Введение к работе
. ' Актуальность темы. В работе исследуются уравнения вида
x=B(x)+f, ( : /
., Xx=B(x)+f, :~)
Xx=F(x), (3)
. . ... _. ,.x=V(x). (4)
с линейными или нелинейными оператс' ,'х),F(x),V(x), монотон-
ными, однородными, положительными, н^,аддитивными на предмет существования" у~эти)Гурав"нёний" положительного "решения, оценки
решение, ііри этом оч^оіьоі'С'і'ьуи^ііе уравнения СІ), С"), (?), '*) г*"-сматриваются в банаховом пространстве Е, относительно которого предполагается,что в нём введена полуупорядоченность при помощи конуса К- множества неотрицательных элементов. Уравнения (1)-(4) с указанных позиций являлись объектами многочисленных исследований, проводимых М.Г.Крейном, Л.К.Канторовичем, М.А.Красносельским, М.Л. 'эллатцем, И.Шредером, И.А.Бахтиным, Ю.В.Покорным, 8.Я. Стеценко и их последователями и учениками. '
Тот факт, что задачи являлись объектами изучения многочис
ленных авторов, легко объясним, так как соответствую^.-; уравне
ния являются абстрактной формой записи ряда интересных задач, в
том числе и прикладного характера. (Достаточно упомягуть системы
алгебраических уравнений, интегральные уравнения, краевые задачи
для обыкновенных дифференциальных уравнений математической фи
зики, задачи математической экономики, теории ядерных реакторов
и-Др.).^Несмотря^на.достаточно содержательное развитие этой тео
рии существуют определённые области теории, которые по тем или
иным причинам не получили должного развития, а это ограничивало
дальнейшие^ возможности применения теории к исследованию ряда
интересных задач.
Данная работа посвящена попыткам восполнить соответствующие пробелы теории в направлениях, о которых более подробно говорится б описании содержания работы.
Цель работы: Получить новые теоремы существования положительного решения нелинейного операторного уравнения второго рода, оценить значение параметра Л.для которых эти решения сушест-
вуют, получить признаки существования положительного собственного вектора у нелинейного операторного уравнения (3), пoлvчить оценки (векторные) решения,а также оценки абсолютной и относительной погрешностей приближенного решения таких уравнений.
Методика исследования. В работе применяются и развиваются методы исследования линойных и нелинейных операторных уравнений, рассматриваемых в полуупорядоченных банаховых пространствах, а также в банаховых пространствах, в которых введены две полуупорядоченности, установленные при помощи двух конусов Ki и К, причём КСКі, разработанные в работах М.А.Красносельского и его уче-никоз (И.А.Бахтина, П.Н.Забрейко, Ю.В.Позорного, А.И.Перова, В.Я.Стеценко и др.), а для приложений полученных результатов применяется, как правило, известная методика сведения конкретных гадач к операторному уравнению того или иного класса. В работе исиользуются понятия к терминология кг< теории полуупорядоченных пространств и положительных операторов.
Научная новизна. Основные результаты работы являются ковы-ми. В вещественном банаховом пространстве Е с конусом К (соответственно, с двумя конусами К и Ki, КСКі) получены новые факты по теории нелинейных операторных уравнений. В частности :
-
доказаны новые теоремы существования положительных решений, разработаны методы фактического решения (точного или приближённого);
-
указана локализация множества значений параметра X, для которых уравнения (2), (3) с линейными (В(х)), соответственно, нелинейными (F(x)), операторами имеют положительное решение;
-
получены новые оценки решения уравнения (2);
-
указаны новые оценки спектральных характеристик
Х(В),Х(В) оператора В,- являющихся в нелинейном случае аналогом понятия спектрального радиуса линейного оператора;
-
установлены новые признаки существования положительного собственного вектора у нелинейного оператора Б(х);
-
указан метод, позволяющий построить приближения к собс-тв- іному вегл'ору по недостатку и по избытку, а также метод оценки (относительной погрешности полученных приближений.
Лостовеїіьості. основных научных положений и подученных результат в обеак-чивается строгостью постай., .ьки ...лч'Ч'. м печати-
ческим обоснованием результатов. На защиту выносятся :
-
новые теоремы существования положительных решений нелинейных операторных уравнений второго рода, а также методы фактического решения (точного или приближённого) таких уравнений;
-
новые векторные оценки решения операторного уравнения второго рода; —
-
оценки снизу и сверху спектральных характеристик Л(В), Л(В) оператора В(х);
-
новые теоремы существования положительного собственного вектора у нелинейного положительного оператора В(х);
-
метод построения" "приближения к положительному" собствен-
ei^tiijWy^BfciKXGii**—«aHneifini«rt^iri-»iUwUiwiAiii*V-LuUep^ZGpGB-C^ ИЗбЫТКУ;
6) оценки относительной погрешности метода последовательных
приближений при решении нелинейных уравнений с операторами обоб
щённого сжатия.
Теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в целях дальнейшего развития теории нелинейных операторных уравнений и в их приложениях к теории нелинейных интегральных уравнений, краевых задач для уравнений математической физики, в задачах математической экономики (задачи балансов многосекторной экономики, задача производственного согласования отраслевых систем и т.д.).
Апробация работы.
Основные результаты диссертации докладывались на научных
семинарах кафедры высшей математики СтГТУ (1992-1995 г.г.,) на
ХХШ (1993 г.), на XXIV (1994 г.), на XXV (1995 г.) научно-техни-
— ческих -..конференциях...СтГТУ.яа. IX научног.технической конференции
. СВВИУС (1995г.), на конференции Международной школы-семинара
(1995 г., г.Теберда), на научной конференции "Современные методы
.-.нелинейного анализа"_,. посвященной 75-летию М.А.Красносельского.
(1995 г., г.Воронеж)..
Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в 10 научных работах, в том числе тезисах 5 докладов, пяти-статьях.
В совместных работах [2,3,4] постановка задачи принадлежит научному руководителю В.Я.Стеценко, а исследование - диссертан-
6 ту. Все вошедшие в диссертацию результаты (гл.1 - гл.З), за исключением $ 3.2, 3.3, полученных диссертантом в соавторстве с руководителем Стеценко В.Я., принадлежат диссертанту.
Структура диссертации. Диссертация содержит 141 страницу и состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы из 53 наименований.
Автор выражает благодарность счоему научному .руководителю В.Я. Стеценко за постановку задачи и руководство работой.
