Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Рациональная аппроксимация функций, дифференцируемых в смысле Римана-Лиувилля 23-68
1. Рациональная аппроксимация функций, имеющих дробную производную в смысле Римана-Лиувилля ограниченной вариации. Оценка сверху 23-41
2. Рациональная аппроксимация функций, имеющих дробную производную в смысле Римана-Лиувилля ограниченной вариации. Оценка снизу 42-47
3. Аналоги неравенств С.Б.Стечкина в рациональной аппроксимации на конечном отрезке 48-60
4. Рациональная аппроксимация функций с выпуклой дробной производной 61-68
ГЛАВА II. Рациональная аппроксимация с заданным числом полюсов 69-87
1. Аппроксимация кусочно-аналитических функций в Соо. 69-79
2. Аппроксимация стандартных функций 79-82
3. Аппроксимация непрерывных функций с ограниченным изменением 82-87
ГЛАВА III. Рациональная интерполяция на отрезке . 88-107
1. Дроби Чебышева-Маркова, интерполирование по Лагранжу, константы Лебега 88-90
2. Оценка нормы оператора интерполирования 90-102
3. Рациональная интерполяция функций класса Гончара 102-107
Литература
- Рациональная аппроксимация функций, имеющих дробную производную в смысле Римана-Лиувилля ограниченной вариации. Оценка снизу
- Аналоги неравенств С.Б.Стечкина в рациональной аппроксимации на конечном отрезке
- Аппроксимация кусочно-аналитических функций в Соо.
- Дроби Чебышева-Маркова, интерполирование по Лагранжу, константы Лебега
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена вопросам аппроксимации рациональными функциями в равномерной метрике.
Актуальность такой тематики обусловлена как потребностями развития самой теории приближений, так и ее приложениями в различных смежных областях математики, в том числе и численном анализе. Доказательством этому является появление работ указывающих на тесную связь рациональной аппроксимации с теорией сплайн-приближений (см. [^45^ , [52^J ), аппроксимациями Паде [211 .
Постановка задач о наилучших приближениях ( н.п. ) рациональными функциями ( дробями ) непрерывных функций действительного переменного принадлежит П.ЛЛебышеву. Им был получен и ряд принципиальных результатов в этом направлении: установлено характеристическое свойство действительной рациональной функции н.п. ( теорема П.Л.Чебышева об альтернансе ), построены рациональные дроби наименее уклоняющиеся от нуля в равномерной метрике ^77^ . В классическом мемуаре Е.И.Золотарева [28^ найдено точное выражение рациональных дробей н.п. для некоторых конкретных функций.
Однако, начало систематических исследований в аппроксимации рациональными функциями ( со свободными полюсами ) приходится на вторую половину 50-х годов и связано с появлением фундаментальных работ А.А.Гончара и Е.П.Долженко. Как отмечено в обзорном докладе А.А.Гончара на Международном конгрессе математиков в Москве ( 1966 год ) ^ 17 і интерес к таким исследованиям в Советском Союзе возник под влиянием А.Н.Колмогорова и
С.Н.Мергеляна.
Пусть рг\ - множество полиномов РпС3^) » имеющих степень не выше П . Тогда под 1R п,^ будем понимать класс рациональных дробей вида
Гп(^= pn№/in^ , pn,inPn , имеющих не более Ql геометрически различных полюсов в С
Для ібСС0і,^ определим ( О-= 0,1,... j n ) - наилучшие приближения рациональными дробями из П n, QrПри Яг~ и
Первоначально объектом исследований в рациональной аппроксимации стала зависимость структурных свойств функции от скорости стремления к нулю RnCO ( обратные теоремы ) ( см. [ ІЗ] - [г?] , [23]- \_27 ] ). Здесь выяснилось принципиальное различие н.п. рациональными дробями в сравнении с н.п. полиномами. Так,в работе [іЗ^ А. А. Гончаром было показано, что в той постановке, которая характерна для н.п. полиномами, обратные теоремы о н.п. рациональными функциями не верны. В частности, если исходить из скорости стремления к нулю ппН) , то невозможно получить никакой оценки для модуля непрерывности ^С^4) .
