Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Наилучшее приближение операторов на классе элементов, заданных точно или с известной погрешностью . 34
1. Приближение операторов 34
2. Приближение функционалов 52
3. Приближение операторов и приближение одного класса элементов другим 66
4. Приближение оператора дифференцирования ограниченными операторами и приближение одного класса функций другим 85
Глава II. Приближение инвариантных преобразований 135
1. Приближение операторов, инвариантных относительно некоторой полугруппы преобразований 135
2. Приближение операторов типа свертки ограниченными операторами 161
3. Приближение оператора дифференцирования на оси 196
Глава III. Некоторые интегральные неравенства для полиномов 235
1. О неравенствах СН.Бернштейна для алгебраических и тригонометрических полиномов 235
2. О неравенстве разных метрик для тригонометрических полиномов 265
Литература 276
- Приближение операторов и приближение одного класса элементов другим
- Приближение оператора дифференцирования ограниченными операторами и приближение одного класса функций другим
- Приближение операторов типа свертки ограниченными операторами
- О неравенствах СН.Бернштейна для алгебраических и тригонометрических полиномов
Введение к работе
0. Диссертация посвящена наилучшему приближению на некотором классе элементов оператора, вообще говоря, неограниченного, линейными ограниченными. Наибольшее внимание уделяется задаче наилучшего приближения операторов, инвариантных относительно сдвига, и в частности, изучению модельной задачи наилучшего приближения оператора дифференцирования порядка к на классе раз дифференцируемых функций. В последней главе вычислены нормы некоторого класса операторов свертки в пространствах полиномов, наделен -ных неклассической f -метрикой.
Задача о наилучшем приближении неограниченного оператора ограниченными связана с другими важными экстремальными задачами. В частности, она связана с некорректной задачей наилучшего восстановления значений оператора на элементах некоторого класса, заданных с известной погрешностью, а именно, дает возможность оценить минимальную погрешность восстановления и выбрать хороший приближающий ограниченный оператор.
Вопросы восстановления значений оператора на элементах некоторого класса, заданных точноили приближенно, являются объектом изучения теории некорректных задач, однако задачи такого типа возникают также в теории интерполирования и приближения функции, вычислительной математике. В настоящее время имеется большое число работ А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, В.К.Иванова, С.Б.Стеч-кина, В.Н.Страхова, С.А. Смоляка, Н.С.Бахвалова, В.В.Иванова, В.А.Морозова, В.А.Винокурова, В.Н.Габушина, Ю.Н.Субботина, В.В. Васина, В.П.Тананы, А.И.Гребешшкова, А.Г.Марчука, К.Ю.Осипенко, Ш.Мичелли, Т.Ривлина и др., посвященных вопросам восстановления (см. Лаврентьев [I J ; Тихонов, Арсенин [I ; Иванов, Васин, Танана [іJ; Лаврентьев, Романов, Шишатский lj ; Морозов jfl,2j; Стечкин Г41 ; Бахвалов [ij ; Арестов [8J ; Мичелли, Ривлин [i J ; Габушин [9] и приведенную там библ.).
I. Диссертация состоит из трех глав. Сформулированным задачам посвящены две главы. В первой главе уточняются некоторые из приведенных соотношений между U)C$) , fy(ffi) і В (A/J И приводится связь этих величин с приближением одного класса элементов другим.
Задачу (0.4), более общую задачу вычисления значений опера -тора /4 на элементах з: класса Q , информацией о которых является точное или приближенное значение & OCL некоторого оператора ЛЬ (относительно таких задач см. Морозов \_2j, Ива -нов, Васин, Танана lj, Марчук [і,2J, Мичелли, Ривлин [ lj), а также задачу решения операторных уравнений с приближенно за - II данной правой частью, можно интерпретировать как задачу приближения многозначного оператора на классе элементов множеством.
