Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Компактификация многообразия модулей mq( —1,2) стабильных расслоений ранга 2 на трехмерной квадрике 21
1.1. Предварительные сведения и обозначения 21
1.2. Вычисление пучка относительных Sxt-ов Т = хі){Хг,х(0Л0Л),Ох) 24
1.3. Описание многообразия W, параметризующего пучки из М(-1,2) 33
ГЛАВА 2. Модули стабильных пучков ранга с классами черна СІ = -1, сг = 2, с3 = 0 на трехмерной квадрике 37
2.1.Введение 37
2.2. Пучки из М с нульмерными особенностями 39
2.3. Пучки из М с одномерными особенностями 48
2.4. Доказательство теоремы
2.1.1, Монады для пучков из М 55
2.5. Приложение: о свойствах рефлексивных пучков ранга 2 на Q с малыми классами Черна 64
ГЛАВА 3. Неприведенность компоненты MI вдоль м2 71
3.1. Введение 71
3.2. Вычисление размерностей групп HLxtl(,) и Ext (,).. 72
Литература
- Вычисление пучка относительных Sxt-ов Т = хі){Хг,х(0Л0Л),Ох)
- Описание многообразия W, параметризующего пучки из М(-1,2)
- Пучки из М с одномерными особенностями
- Вычисление размерностей групп HLxtl(,) и Ext (,)..
Введение к работе
Актуальность темы
Стабильные векторные расслоения на алгебраических многообразиях являются одним из центральных объектов алгебраической геометрии. Наиболее хорошо изучены свойства пространств модулей стабильных расслоений для малых размерностей один и два базы, то есть когда базовое многообразие расслоения является алгебраической кривой или поверхностью. В случае многообразий высших размерностей геометрия пространств модулей стабильных расслоений уже значительно сложнее и более или менее изучена лишь для некоторых специальных классов многообразий. В последние годы возрос интерес к изучению стабильных расслоений и, более общо, полустабильных когерентных пучков ранга > 2 без кручения на трехмерных многообразиях Фано. Традиционно свойства таких пучков изучались с середины 70-х годов на проективных пространствах Рп, п > 3, (см., в частности, работы [4], [5], [6], [8], [14], [27], [18], [29], [7], [9], [17], [22], [23]).
Первые работы по описанию расслоений на многообразиях Фано относятся к концу 80-х - началу 90-х годов прошлого века (см. [19], [24]). Описанию некоторых общих свойств многообразий модулей расслоений ранга > 2 на трехмерных многообразиях посвящена работа А. Н. Тюрина [21]. В ней, в частности, выясняется взаимосвязь между многообразиями модулей расслоений на многообразиях Фано и на КЗ- поверхностях -гиперплоских сечениях многообразий Фано, осуществляемая операцией ограничения.
Более детальное изучение геометрии пространств модулей расслоений на многообразиях Фано, близких к Рз, началось в конце 90-х годов. Здесь необходимо отметить статьи Д. Г. Маркушевича и А. С. Тихомирова [11], [12], [13] и А. С. Тихомирова [20] по расслоениям и пучкам на многообразиях Фано - трехмерной кубике в Р4, двойном пространстве Рз и четырехмерной кубике.
Среди недавних работ по расслоениям ранга два на других многообразиях Фано следует отметить работы [15], [19], [25], [26].