Тем не менее, А.А. Гончар и Е.П. Долженко установили ряд свойств функций, которые гарантируются соответствующей скоростью убывания к нулю их н.п. рациональными дробями: дифференцируемость почти всюду (п.в. ), аппроксимативная дифференцируемость определенное число раз, наличие производной в смысле Пеано ( локального дифференциала К -го порядка ), абсолютная непрерывность и др. (см. [l3*]-[l5^ , j^23"]-[25~\ ). Например, абсолютная непрерывность ^W) гарантируется выполнением следующего условия [ 23 *\ :
Анализ обратных теорем позволил А.А. Гончару ( 1959 год ) сделать следующие выводы [ 14 ~\ :
Существуют функции, для которых порядок стремления к нулю R п ($) не выше, чем порядок стремления к нулю Е n W") .
Существуют функции, для которых ЕпЙ) стремится к нулю сколь угодно медленно, в то время как Кп W) стремит- ся к нулю сколь угодно быстро.
Из первого вывода следует, что расширение множества аппроксимирующих функций от многочленов ( Рп ) до рациональных дробей ( Pin s !R т\>п ) не позволяет усилить прямые теоремы о н.п. на всем классе CCq;&1 . Немного позже Е.П.Долженко было доказано [ 27\\ , что этого нельзя добиться даже для классов функций, имеющих модуль непрерывности любого наперед заданного порядка роста. Второй вывод естественным образом приводит к задаче описания классов функций, отражающих особенности рациональной аппроксимации, т.е. классов функций, для которых прямые теоремы о н.п. можно усилить при переходе от полиномов к рациональным дробям.
Первый результат в этом направлении был получен в 1964 году Д.Ньюменом f 82"\ . Ньюмен исследовал н.п, функции \х\ на отрезке -1,1"} рациональными функциями ( А.А.Гончар ^І9І в 1967 году заметил, что другое решение этой задачи по существу содержится в уже упомянутом мемуаре Б.И.Золотарева [28 "\ ). Приведем здесь более поздний точный результат:
Оценка сверху в (I) получена Н.С.Вячеславовым [l0*\ , а нижняя оценка установлена А.П.Плановым [?] . В полиномиальном случае хорошо известно ( см., например, ^ 38^ , стр. 213 ), что EnU*\-lH,i:n х -jr
Начиная с середины 60-х годов, появляется ряд исследований П.Турана и П.Сюс [8?]-^89"i , А.А.Гончара [ 18"] , Г.Фройда 80 "] , Е.П.Долженко и А.А.Абдугаппарова ( доклад на Международном конгрессе математиков в Москве, 1966 год ), А.П.Дулаяова [ 4 ^ , В.Н.Русака С 56*], [57*] , Е.А.Ровбы [ 64 ^ , А.А.Пекар-ского [ 44 J , в которых находятся достаточно широкие классы функций ^(Ж) , характеризующиеся тем, что
Первыми такие классы функций выделили П.Туран и П.Сюс. В их совместных работах 187 - 89 А получены оценки скорости убывания R г* ($-) для функций, имеющих Г- -ую непрерывную выпуклую производную, принадлежащую классу Цр>1 , и кусочно-аналитических функций. В [89~^ впервые изучалась скорость убывания р^пС^ для функций класса WrV [OU-^П > Г= 1., 2. > ( определение см. далее ). Продолжая исследования П.Турана, Г.Фройд получил [ 80 "\
В 1977 году В.А.Попов ^85^ установил здесь точную по порядку оценку.
А.А.Гончар в f 18*^ предложил общий метод исследования н.п. рациональными дробями функций с характерными особенностями ( класс &1 ). Им доказана следующая
Теорема. Пусть і Є G~i , т.е. ^Сх) непрерывна на отрезке [0?1"1 и допускает ограниченное аналитическое продолжение в круг
Тогда Rn(«і Солі) = 0 Щ (Ml Є~С * ^(С 1)Д . (2) \ < { < + SO
В работе 19 "і построена непрерывная шкала препятствий Для RnW) в зависимости от характера особой точки функции ^Csf) , и исследована скорость рациональной аппроксимации кусочно бесконечно дифференцируемых функций.