Приближение операторов и приближение одного класса элементов другим
Подобные результаты для периодических функций получены Б.Е. Клоцем [ 1,2J. Глава П посвящена приближению инвариантных операторов. Предположим, что в задаче (0.2) операторы /1,3 и класс Q инвариантны относительно некоторого семейства преобразований. Тогда (при некоторых дополнительных условиях) оказывается, что в (0,2) можно ограничиться инвариантными операторами 7 Щ . Такая ситуация имеет место в задачах приближения линейными методами классов функций, инвариантных относительно сдвига множеством тригонометрических полиномов (см. Лоренц [I, гл. 10 J ; Тихоми -ров [ 1, гл. 3J ). Здесь используются такие соображения. Пусть, к примеру, R. - линейный ограниченный оператор в пространствеCJ/)r непрерывных Я -периодических функций и т - оператор сдвига. Тогда оператор /Z , определенный соотношением ишариантен относительно любого сдвига и обладает "нехудшимй"ап-проксимационными свойствами, чем Я , а точнее? и притом HR 1Ы IIR И . При дополнительных предположениях относительно R. можно по учить большую информацию об операторе R Так, если R - R есть оператор проектирования пространства СЛ/Г на множество С тригонометрических полиномов порядка - , то R f есть частичная сумма Зп -f- ряда Фурье функции f- . Этот результат для операторов интерполирования доказан Марцинкевичем /.I J , а для произвольных проекторов -Д.Л.Берманом [ I J ,
Операция усреднения (2,1) оказалась полезной и для других задач типа (0.2); в частности для исследования задачи Стечкина (0.19). Так в работе автора С 7 J для приближения на оси и в ра боте Б.Е.Клоца 7l J для периодического случая доказано, что в (0.19) можно ограничиться операторами, инвариантными относитель но любого сдвига; для доказательства в работе Б.Е.Клоца [ij ис пользуется операция усреднения (2.1), а в работе автора Г 7 J по добная операция Z nv. — С т_5 Тъг Л . Эти ре зультаты позволили получить новые свойства Є C J, в частности порядок поведения по ґ при //% оо (Клоц 71J) и точное ре шение в некоторых случаях (см. Арестов Г?,12 J и 3 гл. П ни же). Более общая ситуация рассматривалась в работах (Арестов [7 J , Габушин 9j)« Допустим, что задачи (0.4), (0.12) обла дают следующими свойствами; существует полугруппа индексов и полугруппы Э-1&С )} , т -/&{ )} линейных ограни ченных операторов в X и У , соответственно, такие, что для любых /S Для множества Щ отображении X в У условился обозначать через Щ (S) множество инвариантных отображений Те Щ , т.е. отображений обладающих (на X ) свойством с ( ) 7 &f- j =. у для любого s е /3 .В работе автора Г7 было доказано, что если 0 есть 1R. или целочисленная решетка Жт Ж , т и & сильно непрерывные (сжимающие) группы операторов, - рефлексивное, а X ж У сепарабельные пространства, то т.е. для вычисления ( /) и у (зJ достаточно ограничиться инвариантными линейными операторами. В работе В.Н.Габушина [ 9 J содержатся более сильные утверждения, а именно, если I) пространство У сопряженное и операторы r -sj также сопряжен -ные, 2) выполняются условия (2,2), (2,3) и либо 3) Л комму -тативная группа, либо 3 ) ,S - топологическая полугруппа, на 5 определена инвариантная борелевская мера с определенными свойствами и полугруппы О , с обладают некоторыми свойствами непрерывности, то в задачах Е№) и Vf(&) существует экстремальный оператор, обладающий свойствами инвариантности и, в частности, имеют место (2.4). В данной работе приводятся утверждения типа (2.4) при еще более слабых ограничениях на или У и для более общей, чем (0.4), (0.12), задачи (I.I). При этом показано, что рассматриваемый вопрос связан с вопросом о существовании общей неподвижной точки у полугруппы (в данном случае - линейных) преобразований компакта топологического векторного пространства. Исследованию последнего вопроса в настоящее время посвящено много работ; в диссертации используются соображения работы М.Дэя Г IJ . В I гл. П содержится, например, такое утверждение. Y - рефлексивное пространство, zr - произвольные); 4) полугруппа J5 левая аменабельная; 5) Щ есть одно из множеств: множество О СХ9 у) всех операторов, множество &(Х, У J линейных операторов, множество (X, Y) линейных ограниченных операторов из X в К , множество / = с5 A , /J= A/ ft\ KJ = /Т6-:3 ; IITIUA/J .
