эйлеровой характеристики рефлексивного пучка x(w(m))i имеем #vv(m) = x(vv(m)) - 2 + Cfm+2 - 2(2 - m + m2) + i(c3 + (1 - 2m)(2 - m + m2)). TT f ч 13 1 2 4 о Приводя подобные слагаемые, получаем Hsy ym) -jrm + г"г + -m . о о Сравнивая этот многочлен, с равным ему многочленом Н(т) = ] aiC +i, имеем равенства: O,Q — —3, а\ = 10, а2 = —15, аз = 8. Тем самым, НОД(оо,аі,...,аз) = 1. Поэтому на Р3 х Міг существует универсальное семейство F стабильных рефлексивных пучков. D
Рассмотрим схему Р3 х Міг размерности 14. Пусть P(F) - проективный спектр пучка F с естественной проекцией 7Г : P(F) А Р3 х Mir и 0P(F)(1) -пучок Гротендика на нем. Проекции id х 7г : Р3 х P(F) -» Р3 х Р3 х Mir, Рі2 : Р3 х Р3 х М1г - Р3 х Р3 и вложение Рд - Р3 х Р3, где Рд - диагональ в Р3 х Р3, определеяют подмногообразие Р(Р)д := (id х 7г)-1 ор Рд) в Р3 х P(F). На P(F) существует естественный эпиморфизм ж Ц- 0р(р)(1) -» 0. Пусть Е - ядро композиции Орз И 7r F Д Орз Н Ор(р)(1) - Орр)д(1) - 0. По определению множества Mi из (1.1) ограничение р :— Epexpj пучка Е на Р3 х {р}, где р - точка из P(F), есть пучок из Mi. При этом по построению любой пучок Mi получается таким образом. Тем самым, модулярный морфизм / : P(F) —у М, р » [р] является сюръекцией на Мь По конструкции / описывается следующим образом / : р — ([3],х, е : 3 -» kj. ) i-)- [ker(3r -» кг)], где 3 - рефлексивный пучок из Mir, х Є Р3, є : $ -» kc - класс пропорциональности эпиморфизма б, а - пучок из Mi. Далее нам понадобится следующая лемма.
Пучки с нульмерными особенностями, не дающие неприводимых компонент в М
В настоящей главе мы опишем пучки из схемы модулей М, имеющие одномерные особенности. В частности мы рассмотрим три множества пучков: Мз := { Є М w/ 0т(1), где т — некоторая прямая в IP3}; (2.1) М4 := { Є М vv/ Q, где пучок Q включается тройку (2.3)}; (2.2) О - кх - Q - 0Ш -ч- 0, (2.3) где а: - некоторая точка в F3, а т - некоторая прямая в Р3; М5 := { М w/ Q, где Q - пучок из точной тройки (2.5)}, (2.4) О -) Qo - Q - 0m(-l) -0, (2.5) где Qo - артинов пучок длины 2, a m - некоторая прямая в Р3. Показывается, что М есть объединение неприводимых множеств Мрз(-1,2), Мь К2, Мз, М4, Н5. Основной результат настоящей главы сформулирован в следующей теореме. Теорема 3. 1. Замыкание Ж% множества Жз в схеме модулей М есть неприводимая компонента в М. 2. Множество М4 лежит в Mi и не образует неприводимой компоненты в М; где Ж\ - множество пучков, определенное в (1.1).
Множество Ж$ лежит в М2 и не образует неприводимой компоненты в М, где Ж2 - множество пучков, определенное в (1.2).
Доказательство этой теоремы с учетом результатов первой главы завершит доказательство теоремы 1 - основного результата диссертации.
