Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена задаче наилучшего приближения операторов дифференцирования линейными ограниченными операторами в пространстве С на оси и полуоси и родственным экстремальным задачам.
Задача о наилучшем приближении линейного неограниченного оператора U, действующего из банахова пространства X в банахово пространство Y, линейными ограниченными операторами S : X —> Y на классе Q из области определения V = V(U) оператора U была поставлена С. Б. Стечкиным в [16]. Задача состоит в нахождении величины
E{N)=E{N,U,Q)= inf sup \\Ux-Sx\\Y (і)
S--\\S\KNxQ
и построении экстремального оператора S* = S*(N, U, Q), на котором достигается точная нижняя грань в (1).
Известно, (см. [5], [6], [16], [3], [4] и приведённые там ссылки), что задача (1) тесно связана с другими экстремальными задачами: некорректными задачами восстановления операторов, заданных с погрешностью, задачей численного дифференцирования, неравенствами Колмогорова. Этим задачам посвящено большое количество работ
A. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова, С. Б. Стечкина,
И. С. Бахвалова, Ч. Мичелли, Т. Ривлина, В. А. Морозова, В. В. Васи
на, В. П. Тананы, А. А. Женсыкбаева, Г. В. Хромовой, В. В. Арестова,
B. И. Габушина, Ю.Н. Субботина, Л. В. Тайкова, В.М. Тихомирова,
A. П. Буслаева, Г. Г. Магарил-Ильяева и др. (см. [5], [6], [20], [4], [11]
и приведенную там библиографию.)
На данный момент наиболее изученной является задача о приближении оператора дифференцирования порядка к на классе п раз дифференцируемых функций, 0 ^ к < п, в пространствах Lp на числовой оси и полуоси; почти во всех случаях, когда задача решена точно, класс Q имеет вид
0={/:/ЄЬг,||/(и)Іко},
при этом всегда предполагается, что f\n~l) локально абсолютно непрерывна. Эту задачу изучали СБ. Стечкин, В. В. Арестов,
B. И. Габушин, А. П. Буслаев, и др. (см. библиографию в [5], [6]).
Задача о наилучшем приближении оператора дифференцирования Dk порядка к на классе Qn (0 < к < п) функций / Є С{1) с локально абсолютно непрерывной (п — 1)-й производной /(-1) на /, такой что /(") Є 1*<х>(-0 и 11/^11/^(/) ^ 1 была решена в случае / = (—оо,+оо) для п = 2,3 СБ. Стечкиным [16], для п = 4, 5 — В. В. Арестовым [1]. Для п ^ 6 значение величины наилучшего приближения выписал В. В. Арестов [2] с помощью результата Домара [19] а окончательное решение получил А. П. Буслаев [9], в частности, он выписал явный вид экстремального оператора. При п > 3 экстремальный оператор является бесконечноразностным. В случае / = [0, +оо) решение известно только для п = 2,3 [16], [17].
При построении и изучении конкретных методов восстановления операторов рассматриваются геометрические характеристики пространств, такие как константа Юнга, относительная константа Юнга и другие (см., например, [5], [4]).
В силу сказанного тема исследования данной диссертации является актуальной.
Цель работы. Основная цель данной диссертации состоит в изучении задачи о наилучшем равномерном приближении оператора дифференцирования в пространстве С на классах WnH(ui) = = {/ Є С : uj(6, /(")) ^ oj(S), 0 ^ 6 < ос} с заданной мажорантой модуля непрерывности старшей производной; построении и исследовании аппроксимирующих операторов возможно более простой структуры в задаче о (равномерном) приближении оператора дифференцирования на классах функций Qn с ограниченной старшей производной; вычисление относительной константы Юнга пространства Р^.
Методы исследования. В работе используются методы математического анализа, функционального анализа, теории приближения функций и операторов.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Основные из них заключаются в следующем.
I. Решена задача Стечкина о наилучшем равномерном приближении операторов дифференцирования первого и второго порядков на полуоси на классе функций с выпуклой мажорантой модуля непрерывности второй производной. Вычислена величина наилучшего приближения и построены соответствующие экстремальные операторы. Как следствие, получены точные мультипликативные неравенства для норм первой и второй производных функции / в терминах нормы функции и константы Липшица порядка а второй производной.
П. Построены и исследованы конечноразностные операторы максимально простой структуры, обладающие хорошими аппроксимативными свойствами в задаче Стечкина о (равномерном) приближении операторов дифференцирования порядка к на классах
Qn = {/ : / Є С(-оо, +оо), ||/(n)||ioo<i} , 0 < к < п.
Операторы имеют минимальное число симметрично расположенных узлов. Исследованы случаи первой производной (к = 1) при п Є Є {2m, 2m + 1} и производной порядка к = 2т — 1 при п = 2т + 1. Здесь 2т — число узлов оператора.
III. Вычислена относительная константа Юнга пространства Р^.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и предложенные в работе методы могут быть использованы при дальнейшем изучении вопросов приближения и восстановления операторов, построении методов численного дифференцирования.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на ряде Международных и Всероссийских математических конференций, в частности, на 9-ой Саратовской зимней школе (1998 г.), на Всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ некорректных задач"(г. Екатеринбург, 1998 г.), на международной конференции "Теория приближения функций и операторов", посвященной 80-летию со дня рождения СБ. Стечкина (г. Екатеринбург, 2000 г.), и на международной школе СБ. Стечкина по теории функций (1994-2001 гг.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [21] - [23] автора; выступления автора на конференциях отражены в тезисах докладов [24] - [29].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трёх глав. Объем диссертации — 69 страниц. Список литературы содержит 41 наименование.