Первая работа по многообразиям модулей расслоений ранга 2 на трехмерной квадрике Q, являющейся многообразием Фано индекса 3, - это работа [15] Дж. Оттавиани и М. Шурека. В ней авторы исследовали пространство модулей Mg(ci,C2) стабильных векторных расслоений ранга 2 на Q с минимално возможными классами Черна (сі, С2) = (—1,1), (0,2) и (—1,2). В частности, они доказали, что Мд(—1,1) - точка (класс изоморфизма спинорного расслоения на Q), а Мд(0,2) и Мд(—1,2) являются соответственно 9-мерным и 6-мерным неприводимыми рациональными квазипроективными многообразиями. Позднее Н.Перрен в работе [16] описал замыкание многообразия Мд(0, 2) в схеме модулей Гизекера-Маруямы Мд(2; 0,2,0), а Д.И.Артамкин в работах [25], [26] нашел другие неприводимые компоненты в схеме Мд(2;0,2,0). В статье [29] автором было получено описание замыкания Мд(—1,2) многообразия Мд(—1,2) в схеме модулей Гизекера-Маруямы М = Мд(2; —1,2,0) стабильных пучков ранга 2 на Q без кручения с классами Черна с\ = — 1, с^ = 2, сз = 0. Вопрос о неприводимых компонентах схемы М, отличных от Mg(—1,2), до настоящего времени оставался открытым.
Цели работы
Настоящее диссертационное исследование посвящено нахождению компонент в М, отличных от Мд( —1, 2), общие точки которых являются стабильными не локально свободными когерентными пучками ранга 2 без кручения.
Целью настоящей диссертации является доказательство гипотезы А.С.Тихомирова о том, что схема М наряду с неприводимой компонентой Мд(—1, 2) содержит единственную неприводимую компоненту. Основной результат диссертации - следующая теорема.
Теорема. В М существует единственная неприводимая компонента,
отличная от Mg(—1,2). Она является рациональным 10-мерным многообразием и представляет собой замыкание М\ в М семейства М\ полустабильных пучков, не локально свободных в точке на Q.
Из других результатов диссертации наиболее важными являются следующие:
замыкание Мд(—1,2) пространства Мд(—1,2) модулей стабильных векторных расслоений ранга 2 на Q с С\ = — 1,С2 = 2 в схеме модулей Гизекера-Маруямы М есть гладкое проективное многообразие;
доказано, что граница Mg(—1,2) \ Мд(—1,2) состоит из пучков, имеющих проективную прямую на Q в качестве особенностей.
- компонента М\ как схема не приведена вдоль замкнутого
подмножества М^ пучков, имеющих точку и проективную прямую на
Q в качестве особенностей.
Методы работы и научная новизна
В работе применяются методы бирациональной и пучковой геометрии, в том числе конструкция Серра полустабильных пучков ранга 2 на проективной трехмерной квадрике Q. Эта конструкция систематически используется для построения семейств полустабильных пучков на Q с подходящими базами, покрывающими пространство модулей М при модулярном морфизме.
Все полученные в работе результаты являются новыми.
Практическая и теоретическая значимость Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении геометрических свойств многообразий модулей стабильных когерентных пучков на проективной квадрике и других рациональных трехмерных многообразиях.
Апробация
Результаты диссертационного исследования докладывались на семинаре по алгебраической геометрии при кафедре алгебры
Ярославского государственного педагогического университета им. К.Д.Ушинского, на научных конференциях "Чтения Ушинского" (Ярославль, 2005 и 2008 гг.), на всероссийских школах-конференциях по проблемам алгебраической геометрии (Ярославль, 2008 и 2009 гг.), на международных научных конференциях "Колмогоровские чтения " (Ярославль, 2006-2011 гг.).
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [29], [30], [31].
Структура и объем работы
Вычисление пучка относительных Sxt-ов Т = хі){Хг,х(0Л0Л),Ох)
В данном параграфе приводится доказательство теоремы 1.1.1. А именно, рассматривается многообразие W := P(v), где Qy -локально свободный пучок ранга 2 на Н, описанный в предыдущем параграфе. Доказывается, что W есть рациональное семимерное многообразие. Далее строится морфизм р : W — М, который является структурным морфизмом проективизации векторного расслоениея ранга 2 на М со слоем Р(#((1))) над произвольной точкой [В] М.