В настоящей главе будут рассмотрены пучки Є М, включающиеся в точную тройку (1.3), для которых dim Q — 1. Случай dim Q = 0 был описан в главе 1. Чтобы рассмотреть все пучки из М, в силу неравенства (1.4), нам осталось описать слачай dimQ = 1. Итак, пусть dimQ = 1. Тогда ci(Q) = 0, и, тем самым, многочлен Черна пучка Q имеет вид Ct(Q) = 1 — It2 + c3(Q)3, где / := x(Q Орз) для общей плоскости Р2 С ЗР3. Отсюда и из (1.3) получаем равенство: Ct(E) = (l+c2(vv)t2+cz(evv)t3)/(l-lt2+cz(Q)t3) = (l-i+c2(w)2+ c3(vv) 3)(l + It2 - c3(Q)i3) = 1 -1 + (c2(w) + l)t + (c3(vv) -1 - c3(Q)) 3. По определению ci() — —1, c2() = 2, c3() = 0, поэтому из предыдущего равенства получаем, что c2(w) = 2-J = 2 + c2(Q), (2.6) c3(Ew) = l + cz(Q). (2.7) Так как 6VV - стабильный рефлексивный пучок, в силу предложения 1 и в силу того, что Ci(vv) = —1, то согласно [1, Corollary 3.3] имеем неравенство c2(w) 1. Из условия dim Q = 1, следует, что I 0, поэтому из равенства (2.6) получаем, что / — 1 = —c2(Q), тем самым, c2(vv) = 1. Согласно [1, Example 4.2.3] пучок vv удовлетворяет точной тройке: 0 -+ о(-1) -» vv - Oi - 0, (2.8) где I - некоторая прямая в Р3 и c3(w) — 1. Итак, имеем равенства Cl(w) = -1, c2(w) - 1, c3(w) = 1. (2.9)
Отсюда и из (2.7) находим, что с$(0) = 0. Из полученных выше равенств следует, что многочлен Черна Q(Q) пучка Q равен 1 — t2. Поэтому SuppQ есть некоторая прямая т в объединении с не более чем конечным числом точек, и Q включается в точную тройку: 0 - Qo - Q - Om(n) - 0, (2.10) где dim Q0 = 0.
Определим возможные значения п. Для этого вычислим многочлен Черна Ct(Gm(n)). Из стандартной точной последовательности 0 — Орз(—2) —20рз(—1) —Орз — От —У 0 находим многочлен Черна пучка ct(Om) - (1 - t)-2(l - 2t) = 1 - і2 - 2 3. (2.11)
Найдем многочлен Ct(Om(n)). Для этого рассмотрим точную тройку 0 - От - 0m(n) -» kXl ФкХ2 Ф ... Фк - 0, где хь #2, ... а:п - различные точки, принадлежащие т. Отсюда в силу замечания 1 и формулы (2.11), получаем, что ct{Om{n)) = (1 - 2t3)(l + 2пЬъ) = 1 - t2 + 2(n - l)i3.
Так как Qo из (2.10) - артинов пучок, то согласно замечанию 1 многочлен Черна пучка Qo можно записать в виде: ct(Qo) — 1 + 2J(Qo)3, где l(Qo) :— x(Qo) - длина пучка Qo. Из точной тройки (2.10) следует, что ct(Q) = Ct(Om(n))-ct(Q0) = (l-i2+2(n-l) 3)(l+2J(Q0)i3) = l-i4(2n-2+2/(Q0))t3. Так как Ct(Q) — 1 — t2, то отсюда получаем, что l(Qo) + п = 1.
Заметим, что (1.3) и (2.10) дают композицию сюръекций vv -» Q -» Om(n), и поэтому Hom(vv,0m(n)) 0. Покажем, что это неравенство накладывает условие на число п. Применим к точной тройке (2.8) функтор Hom( , От(п)), получим: 0 - Нот(Ъ, 0m(n)) - Hom(vv, От(п)) -Нот(0(-1),От(п)), где Нот(0(-1),0т(п)) = Н(От(п + 1)) ф 0 при п —1. Применим к точной тройке 0 —У 0(—2) — 20( —1) —J 0 функтор Нот( , От(п)), получим мономорфизм Hom(Jj, От(п)) Hom(2G(-l), Om(n)), где Hom(20(-1), Om{n)) = 2H(Om(n + 1)) ф 0 при n — 1. Поэтому Hom(vv,Om(n)) Ф 0 при n —1.
Так как 1(QQ) 0, n —1 и /(QQ) + n = 1, то для пары (1(QQ), п) возможны три случая: 1) 1(QQ) О, п — 1; 2) /(Qo) = 1, га = 0; 3) J(Qo) — 2, га — —1. В случае 1) из (2Л0) следует, что Q = От(1) и точная тройка (1.3) имеет вид: 0 -» г -у vv - От(1) -У 0. (2.12) Случаю 1) соответсвует множество пучков Мз, определенное в (2.1), которое будет рассмотрено в параграфе 2.2.