Приближение оператора дифференцирования ограниченными операторами и приближение одного класса функций другим
В данном параграфе доказывается двойственность задачи о наименьшей константе в неравенствах Адамара-Колмогорова для норм дифференцируемых функций на прямой и полупрямой с задачей наилучшего приближения одного класса дифференцируемых функций другим подобным классом более гладких функций, а также двойственность задачи Стечкина о наилучшем приближении оператора дифференцирования ограниченными линейными операторами с задачей линейного приближения класса классом.
В этом параграфе к t г - целые числа, причем 0 к /г-; р » , 2- - параметры, удовлетворяющие условиям d 4 р » a, , z оо ; J - числовая прямая или полупрямая Со c j . Для нормы функции ос в пространстве L - L (I) будем пользоваться обозначением /10С-Нр т,е. полагаем Пусть vv для і р оо есть множество функций ос , производные порядка п - ± которых локально абсолютно непрерывны на I , а ос є Z.r „ Если же /э= і f то \у при л = і есть множество функций ограниченной вариации, а при і множество функций ос- , у которых производная ос п локально абсолютно непрерывна и ос сп почти всюду совпадает с некоторой функцией 2. ограниченной вариации; функцию бу и дем обозначать через ос J и для х U/, условимся писать и ос II вместо V с . Наконец обозначим через уэ, пересечение пространств L и 1лЛ , а через 2 = Сі ріХ, множество функций ос в Wpt , обладающих свойством Г Для произвольной пары чисел уи0 у о , ип о рассмотрим величину где верхняя грань берется по всем функциям эс- Що.ъ. , удовлетворяющим условиям It с// мо , I/ос // :у п, . Исполь -зуя однородность нормы в пространстве Z.J С I) при замене «г на с хС"- к) t можно получить зависимость у к от л Иу Именно имеет место формула (см, Надь [I ] ) в которой Такие неравенства впервые рассматривали Харди, Литтльвуд [i] , Ландау [_ I j , Адамар [ I ]. Ванные результаты в задаче об исследовании неравенства (0.1) получены А.Н.Колмогоровшл [ I] , Надем [I j , Н.П.Купцовым [I ] В настоящее время для многих значений параметров к , п, , р , , , - , I известны константа Af и множество экстремальных функции, на которых (O.l) обращается в равенство (см. библ. в Арестов [I]} Тихомиров Гі])« Оконча -тельные условия конечности константы К в (0.1) получены В.Н. Габушиным f I ] ; он доказал, что /С конечна в том и только в том случае, если А.П.Буслаев, Г.Г.Магарил-Ильяев, В.М.Тихомиров f I I доказали, что ееж параметры таковы, что в (0.2) имеет место строгое неравенство, то в (0.1) существует экстремальная функция. Рассмотрите далее задачу Стечкина Г4 1 о наилучшем прибли оператора дифференцирования порядка линейными ограниченными операторами Т из / в - _ на классе «- раз дифференцируемых функции. Если x-G Wa . , то, за исключением случая к - р d. , производная ас есть непрерывная функция, В связи с этим предполагается, что если или -ь- есть , то или, соответственно, L _ есть пространство (2 непрерывных ограниченных на 1 функций (кроме случая = «о , /г л- , / - і ).
Приближение операторов типа свертки ограниченными операторами
Рассматривается задача о наилучшем приближении на некотором классе элементов многозначного оператора с помощью заданного множества однозначных операторов, и, в частности, задача наилуч -шего приближения однозначного линейного (неограниченного) опера -тора на классе элементов, информация о которых является полной или неполной. Приводятся условия, при которых в задаче можно ог -раничиться (без увеличения погрешности) приближающими операторами, инвариантными относительно этой совокупности преобразований. Та -кое сужение класса приближающих операторов позволяет получить новые свойства, а иногда и точно вычислить величину наилучшего приближения..,
Подобные факты были известны и ранее, например, в теории приближения функций в задачах приближения линейными методами классов функций, инвариантных относительно сдвига (см. Лоренц fl, гл. Xj , Тихомиров [і, ГЛ. IIlJ ). Нас интересуют здесь подобные результаты для задач (В;0.4) и (В;0.12). Итак, пусть X , Y -банаховы пространства, Л - линейный оператор из Л в У , (Я -уравновешенное выпуклое множество из области определения оператора /? t Щ есть одно из множеств: множество " & (Х3 У) всех операторов из X в У , множество 3 =?(X, У) линейных операторов из X в К , множество Л - У$ (X 3YJ - линейных ограниченных операторов и, наконец, ,/ -- //(X У) - множество операторов Т 2В э //7 // _ у / . Рассматриваются величины относительно сдвигов t , а точнее относительно групп операторов &( ) - 137 = т » t( ) i3 .В работе автора [7] для приближения на оси и в работе Б.Е.Клоца fI ] для периодического случая до -казано, что в (1,5) мокно ограничиться операторами Т , инвариантными относительно сдвигов. Эти результаты позволили получить порядок поведения Е(ы) по w при /- (см. Клоц [IJ)R точное значение Е ( /) в некоторых новых случаях (см.
