Введение к работе
Актуальность темы. Прямые теоремы современной теории рациональной аппроксимации интенсивно создавались и создаются на протяжении последних 30 лет. В 19664969 годах усилиями П.Турана, А.А.Гончлра, Г.Фройда, А.П.Буланова были найдены классы функций, на которых рациональная аппроксимация существенно меньше полиномиальной.
В 1976 году болгарским математиком В.А.Поповым был определен точный порядок наилучшей рациональной аппроксимации на классе функций, имеющих г-ую производную ограниченной вариации. В скором времени самим В.А.Поповым, а также П.П.Петрушевым и А.А.Пекарским были установлены окончательные порядковые оценки для наилучших рациональных приближений на ряде других важных классов функций, заданных на конечном отрезке. Доказательство этих результатов базируется на использовании ньюменовской оценки рациональной аппроксимации |дс| и является технически довольно сложным: существование приближающих рациональных функций устанавливается посредством некоторого итеративного процесса.
В.Н.Русаком в 1984 году был предложен новый подход к доказательству прямых теорем рациональной аппроксимации, основанный на построенных им специальных интегральных операторах и рациональных функциях, наименее уклоняющихся от нуля на круге или на вещественной оси. На этом пути удалось получить новые классы аналитических и 2/г-периодических функций, на которых рациональная аппроксимация имеет неоспоримые преимущества, и найти точные порядки наилучших рациональных приближений на классах функций, представнмых в виде свертки.
В данной диссертации названный операторный подход применяется для рациональной аппроксимации дифференцируемых функций на конечном отрезке.
Связь работы с крупными научными программами, темами. Исследования проводились в рамках госбюджетных научных тем Белгосуни-верситета.
-
Исследование полиномиальных и рациональных приближений и их приложений к решению уравнений.» гос.регистрации 01910055076 ;27.25.
-
Исследование аппроксимационных и асимптотических методов и их приложений к динамически;.! системам и краевым задачам. Ктос.регистрации 19963661 ;27.25.
Цель н задачи работы. Цель диссертационный работы состояла в разработке прямых рациональных методов приближения дифференцируемых функций из пространства С[а,Ь].
Научная новизна полученных результатов :
-
Построены рациональные операторы типа Фурье в пространстве непрерывных функций и найдены оценки их уклонений при подходящем выборе полюсов на классах дифференцируемых функций.
-
Построены специальные интегральные рациональные операторы в пространстве С[а,Ь], осуществляющие при предписанных полюсах приближение порядка наилучшего на классах функций с производными ограниченной вариации.
З.Найдены точные порядки наилучшей рациональной аппроксимации на классах функций с заданной степенной мажорантой интегральных модулей гладкости.
Практическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Построенные рациональные операторы и технология получения порядковых оценок их уклонений могут найти приложения при исследовании скорости приближения на других функциональных классах, а также при чтении специальных курсов на математических факультетах университетов.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту.
-
Конструкция рациональных операторов типа Фурье и оценки их уклонений для предписанных полюсов на классах функций с производными ограниченной вариации.
-
Конструкция специальных рациональных операторов типа Балле Пуссена и теорема о точных порядках их уклонений при подходящих полюсах на тех же классах функций.
-
Точные порядки наилучших рациональных приближений на классах функций с заданной мажорантой интегральных модулей гладкости.
Публикации, апробация работы, личный вклад. По теме диссертационной работы опубликовано 12 печатных работ, из которых шесть написаны без соавторов и шесть в соавторстве с научным руководителем. Все основные результаты, приводимые в выносимой на защиту диссертационной работе, получены ее автором лично. Отдельные результаты получены в соавторстве, что отмечено в тексте работы.
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научном семинаре имени Ф.Д.Гахова (руководитель профессор Э.И.Зверович) и на научном семинаре по теории аппроксимации (руководитель профессор В.Н.Русак), а также на международных и республиканских научных конференциях.
Структура и объём работы.
Диссертация состоит из перечня условных обозначений, введения, общей характеристики, трех глав, выводов и списка использованных источников, содержащего 77 наименований.
В диссертации принята отдельно для каждой главы нумерация параграфов и отдельно для введения и каждой главы нумерация формул, лемм и теорем. Общий объем работы 89 страниц машинописного текста.