В случае 2) пучок Q включается в точную тройку (2.3). Этому случаю соответствует множество пучков М4 (см. 2.2), которое будет рассмотрено в параграфе 2.3. В случае 3) пучок Q включается в точную тройку (2.5). Множество Ms, соответствующее случаю 3), мы рассматриваем в параграфе 2.4.
Таким образом, множества Мз, М4, М5 в М соответствуют случаю dimQ = 1. Согласно предложению 6 пучки из М, соответствующие случаю dimQ — 0, лежат в объединении Ж\ и Мг- Случаю Q — 0 соответствует подмножество Мрз(—1,2) в М. Отсюда, так как dimQ 1, получаем следующее предложение. Предложение 9. Схема модулей М есть объединение множеств Мрз( 1,2) U Mi и м2 и м3 и м4 и м5. 2.2 Множество М3 В настоящем параграфе мы докажем, что замыкание Мз множества Мз в схеме модулей М, определенного в (2.1), является 11-мерноЙ неприводимой компонентой в М. Другими словами, имеет место следующее предложение.
Предложение 10. 1). Множество Мз является 11-мерным неприводимым подмножеством в схеме модулей М. 2). Мз есть неприводимая компонента размерности 11 в Ы. Для доказательства предложения 10 мы построим семейство пучков Е с базой, биективно отображающейся на Мз посредством модулярного морфизма. Для этого нам потребуется описание рефлексивных пучков наР3 с классами Черна с\ = — 1, с% = сз = 1, данного в [1]. Из этого описания непосредственно следует, что пространство модулей таких пучков канонически изоморфно Р3 и универсальный пучок F на Р3 х Р3 существует и включается в точную тройку 0 - (V(-2) Н Орз -+ Орз(-1) И Тр»(-1) - -» 0. (2.13) Положим У := Р3 х G, где G := G(l,3) - грассманиан прямых в Р3. Пусть рг12 : Р3 х У -» Р3 х Р3, рг13 : Р3 х У - Р3 х G и р : Р3 х У - Г -проекции, и Г := {(х,т) Р3 х 2х Є m} - график инциденции в Р3 х G. Рассмотрим пучок Л := p iKom(pTi2F, Ор(1)) на У, где Г := prf3 (Г) Г х Р3 и Of(l)=Op3(l) Э Ор8хСг.
Предварительные вычисления для пучков с одномерными особенностями 2.2 Множество Жз
В настоящем подпараграфе рассматриваются множества Hi и Н4, соответсвенно определенные в (1.1) и (2.2). Как отмечалось в параграфе 1.2, замыкание Hi множества Ні в М является неприводимой компонентой размерности 15 в М. Мы докажем, что Hi лежит в Hi, что дает пункт 1 предложения 12. Отсюда будет следовать пункт 2 предложения 12.
В силу неприводимости Н4 нам достаточно убедиться в том, что общая точка [] Hi лежит в неприводимой компоненте Ні. В схеме Quot формулой (2.22) определено подмножество Quot . Рассмотрим открытое плотное подмножество W — W XQUO1M Quot в схеме W. Обозначим через Ж\ образ множества W в схеме модулей М при модулярном морфизме /. Пусть Г - график инциденции в Р3 х G. Рассмотрим схему Т := G х Г х Р3 и ее открытую подсхему Т := {{l,y,тух) Т\1 и m - скрещивающиеся прямые, х g m, у Є m, х,у / и х ф у}. Пусть 12 : Р3 х Ґ - Р3 х G, &з : Р3 х Ґ - Р3 х Р3, 14 : Р3 х Ґ - Р3 х G, &5 : IP3 х Ґ -»Р3 х Р3, & : РхГ - Р3,&:РхГ -»:г , Сш хГ - P3xGxP3, i45 :Р3хГ - Р3х GxP3- проекции. НаР3хТ имеется пучок Ъ := ж з( 23?гид,&3Гид[х] 0рз(—1)). Прямые вычисления показывают, что Ext1 (3 ,3 ( — 1)) — к4 для любой точки = (l,y,m,x) Є Т\ Тем самым, для произвольной точки t 2у замена базы дает, что !В kt—Ext1(D(Uy,?mUx(—1)), и согласно [13, SatzS(ii)] пучок Ъ локально свободен ранга 4, Рассмотрим схему Q := Proj(fy ЛҐ. Так как Т} очевидно, неприводимо, то в силу локальной свободы пучка Ъ получаем, что П неприводимо.