- Арестов [7]) В работе автора [ 8] доказано, что если в задачах (I.I)-{1.4) множество S есть JFt или целочисленная решетка с С Jj І В и f сильно непрерывные (сжимающие) группы операторов, Y - рефлексивное, а X и Y - сепарабельные пространства, то для {i.l) и (1.2) имеют место утверждения где для множества Щ с & (X 3 Y) через Щ (S ) обозначается множество инвариантных отображений Т , т.е. отображений, обладающих на X свойством ъ(ь) Г&( ) 7 для всех
У является сопряженным и операторы с(4) также сопряженные, 2) выполняются условия (1.3), (1.4) и либо 3) /S - коммутативная группа, либо 4) S - топологическая полугруппа, на 6 определена инвариантная борелевская мера с определенными свойствами и полугруппы v , О обладают некоторыми свойствами непрерывности. Тогда в задачах (i.l), {1.2) существует экстре -мальный оператор, обладающий свойством инвариантности и, в частности, имеют место (1.6). В данном параграфе приводятся утверждения типа (1.6) при более слабых ограничениях на 5 или У и для более общей, - 138 чем (і.I), (1.2), задачи ( Із ; 2.1)# При этом используются пост-роения подобные тем, которые применялись в работах МДэя [I] , автора С7,8 ] и В.Н.Габушина [$] Пусть У - линейное пространство, Y - линейное нормированное пространство, являющееся подпространством в У , X некоторое множество (пространство), V/ - подмножество в декар-товом произведении X х У » т»е. W - некоторое множество пар ( ее, ф ) элементов осе X , U& У MZ- - некоторое семейство отображений X в У . Для 7 Щ полагаем //Y 0е- J WJ; (2.1) при этом, если & = - Та: т У , то считаем, что //2-// , = . Нас интересует величина y(mj=v( mj= L-n jист)- rem]. (2.2) Очевидно, (I.I),и (l.2) являются частным случаем (2.2). Пусть, далее, Д - полугруппа, операция в которой записывается мультипликативно, г - гомоморфизм 5 в полугруппу. 3(У, У) линейных операторов в У , # - (обратный) гомоморфизм о в полугруппу &{У XJ всех преобразований множества X ; при этом для любых 6 S
О неравенствах СН.Бернштейна для алгебраических и тригонометрических полиномов
В работах Арестов Г?,8 Ji Клоц I J при доказательстве (1,6) строятся инвариантное среднее на А" (3.) для S 7R 9 S= Z " или S = (mod 2JI) . В работе ВЛ.Габушина f9j равенства (1.6) доказаны в предположении, что У- К= Z. и есть сопряженное пространство для нормированного пространства V , .г И с V , a /S есть коммутативная группа (что обеспечивает ее аменабельность) или топологическая полугруппа с борелевской мерой, обладающей определенными свойствами, которые, как нетрудно видеть из доказательства обеспечивают существование инвариантного среднего на Г (Z(X- Y) э S ) 3. Допустим, что V = Vf Vi/, Й7 J o ? # Возьмем число с -0 и обозначим через ІЇ = їїс множество операторов Т G 0 (Х У) со свойством . Если выполнены ус ловия Са0)-(а2), то множество К будет выпуклым, с - замк -нутым и, в силу (2.10) обладает также свойством Т( с Т{ {і" е а) Элементу х- из проекции f txW множества W" на X сопоставим элемент У со свойством scJ Vi/ . Тогда для Г Wc = #с /? W , xr prx имеем //Тас//у : //vx if tljf -Тсс// 4// // ч- с и, следовательно, Таким образом, если У-/от: W , то для множества Wc = -ІЇ7С/1Щ будут выполняться условия (3,2), (4,1), и, кроме того, как нетрудно видеть, V(V/, Wc J И/, Wj . 