Введение к работе
Актуальность темы. В работе исследуются уравнения вида
x=B(x)+f, (1)
*x=B(x)+f, (2)
Ax=F(x), (3)
X=V(x) (4)
с линейными или нелинейными операторами B(x),F(x),V(x), монотонными, однородными, положительными, полуаддитивными на предмет существования у этих уравнений положительного решения, оценки значений параметра \, при которых существует это положительное решение. При этом соответствующие уравнения (1),(2),(3),(4) рассматриваются в банаховом пространстве Е, относительно которого предполагается,что в нём введена полуупорядоченность при помощи конуса К- множества неотрицательных элементов. Уравнения (1)-(4) с указанных позиций являлись объектами многочисленных исследований, проводимых М.Г.Крейном, Л.К.Канторовичем, М.А.Красносельским, М.Л.Коллатцем, И.Шредером, И.А.Бахтиным, Ю.В.Покорным, В.Я.Стеценко и их последователями и учениками.
Тог факт, что задачи являлись объектами изучения многочисленных авторов, легко объясним, так как соответствующие уравнения являются абстрактной формой записи ряда интересных задач, в том числе и прикладного характера. (Достаточно упомянуть системы алгебраических уравнений, интегральные уравнения, краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений математической физики, задачи математической экономики, теории ядерных реакторов и др.). Несмотря на достаточно содержательное развитие этой теории существуют определённые области теории, которые по тем или иным причинам не получили должного развития, а это ограничивало дальнейшие возможности применения теории к исследованию ряда интересных задач.
Данная работа посвящена попыткам восполнить соответствующие пробелы теории в направлениях, о которых более подробно говорится в описании содержания работы.
Цель работы: Получить новые теоремы существования положительного решения нелинейного операторного уравнения второго рода, оценить значение параметра Х,для которых эти решения сущест-
вуют, получить признаки существования положительного собственного вектора у нелинейного операторного уравнения-(3), получить оценки (векторные) решения,а также оценки абсолютной и относительной погрешностей приближенного решения таких уравнений.
Методика исследования. В работе применяются и развиваются методы исследования линейных и нелинейных операторных уравнений, рассматриваемых в полуупорядоченных банаховых пространствах, а также в банаховых пространствах, в которых введены две полуупорядоченности, установленные при помощи двух конусов Ki и К, причём КСКі, разработанные в работах М.А.Красносельского и его учеников (И.А.Бахтина, П.Н.Забрейко, Ю.В.Покорного, А.И.Перова, В.Я.Стеценко и др.), а для приложений полученных результатов применяется, как правило, известная методика сведения конкретных задач к операторному уравнению того или иного класса. В работе используются понятия и терминология из теории полуупорядоченных пространств и положительных операторов.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. В вещественном банаховом пространстве Е с конусом К (соответственно, с двумя конусами К и Ki, КСКі) получены новые факты по теории нелинейных операторных уравнений. В частности :
-
доказаны новые теоремы существования положительных решений, разработаны методы фактического решения (точного или приближённого) ;
-
указана локализация множества значений параметра \, для которых уравнения (2), (3) с линейными (В(х)), соответственно, нелинейными (F(x)), операторами имеют положительное решение;
-
получены новые оценки решения уравнения (2);
-
указаны новые оценки . спектральных характеристик
\(В),Х(В) оператора В, являющихся в нелинейном случае аналогом понятия спектрального радиуса линейного оператора;
-
установлены новые признаки существования положительного собственного вектора у нелинейного оператора В(х);
-
указан метод, позволяющий построить приближения к собственному вектору по недостатку и по избытку, а также метод оценки относительной погрешности полученных приближений.
Достоверность основных научных положений и полученных результатов обеспечивается строгостью постановки задачи, математи-
5 ческим обоснованием результатов. На защиту выносятся:
-
новые теоремы существования положительных решений нелинейных операторных уравнений второго рода, а также методы фактического решения ( точного или приближенного);
-
новые векторные оценки решения операторного уравненния второго рода;
-
оценки снизу и сверху спектральных характеристик А(В), А(В) оператора В(х);
-
новые теоремы существования положительного собственного вектора у нелинейного положительного оператора В(х);
-
метод построения приближения к положительному собственному вектору линейных и нелинейных операгоров по недостатку и по избытку;
5) оценки относительной погрешности метода последовательных приближений при решении нелинейных уравненний с операторами обобщенного сжатия.
Теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в целях дальнейшего развития теории нелинейных операторных уравнений и в их приложениях к теории нелинейных интегральных уравнений, краевых задач для уравнений математической физики, в задачах математической экономики (задачи балансов многосекторкой экономики, задача производственного согласования отраслевых систем и т.д.).
Апробация работы.
Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах кафедры высшей математики СтГТУ (1992-1995 г.г.), на ХХШ (1993 г.), на XXIV (1994 г.), на XXV (1995 г.) научно-технических конференциях СтГТУ, на IX научно-технической конференции СВВИУС (1995 г.), на конференции Международной школы-семинара (1995 г., г.Теберда), на научной конференции "Современные методы нелинейного анализа" , посвященной 75-летио М.А.Красносельского. (1995 г., г.Воронеж).
Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в 10 научных работах, в том числе тезисах пяти докладов, пяти статьях.
В совместных работах [2,3,4] постановка задачи принадлежит научному руководителю В.Я.Стеценко, а исследование - диссертанту. Все вошедшие в диссертацию результаты (гл.1 - гл.З), за иск-
лечением 3.2, #3.3, полученных диссертантом в соавторстве с руководителем Стеценко В.Я., принадлежат диссертанту.
Структура диссертации. Диссертация содержит 141 страницу и состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы из 53 наименований.
Автор Еыражает благодарность своему научному руководителю В.Я. Стеценко за постановку задачи и руководство работой.