Рассмотрим в П открытое плотное подмножество 1 := {w — кд;)), где 5 - связывающий гомоморфизм в точной последовательности XW Ext-групп: 0 - Uom{OlUy,Om(-l) ф кх) -у Ext1(aIlJl„amUa;(-l)) Л Ext (Oiuy)Q(-l))}. Из универсальных свойств пучка Ъ (см. [14]) следует, что на IP3 х П определен пучок Е такой, что его ограничение ш = Е на произвольную точку из = (/, у, т, х, ) Q есть расширение О - mUtc( —1) — w — J(Uy —» О, (2.29) задаваемое элементом Ext1 , JmUa;(-l))\ 5(Hom(Jajy,Om( l)kc))-Тем самым определен морфизм v : ti — М : из -» [Еш].
Лемма 16. Образ ІЇ при отображении v лежит в Ж Доказательство. Выберем произвольную точку из = (1,у,т,х, ) Є Q . Покажем, что w Є Ж%. Нетрудно видеть ввиду легко проверяемого изоморфизма Ext1 , 0(—1)) Ext1 , 0(—1)), что точные тройки 0 — 3muc(-l) - 0(-1) - От(-1) Ф к - 0 и (2.29) достраиваются до коммутативной диаграммы:
Расширение 0 - 0(—1) - -У J; - 0 задается элементом 0 Ф v() Є Ext1(3/,0(—1)) с Ext1( Uj,,0(—1) согласно определению 1 . Поэтому Эг рефлексивный пучок (см. [1, Example 4.2.3]) и J = v. Таким образом, пучок включается в точную тройку 0 — ш -» v — От ф кх — 0. Тем самым, по определению, w Є М. Поэтому -f/(fi ) С М - П Лемма 17. Морфизм и : П М4 сюръективен. Доказательство. Покажем, что для любого наперед заданного класса изоморфизма пучка [] Ж\ существует точка ш — (i, j/, го, гг, ) Є U такая, что I/(CJ) = []. Фиксируем пучок Ж\. По определению он включается в точную тройку (1.3), где Q = ОтФкх, sanUx - дизъюнктное объединение прямой т и точки х. Для любого 0 s Є H(w(l)) согласно (2,8) имеем coker(s : О — vv(l)) = Зі, где I - прямая нулей сечения s (см. [1, Example 4.2.3]). Нетрудно видеть, что для общего сечения $ Є H(w(l)) образ композиции eog, где є : w — vv/ = ОтФкх - каноническая сюръекция, есть От(—1)фкх. Поэтому для общего сечения s пучок Є Ж1 включается в диаграмму (2.30). По построению расширение 0 — 0( —1) -» w — Зі — 0 нетривиально. Поэтому левая вертикальная тройка в (2.30) как расширение задается элементом Ext J/uj,, тпиг(-1)) \ S(Hom(3tUyiQm(-l) Ф кх)) (см. определение ГЇ ). Тем самым, левая вертикальная тройка в (2.30) совпадает с тройкой (2.29), где = ш для ш = (1уу,т, ж, ) П . Другими словами, []=i/(w). D Рассмотрим произвольное нетривиальное расширение 0 — Зтиж(—1) — X - кгФЭу,ря(—1) - 0, где х mUP2, а у — тПР2. Нетрудно видеть, что X = 3mUi для некоторой прямой I в Р2. Для фиксированных прямой / С Р2 и точки у Р2 однозначно с точностью до пропорциональности определена сюръекция г} : 3iUy - k ф Jtf,pa(—1), ядро которой есть пучок Зх( —1). Тем самым получаем точную тройку 0 — Зх( 1) — 3iUy — кх ф 3yjfa(—l) — 0, которая вместе с тройкой 0 — 3mUx(—1) — JmU/ — kx Ф Зу (—1) — 0 достраиваются до коммутативной диаграммы: о о