Предложение 1.3.1. W :- P(v) рациональное семимерное многообразие, параметризующее универсальное семейство расширений вида: прямых на Q, возможно совпавших, задаваемое (после подкрутки на пучок Oz(0,1)) как расширение пучков на W :— W х Q
Замечание 1.3.2. По конструкции W - база универсального семейства всех классов расширений вида (1-І)- [Е \WXQ (—1)3 является структурным морфизмом проективизации векторного расслоениел ранга 2 на М со слоем Р(Н((\))) над произвольной точкой [} Є М.
Доказательство. Прежде всего, М есть тонкое многообразие модулей, поскольку М С М := MQ(2\ -1,2,0), а М является тонким многообразием модулей. Докажем последнее утверждение. Пусть 5(B) = НОД(о0)оі,... ап) и В = В(т) = Ъ?=0щС%+{ - многочлен Гильберта пучка ранга 2 на Q с классами Черна с\ = — 1,С2 = 2,сз = 0. Проверим, что 5(B) — НОД(ао,аі, ...,ап) =
Тем самым, существует универсальный пучок Е на Q х М. Рассмотрим проекцию pr : Q х М — М и определим пучок ЛҐ := pr (E (OQ(1) IS СЩ). Заметим, что для любой точки у Є Ж имеем #(EQX„(1) = 2, Я ЕІдуДі)) = 0, а Ж является целой схемой (см. [15, р. 217]. Отсюда следует, что отображение замены базы к2 для любого у Є Ж является изоморфизмом (см. [28, р. 368]), так что N - локально свободный пучок ранга 2 на М. Рассмотрим проективизацию этого пучка 7г ; Р(М) = Proj(JVv)
Заметим, что М является рациональным многообразием, поскольку Mq(—1,2) рационально согласно [15, р. 217]. Кроме того, из предложения 1.3.3 и гладкости W (см. замечание перед предложением 1.3.3) следует гладкость М. Отсюда непосредственно вытекает теорема 1.1.1.
В настоящей главе исследуется пространство модулей стабильных пучков ранга 2 с нечетным детерминантом на гладкой трехмерной квадрике Q. Трехмерная квадрика Q наряду с трехмерным проективным пространством Р3 принадлежит основной серии гладких многообразий Фано с числом Пикара 1.
Настоящая глава посвящена описанию неприводимых компонент схемы М. Мы доказываем гипотезу А.С.Тихомирова о том, что в М существует единственная неприводимая компонента, отличная от MQ(—1,2), и показываем, что она является рациональным многообразием размерности 10 (см. теорему 2.1.1 ниже). Дадим краткое описание содержания главы. В параграфе 2.2 строится 10-мерное неприводимое семейство пучков М\ С М. имеющих нульмерные особенности на Q. Затем показывается, что других пучков с нульмерными особенностями в М нет. В параграфе 2.3 рассматриваются пучки из М, имеющие одномерные особенности, и доказывается, что все такие пучки имеют своей рефлексивной оболочкой спинорное расслоение. Далее строятся неприводимые семейства Ы% и Ms пучков из М, имеющих одномерные особенности, и доказывается, что М является дизъюнктным объединением множеств Mi, М2, М3 и MQ(—1,2) (теорема 2.3.7). Построенные семейства используются в параграфе 2.4 для доказательства следующей основной теоремы главы.
Теорема 2.1.1. Б М существует единственная неприводимая компонента, отличная от MQ (—1,2). Она является рациональным 10-мерным многообразием и представляет собой замыкание Мі многобразия М\ = { [} Є MdimSing() = 0 } в М.
В параграфе 2.5 дается доказательство вспомогательных лемм и предложений, используемых в 2.2 и 2.3.
Основным техническим инструментом в настоящей главе является конструкция Серра стабильных пучков из М и других вспомогательных пучков, в частности, рефлексивных пучков ранга 2 (см. [4, Theorem 4,1]), адаптированная к случаю трехмерной квадрики Q. Другим важным техническим результатом, используемым в главе (см. параграф 2.5), является результат Эйна и Сольса [3, Theorem 2.2] о спектре стабильных рефлексивных пучков ранга 2 на Q. Кроме того, мы пользуемся некоторыми численными результатами Оттавиани и Шурека [15] о стабильных пучках ранга 2 с малыми классами Черна на Q.