4« Если Л" - линейное пространство, операторы &( ) и 7 7 линейные, то (5,1) выполняется для 7 в Х7?а и для из линейной .оболочки множества W ч Поэтому, если №Z есть некоторое глножество линейных операторов, X совпадает с линейной оболочкой Р х то длїї с = ffifiti? вы полняется (3.2) или (4Д). 5« Пусть X - линейное нормированное пространство, &( ) -линейные ограниченные операторы и Тогда для любого оператора Т& 33 (X, Z.) имеем п ГЦ $ HTl[x z , поэтому, в частности, выполняется условие (3.3) или {4,1). 6. В работе В.Н.Габушина [9] наряду с равенствами (1.9) доказано существование инвариантного экстремального оператора. Доказательство существования экстремального оператора в Й.З), (1.4) для других классов операторов имеется в работе Габушин [Q] , при этом предполагается, что У (-_ У- Z) - сопряжен -ное пространство (для некоторого нормированного пространства V ) и проверяется, что соответствующее множество операторов является слабо компактным, или предполагается, что существует проектор эг с единичной нормой из У в Y ж №7= Сґу (X 3 yj # Тот факт, что пространство У обладает проектором из К в У , ис -пользовался для доказательства теорем существования и ранее (см., Для полноты изложения приведем доказательство следующего утверждения. Если в задаче {2.2) существует подпространство Vс У У) у ; такое, что для Ч Y имеют место (2.5) и множество #? компактно в о- (У(Х, у) относительно топологии (Г = - (0 ;ViX)t то в fe.2) существует экстремальный оператор Т&Щ , для которого U(T)- (W} Ut J . Действительно, пусть J(WJ v(W, Щ) ъо и операторы Т ХР( выбраны из условия U(T„ )- 0 (Ш ) » Л - Поскольку Щ - компактное множество, то фильтр, порожденный множествами L { 7 J, мажорируется фильтром -- , сходящимся к элементу & W # Для любых v & И , ДГб-/\ , с? и любого существует элемент 7 з такой, что / ! -, Га:- ?л: I г. и значит, если (? #J W , то Отсюда и из (2,5) следует, что 1/((3.) -urn. U(7 n.) , а значит Й - экстремальный оператор, 7, Если У Y- Z- , существует проектор - с единич ной нормой из , множество компактно в б"(Х У і) относительно топологии tf (" 2"j К \ Л )_ и -г $/ СЩ t то в (2#2) существует экстремальный оператор. Доказательство проводится также как в работе В#Н»Еабушина f 8J для задач типа (1«4) 8# Пусть, к примеру, 3/ = Y — X и либо X = / ?-х W ; $7 - б (Х 3 У J , либо /V - линейное пространство, а &Х есть множество ot (X У) всех линейных операторов из X в У . Будем еще предполагать, что либо Y - сопряженное про -странство, ли-бо существует проектор JT с единичной нормой из К в Y Убедимся, что тогда в задаче (2«2) существует экстремальный оператор. В самом деле, если Y- V , то относительно топологии б С (Т(Х У) ; V; X) оба множества 0 (Х3 у) 0 ( X) У) являются замкнутыми в От(Х YJ , а соот ветствующие множества )Т компактными Поэтому множества Щс-- Щ Ґ) Х1С также компактные Если же существует проектор Лг из у в у то мвшество Щ компактно в Qr_ Следовательно, можно применить утверждения замечаний 6 и 7. относительно топологии 6. Приведем два приглера на применение полученных результатов. I, Пусть У - пространство локально суммируемых функций на » X " линейное нормированное пространство» W некоторое множество пар fa tf) элементов сс& X и функ -ций $е У , М7 есть множество с2 л/ = л/ (Х -icj линейных ограниченных операторов из