Рассмотрим многообразие X := {((г,г/,т,х),Р2) Ґ х IP3]; Uy С Р2}. По определению X лежит BCJXH XGXFXIP3, поэтому определены проекции на сомножители j\ : Р3 х X - Р3, J2 : Р3 х - - -X"» ji2 : Р3 х X - Р3 х G, ju Р 3 х X - Р3 х Р3, ji4 : Р3 х X - Р3 х G, ji5 : Р3 х X - Р3 х Р3, i16 : Р3 х X Р3 х Р3. Обозначим через Г график инциденции в Р3 х G, через Д - диагональ в Р3 х Р3, а через Е = {(х, Р2) Є Р3 х Р3 є Р2} - график инциденции в Р3 х Р3. Положим Г!2 := ІГ2Х(Г), Г13 := ІГзЧА), ДЫ := Ін(Г), Дів := h№), Si6 := Зы&). Пусть 2) - ядро эпиморфизма 016 Діз г12- Рассмотрим на Р3 х X пучки G := 0д1в ф D, аГиид15 В jJOp.(-l) и Є := Extlh(G,3Tl4VAl, ВЯ М-1)).
Нетрудно видеть, что для пучка С имеет место изоморфизм замены базы, который для произвольной точки t Є Т дает С &
3mux1ux2 (— 1)) Поэтому согласно [13, SatzS(ii)] пучок локально свободен иї:= Pro/(С) - неприводимое многообразие, точками которого являются наборы (I, у, т, х, Р2, т ), где г Extx(9,3mux{—1))-Для произвольной точки u = (?, y,m,x,P2, г ) 6 Т элемент г определяет правую вертикальную тройку в (2.31), а сюръекция rj в (2.31) определяется тройкой (l,y, Р2) согласно сказанному выше. Тем самым, получаем отображение v : Т — т ) (- (,г/,т,х, ), где - элемент группы Ext J uy, 3mUx( —1)), задающий центральную вертикальную тройку в диаграмме (2.31) как расширение. В силу неприводимости Ї и О отображение v является морфизмом. Для того чтобы доказать, что морфизм v доминантен, нам необходимо следующее предложение.
Включение множества Жц в Mi
По построению ограничение диаграммы (2.57) на Р3 х да, где w -точка в W, есть диаграмма (2.52). Выберем произвольный пучок [] из множества Мд. Используя точную тройку (1.3) и локально свободную резольвенту 0 - 0(-2) 30(-1) -» w -+ 0 пучка vv, мы можем построить коммутативную диаграмму (2.52). Тем самым, мы определим точку w = ([a], [s]) W, где [а] QuotMs, а [s] - класс сечения пучка (2). Поэтому, всякий пучок [] из множества М$ представлен точкой w W такой, что [] — [Ерзхщ;]. Таким образом, М& совпадает с образом модулярного морфизма / : W —У М : w і— [Ерзхги]. Следовательно, верна следующее предложение.
Рассмотрим неприводимую 19-мерную компоненту М2 — JVC2 в схеме модулей М, описанную в параграфе 1.3. В настоящем параграфе мы показываем, что М$ С М2. Отсюда будет следовать основной результат настоящей главы, заключающийся в том, что М5 не является компонентой в М, чем завершается классификация неприводимых компонент в М.
В силу неприводимости Ms нам достаточно убедиться в том, что общая точка [] Ж$ лежит в компоненте М2. В схеме Quot имеется открытое плотное множество Quot (см. (2.51)). В схеме W (см. (2.58)) рассмотрим открытое плотное множество И = W XQuotM Quot . Обозначим через Ml образ множества W в схеме модулей М при модулярном морфизме /.