Наилучшие рациональные приближения выпуклых функций и функций, имеющих Г -ую ( Г-1,2.,3,... ) выпуклую производную, изучались, соответственно, в работах А.П.Буланова [4|-б"\ и А.А.Абдугаппарова [ I ~\ . Окончательные порядковые оценки для этих классов функций были получены А.А.Пекарским 146 ] , В.А. Поповым и П.П.Петрушевым С48~\ , А.П.Булановым и А.Хатамовым [ 78 "\ , П.П.Петрушевым \^50^ .
В ^44^ А.А.Пекарский рассмотрел аппроксимацию рациональными дробями абсолютно непрерывных функций с производной из пространств Орлича.
Новые классы аналитических 56 д и 21f -периодических функций 57 ~\ , для которых рациональная аппроксимация дает су- щественный выигрыш в скорости в сравнении с полиномиальной аппроксимацией, обнаружены В.Н.Русаком. В работах [57 \ , \.58^ было начато исследование скорости рациональной аппроксимации 2"1Г -периодических функций, имеющих производную дробного порядка ( в смысле Вейля ). В [ 591 найдены точные порядки наилучших рациональных приближений и оценки уклонения от операторов типа Валле-Пуссена на классах 2ПГ -периодических функций, пред-ставимых в виде свертки функции ограниченной вариации и ядра Вейля ( сопряженного ядра Вейля ) ( см. также [бЗ^-[б4*\ )
Настоящая диссертация посвящена доказательству прямых теорем о н.п. рациональными функциями. Найдены новые классы функций, для которых Rn Й) = О (En () )» и исследованы их точные порядки убывания Rr>(") Изучена скорость сходимости рациональной интерполяции и частных рациональных сумм фурье для некоторых классов непрерывных функций.
Работа состоит из трех глав.
Рациональная аппроксимация функций, имеющих дробную производную в смысле Римана-Лиувилля ограниченной вариации. Оценка снизу
В частности, доказано, что если на [0,1"\ $. Lipck,, 0 к -\ , и Vo S 1 9 то для любого ft , Н.Ш.Загиров \2Ъ\ впервые рассмотрел аппроксимацш) этого класса функций дробями из IR n а и получил ГлаваШ работы посвящена рациональной интерполяции. Вопросы рациональной интерполяции с фиксированными полюсами обстоятельно освещены в монографии Дж.Л.Уолша 75 \ ( см. также \ 53 J , t 74 1 ). Интерполяция со свободными полюсами менее изучена. Следуя работе \ 54 "\ , в качестве узлов интерполирования будем брать нули рациональных функций ( дробей ) Чебышева-Маркова, наименее уклоняющихся от нуля в равномерной метрике. Пусть последовательность комплексных чисел 0\ \ vi. І0(е.1 1 # такова, что все они занумерованы в порядке возрастания их модулей, и если среди П+1 чисел Qe , 0»4 . . , Q п есть комплексное, то есть и ему сопряженное. Построим на отрезке t-іД") систему рациональных функций Чебышева-Маркова [36 \ Интерполяционная рациональная функция Лагранжа а \.сс 1и=\ "" КОР110 уравнения Иги-1С ». ) - о , однозначно определяется условиями интерполяции Рациональное интерполирование по формуле (5) впервые изучалось В.Н.Русаком в [ 54 \ . Оно нашло в дальнейшем приложение для решения других задач теории рациональной аппроксимации ( например, при оценке норм производных рациональных функций 55 ). -20 В аппроксимации со свободными полюсами применение лагранжевой интерполяции (5) имеется в работах Е.А.Ровбы ( 601 — \. 