Описание многообразия W, параметризующего пучки из М(-1,2)
Доказательство. Как показано в доказательстве теоремы 2.2.7, Mi биективно F(F), где F(F) бирационально изоморфно Pi х Y Рх х М х Q. Следовательно, для доказательства предложения достаточно проверить, что М. рационально. Докажем рациональность М. Согласно предложению 2.2.5 М = Grass(2,5)\ Рз, а следовательно, М рационально. Предложение доказано.
В настоящем параграфе рассматривается пучки S Є М, для которых dim Supp// = 1, где fi = vv \S - пучок в точной тройке (2.2). Тем самым, пучок имеет одномерные особенности. Мы покажем, что для любого такого пучка его рефлексивная оболочка vv есть спинорное расслоение S на Q (см. [15, р.191]). Далее мы показываем, что в М существует неприводимое семимерное семейство Mi пучков на Q с особенностями вдоль подмножеств вида /, либо I U х, где I - прямая, а х точка на Q и х $ I (теорема 2.3.3), и неприводимое семейство М$ пучков с особенностью вдоль прямых I на Q (предложение 2.3.4), причем пучки в этих семействах Mi и М% отличаются типом пучка /г, и пучки из М$ не составляют компоненты в М. Далее, мы показываем, что пучки с другими одномерными особенностями составляют множество MQ(—1,2) \MQ(—1,2) в М (предложение 2.3.5). В конце параграфа мы показываем, что М есть дизьюнктное объединение множеств: М = Mi U М2 U М3 U MQ(-1,2) (теорема 2.3.7).
Лемма 2.3.1. Пусть Л - стабильный рефлексивный пучок ранга 2 на Qc классами Черна с\(Л) = —1, съ{А) = 1. Тогда Л cz S, где S - спинорное расслоение на Q. Доказательство см. в 2.5. Для произвольного одномерного пучка JF на Q через mult ) будем обозначать положительное число h0(T\jf), где Н - общее гиперплоское сечение квадрики Q. Предложение 2.3.2. Пусть w - пучок из тройки (2.2), удовлетворяющий условию dim(w/) — 1. Тогда vv = S и mult{Svv/) = !. Доказательство. Пусть dim Suppp = 1, где = vv(В. В этом случае ct(fj) — 1 — m\l]t2 + q\pt]tz, где т = mult(fx) 0 и q Є Z. Из точной тройки (2.2) с учетом формул (2.1) получаем многочлен Чженя пучка vv: c,(vv) = ct{S)cM = 1 - [h]t + (2 - m)[t}t2 + (m 4- ?)И 3. (2.15) В силу того, что 5 - стабильный пучок, vv также стабилен (см. замечание перед леммой 2.2.1). С другой стороны, из формулы (2.15) вытекает, что Cl(w) = -1, c2(vv) - 2 - m. (2.16) Поскольку m 0, мы получаем, что C2(vv) 1. С другой стороны, для общего гиперплоского сечения Н квадрики Q согласно теореме 1.6 из [3] ограничение VV\H полустабильно, поэтому неравенство Богомолова (см. [6, р. 71]) дает C2(w) = C2(VV\H) 1 Следовательно, C2(SVV) = mult(Swv/) 1. Отсюда и из леммы
Покажем теперь, что в М существует неприводимое семимерное семейство пучков на Q с особенностями вдоль подмножества I U х, где I прямая на Q и х - точка на Q, х $ I, и что пучки с другими одномерными особенностями не составляют компонент в М.
Рассмотрим точную тройку (2.2), в которой dim Supp// = 1. Тогда из предложения 2.3.2 мы получаем, что эта тройка имеет вид: и mult(fi) = 1. В частности, Эирр(д) = / - прямая на Q. Обозначим через T(ju) максимальный нульмерный подпучок пучка д. Тогда имеет место следующаю точная тройка где / = Supp , є = j3 о а и $ - ядро сюръекции 5 -» 0/(—&) Так как х{) = — 1 (см. (2.4)) и, как нетрудно видеть, х( $) = 0 т0 из диаграммы (2.19) с учетом формулы (2.18) получаем к = хСЦ )) = й(Т(д)) 0. Поэтому ввиду того, что5( = ОіфОі(—1), сюръекция 5 -» 0/(—/с) показывает, что для А; возможны два случая: 1) к = 1 и 2) к = 0. Рассмотрим оба эти случая.
Теорема 2.3.3. Рассдіотргш множество Мі классов пучков [] Є М, входящих в тройку (2.17), где fi - пучок из тройки (2.20), в которой либо а) х I и (л = Qi(—1) ф кх, либо б) х Є їй тройка (2.20) не расщепляется. Тогда Мч является неприводимым множеством размерности 7.
Доказательство. Пусть Г = {(х,1) Q х Рз# Є 1} - универсальное семейство прямых на Q. Рассмотрим раздутие а : Y — Q х Рз вдоль Г. Пусть А : Q Q х Q - диагональное вложение. Положим У := Y хр3 Г, У" := Y xQ A(Q). Пусть рп :Y xQ Q npr2:Y х Q —» Y - проекции. Ha Y x Q имеем пучок /С = Oy Й OQ( 1)\Y UY ": ограничение которого на у х Q, где у Є У, дает пучок ft из тройки (2.20), удовлетворяющий условию настоящей теоремы.
Пусть у - произвольная точка в У и д := fCy - пучок, входящий в точную тройку (2.20). Применяя к этой тройке функтор 7iom(S, ), получаем: 0 — Hom(S,kx) — Нот( 5,/л) — Hom(S,Oi(—1)) — 1(5,kx). Поскольку f f jkjc) = 0 в силу локальной свободы S, из данной последовательности имеем, что dim Hom( S,ju) = dim Hom( S,kx) + dim Hom(S,(9/(—1)) = 2 + 1 = 3. Аналогично находим, что dimExtl(S,fi) = 0. Полученные равенства в силу замены базы (см. [2, р. 147]) показывают, что пучок Z := pr2 Hom(S 3 Оу,К) - локально свободный пучок ранга 3 и слой пучка Z над точкой из у Y есть Нот(5,/г). Следовательно, проективный спектр F(ZV) - неприводимое многообразие.
Пучки из М с одномерными особенностями
Так как Я( В) = 0 в силу стабильности пучка В и, кроме того, Я1 (В) — 0 по условию предложения, то из предыдущей точной последовательности следует, что Я( -6(1)) = Я( Bq2{\)). Отсюда в силу последнего неравенства имеем: h(B(l)) 3, а значит, пучок 6(1) имеет ненулевые сечения. Рассуждая, как и в доказательстве формулы (2.7), легко получаем, что схема Z нулей общего сечения s є Я(6(1)) имеет чистую размерность 1. Тем самым, определена точная тройка: и из условий на классы Чженя пучка В следует, что Z - схема степени 2. Поэтому Z как схема чистой размерности 1 может иметь одну из следующих возможных структур:
В случае 1) стандартное вычисление показывает, что ct(lz) = 1 + 2t2 + 2ї3, откуда с учетом (2.42) получаем с (В) = О, вопреки условию предложения.