Рассмотрим схему Т := G х G xF3 xIP3, где G - грассманиан прямых в Р3. В этой схеме определим открытое множество Ґ := {(I, пг, #ь х2) Т\га и / скрещивающиеся прямые, xi,#2 $ тз Хъ%2 0 и хі Ф X2J- Пусть & : Р3 X Ґ - Р3, & : 5Р3 х Ґ - Г\ 12 : Р3 х Ґ -+ F3 X G и i345 : Р3 х Г - P3xGxP3xP3- проекции. Обозначим через Г график инциденции в F xG. Рассмотрим пучок $23Г на Р3 х Т . Пусть 12:P3xGxP3xP3- P3xG, Яи V3 х G х Р3 х Р3 -V Р3 х Р3 и Ci4: Р3 х G х Р3 х Р3 - - Р3 х Р3 - проекции. Пусть Д - диагональ в Р3 х Р3. Положим Г\ := f24r), Ді : и(&) и Д2 ;=; { 1(Д) - прообразы этих множеств. На Р3 х Ґ имеется пучок Л :— я: Й2 г)Яз4б г1иДіиДа й р»(—1))- Прямые вычисления показывают, что Extl(J/,3mariUra(-l)) = к4 и Ext2(3b3mUa;iUa;2(-l)) = 0 для любой точки t — (1,ту Хі,Х2) Є Т . Тем самым, для произвольной точки t Є Ґ замена базы дает, что Л g \s.t= 1{ h muxiux2{ !)) Поэтому, согласно [8, Следствие12.9] пучок Л локально свободен ранга 4. Рассмотрим схему П := Рго /(Л) Л Г . Так как Т, очевидно, неприводимо, то в силу локальной свободы пучка Л получаем, что П неприводимо.
Рассмотрим в О, открытое плотное подмножество Q := {ш = {1,т,хъх2, ) П 6 Ext UbVj u -l)) \ 5(Hom(3/,Om( —1) Ф k j Ф kjp,)), где 5 - связывающий гомоморфизм в точной последовательности Ext-rpynn: 0 — Нот(Зг,От(—1)фкЖ1фкХ2) -» Ext1(Ji,JmUatlUr3(—1)) Л Ext1 /, 0(-1)) - 0}. Из универсальных свойств пучка Єз Дїгап&мбЗгіиДїиДз И Орз(-1)) (см. [14]) следует, что на Р3 х П определен пучок Е такой, что его ограничение ш = Ejjp3xw на произвольную точку ш — (l,mfXi,X2, ( ) 6 И есть средний член расширения О - - Jmuxlux2(-l) 8W 3, -+ О. (2.59) задаваемого элементом f Є Ext1 , JmuiiUra(-l))\ 5(Hom(J/, От(-1)фкХіф k )). Тем самым, определен морфизм и : Q -f М : со - [].
Лемма 23. Образ П при отображении v лежит в Mg. Доказательство. Выберем произвольную точку ш = ( m i.ij, ) fi . Покажем, что [ы] Є Mg. Имеем каноническое вложение Jmu iuiaC"1) " (_1) коядром которого является пучок 0т(-1)фкіФкХз. Далее, точные тройки 0 -3mUx UX2(-l) - 0(-1) -» 0т(-1)фкіФкЗГз -)О и (2.59) достраиваем до коммутативной диаграммы:
Расширение 0 — 0(—1) — J -» Зі — 0 задается элементом и() 0 согласно определению П . Поэтому У - рефлексивный пучок (см. [1, Ex ample 4.2.3]). Поэтому $ = v. Таким образом, пучок включается в точную тройку 0 — w - yV Om(—1) Ф kXl Ф кЖ2 —» 0. Тем самым, по определению w Є М. Поэтому i/(fl ) С М. Лемма 24. Морфизм v : П — Mg сюръективен. Доказательство. Покажем, что для любого наперед заданного класса изоморфизма пучка [] Є Mg существует точка w = (I, m, Жі, Ж2, ) Є П такая, что v{co) — []. Фиксируем пучок [] Є MJ. По определению он включается в точную тройку (1.3), где Q = От(—1) Ф kXl ф kX2, а т U Xi U #2 - дизъюнктное объединение прямой m и точек ж і и х - Для любого 0 ф s Є H(w(l)) имеем coker(s : О - w(l)) = % где I - прямая нулей сечения s (см. [1, Example 4.2.3]). Тогда в силу замечания 5 для общего сечения $ пучок [] М включается в диаграмму:
