Содержание к диссертации
Введение
1. Введение. 3
2. Предварительные сведения из геометрии на трехмерной квадрике Q. 7
3. Модельный пример: однопараметрическое семейство расслоений с вырождением в стабильный пучок с особенностью. 14
4. Существование сечений у Е(1) для пучков из схемы MQ(2; 0,2,0). 20
5. Компонента Мо- 34
6. Некоторые другие квартики, не дающие новых компонент. 52
6.1. Эллиптическая квартика 4U4 52
6.2. Нормкубика и прямая С3 UI. 57
6.3. Коника и прямые 60
6.4. Кривые с двойной структурой 63
- Предварительные сведения из геометрии на трехмерной квадрике Q.
- Существование сечений у Е(1) для пучков из схемы MQ(2; 0,2,0).
- Некоторые другие квартики, не дающие новых компонент.
- Нормкубика и прямая С3 UI.
Введение к работе
Стабильные векторные расслоения на алгебраических многообразиях являются одним из центральных объектов алгебраической геометрии. Наиболее хорошо изучены свойства пространств модулей стабильных расслоений для малых размерностей один и два базы, то есть когда основное многообразие является алгебраической кривой или поверхностью. В случае многообразий высших размерностей геометрия пространств модулей стабильных расслоений уже значительно сложнее и более или менее изучена лишь для некоторых специальных классов многообразий. В последние годы возрос интерес к изучению стабильных расслоений и, более общо, полу стабильных когерентных пучков ранга 2 без кручения на трехмерных многообразиях Фано. Традиционно свойства таких пучков изучались с середины 70-ых годов на проективных пространствах Рп, п 3, (см., в частности, работы [4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 15, 17, 18, 26, 27, 31, 32]).
Первые работы по описанию расслоений на других многообразиях Фано относятся к концу 80-ых — началу 90-ых годов прошлого века. (см. [34, 29]). Описанию некоторых общих свойств многообразий модулей расслоений ранга 2 на трехмерных многообразиях посвящена работа А. Н. Тюрина [33]. В ней, в частности, выясняется взаимосвязь между многообразиями модулей расслоений на многообразиях Фано и на #3-поверхностях — гиперплоских сечениях многообразий Фано, устанавливаемая операцией ограничения.
Более детальное изучение геометрии пространств модулей расслоений на многообразиях Фано, близких к Р3, началось в конце 90-ых годов. Здесь необходимо отметить статьи Д. Маркушевича и А. С. Тихомирова [19],[21] и А. С. Тихомирова [30] по расслоениям и пучкам на многообразиях Фано индекса 2 — трехмерной кубике в Р4 и двойном пространстве Р3.
Среди недавних работ по расслоениям ранга два на других многообразиях Фано следует отметить работы [1, 8]
Стабильные расслоения на квадрике Q представляют собой от-крытое подмножество неприводимой компоненты MQ(2; 0,2) схемы модулей Гизекера - Маруямы MQ(2; 0,2,0) полустабильных пучков ранга 2 без кручения с с\ = сз = 0, oi — 2. Настоящее диссертационное исследование посвящено нахождению других компонент в MQ(2;0, 2,0), общие точки которых, в силу неприводимости MQ(2; 0,2) являются стабильными когерентными пучками ранга 2 без кручения, не являющимися расслоениями.
В работе дается геометрический метод описания компонент схемы MQ(2; 0,2,0). Для этого выясняется, что схема MQ(2; 0,2,0) не содержит чисто полустабильных пучков, и любой пучок из MQ(2;0,2,0), подкрученный на 1, имеет сечения, причем нулями общего сечения является кривая степени 4, возможно, с добавленными точками.
В работе также доказывается, что MQ(2;0,2,0) содержит еще, по крайней мере, одну неприводимую 13-мерные компоненту, пересекающую компоненту MQ(2;0, 2) по дивизориальной компоненте границы 9MQ(2;0,2) := MQ(2; 0,2) \ MQ(2; 0,2).
Предварительные сведения из геометрии на трехмерной квадрике Q.
Когомологическое кольцо H (Q, Z) порождено классами гиперплоского сечения [h] Є #2(Q,Z), прямой [] Є if4(Q,Z) и точки [р] Є #6(Q,Z). Причем умножение в # (Q, Z) устроено следующим образом: Следующая лемма дает нам многочлены Черна структурного пучка точки и пары точек на Q Лемма 2.1. Пусть х и у — две произвольные не совпадающие точки на квадрике Q, тогда: Доказательство. Заметим, что из точной тройки следует, что с к ф Ц) = (сДк )) . Рассмотрим локально свободную резольвенту пучка кх ф ку: Получаем: Отсюда получаем и c k ) = 1 + 2[p]3. D На самом деле, имеется более сильный факт: Лемма 2.2. Пусть S — артинов пучок длинып, тогдаQ(S) = 1+ 2n\p]tz. Доказывается лемма индукцией по длине п. Еще одна лемма, дающая нам многочлен Черна структурного пучка и пучка идеалов некоторых кривых на квадрике. Лемма 2.3. Пусть Cd С Q — кривая степени d = degCd и рода О на квадрике Q и п Є Z — целое число, тогда: l)ct(Ocd(n)) = 1 - d[i]t2 + (d(2n -3) + 2)\p]t\ 2)ct(lc Q(n)) = 1 + n[h]t + d[t]t2 - (3d(n -1) + 2)\p]tz, Доказательство. 1) Индукция по степени кривой: база индукции: d = 1, кривая степени 1 — прямая, вычислим многочлен Черна структурного пучка прямой. Имеем две точных тройки Вычислим сперва многочлен Черна структурного пучка коники. Для этого запишем его локально свободную резольвенту: Подкрутив ее на С?о(п), получаем: откуда Вспоминая (2.1) и (2.2), получим: Таким образом утверждение 1) доказано. Докажем теперь утверждение 2). Имеем точную тройку Нам понадобится также формула для Эйлеровой характеристики пучка , доказывать которую мы не будем, так как доказательство есть простое, но длинное вычисление формулы Римана - Роха, которое требует только аккуратности. Лемма 2.4. Пусть 5 — некоторый пучок на квадрике Q, ранга гкЭ7" = г с классами Черна ci($) Следствие 2.4.1. Пусть 3 — пучок ранга 2 с классами Черна ci(3") = О, сгО?) = 1 и сз(5Р) = сз, тогда Следствие 2.4.2. Пусть У — пучок ранга 2 с гсдассалш Черна с\ЦЗг) = 0, съф) = 2 и сз{&) = сз, тогда Также нам понадобится Лемма о неотрицательности третьего класса Черна рефлексивного пучка на квадрике Q ранга 2. Эта лемма является аналогом Леммы 2.6 из [14], там доказывается тот же факт для Р3. Лемма 2.5. Пусть — рефлексивный пучок ранга 2 на Q. Тогда с3() = h(8 (8,, ОQ)). То есть сз() 0, и сз() = О тогда и только тогда, когда локально свободен. Доказательство. Здесь, несмотря на то, что факт верен для любого рефлексивного пучка, мы будем рассматривать только пучки с ci() = 0, так как именно они нас будут интересовать в дальнейшем. Замети сразу, что в этом случае (см. [14, proposition 1.10]) Рассмотрим локально свободную резольвенту пучка .
В силу его рефлексивности, она будет иметь длину два: Очевидно следующее соотношение: С другой стороны, имеем двойственную к последовательности (2.5) из которой, в силу (2.4), следует Другими словами В работе мы будем пользоваться приведенным ниже определением спектра рефлексивного пучка ранга два с нулевым первым классом Черна. Подробно спектры рефлексивных пучков описаны в работе Айна и Солса [11]. Приведенная ниже Лемма 2.6 есть несколько упрощенная Теорема 2.2. из вышеуказанной работы. Лемма 2.6. Пусть — стабильный рефлексивный пучок ранга 2 на квадрике с ci() = 0. Тогда существует единственный набор т = с2() целых чисел {fci,... km},называемый спектром пучка , удовлетворяющий следующим свойствам: Пусть L = ф C?pi(fcj) 1) a) hl(,{n)) = h(;(n + 1)) для всех п —1. б) h2((n)) = /іх(,С(п + 1)) для всех п -2. 2) а) Если некоторое число к 0 лежит в спектре, то и все числа 0,1,..., к — 1 тоже лежат в спектре. б) Если некоторое число к 0 лежит в спектре, то и все числа —1, —2,..., к + 1 тоже лежат в спектре. »=1 4) Если — векторное расслоение, то {—к{ — 1} = {к{} Доказательство см. [11, стр. 19] Следующая лемма дает нам все возможные спектры интересующих нас пучков Лемма 2.7. Пусть — стабильный рефлексивный пучок ранга 2 на квадрике с с\(Е) = 0 и сг() = 2. Тогда есть ровно три возможных различных спектра ; 1) {0,1}, если с3() = 4, 2) {0,0}, ес/шс3() = 2, 5; {О, -1}, если с3() = 0. Доказывается Лемма простым перебором. Лемма 2.8. Пусть — стабильный рефлексивный пучок ранга 2 на квадрике с ci() = 0 и сг() = 1. Тогда его спектр равен {0}, а с3() = 1. Доказывается Лемма также простым перебором. 3. Модельный пример: однопараметрическое семейство расслоений с вырождением в стабильный пучок с особенностью. Оттавиани и Шурек в [24] показали, что любое расслоение Е на квадрике Q с ci(E) = 0 и сг(Е) = 2 является когомологией следующей монады: I Е где / : OQ(—1) — 40Q и д : 4 9Q —» (9Q(1) — линейные отображения с матрицами А и 1?т соответственно, где А, В Є Masx4(k), и АВТ кососимметрическая 5 х 5-матрица. Если АВТ Є V4 \ G, то точка (ж), где х — решение систем Атх = О и Втх = 0 попадет на квадрику, и мы будем иметь последовательность точную, везде, кроме второго члена: Пусть С Э 0 — гладкая кривая, для которой заданы отображения f : С - Mat5x4(k) : і ь- А и g : С - Matsx4(k) : t -) Bt такие, что AtBj — кососимметрические матрицы. То есть f) : С — Р9 \ G : t н-» (A .BfT) — корректно определенное отображение. Пусть также f и д таковы, что \) — вложение, причем PQ = 1)(0) Є V4 \ G и кривая f)(C) пересекает V4 в точке Ро G трансверсально. Нетрудно видеть, что такая тройка (С, f, д) всегда найдется. Отображения f и д могут быть заданы морфизмами f : OQ(—І) ІЗ
Существование сечений у Е(1) для пучков из схемы MQ(2; 0,2,0).
Рассмотрим общую точку [Е] Є MQ(2;0,2). Оттавиани и Шу-рек в [24] показали, что множеством нулей общего сечения s Є Я(Е(1)) является объединение двух непересекающихся коник. Обратно, если мы имеем пару непересекающихся коник Ci U Сі на Q, то конструкция Серра нам дает расслоение Е на Q. Тогда Є Ext1(XclUc2;Q(l),OQ(—1)). Заметим, однако, что Действительно, рассмотрим следующую точную последовательность: и двойственную к ней последовательность: Другими словами и при этом отождествлении компоненты & Є Н(ОСІ) (і = 1,2) элемента , будучи образующими в Н(Ос обеспечивают локальную свободу пучка Е. Таким образом мы определили отображение S, будем его называть отображением Серра: где как и выше С = С\ U Сг, где С\ и Сч — гладкие коники на Q, а Є Ext1(2c,Q(l),OQ(—1)), сопоставляющее паре коник на квадрике и сечению — расслоение с с\ = 0 и c i — 2, включающееся в тройку (4.1). Поскольку, по конструкции Серра кривые степени 4 на Q возникают как сечения пучка Е(1), то естественно поставить вопрос: всякий ли пучок Е Є MQ(2; 0,2,0) можно получить по кривой С, являющейся нулями сечений Е(1), и соответствующему расширению І Є Ех (Хс,д(1),Од(-1))? Ответ на него дает Теорема 1. Доказательство этой теоремы мы разобьем на несколько лемм. Лемма 4.1. Пусть — рефлексивный пучок ранга 2 без кручения на квадрике Q, причем не является чисто стабильным пучком, тогда является нестабильным пучком. Доказательство. Пусть не является чисто стабильным пучком, тогда в существует дестабилизирующий подпучок такой, что PL( ) ре(т). Заметим сразу, что в силу рефлексивности пучка пучок тоже лежит в : Очевидно, можно считать, что пучок Q := / не имеет кручения, иначе мы можем профакторизовать тройку тогда по лемме о змее // — TorsQ, откуда рл (т) — рц(т) + РTorsQ(т) #с(т), и мы можем рассматривать подпучок /. Также можно считать, что rk() = 1. Действительно предположим, что rk() = 2, тогда rk(Q) = 0, где Q = /, то есть пучок Q — артинов, но тогда его многочлен Гильберта не зависит от m: pa(m) = const, но тогда рє.(т) = p,c(ra) +po(m) рц{т).
Если же, с другой стороны, гк() = 0, то — артинов пучок, но тогда его многочлен Гильберта не зависит от га, и, естественно, Р(га) рс(т), при достаточно больших т. Итак, — пучок без кручения, причем rk() = 1, но тогда = Ту&{п) и Q = IW,Q{—п), где V и W — некоторые схемы, причем deg V = deg W, a n О вследствие того, что пучок дестабилизирующий. Если п 0, то pi(m) = PiVQ{n){m) PiWtQ(-n)(m) = pa(m) и, следовательно рц(т) pg{m) = Рс т 2 , то есть пучок чисто нестабильный. Пусть п = 0, тогда = OQ. Тогда вторая строчка (4.5), в силу указанного выше равенства = OQ переписывается в виде OQ — таким образом у пучка есть сечения, и следовательно он является чисто нестабильным. Следствие 4.1.1. Нестабильный рефлексивный пучок ранга 2 на квадрике Q имеет сечения. Лемма 4.2. Пусть — рефлексивный пучок ранга 2 на квадрике Q с ci() = 0, тогда сг() Ф О Доказательство. Предположим противное: пусть — рефлексивный пучок ранга 2 два на квадрике Q с ci() = сг() = 0. Предположим что он нестабилен, тогда по Следствию 4.1.1 он имеет сечения. Таким образом имеем точную тройку где dim хг = 0. Рассмотрим расширение, задающее эту тройку: Є Ext1(OQ,XV)Q). Имеется точная тройка Рассмотрим длинную точную последовательность локальных и глобальных Ext oB пучков OQ и где ЭСот(Хя, OQ) = OQ, И, следовательно Применим функтор %om(-, OQ) К последовательности (4.8): где xt(OQ, OQ) = 0, и, в силу dimx = 0, 8x (0 , OQ) = 0, следовательно и 8xt1(X Q,Oo) = 0. Тогда из точной последовательности (4.9) получим Ext1(Xx,Q) Q) = 0, следовательно тройка (4.7) распадается, что противоречит рефлексивности пучка . Предположим теперь, что пучок стабилен, но тогда (см. [14]) с2(г) 0. Остается случай = 20Q. Нетрудно видеть, что тогда пучок Е(1) имеет сечения. Лемма 4.3. Пусть Е — пучок без кручения ранга 2 на квадрике Q с ci(E) = 0, сг(Е) =2 и сз(Е) = 0, причем = Е — нестабильный пучок, тогда пучок Е также нестабилен. Доказательство. Предположим противное пусть пучок нестабилен, тогда по следствию 4.1.1 у него есть сечения, покажем, что в этом случае пучок Е будет также нестабильным. Рассмотрим два случая С2() = 1исг() = 2
Некоторые другие квартики, не дающие новых компонент.
Рассмотрим теперь кривую В в Е такую, что В = В U {bo}, где &о = (Со, {so)), а В = В П Е , причем: а) Со = С\ U Сг — схема, определяемая нерасщепляющейся точной тройкой где {а?о; 2/о} = Сі П Сг — две точки пересечения гладких коник С\ Как и в предыдущем параграфе, имеем отображение : В — MQ(2;0,2), задаваемое конструкцией Серра. Предложение 6.1. Конструкция Серра (4.1) определяет ото-бражение множеств 8 : В - MQ(2;0, 2,0) такое, что 1) Що) = [Е], г е [Е] Є MQ(2; 0,2,0) \ MQ(2; 0,2), 2) пучки Е и = Е нестабильны по Гизекеру, 3) пусть сап : Е — — каноническое отображение пучка Е в свой дважды двойственный пучок , тогда coker can = к ф кУо, Сз() = 4, и имеется коммутативная диаграмма: Доказательство. Докажем сначала утверждение 3). Из (6.1) име- ем: Применяя функтор Нот(-,0с)(—1)) к этой точной последовательности, получим следующую точную последовательность: Аналогично случаю с одной точкой ( Предложение 5.2), полу- Аналогично же, получаем Ext2(kXokyo, OQ(—1)) = Л"1(кХофк2/0)ч/ = 0. Тогда точная последовательность (6.3) принимает вид Таким образом, г — изоморфизм. Следовательно, для любого элемента Ext1 (IC0,Q(1), OQ(—1)) найдется элемент о Ext1(Zc,lUc2jQ(l), OQ(—1)) такой, что = г о- Из этого следует, что расширение, определяемое элементом 0-+OQ(-1)- E ZC0,Q(1) 0, получается из расширения, определяемого элементом о при помощи так называемой операции «push out», то есть из двух точных троек Покажем теперь, что Е = . Для этого рассмотрим группу Ext1 (2C,1U 72,Q(1)J Q(—1)) и точную последовательность О -» 2ciuc2,Q - 9Q - Осх\ю% - О, из которой очевидно следует Ext1 (JClUC2,Q(l), (9Q(-1)) = Я( 2( ис2(1),Од(-1))).
При этом отождествлении таким образом коядром отображения является очевидно ((1), OQ) Рассмотрим последовательность, двойственную к (6.4): Итак получаем — рефлексивный пучок, что доказывает утверждение (3). Докажем что пучок нестабилен. Рассмотрим среднюю горизонтальную точную тройку диаграммы (6.2) из которой в следствие равенства /I(CQ(—1)) = 0, получим ра венство /г() = h (XduC2,QW) J но5 так как Ci U ( С Р3, то (XCIUC2,Q(1)) 0- Следовательно пучок , а значит и Е — не стабильны. 6.2. Нормкубика и прямая С3 U . Рассмотрим теперь кривую ВвЕ такую, что В = В U {bo}, где bo = (Со, (so)), в, В = ВПТ, , причем: а) Со = Сз U , где — прямая, а Сз — гладкая нормкубика. (1),00(-1)). Предложение 6.2. Конструкция Серра (4.1) определяет отображение 8 : В — !MQ(2;0,2,0) такое, что 8(&о) = [Е], где пучок Е включается в точную тройку Доказательство. Докажем 3). Из точной тройки 3) доказано. Для доказательства 2) докажем нестабильность пучка с = Е . Для этого рассмотрим группу Ext1 (Tc3uitQ(l), OQ(—1)) и точную последовательность О - Tc3ue,Q - OQ-+ Ос3ие - о, из которой очевидно следует является очевидно Ext1 (E(l), OQJ 58 Рассмотрим последовательность, двойственную к (6.6): Итак получаем точную тройку из которой видно сг() = 1, но тогда по Лемме 4.5 пучок неста билен. П 6.3. Коника и прямые. Предложение 6.3. Следующие кривые не являются нулями сечений пучков с ci() = 0 и сг() = 2, подкрученных на единицу: 1) две непересекающиеся прямые и коника, 2) четыре непересекающиеся прямые, Доказательство. Рассмотрим кривую С = С2 U l\ U 2,где Сг — коника, а 1{ (г — 1, 2) — две прямые, и рассмотрим пучок = S(C2UiiUe2): тогда расширение Є Ext1(Xc2u 1u 2,Q(l) о( !)) Заметим, однако, что (аналогично (4.2)) Ext1 (XC2U,lU,2)Q(l), 0Q(-1)) = (2 ,0(1),00(-1))). С другой стороны, по двойственности Серра Вычислим многочлен Черна полученного пучка
Нормкубика и прямая С3 UI.
В этом параграфе мы рассмотрим кривые с двойной структурой. Введем для краткости некоторые обозначения. » С@\ — кривая С с заданной на ней двойной структурой. С — первая инфинитизимальная окрестность кривой С в Q. Очевидно вложение: из которого следует обратное вложение Итак, двойная структура на гладкой кривой С, являющаяся локально полным пересечением, определяется заданием подрасслое-ния L в нормальном расслоении NQ/Q. Рассмотрим двойные структуры на прямой: двойные структуры задаются подрасслоением в нормальном к прямой расслоении Ne/Q = Ое Ф Ое{1). Самые простые и естественные подрасслоения в 0/ 0/(1) — это Ое и 0/(1). Определение 6.4. Двойную структуру на прямой назовем «простой», если 0/, либо 0/(1). Сдвоенная прямая, задаваемая подрасслоением 0/(1)с— - -N//Q, есть предел двух образующих двумерной квадрики S С Q, принадлежащих разным семействам, что видно из верхней точной тройки (6.11): Аналогично получаем при L = 0/ откуда видно, что прямые не пересекаются и , следовательно принадлежат оному семейству образующих двумерной квадрики S С Предложение 6.5. Кривые степени четыре, содержащие в качестве компоненты прямую с «простой» (Определение 6.4) двойной структурой (их есть 25 различных, 6 из которых не лежат на квадрике Q) либо не являются нулями сечений пучков из схемы ются предельными случаями квартик, рассмотренных выше. Из этого очевидно следует, что пучки, им соответствующие, также либо лежат в замыкании уже описанных компонент, либо являют ся нестабильными пучками или имеют кручение. Стабильные векторные расслоения на алгебраических многообразиях являются одним из центральных объектов алгебраической геометрии. Наиболее хорошо изучены свойства пространств модулей стабильных расслоений для малых размерностей один и два базы, то есть когда основное многообразие является алгебраической кривой или поверхностью. В последние годы возрос интерес к изучению стабильных расслоений и, более общо, полустабильных когерентных пучков ранга 2 без кручения на трехмерных многообразиях Фано. Традиционно свойства таких пучков изучались с середины 70-ых годов на проективных пространствах Рп, п 3, (см., в частности, работы [4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 15, 17, 18, 26, 27, 31, 32]). Первые работы по описанию расслоений на других многообразиях Фано относятся к концу 80-ых — началу 90-ых годов прошлого века. (см. [34, 29]).
Описанию некоторых общих свойств многообразий модулей расслоений ранга 2 на трехмерных многообразиях посвящена работа А. Н. Тюрина [33]. В ней, в частности, выясняется взаимосвязь между многообразиями модулей расслоений на многообразиях Фано и на #3-поверхностях — гиперплоских сечениях многообразий Фано, устанавливаемая операцией ограничения. Более детальное изучение геометрии пространств модулей расслоений на многообразиях Фано, близких к Р3, началось в конце 90-ых годов. Здесь необходимо отметить статьи Д. Маркушевича и А. С. Тихомирова [19],[21] и А. С. Тихомирова [30] по расслоениям и пучкам на многообразиях Фано индекса 2 — трехмерной кубике в Р4 и двойном пространстве Р3. Среди недавних работ по расслоениям ранга два на других многообразиях Фано следует отметить работы [1, 8] Первая работа по многообразиям модулей расслоений ранга 2 на трехмерной квадрике, Q, являющейся многообразием Фано индекса 3,— это работа Дж. Оттавиани и М. Шурека, в которой дается точное описание многообразия MQ(2; 0,2) модулей стабильных векторных расслоений с с\ = 0 и с = 2 на гладкой трехмерной квадрике Q. В этой работе доказывается, что многообразие MQ(2; 0,2) изоморфно открытому подмножеству Р9, дополнение к которому есть нормальная гиперквартика V4 С Р9, однозначно определяемая квадрикой Q и конструкцией плюккерова вложения грассманиана G(1,P4) в Р9. В этой работе рассматриваются также многообразия MQ(2;-1,2), MQ(2;-1,3) И MQ(2;0,4), относительно которых выяснено следующее: MQ(2; —1,2) — локально тривиальное расслоение над Q± \ Q$ со слоем Р2 \ Qi, MQ(2; —1,3) — неприводимое унирациональное приведенное двенадцатимерное многообразие, MQ(2; 0,4) — неприводимое унирациональное приведенное двадцатиодномерное многообразие.
Стабильные расслоения на квадрике Q представляют собой от-крытое подмножество неприводимой компоненты MQ(2; 0,2) схемы модулей Гизекера - Маруямы MQ(2; 0,2,0) полустабильных пучков ранга 2 без кручения с с\ = сз = 0, oi — 2. Настоящее диссертационное исследование посвящено нахождению других компонент в MQ(2;0, 2,0), общие точки которых, в силу неприводимости MQ(2; 0,2) являются стабильными когерентными пучками ранга 2 без кручения, не являющимися расслоениями. Введем несколько обозначений, которыми, для краткости, будем пользоваться ниже. MQ(2; 0,2) — многообразие модулей стабильных векторных расслоений Е на Q, с rkE = 2 и классами Черна ci(E) = 0 и 02(E) = 2. MQ(2;0, 2) — замыкание многообразия модулей расслоений MQ(2; 0,2) в схеме MQ(2; 0,2,0). Через 3YCQ(2; 0,2,0) обозначим множество классов изоморфизма пучков ранга два без кручения на трехмерной квадрике Q с классами Черна Сі = 0, С2 = 2 и сз = 0. Пусть х Є V произвольная точка некоторого векторного пространства V над полем к. Обозначим (х) подпространство кж Є P(V). Известно, что MQ(2; 0,2, 0) не пусто и содержит неприводимую компоненту MQ(2; 0,2) , содержащую в качестве открытого плотного подмножества многообразие MQ(2; 0,2) модулей стабильных голоморфных векторных расслоений ранга два на квадрике с нулевым первым классом Черна и, минимально возможным, согласно условию Шварценбергера (см. [24, с. 194]), вторым классом Черна, равным 2.