62] ). В гл.III рассмотрена ситуация комплексных полюсов, которые могут иметь предельные точки на концах отрезка приближения. Это позволило исследовать задачу о прямой интерполяции функций класса Гончара Gi ( &г. ) В интерполировании необходимо знать поведение нормы оператора (5) в С [-1,13 ПН Этому вопросу посвящен 2 гл.III. Приведем один частный случай доказанной здесь теоремы 3.1. Будем считать, что последовательность, имєєт занумерована в порядке возрастания модулей ее членов и Для рядов фурье по системе рациональных функций аналогичный результат ранее получен в \_ 33 \ . При (\v.-0 7 k = 1, 2.,..., интерполирование по формуле (5) является полиномиальным интерполированием с узлами Чебышева. В этом случае (6) является хорошо известной теоремой С.Н.Беряштейна [эД . В случае действительных полюсов, не имеющих предельных точек на отрезке Г 101 ) (6) установлено в f 54"! Кроме этого, оценки констант Лебега, которые являются частным случаем (6), имеются в работах [бО Д , [en. В 3 изучается прямая интерполяция функций класса Гончара 2, ( &i ) на отрезке t-\?l"\ , т.е. функций непрерывных на -\,\") и допускающих ограниченное аналитическое продолжение в круг Устанавливается, что скорость сходимости рациональной интерполяции для функций этих классов ( &i , &г ) существенно растет с увеличением числа геометрически различных полюсов интерполяционной дроби. Приведем основную теорему. Теорема 3.3. Пусть , тогда для любого О-0,1;...,П ; П /h/ существует рациональная функция Лагран-жа Из этой теоремы следует: 1. Если - интерполяционный полином Лагранжа, построенный по узлам Чебышева, то 2. При фиксированном О 0 , для 5 (?. существует такая, что Для класса Ьі здесь везде можно заменить О, -23 3. Если положить Q= П і то для &z существует ЧТО Основные результаты диссертации опубликованы в работах 65 - 69 \ и докладывались на У Республиканской конференции математиков Белоруссии ( Гродно, 1980 г. ), на конференции молодых ученых ЕГУ им. В.И.Ленина ( Минск, 1983 г. ), на Всесоюзной моле по теории функций и приближений ( Саратов, 1984 г. ), обсуждались на семинарах по теории аппроксимации в МТУ им. М.В.Ломоносова ( рук. проф. Е.П.Долженко ), по теории функций и приближений в институте прикладной математики и механики АН УССР ( Донецк , рук. проф. В.Й.Белый ), на Минском городском семинаре им. Ф.Д.Га-хова ( рук. проф. Э.И.Зверович ) и на семинарах по конструктивной теории функций ( рук. доц. В.Н.Русак ) в БГУ им. В.И.Ленияа.
Аналоги неравенств С.Б.Стечкина в рациональной аппроксимации на конечном отрезке
В работе 19 "і построена непрерывная шкала препятствий Для RnW) в зависимости от характера особой точки функции Csf) , и исследована скорость рациональной аппроксимации кусочно бесконечно дифференцируемых функций.
Наилучшие рациональные приближения выпуклых функций и функций, имеющих Г -ую ( Г-1,2.,3,... ) выпуклую производную, изучались, соответственно, в работах А.П.Буланова [4-б"\ и А.А.Абдугаппарова [ I \ . Окончательные порядковые оценки для этих классов функций были получены А.А.Пекарским 146 ] , В.А. Поповым и П.П.Петрушевым С48 \ , А.П.Булановым и А.Хатамовым [ 78 "\ , П.П.Петрушевым \ 50 . В 44 А.А.Пекарский рассмотрел аппроксимацию рациональными дробями абсолютно непрерывных функций с производной из пространств Орлича.
Новые классы аналитических 56 д и 21f -периодических функций 57 \ , для которых рациональная аппроксимация дает существенный выигрыш в скорости в сравнении с полиномиальной аппроксимацией, обнаружены В.Н.Русаком. В работах [57 \ , \.58 было начато исследование скорости рациональной аппроксимации 2"1Г -периодических функций, имеющих производную дробного порядка ( в смысле Вейля ). В [ 591 найдены точные порядки наилучших рациональных приближений и оценки уклонения от операторов типа Валле-Пуссена на классах 2ПГ -периодических функций, пред-ставимых в виде свертки функции ограниченной вариации и ядра Вейля ( сопряженного ядра Вейля ) ( см. также [бЗ -[б4 \ )
Настоящая диссертация посвящена доказательству прямых теорем о н.п. рациональными функциями. Найдены новые классы функций, для которых Rn Й) = О (En () )» и исследованы их точные порядки убывания Rr (") Изучена скорость сходимости рациональной интерполяции и частных рациональных сумм фурье для некоторых классов непрерывных функций. Работа состоит из трех глав. Глава I посвящена рациональной аппроксимации функций, дифференцируемых в смысле Римаяа-Лиувилля. где 2Цгг, ft) есть модуль изменения функции тіОО на Го,Д , т.е. а 3tCr ) , ПЄ wJo - наперед заданная функция типа модуля изменения, т.е. сужение на Л/о выпуклой вверх, возрастающей функции ЗЄ.С-0 , tetOjOO4) f 2ЄС0) 0 ; W MGonta, ! - класс функций i VJ Lta,63 » Для которых %\W) - выпуклая на отрезке сц,ё функция и функции, представимые в виде (3), принято называть диффе Классы функций, определяемые мажорантой модуля изменения, ранее рассматривались А.А.Приваловым 40 в связи с интерполированием. реяцируемыми_в смысле Римаяа-Лиувилля, а под Г -ой дробной производной обычно понимают 1)(1) (см. 73 ] , стр. 133 ). Полиномиальная аппроксимация таких функций детально изучена ( см. _73 \ , стр. 447-450 ). Например, хорошо известен следующий результат С.М.Никольского СзэЗ ( Г-1,2. ,3,..- )и И.И.Ибрагимова [зі] ( Г 0 ):
Аппроксимация кусочно-аналитических функций в Соо.
B 4 рассматривается аппроксимация функций из класса \д]ГМСол Сої-jS"! . Так как выпуклая функция является непрерывной и имеет ограниченное изменение, то для аппроксимации ё Y/Г М Con to, 1 можно применить теоремы 1.8, 1.2. Однако, непосредственное рассмотрение позволяет получить более точный результат.
При Г = % 2., В;.. рациональная аппроксимация классов СгСо,11 W VDMl и WrM6ontQ,«1 изучалась в работах [49 ] , Х89"\ » \.801 » L84! » l85 » Случай дробных Г О до настоящего времени оставался не исследованным. Гл.1 ликвидирует этот пробел.
В гл.II изучается аппроксимация рациональными функциями с заданным числом геометрически различных полюсов CL , 0 ?о -=n . Это позволяет более внимательно проследить за динамикой изменения прямых теорем при расширении класса аппроксимирующих функций от !Рп Д !Р\П ( промежуточными аппроксимирующими классами здесь являются lRn.,0. ,1 . П-1 ).
Постановка таких задач принадлежит А.А.Гончару \ 20 } . К.Н.Лунгу ( [ 34 1, t35 \ ) продолжил исследования А.А.Гончара. Он рассмотрел аппроксимацию функций класса Q- дробями из ІП п,о при фиксированном О, ( см. также работы Е.А.Ров-бы 60"\ , \.61 ] ). Более общая задача для класса Gl была решена в [62 (см. гл. Ill , 3 ). Пусть оЛго4) - класс функций з Є С оо , которые являются кусочно-аналитическими на \ с ЮЛ фиксированными особенностями. Б 1 гл.II доказана следующая
В качестве аппроксимирующей рациональной функции, имеющей степень не выше 2-П и число геометрически различных полюсов не более 2.Q при доказательстве теоремы 2.1 берется частная рациональная сумма фурье (см. [53 , [55 ) построенная для специальным образом выбранной последовательности чисел \.2к1 г»
В 2 на основании теоремы 2.1 изучается аппроксимация стандартных функций 1х\ , ЕІСИпсх. в соответствующих областях. Полученные результаты дополняют исследования К.Н.Луягу [34 \. Существенно то, что для построенных на основании теоремы 2.1 рациональных дробей, хорошо аппроксимирующих функции \эс\ и ясна их картина поведения на всей числовой прямой. Это позволило в 2 получить представление единицы в виде суммы рациональных дробей, имеющих CL геометрически различных полюсов, а затем ( 3 ) применить метод последовательных усреднений (см. [ 42 "\ ) и для аппроксимации рациональными функциями с заданным числом полюсов.