В случае 2) последовательность (2.42) совпадает с тройкой (2.8), а значит, сз(Н) = 2, что противоречит условию предложения. Рассмотрим случай 3). Так как Z есть прямая с двойной структурой і 2 без вложенных точек, то структурный пучок Oz входит в следующую точную тройку: для некоторого целого числа а. Здесь пучок Oi(—a) есть факторрасслоение конормального расслоения MUQ (СМ., например, [5, р. 314]): Щя
Из тройки (2.43) стандартным вычислением находим многочлен Чженя пучка Оц%)у а именно: сь{Оц2)) = 1 — 2t2 — (2а + 2)3. Следовательно, многочлен Чженя пучка В из тройки (2.42) имеет вид: ск(В) = 1 — t + 2t2 + 2at3. Отсюда в силу условий предложения 5 получаем неравенство а 2, которое вместе с изоморфизмом Муп 2І Оі ф Oi(—l) (см., например, [15, р. 221]) показывает, что сюръекции (2.44) не существует. Следовательно, предположив, что получаем противоречие. Предложение 2.2.4 доказано, а в которой верхняя горизонтальная тройка есть стандартная резольвента пучка идеалов Хс коники С из тройки (2.8). Из средней горизонтальной тройки этой диаграммы мы имеем: Т = Coker(Og(—2) — 30Q(—І)). Левый морфизм 0Q{-2) w 3 30Q(-1) в этой тройке задается умножением на уравнения трех гиперплоских сечений hi = НІ Г) Q, і = 1,2,3, квадрики Q, где ЯьЯ2,Яз - гиперплоскости в Р4. Поэтому Sing( ) = Hi Л Я2 П Я3 П Q. Из равенства сз(Я) = 2 и рефлексивности J7 следует, что SingfJ7) = х U у - пара точек (возможно, совпавших) на Q. Следовательно, / := Н\ П Яг П Яз - прямая в Р4, не лежащая в Q. Тем самым, пучок Т можно рассматривать как точку из Gras$(2,5) \ Рз, ГДе Рз - база семейства прямых на Q, вложенная в Gra$$(2,b) по Веронезе. Предложение доказано, а
Согласно определению спектра, данному выше, пучок А не имеет спектра, поскольку С2(Л) — 1, и, следовательно, из леммы 2.2.2 мы имеем фЯ1(Л(І)) = 0. Далее, повторяя доказательство ко предложения 2.2.4 с заменой пучка В на пучок .4, находим h(A(l)) 4. Рассуждая, как и в доказательстве формулы (2.7), легко получаем, что схема Z нулей общего сечения s Є Я(.А(1)) имеет чистую размерность 1. Тем самым, определена точная тройка: 0- Од А{1)- Iz(l)- 0, (2.4$) и из условий на классы Чженя пучка А следует, что Z - схема степени 1, то есть Z - прямая на Q. Стандартное вычисление показывет, что dimExt Zzfl Og) = 1, то есть существует единственное с точностью до изоморфизма нетривиальное расширение вида (2.46). Как известно, пучок А, определяемый таким расширением, есть спинорное расслоение S на Q. Лемма 2.3.1 доказана. Глава З
В данной главе исследуется неприводимое 7-мерное семейство М2 стабильных пучков из М, которое строится следующим образом. Пусть 5 - спинорное расслоение ранга 2 с классами Черна с\ = —1, сі = 1 на Q (см. [15]). Семейство М2 описывается следующим образом:
В главе 2 было показано, что замыкание Mi семейства Mi в М является неприводимой компонентой в М. В настоящей главе доказывается, что компонента М\ является неприведенной в общей точке. А именно, мы вычисляем касательное по Зарискому пространство ТщМ в точке [] Є М2, которое в силу стабильности совпадает с группой Ext1(5,5). Основной результат статьи -следующая теорема. Теорема 3.1.1. Размерности групп Ext (,) и Ext {,) равны соответственно 10 и 4, где - пучок вида (3.1). Тем самым, компонента М± в М не приведена в общей точке.
Заметим, что Вх1ъ{0\% OQ(—4)) — О, поскольку I является локально-полным пересечением на Q, кроме этого X2((9/,0Q( —4)) = detMk Од(-4)г = 0,(-3) и xt2{OhS{-S)) = detMt\Q S(-3)i = S(-2)\i = Oi(-2) Є Oi{-3). С учетом трех последних равенств последовательность (3.12) приобретает вид: Оі(—3) — Оі{-2) Є Ог(-З) -» 5art2( ?i,Ii(-3)) -» 0, откуда несложно видеть, что пучок $xt2(0t,Ii(—3)) может быть равен либо 0;(—2), либо 0((—2) ф С /(—3) и с учетом этого факта из последовательности (3.11) следует, что hP{xtl{Qi)Qi{—3))) = 0. С учетом последнего равенства и того, что hl(Hom{Oi,Oi{ Z))) = hl(Oi{-3)) = 2 из последовательности (3.10) видно, что
Вычисление размерностей групп HLxtl(,) и Ext (,)..
Доказательство. Пусть Л = {(ж, I) Q х Рз# Є 1} - тело семейства прямых на Q, и пусть pr : Q х Л — Л - проекция. Рассмотрим расслоенное произведение Л := Л Хр3 Л и многообразие Л" := QA Х РзПфхЛ, где QA - диагональ в Qх Q, а пересечение берется в QхQх Рз- Оба многообразия Л и Л" естественным образом лежат в Q х Л, притом Л" Л. На Q х Л рассмотрим пучок W := OQ(—1)НС?Л1Л Ф Од". По построению, для произвольной точки у Є Л пучок у, := WQxy удовлетворяет условию настоящего предложения. Равенства dim Hom( S, //) = 3 и dim Ext1 (5, д) = 0 вместе с морфизмом замены базы (см. [2, р. 147]) показывают, что Н := рг Нот($ Ш Э\, W) - локально свободный пучок ранга 3, и слой пучка Н над точкой у Є Л есть Нот(5,д). Следовательно, проективный спектр F(HV) неприводим в силу неприводимости Л.
Далее, по аналогии с (2.10)-(2.12), получаем: Ext ufe.CW-l)) = HQ(xtl(lim,0Q(-l))), xt1(Ihuh,0Q(-l)) = Oh Є Oh. Откуда Ext u OgC-l)) = H(Oh Є 0Ь). Следовательно, элемент из (2.22) представим в виде = ( ь&К где і Є Я(С(Д) и 2 Є #(С/2)- Если пучок 5 локально свободен, то по конструкции Серра имеем і ф 0 и & Ф 0 (см. [4, р. 136]).
Так как для всякого пучка [} Є М имеем с\{Е) — —1, то S стабилен (см., например, [3, р. 12]). Следовательно, ТщМ = Ext1 , , и по теории деформации [6, р. 101] для выполняется неравенство: dim М dimExt (,) —dim Ext2(,). Положим х(,) := J2i( l) dimExt (,). В силу стабильности пучка имеем dim Ext0{, ) = 1, и с учетом двойственности Серра dimExt3(,) = 0. Отсюда dimExt1 ) - dimExt2(,) = —х(,) + 1. Далее, согласно [15, р. 194], для локально свободных пучков [} Є М верна формула х(,) = 7-6с2(). Повторяя теперь для случая квадрики Q рассуждения, проведенные для случая Рз в доказательстве предложения 3.4 из [4], получаем, что эта же формула верна и для произвольного пучка [] М. Подставляя ее в предыдущее соотношение, получаем равенство dim j М dimExt1 ,) — dimExt2(,) — 6. Поэтому М3 не является компонентой схемы М, поскольку в силу теоремы 2.3.7 dim Мз = 4. Поэтому для доказательства теоремы 2.1.1 достаточно проверить, что Мг С Mi Покажем, что Мг С Мі. где А = ZC/1Q, С - некоторая подсхема в Q, содержащая С, и Z - некоторая подсхема в Q. Из верхней тройки диаграммы (2.23) следует, что либо 1) Z = {у} - точка и, тем самым, А = 0, либо 2) Z = 0 и Л = ку. Рассмотрим оба эти случая. 1) Z — {у}, Л = 0. В этом случае С = С и нижняя тройка диаграммы (2.23) принимает вид: 0 —» Ху{—\) -+ — Jc — 0. Эта тройка, тензорно умноженная на Од(1), продолжается до диаграммы: о в которой С = ker 0 о г}. Из средней вертикальной тройки этой диаграммы получаем, что С = Z,M ,#(1). Так как im(/? о 77) = Оі, то 1Г\1 Ф 0 , и поэтому С — Оц- Отсюда из верхней горизонтальной тройки диаграммы (2.28) получаем, что "Я = 1х,н- Поэтому верхняя горизонтальная тройка диаграммы (2.27) принимает вид: 0 — 20Q — {l) — 1х,н — 0- Таким образом, мы показали, что всякий пучок [] М% U Mz также входит в тройку (2.25).
Итак, всякий пучок из М\ U М2 U М3 входит в тройку (2.25). Воспользуемся этим для доказательства существования неприводимого семейства D, снабженного морфизмом / в схему М, такого, что f{D) Э Mi U Mi U М3. Для этого рассмотрим график инциденции Т := {(гг,Р3) Є Р4 х Р ж Р3}, и пусть рг : Р4 х Р - Р4 - проекция, где Р4 = Span Q. Положим Т := pr l{Q) П Т, Р := QxT. Нетрудно видеть, что Г есть расслоение над Q со слоем Рз, так что Т неприводимо, гладко и рационально. Hom{0{ l),0Q) -f fatf1 , , ) - xtl{ly,0Q). Из этой последовательности с учетом равенств Нопг(Ху,Од) = Од и xt\ly,0Q) = 0 получаем, что xtl{XyiH,GQ) = OQ(1)/OQ = Он(1). Отсюда и из равенства (2.29) следует, что ЕхЬ1(ХУіН, 20Q) ±= #(20#(1)) = к8. Рассмотрим проекцию д : Р -+ 7\ и пусть L := {(#, (у,Рз)) Є Р \ х = у} - универсальная подсхема в Р. Из предыдущего равенства и того, что многообразие Т, определенное выше, является гладким, получаем, что для всех точек h — (у,Рз) Є Т морфизм замены базы ф\ : xt1g(X p,20p) kfc — Ext1 (ТуP Q OQ) является изоморфизмом, и пучок относительных Ext-ов xtg(Tb,p %Op) локально свободен (см. [2, р. 147]).
Положим D : ((хі1д(Тцр 20р)4). Из локальной свободы пучка хі1(1цр,20р) и неприводимости Т следует, что D неприводимое проективное многообразие, рациональное в силу рациональности Т.
По построению на D х Q определен пучок Е, являющийся универсальным семейством расширений вида (2.25) (см. [8, р. 110]). Так как согласно доказанному выше пучки из Mi, М2 и М$ являются такими расширениями, то f{D) Э Mi U M i U М3, где / : D — М : t i-+ [Егх э] - модулярный морфизм. Отсюда в силу теоремы 2,3.7, неприводимости и проективности D получаем, что f{D) = Mi U M i U Мз. Поэтому в силу неравенства dim Mi = 10 7 = maxjdim М2, dim М3} (теорема 2.3.7) и неприводимости D получаем, что
Далее, пучки из MQ{—1,2) также являются когомологическими пучками монады (2.32) согласно замечанию (4.8) на странице 219 работы Оттавиани и Шурека [15]. Таким образом, мы получаем, что всякий пучок [] MQ{—1,2) является когомологией монады (2.32).
Теперь рассмотрим пучки [] из Mi. Всякий такой пучок входит в тройку 0 vv -4 — 0, в которой р, — Ov есть поле вычетов точки у на Q и vv - пучок из .М (см. теорему 2.2.7). Как показано в доказательстве предложения 2.2.6, всякий пучок Т Є М (в нашем случае Т = vv) удовлетворяет тройке (2.8), а тем самым, диаграмме (2.45), средняя горизонтальная тройка которой имеет вид: 0 - OQ{-2) - 30Q(-1) Д - 0, = vv. Из этой и предыдущей тройки непосредственно следует монада с когомологическим пучком :
![О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями](/i/i/4377/303944.png "О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями Меленцов Александр Александрович")