В частности, доказано, что если на [0,1"\ $. Lipck,, 0 к -\ , и Vo S 1 9 то для любого ft , Н.Ш.Загиров \2Ъ\ впервые рассмотрел аппроксимацш) этого класса функций дробями из IR n а и получилпосвящена рациональной интерполяции. Вопросы рациональной интерполяции с фиксированными полюсами обстоятельно освещены в монографии Дж.Л.Уолша 75 \ ( см. также \ 53 J , t 74 1 ). Интерполяция со свободными полюсами менее изучена.
Следуя работе \ 54 "\ , в качестве узлов интерполирования будем брать нули рациональных функций ( дробей ) Чебышева-Маркова, наименее уклоняющихся от нуля в равномерной метрике.
Пусть последовательность комплексных чисел 0\ \ vi. І0(е.1 1 # такова, что все они занумерованы в порядке возрастания их модулей, и если среди П+1 чисел Qe , 0»4 . . , Q п есть комплексное, то есть и ему сопряженное. Построим на отрезке t-іД") систему рациональных функций Чебышева-Маркова [36 \
Дроби Чебышева-Маркова, интерполирование по Лагранжу, константы Лебега
Для рядов фурье по системе рациональных функций аналогичный результат ранее получен в \_ 33 \ . При (\v.-0 7 k = 1, 2.,..., интерполирование по формуле (5) является полиномиальным интерполированием с узлами Чебышева. В этом случае (6) является хорошо известной теоремой С.Н.Беряштейна [эД . В случае действительных полюсов, не имеющих предельных точек на отрезке Г 101 ) (6) установлено в f 54"! Кроме этого, оценки констант Лебега, которые являются частным случаем (6), имеются в работах .
В 3 изучается прямая интерполяция функций класса Гончара 2, ( &i ) на отрезке t-\?l"\ , т.е. функций непрерывных на -\,\") и допускающих ограниченное аналитическое продолжение в круг
Устанавливается, что скорость сходимости рациональной интерполяции для функций этих классов ( &i , &г ) существенно растет с увеличением числа геометрически различных полюсов интерполяционной дроби. Приведем основную теорему.положить Q= П і то для &z существует
Основные результаты диссертации опубликованы в работах 65 - 69 \ и докладывались на У Республиканской конференции математиков Белоруссии ( Гродно, 1980 г. ), на конференции молодых ученых ЕГУ им. В.И.Ленина ( Минск, 1983 г. ), на Всесоюзной моле по теории функций и приближений ( Саратов, 1984 г. ), обсуждались на семинарах по теории аппроксимации в МТУ им. М.В.Ломоносова ( рук. проф. Е.П.Долженко ), по теории функций и приближений в институте прикладной математики и механики АН УССР ( Донецк , рук. проф. В.Й.Белый ), на Минском городском семинаре им. Ф.Д.Га-хова ( рук. проф. Э.И.Зверович ) и на семинарах по конструктивной теории функций ( рук. доц. В.Н.Русак ) в БГУ им. В.И.Ленияа. Теоремы, леммы , замечания, формулы в каждой главе нумеруются заново. Для удобства ссылок впереди добавляется номер главы, а при ссылках на введение - буква "В". В заключение, выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю В.Н.Русаку за постановку задач, постоянную поддержку и помощь в работе.
